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        使洪荒之力尋錯(cuò)誤之源

        2017-12-11 09:25:38高如玉
        初中生世界·八年級(jí) 2017年11期
        關(guān)鍵詞:股數(shù)逆定理錯(cuò)因

        高如玉

        初學(xué)勾股定理及其逆定理的同學(xué),由于知識(shí)、方法不熟練, 常常出現(xiàn)一些不必要的錯(cuò)誤,失分率較高. 下面針對(duì)同學(xué)們具體失誤的原因, 配合相關(guān)習(xí)題進(jìn)行分析,希望同學(xué)們能借助這股“洪荒之力”走出誤區(qū).

        一、思維定勢(shì)錯(cuò)判斷

        【例1】 在△ABC中各邊長(zhǎng)均為整數(shù),a=3,b=4,c是最長(zhǎng)邊,求c.

        【錯(cuò)解】由勾股定理,得c=[a2+b2]=[42+32]=5.

        【錯(cuò)因分析】這個(gè)解法是受思維定勢(shì)“勾三股四弦五”的影響, 將△ABC當(dāng)成了直角三角形, 出現(xiàn)了知識(shí)的“負(fù)遷移”.實(shí)際上, 題中并沒有給出直角三角形這個(gè)前提條件.

        【正解】由三角形三邊關(guān)系,得b

        二、概念不清引爭(zhēng)議

        【例2】下列各組數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的是:

        ①0.07, 0.24, 0.25; ② 6, 8, 10; ③7, 8, 10;④ [35],[45],1.

        【錯(cuò)解】①②④.

        【錯(cuò)因分析】首先, 勾股數(shù)必須是一組正整數(shù);其次,勾股數(shù)要滿足兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方. 選擇①④的同學(xué)主要是對(duì)勾股數(shù)概念不理解, 出現(xiàn)概念錯(cuò)誤.

        【正解】②.

        三、不知分類導(dǎo)錯(cuò)誤

        1.不分勾、股、弦.

        【例3】在Rt△ABC中,a=3,b=4,求c.

        【錯(cuò)解】由勾股定理,得c=[a2+b2]=[42+32]=5.

        【錯(cuò)因分析】這里默認(rèn)了∠C為直角.其實(shí),題目中沒有明確哪個(gè)角為直角,當(dāng)b>a時(shí),∠B可以為直角,故本題解答遺漏了這種情況.

        【正解】因?yàn)橹苯侨切沃?,斜邊最長(zhǎng),所以a不能為斜邊,即∠A不能為直角.當(dāng)∠C為直角時(shí),c=[42+32]=5;當(dāng)∠B為直角時(shí),c=[42-32]=[7].

        2.不分高在形內(nèi)和形外.

        【例4】在△ABC中,若AB=13,AC=15,BC邊上的高AD=12,求△ABC的周長(zhǎng).

        【錯(cuò)解】如圖,AB、AC在高AD的兩側(cè),由勾股定理,得BD=[AB2-AD2]=[132-122]=5,CD=[AC2-AD2]=[152-122]=9 ,所以BC=5+9=14,最后△ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=15+14+13=42.

        【錯(cuò)因分析】本題需要同學(xué)們先分析題意畫出符合要求的圖形再解答. 在作圖時(shí),沒有考慮三角形的形狀,出現(xiàn)漏解情況.

        【正解】情況1:AB、AC在高AD的兩側(cè),由勾股定理,可得:BD=5,CD=9,BC=14,三角形ABC的周長(zhǎng)為42.情況2:如下圖,AB、AC在AD的同側(cè),前面已得BD=5,CD=9,所以BC=9-5=4,最后△ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=15+4+13=32.

        四、直覺經(jīng)驗(yàn)漏條件

        【例5】如圖,在△ABC中,AB=15,AC=8,AD是中線且AD=8.5,求BC的長(zhǎng).

        【錯(cuò)解】由直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得:BC=2AD=17.

        【錯(cuò)因分析】解題時(shí)看到熟悉的圖形,很多同學(xué)往往粗略審題,忽略了題目的條件與熟悉的圖形的細(xì)微差別,把未知的結(jié)論當(dāng)已知條件直接使用,導(dǎo)致錯(cuò)解.這里的∠BAC=90°并不容易證明.

        【正解】如圖,延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE,易證△ADC≌△EDB.∴BE=AC=8,∠CAD=∠E.∴AC∥BE.又∵BE2+AB2=82+152=289,AE2=172=289.∴BE2+AB2=AE2 .∴∠ABE=90°.∵AC∥BE.∴∠BAC=180°-90°=90°.∴BC=[82+152]=17 .

        五、錯(cuò)用特殊替一般

        【例6】已知在△ABC中,三條邊長(zhǎng)分別為a、b、c,a=n,b=[n24]-1,c=[n2+44](n是大于2的偶數(shù)).求證:△ABC是直角三角形.

        【錯(cuò)解】 ∵n是大于2的偶數(shù),∴取n=4,這時(shí)a=4,b=3,c=5.∵a2+b2=42+32=25=52=c2,∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理).

        【錯(cuò)因分析】同學(xué)們?cè)诮鉀Q此題時(shí),往往會(huì)有這樣的疑惑:我的答案是正確的,為什么不得分呢?大多數(shù)同學(xué)錯(cuò)誤地把特殊情況當(dāng)成了一般規(guī)律,我們可以用這樣的辦法解決填空題和選擇題,但不能用來解決證明題,證明要有嚴(yán)密的邏輯展示.

        【正解】 ∵a2+b2=n2+([n24]-1)2=n2+[n416]-[n22]+1=[n416]+[n22]+1,c2=([n2+44])2=([n24]+1)2=[n416]+[n22]+1,∴a2+b2=c2.∴由勾股定理的逆定理知,△ABC是直角三角形.

        (作者單位:江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)禮嘉中學(xué))

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