郭棟棟

(山西應(yīng)用科技學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，山西 太原 030000)

一般的R-K法的形式為

(1)

R-K法的本質(zhì)是利用Taylor級(jí)數(shù)方法，且減少了對(duì)原復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行解析求導(dǎo)的過程.R-K類算法求解無約束最優(yōu)化問題[1-2]的本質(zhì)就是利用了R-K法構(gòu)造一條能夠代替最優(yōu)曲線[3]的折線從而解信賴域子問題.

首次R-K類[4]算法求解信賴域子問題是于海波[5]提出的一種變步長(zhǎng)的休恩算法CHML.隨后又提出了改進(jìn)的顯示歐拉、隱式歐拉和平均歐拉[6-7]算法.2017年李琳俊[8]提出不定的ICHML算法.本文在張春霞和王希云提出的改進(jìn)休恩三階方法[9]的基礎(chǔ)上，提出了一種不定的改進(jìn)休恩三階[10]算法.本文提出的新算法提高了在Hessian陣不定的情況下改進(jìn)休恩三階算法的適用性，從而使得改進(jìn)休恩三階算法變得系統(tǒng)完整.

1 對(duì)稱正定矩陣Gk的構(gòu)造

任取一對(duì)稱矩陣Bk，一定有排列矩陣P能夠得到PΤBkP=LDkLΤ，設(shè)P=I，即Bk=LDkLΤ,設(shè)λi是Dk的特征值，vi是Dk的特征向量，令vk=(v1,v2,…,vn)Τ，下面分兩種情形來構(gòu)造Gk.

(i)當(dāng)λi>0，i=1,2,…,n時(shí)，

(ii)當(dāng)?i，s.t.λi≤0時(shí)，

2 步長(zhǎng)

改進(jìn)算法修正條件為

(2)

改進(jìn)后步長(zhǎng)簡(jiǎn)化形式為

(3)

(4)

其中，n=0,1,2,…，N-1 ,δ0=-Gg，ε稱為限制步長(zhǎng).

3 算法描述

步1 給定梯度g,G,半徑Δ.取n∶=0.

具體形式見公式(3),轉(zhuǎn)步3.

步4 令

停止計(jì)算，否則令n∶=1轉(zhuǎn)步4.

步5 令

的具體形式見公式(3).轉(zhuǎn)步5.

步6 令

停止計(jì)算，否則令n∶=n+1轉(zhuǎn)步4.

4 不定的改進(jìn)休恩三階折線路徑的性質(zhì)分析

證明(i)當(dāng)n=1時(shí)，

因?yàn)?/p>

(ii)假設(shè)1

若n=k+1，有

又由

得到

于是

故

即

證畢.

定理設(shè)矩陣G是對(duì)稱正定的，且有下式成立，

其中，

記休恩三階折線T=[P0,P1,…，PN]為δ(τ)，具體形式如下

則δ(τ)滿足如下兩個(gè)要求，

(ii)q[δ(τ)]為單調(diào)非減函數(shù).

證明(i) 當(dāng)τ∈[β0，β1]，即τ∈[0，h0]時(shí)

則

由公式(3)

對(duì)?τ∈[βi，βi-1]，即(τ-βi)∈(0,hi],n=0,1,2,…，N-1時(shí)

則

由公式(4)式可知

(ii)當(dāng)τ∈[β0,β1]，即τ∈(0,h0]時(shí)

所以,q[δ(τ)]在區(qū)間[β0，β1]上為單調(diào)非減函數(shù).

對(duì)?τ∈[βi，βi-1]，即(τ-βi)∈(0,hi]，n=0,1,2,…，N-1時(shí)，

故q[δ(τ)]在區(qū)間[βi，βi+1]，n=0,1,2,…，N-1上都為單調(diào)非減函數(shù).證畢.

5 數(shù)值結(jié)果

用不定的改進(jìn)休恩三階算法與原不定算法做對(duì)比，q表示測(cè)試函數(shù)的最優(yōu)解值.

文中用到的測(cè)試函數(shù)如下.

Function 1

Function 2

表1 測(cè)試函數(shù)1的數(shù)值結(jié)果