沈碧璐， 王長軍

(東華大學(xué) 旭日工商管理學(xué)院， 上海 200051)

基于互聯(lián)網(wǎng)的社交媒介的普及，使得基于社會關(guān)系的口碑(word of mouth, WOM)效應(yīng)發(fā)揮作用[1]。經(jīng)營者能通過社交裂變實現(xiàn)低成本引流[2]，由此催生社交電商模式，誕生了一批相關(guān)企業(yè)[3]。然而，決策者面臨顧客網(wǎng)絡(luò)規(guī)模大和難以獲知準確網(wǎng)絡(luò)信息的困境，這給口碑營銷決策帶來了困難。

現(xiàn)有研究已證實口碑傳播與市場結(jié)果緊密關(guān)聯(lián)[4-5]?？诒疇I銷的關(guān)鍵是從顧客網(wǎng)絡(luò)中選擇相應(yīng)的種子顧客，通過口碑?dāng)U散實現(xiàn)影響最大化[6]。研究從兩方面展開：一是構(gòu)建口碑?dāng)U散模型；二是進行營銷決策，即選擇種子顧客。最有代表性的口碑?dāng)U散模型是Kempe等[7]提出的獨立級聯(lián)(independent cascade, IC)模型和線性閾值(linear threshold, LT)模型。在種子顧客的選取方面，由于影響最大化要求，IC和LT模型的目標函數(shù)均具有次模性，故種子節(jié)點選取規(guī)則有1-1/e的性能界[7-8]。由此，IC和LT模型得到廣泛應(yīng)用[9-11]。但相關(guān)研究[5,7-10]均假設(shè)被選中的種子顧客必會發(fā)生購買行為，同時為保證目標函數(shù)的次模性，不考慮選取代價，這并不符合實際情況。

IC和LT模型因能夠描述信息在網(wǎng)絡(luò)中個體間的傳播，也被稱為個體式(individual)模型，其要求掌握準確的社交網(wǎng)絡(luò)信息。正是由于考慮網(wǎng)絡(luò)細節(jié)，基于IC或LT模型的種子節(jié)點選取還存在時間復(fù)雜度高、隨網(wǎng)絡(luò)規(guī)模變化伸縮性差的缺點[12]。針對以上不足，有研究[13-14]考慮整合式(aggregate)模型，最具代表性的是Bass模型，其核心在于構(gòu)建整體擴散結(jié)果和信息傳播的動態(tài)函數(shù)，已引發(fā)了一系列研究[15-16]。Bass模型優(yōu)點在于計算不受網(wǎng)絡(luò)規(guī)模限制，但該模型未考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征，導(dǎo)致研究所針對的問題與社交電商的現(xiàn)實場景存在一定偏差。

為解決以上兩類模型的不足，有學(xué)者[17]提出局部平均場(local mean field，LMF)模型。與IC和LT模型相比，LMF模型能保留IC模型中的“類傳染”機制[18]，且無需掌握網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點的準確連接情況。與Bass模型相比，LMF模型能夠反映社會網(wǎng)絡(luò)中的冪律分布特征。故LMF模型適用于社交電商的場景，但需要求解復(fù)雜的非線性遞歸方程組[18]。這限制了LMF模型的進一步應(yīng)用，導(dǎo)致目前研究極為有限。

針對大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)，在社交電商僅掌握包括網(wǎng)絡(luò)度和規(guī)模等有限信息前提下，通過口碑營銷決策，優(yōu)化包含流量獲取成本與銷售收入在內(nèi)的總體盈利。用LMF模型描述社交電商中的顧客網(wǎng)絡(luò)并考慮IC模型的傳播機理，構(gòu)建以種子顧客選取規(guī)模為決策的優(yōu)化模型。

1 模型構(gòu)建

社交電商中，已購買產(chǎn)品的顧客通過口碑以概率q(0≤q≤1)影響鄰居，從而引發(fā)購買?；谶@一傳播機理，給出口碑?dāng)U散的數(shù)學(xué)模型，繼而提出營銷優(yōu)化模型。

1.1 大規(guī)模顧客網(wǎng)絡(luò)模型

定義大規(guī)模顧客網(wǎng)絡(luò)為G(V,E)。節(jié)點集合V={v1,v2,...,vN}為N個顧客的集合。邊eji∈E為0-1變量，表示vj是否會影響vi。若是，eji=1；反之，eji=0。由IC模型可知，兩點間口碑傳播成功的概率為P{eji=1}=q。

定義G中所有能夠影響節(jié)點vr(∈V)的直接和間接節(jié)點集為Tr。當(dāng)G為足夠大的稀疏網(wǎng)絡(luò)時，僅存在少量交叉邊，故沿交叉邊的傳播對vr的影響可忽略不計。因此，Tr可視為以vr為根節(jié)點的樹，稱為vr的局部場(local field)[17]。顯然，隨網(wǎng)絡(luò)規(guī)模增加，樹的深度逐漸增加?？紤]到網(wǎng)絡(luò)每個節(jié)點的連接度(degree)不確定，故不同的度則有不同的Tr。由此，口碑?dāng)U散的結(jié)果可視為一組服從度分布的Tr傳播結(jié)果均值，即局部平均場(LMF)。

通過一個例子來解釋節(jié)點間是如何傳播影響的。圖1給出一棵以vr為根節(jié)點的三層樹，所有變量φi和eij均已知，令q取0.1和0.5兩種傳播情況。對于節(jié)點vi(1≤i≤7)，若φi=1，表明vi購買產(chǎn)品，即圖中v3、v5處于激活狀態(tài)；若vj是vi的鄰居節(jié)點，φj=eji=1，則vj會以q的概率影響vi購買，如圖中v1受v3和v5的影響，從而以0.1或0.5的概率被激活并購買產(chǎn)品；若非以上兩種情況，存在路徑v6-v2和v7-v2，且ev6v2=ev7v2=1，但φ6=φ7=0，v2不會購買產(chǎn)品。因此，計算根節(jié)點vr的最終狀態(tài)(vr是否購買產(chǎn)品)可以按自下而上的方式更新該樹中其他節(jié)點的狀態(tài)，即給定任意子節(jié)點vi的φi，根據(jù)模型可以確定其父節(jié)點的狀態(tài)。在這個推導(dǎo)中，只需關(guān)注根節(jié)點vr的最終狀態(tài)，而忽略樹中向下傳播的影響，即根節(jié)點對子節(jié)點的影響。例如，對于節(jié)點vi和其子節(jié)點vj，僅需計算出vj對vi的影響，而不用考慮vi對vj的影響。

考慮到互聯(lián)網(wǎng)環(huán)境中人際間連接服從冪指數(shù)函數(shù)分布，且存在顯著異質(zhì)性，故假設(shè)G具有無標度網(wǎng)絡(luò)特征[19]。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)足夠大時，G為一個具有固定度分布的隨機圖。為區(qū)分網(wǎng)絡(luò)中的根節(jié)點與子節(jié)點，用P0,k表示根節(jié)點度分布，用P1,k表示子節(jié)點度分布。假設(shè)G中根節(jié)點vr存在deg(r)個可能會影響自身的鄰居，則deg(r)服從分布P0,k?？紤]到無標度網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點度值服從冪指數(shù)為λ的分布函數(shù)，即Pk∝k-λ(k∈N+,2<λ<3)[19]，則deg(r)的概率分布為

(k∈N+,λ∈(2,3))

(1)

子節(jié)點度P1,k服從如式(2)所示的移動冪指數(shù)函數(shù)分布(shifted power-law distribution)。

(2)

簡化后的G為具有固定分布的遞歸樹結(jié)構(gòu)，各子樹對根節(jié)點vr的影響?yīng)毩?，可通過所有節(jié)點對根節(jié)點r的疊加影響來獲得口碑傳播的最終結(jié)果。

1.2 社交電商口碑營銷優(yōu)化決策模型

社交電商企業(yè)進行口碑營銷之前，顧客購買意愿為概率p-(0≤p-<1)。企業(yè)在整個市場中選取比例為ρ(0≤ρ≤1)的顧客給予補貼等激勵。被選取顧客(即種子顧客)的購買概率提升至p+(0

μ=ρp++(1-ρ)p-

(3)

顯然，0≤μ≤1。

隨后，口碑通過社交裂變進行擴散。為描述其影響，需區(qū)分每個節(jié)點購買行為的產(chǎn)生原因。對于節(jié)點vi，首先引入伯努利變量φi和Yi分別表示其在口碑影響前后的隨機購買行為。則Yi=1表示vi受到任一鄰居口碑的成功影響而選擇購買；Yi=φi表示所有影響均不成功，vi會根據(jù)自己的意愿考慮是否購買。

(4)

式(4)可等價為

(5)

式(5)給出了非根節(jié)點間的相互影響過程。同理，對于根節(jié)點vr，定義其受口碑影響而是否購買的伯努利變量X，有：

(6)

式(6)給出了由非根節(jié)點向根節(jié)點傳播的口碑影響過程。

在足夠大的樹中，若Yi和Yj處于同一深度，其彼此相互獨立?；贗C模型傳播機理，對式(5)和(6)中的伯努利變量取期望，并引入節(jié)點度值分布概率，可得：

(7)

(8)

式中：E[Y]和E[X]分別為非根節(jié)點和根節(jié)點在口碑影響下被激活的期望。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模足夠大時，網(wǎng)絡(luò)中任何節(jié)點均可被視為根節(jié)點，故E[X]為整體市場顧客購買比例。由此，社交電商基于口碑傳播的營銷決策優(yōu)化模型可表示為

(9)

式中：p和c分別為單位利潤和營銷成本。模型中種子顧客選取比例ρ為決策變量，μ、E[X]和E[Y]為與之相關(guān)的內(nèi)生變量。模型通過ρ的選擇，使得企業(yè)總利潤z最大化。

基于口碑傳播的營銷決策優(yōu)化模型具有如下特點：(1)就適用問題而言，求解過程不受網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N影響，適用于大規(guī)模顧客網(wǎng)絡(luò)，且不同于僅最大化營銷結(jié)果的現(xiàn)有研究，本模型可最大化總盈利。由此，將營銷代價考慮在內(nèi)，可更為貼合實際。(2)就與現(xiàn)有研究聯(lián)系而言，現(xiàn)有關(guān)于IC模型的研究均直接給出種子節(jié)點的選取上限，未討論規(guī)模最優(yōu)，而本研究能為營銷規(guī)模的確定提供依據(jù)。(3)就模型數(shù)學(xué)性質(zhì)而言，針對非線性規(guī)劃，需進一步討論模型解的性質(zhì)，這恰是現(xiàn)有研究[17-18]未涉及的。

2 最優(yōu)解分析

對是否存在滿足約束的最優(yōu)解進行分析說明，首先關(guān)注非線性約束式(7)，給出如下命題。

命題1：給定μ∈[0,1]，滿足式(7)所示約束的E[Y]存在且唯一。

證明：由式(7)可知，當(dāng)μ=1時，E[Y]=1，命題成立。下面討論μ∈[0,1)的情況，式(7)可表述為

P1,k+1(1-qE[Y])k+P1,k(1-qE[Y])k-1+…+

P1,3(1-qE[Y])2+P1,2(1-qE[Y])+

(10)

為簡化表述，令y=1-qE[Y]，有：

(11)

則式(10)可轉(zhuǎn)化為

(12)

由此：

(13)

(14)

另有f(y)的一階導(dǎo)數(shù)：

(15)

由于f′(y)正負難以確定，給出二階導(dǎo)數(shù)：

(16)

當(dāng)k=1時，f″(y)=0；當(dāng)k≥2時，有

(17)

由此，f″(y)≥0，結(jié)合式(13)和(14)可知，f(y)在[0,1]上有且僅有一個最優(yōu)解y。由y與E[Y]的關(guān)系可知，E[Y]在[0,1]上唯一。

上述分析基于q≠0，當(dāng)q=0時，易得E[Y]=μ(∈[0,1])。綜上，命題得證。

繼而，對于約束(8)，有如下命題。

命題2：給定μ∈[0,1]，滿足約束(8)的E[X]存在且唯一。

證明：命題1已證明了E[Y]的存在和唯一。由式(8)可知，給定E[Y]，有且僅有一個E[X]與之對應(yīng)。因此，問題在于該E[X]是否存在，即是否在[0,1]。下面對此進行分析。

由式(8)可知，若μ=1，則E[X]=1，命題成立。下面關(guān)注μ∈[0,1)的情況。為簡化表述，令y=1-qE[Y]，x=E[X]，則式(8)可表述為

(18)

有：

(19)

說明函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增。在式(18)兩端取值，可得：

(20)

(21)

為判斷f(0)的正負，引入函數(shù)g(y)，則式(20)轉(zhuǎn)化為

(22)

給出g(y)的一階導(dǎo)數(shù)：

(23)

則說明g(y)在[0,1]上單調(diào)遞增。在兩端取值，有

(24)

(25)

由此，可推出在定義域[0,1]上，g(y)<0，即f(0)<0。

綜上，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，且有f(0)<0，f(1)>0。此外，結(jié)合q=0情況下，E[X]=μ(∈[0,1])。因此，f(x)在[0,1]上有且僅有一個解，由此，命題得證。

最終，不難得出：

命題3：模型(9)存在最優(yōu)解。

證明：由式(3)可知，對于任一ρ∈[0,1]，存在唯一的μ∈[0,1]。由命題1和2可知，對于任一μ∈[0,1]，存在唯一的E[X]和E[Y]，且0≤E[X],E[Y]≤1。因此，對于任一的ρ∈[0,1]，有且僅有一組滿足模型約束的μ、E[X]和E[Y]。由此，模型最優(yōu)解存在。

綜上可知，給定ρ，由于式(7)、(8)為等式約束，且0≤E[X],E[Y]≤1，滿足約束的E[X]和E[Y]可由二分法求得。由此，通過循環(huán)遍歷ρ∈[0,1]，不難得到模型的最優(yōu)解。

3 仿真分析

通過仿真試驗，研究網(wǎng)絡(luò)連接度范圍和影響概率、營銷成本和產(chǎn)品利潤、夠買意愿等因素對口碑營銷決策和市場結(jié)果的影響，并提煉管理建議。

3.1 基于網(wǎng)絡(luò)連接度的仿真試驗

基于N=105的無標度網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中度的取值范圍可反映節(jié)點連接的異質(zhì)性，為此考慮[1, 10]、[1, 50]和[1, 100]3種度范圍，其中度均服從冪指數(shù)函數(shù)分布。此外，設(shè)營銷前后顧客購買概率為p-=0.01，p+=0.5，利潤參數(shù)p=7，單位流量獲取成本c=5。

種子節(jié)點選取比例的最優(yōu)營銷決策如表1所示。由表1可知，在3種度范圍下，隨q的增大，ρ依次呈現(xiàn)出先為0再增大后減小的變化趨勢。究其原因：當(dāng)q較小(0≤q≤0.2)時，即便進行口碑營銷，也難以激發(fā)購買行為，反而要付出營銷費用，故ρ為0;隨q的增大，口碑傳播逐漸發(fā)揮作用，ρ也相應(yīng)增大；當(dāng)q足夠大時，即便是小規(guī)模的種子顧客集也能實現(xiàn)良好擴散，考慮到選取成本，種子用戶規(guī)模并非越大越好，故ρ逐漸減小。該結(jié)論與IC模型的研究結(jié)果[7]不同，這是因為以往研究是在次模性的優(yōu)化目標下，其要求選取規(guī)模越大越好。顯然，本文結(jié)果與實際更為貼合。此外，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點異質(zhì)性越大，口碑傳播越有效，種子顧客選取ρ越小。

圖2 不同度范圍下的μ,E[X]及IFig.2 μ,I and E[X] under different degrees

由此可見，社交營銷應(yīng)盡量依賴顧客聯(lián)系更緊密的媒介，這對于取得良好的營銷效果是至關(guān)重要的。但當(dāng)市場中顧客相互影響極小或極大時，口碑營銷的力度并非越大越好，應(yīng)提防過度營銷行為。如滴滴打車，對于經(jīng)?；ハ嘀κ褂脙?yōu)惠券打車的用戶，可適當(dāng)控制對其優(yōu)惠券的發(fā)放和折扣力度，以免損傷企業(yè)盈利。顧客間緊密程度會顯著影響市場結(jié)果，但連接度異質(zhì)性并不會影響市場。因此，企業(yè)在進行營銷規(guī)劃時更應(yīng)關(guān)注目標市場中人群的緊密度，而非網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

3.2 基于營銷成本和產(chǎn)品利潤的試驗

分析利潤和成本對營銷決策和市場結(jié)果的影響:選取p=5，引入?yún)?shù)成本收益比l=c/p反映營銷成本與利潤之間的關(guān)系。改變l和q，觀察對應(yīng)結(jié)果。網(wǎng)絡(luò)度分布選擇[0,50]，其他參數(shù)同第3.1節(jié)。

最優(yōu)口碑營銷決策變量ρ的結(jié)果如圖3所示，圖中用不同的色塊表示計算結(jié)果的大小。由圖3可知，當(dāng)l>1(即c>p)時，ρ相對較小，但并非不進行營銷，特別是當(dāng)q較大時。隨著l的減小，ρ明顯增大，且q越大，ρ的增大幅度越明顯。由于μ和ρ呈線性相關(guān)，故μ的變化趨勢與圖3相似，不再贅述。

圖3 不同l和q下的口碑營銷決策變量ρFig.3 WOM marketing decision variable ρ under different l and q

不同l和q下口碑營銷的市場結(jié)果I、E[X]和z如圖4所示。由圖4可知：q對口碑?dāng)U散的助推作用非常顯著，增大q可以帶來更大的口碑效應(yīng)I；l的增加也有助于產(chǎn)生更大的I，這是因為l越大，ρ就越小，繼而μ也相對較小，所以口碑?dāng)U散帶來的需求放大效應(yīng)也就更為明顯。l和q對市場份額E[X]有顯著影響，但影響方式不同：l通過營銷決策影響市場結(jié)果，即l越小，營銷力度越強(見圖3)，E[X]越大；但q可以直接助推口碑?dāng)U散，帶來更大的E[X]。企業(yè)盈利z的變化趨勢與E[X]類似，不再贅述。

由此可見，成本收益比l對營銷決策變量ρ的影響極大，過高的營銷費用會限制口碑營銷。反過來也解釋了社交電商得到快速發(fā)展的原因，即利用熟人關(guān)系進行低成本的社交裂變從而獲取更大的市場份額。但并不是說，當(dāng)營銷費用高于獲利(即l>1)時，就不進行營銷。反而，當(dāng)顧客間傳播概率q較高時，進行適度營銷仍能獲得較好的市場結(jié)果(E[X]、z)。換言之，在社交電商環(huán)境下，“賠本賺吆喝”做法在特定情況下仍是適用的。

圖4 不同l和q下口碑營銷的市場結(jié)果I、E[X]和zFig.4 WOM marketing results of I, E[X] and z under different l and q

3.3 基于購買意愿的試驗

現(xiàn)口碑營銷研究文獻多假設(shè)“補貼即購買”，即p+=1。本文放寬這一假設(shè)，此處考慮不同p+帶來的影響。度分布為[0, 50]，其他參數(shù)取值同第3.1節(jié)。

不同p+和q下的口碑營銷決策變量ρ如圖5所示。由圖5可知，種子顧客購買意愿越強，企業(yè)投入口碑營銷的程度就越大。但這一規(guī)律因q的不同而不同：當(dāng)q較小時，只在p+較大時才會進行口碑營銷，且為了彌補較小的q而需加大營銷力度；當(dāng)q較大時，p+對ρ的影響有限。此外，在p+較大時，可以觀察到ρ隨q的增大而明顯減小，這與表1所示結(jié)果一致。

圖5 不同p+和q下的口碑營銷決策變量ρFig.5 WOM marketing decision variable ρ under different p+ and q

不同p+和q下口碑營銷的市場結(jié)果E[X]和z如圖6所示。由圖6可知，市場份額E[X]與p+成正相關(guān)。與圖5類似，當(dāng)q較小時，p+只有在取較大值時才會顯著影響E[X]，而當(dāng)q較大時，即便p+較小，也會帶來較好的市場份額。然而，當(dāng)p+取較大值即種子顧客購買意愿較強時，較大的q并不總能帶來更好的市場份額。這是因為在盈利最優(yōu)化的指引下，此時種子顧客選取比例ρ反而較低，付出的營銷代價即營銷成本較小。企業(yè)盈利z則一直隨q和p+的增大而增大。這正體現(xiàn)了模型優(yōu)化的效果，即追求總體盈利z最大化，而非市場份額最大化。當(dāng)種子顧客購買意愿p+較強時，可理解為“熱門”產(chǎn)品，人群中的傳播概率q對營銷相對不重要;反之，對于“冷門”產(chǎn)品，即便有補貼，顧客購買意愿p+也可能較低。此時，只有在顧客相互影響程度較高時，才可能取得較好的銷售結(jié)果。

4 結(jié)論與展望

研究社交電商下企業(yè)口碑營銷決策：利用LMF模型描述基于大規(guī)模顧客網(wǎng)絡(luò)的口碑傳播，構(gòu)建最優(yōu)化營銷決策的非線性規(guī)劃模型，并證明了模型解的存在性及唯一性。對網(wǎng)絡(luò)連接度k、傳播概率q、營銷成本c和種子顧客購買意愿p+等因素展開仿真。結(jié)果表明：在口碑傳播概率q極高和極低的情況下，企業(yè)均需控制口碑營銷的程度，過度營銷雖能帶來更大的市場份額，但也會給企業(yè)總利潤帶來損害；“賠本賺吆喝”的做法只有在口碑傳播效率較高時適用；營銷的產(chǎn)品與口碑?dāng)U散依托的顧客網(wǎng)絡(luò)特性有著內(nèi)在的匹配關(guān)系?？诒疇I銷引發(fā)的突發(fā)需求離不開供應(yīng)的支持，在今后的研究中，可進一步考慮供應(yīng)端對口碑營銷與運營的影響，探究口碑營銷與供應(yīng)運營的聯(lián)合優(yōu)化。此外，以單一企業(yè)為決策主體，弱化了市場中多個企業(yè)之間的競爭性。后續(xù)研究可構(gòu)建具有競爭性的決策模型，甚至，可以研究企業(yè)精準營銷中種子節(jié)點選取的優(yōu)化算法。