【摘要】數(shù)學(xué)建模指向于模型思想和建模能力培養(yǎng)的全過(guò)程，通過(guò)“基于實(shí)際問(wèn)題→建立數(shù)學(xué)模型→求解數(shù)學(xué)模型→應(yīng)用數(shù)學(xué)模型”，幫助學(xué)生逐步形成和提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。文章闡述了建模教學(xué)的意義，結(jié)合課例對(duì)展開(kāi)建模教學(xué)的策略進(jìn)行了論述，以喚醒教師的數(shù)學(xué)建模教學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)模型;建模教學(xué)

【基金項(xiàng)目】本文為江蘇省重點(diǎn)資助課題“小學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的教學(xué)課例研究”（C-a/2020/02/01）的階段性成果。

作者簡(jiǎn)介：楊曄（1986.10-），女，江蘇省常州市金壇區(qū)唐王小學(xué)，中小學(xué)高級(jí)教師。

模型思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)建模能力是一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)有重要的作用，它們是理論與實(shí)踐的相互表達(dá)。在小學(xué)階段，建立模型思想是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，培養(yǎng)建模能力有助于改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

一、建模教學(xué)的現(xiàn)狀分析

史寧中教授強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?！睌?shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的一種直觀表達(dá)，具有廣泛性。為了解本區(qū)域“數(shù)學(xué)建?！钡难芯壳闆r，筆者進(jìn)行了如下調(diào)查，形成了一些基本認(rèn)識(shí)。

（一）問(wèn)卷調(diào)查研究

借助問(wèn)卷星調(diào)查小程序，筆者編撰了較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行在線調(diào)查。問(wèn)題呈現(xiàn)如下：

（1）你了解數(shù)學(xué)建模嗎？

□了解 □略知 □未懂

（2）課堂上你嘗試過(guò)從數(shù)學(xué)建模的角度進(jìn)行詮釋嗎？

□經(jīng)常 □偶爾 □從不

（3）你平時(shí)關(guān)注有關(guān)數(shù)學(xué)建模的文章嗎？

□經(jīng)常關(guān)注? □偶爾關(guān)注? ? □從不關(guān)注

（4）你寫(xiě)過(guò)數(shù)學(xué)建模的論文嗎？

□寫(xiě)過(guò)? □從未寫(xiě)過(guò)

（5）你能列舉些可以從建模角度來(lái)詮釋的課堂教學(xué)內(nèi)容嗎？

該問(wèn)卷是從淺層面了解本區(qū)域小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)“建?！钡恼J(rèn)識(shí)情況，共收到118位教師的調(diào)查數(shù)據(jù)。從反饋來(lái)看，了解的占76.3%，略知的占22.4%，未懂的占1.3%。這就說(shuō)明大部分教師通過(guò)課標(biāo)的學(xué)習(xí)和核心素養(yǎng)的落實(shí)，對(duì)建模并不陌生。但奇怪的是，從數(shù)學(xué)建模角度進(jìn)行課堂詮釋的只占12.5%，偶爾的為35.8%，51.7%的教師從未如此處理。同樣，在（3）（4）兩個(gè)問(wèn)題中也表現(xiàn)出教師對(duì)建模文章的冷淡性，經(jīng)常關(guān)注和寫(xiě)過(guò)的分別只有29.3%和8.4%，這是什么原因呢？既然大家對(duì)建模都了解，那為什么進(jìn)行這方面思考的卻很少呢？從大家列舉的建模角度詮釋的課堂教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，大家抓住了課標(biāo)中“建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”這句話，列舉的都是能夠形成公式的相關(guān)問(wèn)題，如加減乘除的運(yùn)算、周長(zhǎng)面積的計(jì)算等，內(nèi)容較為豐富。通過(guò)這份問(wèn)卷我們可以看到，教師對(duì)建模的價(jià)值有一定的了解，但真正在課堂上如何凸顯建模的意義和基于建模的視角進(jìn)行反思不強(qiáng)烈。

（二）個(gè)案研究分析

由于工作原因，筆者接觸到很多年輕教師的演講視頻，通過(guò)對(duì)78位教師關(guān)于“三角形的三邊關(guān)系”的演講視頻進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，在評(píng)價(jià)中提到“建?！钡闹挥?位，更多的是從教師的能力、學(xué)生的學(xué)法、問(wèn)題的解決以及實(shí)驗(yàn)的方式等方面進(jìn)行分析。數(shù)學(xué)建模在這節(jié)課中非常明顯，實(shí)驗(yàn)的方法等都是建立模型、求解模型的方式，教師評(píng)價(jià)中不談及，主要原因在于模型思想還未植根于教師的教育教學(xué)理念中，建模的研究在本區(qū)域還處于低潮。

結(jié)合以上調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，目前建模教學(xué)存在如下問(wèn)題。

1.認(rèn)為建模指向于結(jié)果的運(yùn)用。教師在培養(yǎng)建模能力的過(guò)程中，因?yàn)閷?duì)其意義理解不充分，過(guò)于注重模型的運(yùn)用，從而形成填鴨式訓(xùn)練。這種形式多見(jiàn)于計(jì)算類(lèi)、公式運(yùn)用類(lèi)教學(xué)，教師直接通過(guò)告知模型讓學(xué)生套用解決一類(lèi)問(wèn)題。這樣能在短時(shí)間內(nèi)達(dá)到掌握的效果，但學(xué)生對(duì)于模型的理解有所欠缺，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過(guò)于機(jī)械化，學(xué)生感受的是數(shù)學(xué)的精密美，卻丟失了自我探索的樂(lè)趣。數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該注重過(guò)程，幫助學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造，才能有助于核心素養(yǎng)的落實(shí)和深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。

2.模型結(jié)構(gòu)的邏輯理解不強(qiáng)烈。數(shù)學(xué)是邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，很多知識(shí)的模型隨著學(xué)生能力的提高會(huì)不斷地完善和豐富。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該關(guān)注知識(shí)的邏輯體系，適時(shí)地滲透，幫助學(xué)生對(duì)模型的形成有更為豐富的認(rèn)識(shí)。如在教學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)“確定位置”時(shí)，教師應(yīng)該考慮到低年級(jí)的行、列確定位置過(guò)渡和將來(lái)的三維空間確定位置的延伸，幫助學(xué)生形成初步的“線→面→體”的模型建構(gòu)過(guò)程。部分教師在教學(xué)中忽略了這一點(diǎn)，沒(méi)有意識(shí)到模型結(jié)構(gòu)的重要性。

二、建模教學(xué)的實(shí)施策略

基于以上的研究，筆者開(kāi)啟了數(shù)學(xué)建模的研究之路，通過(guò)對(duì)教材的解讀、對(duì)內(nèi)容的理解以及對(duì)課堂的詮釋?zhuān)岢隽巳缦聦?shí)施策略。

（一）立足教材，把握知識(shí)生長(zhǎng)邏輯，有準(zhǔn)備地步入課堂

教起于研，在對(duì)教材沒(méi)有理解到位的基礎(chǔ)上展開(kāi)教學(xué)，猶如置身迷霧之中，無(wú)法辨別方向。對(duì)教學(xué)內(nèi)容的研讀，必須從兩個(gè)維度出發(fā)：一個(gè)是從內(nèi)容體系中，立足知識(shí)本位，索前與探后，了解內(nèi)容在整個(gè)知識(shí)體系中的邏輯地位;另一個(gè)是基于教材進(jìn)行思考，對(duì)例題深度把握，確定詮釋方法。對(duì)于小學(xué)中模型思想和建模能力培養(yǎng)突出的內(nèi)容，需要立足這兩點(diǎn)進(jìn)行思考，才可能把握好模型知識(shí)的生長(zhǎng)邏輯，有準(zhǔn)備地步入課堂。

如在蘇教版三年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形的面積”教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)度量操作逐步抽象建立面積計(jì)算模型，在運(yùn)用中深化和掌握。教師在備課時(shí)可以從以下幾方面進(jìn)行研讀。

從內(nèi)容體系來(lái)看，學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)長(zhǎng)度單位，并掌握了度量線段長(zhǎng)度的方法。對(duì)線段長(zhǎng)度的度量就是從一個(gè)維度進(jìn)行單位的累加，這與面積計(jì)算的本質(zhì)是一致的。面積計(jì)算是從兩個(gè)維度累積單位，以此類(lèi)推，六年級(jí)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體和正方體的體積時(shí)，就是從三個(gè)維度進(jìn)行單位累加的計(jì)算。了解這部分內(nèi)容所處的位置，教師在教學(xué)中就會(huì)從“喚醒經(jīng)驗(yàn)”的角度幫助學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行探究，也會(huì)在課尾進(jìn)行適當(dāng)?shù)臐B透，站在知識(shí)的上位進(jìn)行教學(xué)，助推學(xué)生模型思想的逐步形成。

從教材安排來(lái)看，本課時(shí)教材共安排了三道例題，這三道例題是讓學(xué)生從具體操作逐步到抽象概括的過(guò)程。教師在研讀時(shí)要清晰每道例題的價(jià)值，不可缺位，更不可越位。學(xué)生通過(guò)擺1平方厘米的小正方形，初步感受長(zhǎng)方形的面積與小正方形的個(gè)數(shù)有關(guān);再通過(guò)對(duì)小正方形的度量來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證;最后通過(guò)心中的擺，在三個(gè)維度的深化中形成長(zhǎng)方形的面積公式，即建立模型。正方形面積的推導(dǎo)既是長(zhǎng)方形面積計(jì)算模型的應(yīng)用，又是深度理解模型的過(guò)程?？此坪?jiǎn)單的面積計(jì)算公式，要讓學(xué)生真正地理解和掌握，不可定于“教”，而應(yīng)助于“學(xué)”。

數(shù)學(xué)建模能將學(xué)生的思維過(guò)程用直觀的語(yǔ)言進(jìn)行歸納總結(jié)，外化于行。同時(shí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解、把握與構(gòu)建的能力，在很大程度上反映了他們的數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)觀念及意識(shí)。教師在理解建模培養(yǎng)的典型素材時(shí)，必須站在更高的高度來(lái)理解，才能精確地掌控課堂，引導(dǎo)學(xué)生向深度學(xué)習(xí)邁進(jìn)。

（二）基于學(xué)生，關(guān)注建模的全過(guò)程，有結(jié)構(gòu)地組織教學(xué)

數(shù)學(xué)作為一個(gè)解決問(wèn)題的工具，已成為時(shí)代文化的一個(gè)重要組成部分，一些數(shù)學(xué)概念、語(yǔ)言已滲透到日常生活中，一些數(shù)學(xué)原理已成為人們必備的知識(shí)。為體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，我們應(yīng)該把從生活中抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)課堂的建構(gòu)和求解再運(yùn)用到生活中去，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的建模過(guò)程。

1.立足問(wèn)題，指明教學(xué)方向

沒(méi)有問(wèn)題指向就沒(méi)有課堂的教學(xué)研究，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在不斷的問(wèn)題解決中掌握知識(shí)，形成技能，升華思想，豐富經(jīng)驗(yàn)。好的問(wèn)題能夠激發(fā)學(xué)生的探索欲望，促進(jìn)學(xué)習(xí)的深入，利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

例如五年級(jí)下冊(cè)“圓的面積”，教學(xué)的核心問(wèn)題就是“怎樣計(jì)算圓的面積？”。因?yàn)檫@個(gè)核心問(wèn)題，才有下面的問(wèn)題探究，學(xué)生在一系列的探究和推理中形成圓面積的計(jì)算模型。

弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)化的對(duì)象就是學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)，而不是成人熟悉的現(xiàn)實(shí)?！痹谛W(xué)階段，低年級(jí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題趨向于情境化，利用形象的圖片讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象出數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望;到了中高年級(jí)，更加趨向于具體的生活問(wèn)題和科學(xué)的解決訴求，與學(xué)生的心智發(fā)展切合，因而很好地為建立數(shù)學(xué)模型做鋪墊。在教學(xué)中，教師要善于捕捉教材情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，同時(shí)盡可能抓住生活中可利用的素材作原型，生成問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)。這樣不僅可以拉近數(shù)學(xué)與生活之間的距離，而且可以為應(yīng)用數(shù)學(xué)模型、體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值做支撐。

2.抽象概況，搭建模型結(jié)構(gòu)

從具體問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)。當(dāng)剝?nèi)o(wú)關(guān)因素，只留下問(wèn)題本質(zhì)，數(shù)學(xué)課堂的研究之旅就開(kāi)啟了。徐利治教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)模型乃是針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，教師應(yīng)該循序漸進(jìn)，不斷完善，從而獲得模型的整體結(jié)構(gòu)。

如六年級(jí)下冊(cè)“圓錐的體積”的教學(xué)，學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)單對(duì)圓錐的體積進(jìn)行研究，分享時(shí)呈現(xiàn)兩類(lèi)資源。

資源1：學(xué)生使用的實(shí)驗(yàn)工具是水、等底等高的圓柱和圓錐;實(shí)驗(yàn)的過(guò)程是把圓錐裝滿水，然后倒入圓柱中，一共倒了3次;得出結(jié)論：圓柱的體積是這個(gè)等底等高圓錐體積的3倍。

資源2：學(xué)生選擇的實(shí)驗(yàn)工具是水、等底等高的圓柱和圓錐;實(shí)驗(yàn)的過(guò)程是把圓柱裝滿水，然后倒入圓錐中，同樣倒了3次;結(jié)論是：圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3。

學(xué)生介紹自己的實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程，在清晰的表達(dá)中獲得圓錐體積的計(jì)算模型。

對(duì)于同一知識(shí)，學(xué)生所形成的模型結(jié)構(gòu)并不是單一的。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度建構(gòu)屬于自己的數(shù)學(xué)理解，通過(guò)問(wèn)題情境和學(xué)習(xí)素材，放手讓學(xué)生聯(lián)系自己已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，嘗試建立不同的數(shù)學(xué)模型，在討論和對(duì)比中不斷地優(yōu)化，讓方法多樣化和方法優(yōu)化成為學(xué)生模型建構(gòu)的智慧橋梁。

3.提煉固化，探索模型之解

對(duì)于所建立的數(shù)學(xué)模型，我們需要通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度去進(jìn)行求證，確定結(jié)果及其結(jié)果的意義。數(shù)學(xué)是一門(mén)精確的學(xué)科，其美就在于它的科學(xué)性和確定性。在教學(xué)中，教師要給學(xué)生提供探究的空間，讓學(xué)生經(jīng)歷模型求解的過(guò)程。這不僅是數(shù)學(xué)教育的孜孜追求，更是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的一種尊重。面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，適當(dāng)?shù)胤攀钟兄趯W(xué)生形成模型思想，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。

例如蘇教版教材六下“圓柱的體積”教學(xué)，學(xué)生通過(guò)長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算已經(jīng)獲得對(duì)等底等高圓柱體積計(jì)算的猜想，接著通過(guò)轉(zhuǎn)化，在演繹推理中建立了圓柱和轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而得出圓柱體積的計(jì)算公式。

這樣的求解過(guò)程是對(duì)知識(shí)的提煉和固化，更是對(duì)原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的提煉和升華。學(xué)生在圓的面積計(jì)算中已經(jīng)獲得求解這類(lèi)模型的經(jīng)驗(yàn)，再次運(yùn)用，不僅是經(jīng)歷，更是喚醒，除了在建模能力上獲得提升外，在經(jīng)驗(yàn)的積累上也更加豐富。在教學(xué)中，很多規(guī)律探究的問(wèn)題重點(diǎn)就是模型的驗(yàn)證，學(xué)生在建立模型的猜想后通過(guò)推理、實(shí)驗(yàn)、舉例等方法求解模型，達(dá)成對(duì)知識(shí)的理解和掌握。

4.應(yīng)用理解，提高建模能力

吳仲和博士指出，學(xué)數(shù)學(xué)必須懂?dāng)?shù)學(xué)。在教學(xué)中，我們可以從知曉、解釋和應(yīng)用三個(gè)方面促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解。建立數(shù)學(xué)模型可以達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的解釋?zhuān)Ｐ偷膽?yīng)用是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種認(rèn)可和延伸。在這一過(guò)程中，學(xué)生不僅達(dá)成對(duì)知識(shí)的鞏固和消化，而且懂得數(shù)學(xué)建模的意義和價(jià)值所在。

如在教學(xué)蘇教版四年級(jí)下冊(cè)畫(huà)示意圖解決問(wèn)題時(shí)，當(dāng)學(xué)生通過(guò)圖形建立了長(zhǎng)增加求原來(lái)面積的模型時(shí)，教師就可以啟發(fā)學(xué)生：還可以怎樣變化，使得面積也發(fā)生變化？這時(shí)候?qū)W生通過(guò)長(zhǎng)增加想到寬增加，再到長(zhǎng)和寬都增加使得面積增加，而面積增加對(duì)應(yīng)的則為面積減少，長(zhǎng)、寬不僅可以同時(shí)增加和減少，甚至還能一個(gè)增加一個(gè)減少……在這樣的變化中，學(xué)生不斷地調(diào)整認(rèn)知，挑戰(zhàn)自我思維，充分提高了數(shù)學(xué)能力。

正如開(kāi)普勒所言：“數(shù)學(xué)就是研究千變?nèi)f化中不變的東西?！睌?shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，但數(shù)學(xué)模型始終如一，以不變應(yīng)萬(wàn)變，這就是數(shù)學(xué)的魅力所在。部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)規(guī)律，通過(guò)問(wèn)題抽象和推理出數(shù)學(xué)模型后，它的應(yīng)用就如神秘的海洋，吸引你不斷深入。

總之，基于模型思想的研究是數(shù)學(xué)教育的一種應(yīng)然追求，幫助學(xué)生提高建模能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的生活性、應(yīng)用性、科學(xué)性和工具性，站在核心素養(yǎng)培育的高度，以深度表達(dá)促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，為客觀世界與數(shù)學(xué)科學(xué)之間搭建智慧的橋梁，創(chuàng)造數(shù)學(xué)理性之美。

【參考文獻(xiàn)】

王凌.自主建構(gòu) 促進(jìn)理解[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2019（24）：43-44.

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