陳 中，鄭繼貴，侍 威，張兆晶，何理論

（北京精密機電控制設(shè)備研究所，北京，100076）

0 引 言

行星滾柱絲杠副（Planetary Roller Screw Mechanism，PRSM）作為將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)換為直線運動的重要傳動機構(gòu)，具有高承載、高精度、高壽命的優(yōu)異性能，已經(jīng)在精密數(shù)控設(shè)備、光學測量儀器、航空航天、武器裝備等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1,2]。PRSM在傳動過程中通過螺紋曲面相互接觸來傳遞載荷，特別對于滾柱和絲杠接觸側(cè)，由于絲杠的螺旋升角和滾柱不一致，使得兩者之間的接觸更為復(fù)雜，而接觸區(qū)域的精確求解對于后續(xù)接觸特性分析具有重要意義。

目前，一些學者針對PRSM的接觸特性開展研究，Wang Shuiming等[3]通過建立接觸匹配方程對接觸點的位置進行精確求解，并研究了零件的輪廓誤差對接觸特性的影響規(guī)律。關(guān)于PRSM接觸區(qū)域的求解多采用等效球法來計算主曲率，劉艷強等[4]基于等效球法求解了PRSM的接觸參數(shù)，并研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對接觸變形及應(yīng)力分布的影響規(guī)律。然而，等效球法計算主曲率存在較大偏差，因而部分學者引入微分幾何原理來計算主曲率。Jones等[5]通過建立Frenet坐標系推導(dǎo)出PRSM各零件螺紋曲面方程，求解了接觸點的位置以及主曲率。Sebastian Sandu等[6,7]建立了螺紋法截面輪廓的螺旋曲面方程，并基于微分幾何原理對主曲率以及接觸橢圓的位置和形狀展開了研究。喬冠等[8]基于螺紋滾道法截面輪廓，建立了PRSM各零件螺紋曲面統(tǒng)一方程，求解了接觸點處的主曲率，同時引入主曲率和與主曲率差對接觸特性進行分析。綜上所述，利用微分幾何原理的方法可以更準確計算出主曲率，但現(xiàn)有研究在求解時都有所簡化，認為接觸體之間的主平面相互重合，這在簡化計算的同時也會帶來偏差。

本文以標準式PRSM為研究對象，結(jié)構(gòu)如圖1所示。針對PRSM的傳動特點，基于微分幾何原理計算出主平面夾角，進而精確求解接觸橢圓的形狀，并與現(xiàn)有研究的簡化方法進行對比，同時研究了主平面夾角對接觸特性的影響規(guī)律。

圖1 PRSM結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure Drawing of PRSM

1 主曲率及主方向

滾柱絲杠側(cè)和滾柱螺母側(cè)的接觸可看做兩空間曲面之間的彈性接觸，而主曲率以及主方向的求解是PRSM接觸特性分析的基礎(chǔ)。以絲杠、滾柱和螺母的軸線為zi軸，xi軸經(jīng)過螺紋起始點，分別建立各零件的坐標系，螺紋曲面上任意點空間坐標可表示為(rpi,θpi,zi)，下標i=s,r,n，分別表示絲杠、滾柱和螺母，如圖2所示。

圖2 零件坐標系Fig.2 Part Coordinate System

依據(jù)螺紋法截面輪廓可建立PRSM零件螺旋曲面統(tǒng)一方程[8]：

式中ξ可取-1和1，分別表示上曲面和下曲面；h(rpi)為各零件在法截面的輪廓方程；li和λi分別為零件的導(dǎo)程和螺旋升角。

螺旋曲面參數(shù)方程可表示為

零件輪廓曲面的單位法向量可表示為

基于微分幾何理論[9]，可依據(jù)零件曲面的參數(shù)方程求得曲面在任意一點的主曲率及主方向。螺旋曲面的第1類基本量E、F、G和第2類基本量L、M、N的計算公式如下：

式中fr和fθ為一階導(dǎo)數(shù)；frr，frθ和fθθ為二階導(dǎo)數(shù)。

曲面上任意一點的兩個主曲率可用κ1和κ2表示。

式中H為平均曲率；K為高斯曲率。

主方向用dr:dθ表示，滿足下列等式：

這是關(guān)于dr:dθ的二次方程，可解得主方向：

將主方向轉(zhuǎn)化為零件的笛卡爾坐標系中的矢量為

2 主平面夾角

主方向與接觸點處的法向量相互垂直，兩者共同組成主平面。由式（12）計算可得到各零件坐標系下接觸點處的主方向，通過建立全局坐標系，利用坐標變換關(guān)系可求得兩主平面夾角。由于主平面夾角不受主方向矢量的位置影響，因此只需對各零件在接觸點處的主方向進行旋轉(zhuǎn)變換即可。本文選取全局坐標系和絲杠坐標系重合，為確保螺紋能夠正確接觸，建立如圖3所示的坐標系。

圖3 正確接觸時坐標系示意（xOy平面）Fig.3 Schematic Diagram of Coordinate System in Correct Contact (xOy Plane)

以5頭螺紋的絲杠為例，其他頭數(shù)推導(dǎo)過程類似。假設(shè)絲杠側(cè)接觸點在理論中徑所在螺旋線上，選取絲杠和螺母的某一頭螺紋，當絲杠在角度為αs位置上與某一滾柱接觸時（αi為接觸點角度，即接觸點相對xi軸轉(zhuǎn)過的角度，用弧度制表示，i=s,rs,rn,n ，分別表示絲杠、滾柱在絲杠側(cè)、滾柱在螺母側(cè)以及螺母處的接觸點），絲杠側(cè)接觸點相對螺紋起始點高度：

式中p為螺距。

為保證滾柱與絲杠的準確接觸，滾柱與絲杠在該點處的高度應(yīng)該相等，即：

αrs=5αs，此時滾柱在滾柱螺母側(cè)的接觸點角度為

同理，滾柱螺母側(cè)接觸點處應(yīng)滿足：

計算得到螺母接觸點角度為

上述每個零件的曲面方程所建立的曲面坐標系是相互獨立的，且都是基于全局坐標系xyz（見圖4）。

圖4 曲面方程確定的零件坐標系（xOy平面）Fig.4 Part Coordinate System Determined by Surface Equation (xOy Plane)

因此，為達到圖3所示的接觸狀態(tài)，需要對此時的零件坐標系進行坐標變換。由圖2可知，全局坐標系變換到滾柱坐標系的旋轉(zhuǎn)角度為

則滾柱的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

全局坐標系變換到螺母坐標系的旋轉(zhuǎn)角度為

因此，螺母的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

對于滾柱絲杠側(cè)，由式（12），可以得到絲杠和滾柱的主方向，設(shè)為ts1、ts2、trs1和trs2，對應(yīng)的單位法向量為ns和nrs，則全局坐標系下絲杠兩主平面可表示為[ts1;ns]和[ts2;ns]，滾柱兩主平面為[kr?trs1;kr?nrs]和[kr?ts2;kr?nrs]，利用matlab軟件，即可求得絲杠側(cè)兩接觸零件之間主平面的夾角ωs，同理可計算得到螺母側(cè)主平面夾角ωn。

3 Hertz接觸特性分析

依據(jù)Hertz接觸理論，兩點接觸的彈性體在受到外加載荷的情況下，接觸點處發(fā)生彈性變形變?yōu)闄E圓區(qū)域。兩接觸體點接觸一般情況如圖5所示，其中R11表示物體1在主平面1內(nèi)的曲率半徑，第1個下標表示接觸體代號，第2個下標表示主平面代號[10]。

圖5 兩接觸體點接觸一般情況Fig.5 General Situation of Point Contact between Two ContactBodies

接觸橢圓長短半軸計算公式分別為

式中Q為法向接觸載荷；E，μ分別為材料的彈性模量和泊松比；ma，mb分別為橢圓長短軸系數(shù)；為主曲率和。計算公式如下：

式中e為橢圓偏心率。

主曲率函數(shù)滿足下列等式：

式中k為橢圓短半軸和長半軸之比；K(e)，L(e)分別表示第1類和第2類完全橢圓積分。

依據(jù)式（22）~（26）即可求得橢圓偏心率e。

4 算 例

本文采用PRSM的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 PRSM基本參數(shù)Tab.1 Basic Parameters of PMSM

依據(jù)表1中的基本參數(shù)，利用Matlab軟件繪制螺旋曲面如圖6所示。由圖6可看出在滾柱絲杠接觸側(cè)存在明顯干涉，導(dǎo)致在名義中徑處主平面[ts1;ns]和[kr?trs1;kr?nrs]的夾角與主平面[ts2;ns]和[kr?ts2;kr?nrs]的夾角不一致，因此取兩夾角的均值來近似表示滾柱絲杠側(cè)的主平面夾角。

ω=0的簡化計算與本文的計算結(jié)果對比如表2所示。利用matlab軟件，計算出接觸點角度αs?[0,2π]時滾柱絲杠側(cè)與滾柱螺母側(cè)主平面之間的夾角ωs和ωn，變化曲線如圖7所示，可以看出，滾柱在任意接觸位置絲杠側(cè)和螺母側(cè)主平面之間的夾角保持不變。

圖6 各零件曲面Fig.6 Contact Surface Diagram of Each Part

表2 兩種方法計算結(jié)果對比Tab.2 Comparison of Calculation Results of Two Methods

圖7 不同接觸位置主平面夾角Fig.7 The Principal Plane Angel at Different Contact Positions

螺距和牙型半角對絲杠側(cè)和螺母側(cè)主平面夾角的影響如圖8所示，星號標出數(shù)據(jù)為絲杠直徑ds=30 mm情況下Rollvis行星滾柱絲杠副RV系列產(chǎn)品所使用螺距的計算結(jié)果?？梢钥闯觯z杠側(cè)和螺母側(cè)主平面夾角隨螺距的增大而增大，呈現(xiàn)出近似線性關(guān)系。并且在螺距較大時，絲杠側(cè)夾角增速放緩，使得兩者夾角的偏差增大。而隨螺紋牙型半角的增大，主平面夾角減小，且螺母側(cè)減小的速度更快。

橢圓偏心率e的取值范圍為[0,1]，e越大，橢圓越扁。圖9和圖10分別為絲杠側(cè)、螺母側(cè)螺距和牙型半角對偏心率的影響曲線。在考慮主平面夾角的情況下，接觸橢圓的偏心率并不是隨螺距和牙型半角線性變化的，而是波動改變的，但絲杠側(cè)橢圓偏心率相較于ω=0時普遍偏大，而螺母側(cè)則呈現(xiàn)出普遍偏小的趨勢，且兩種方法螺距隨偏心率的最大計算偏差能達到8.7%，牙型半角隨偏心率的最大計算偏差能達到7.2%。

圖8 結(jié)構(gòu)參數(shù)對主平面夾角的影響Fig.8 Influence of Structural Parameters on Angle between Principal Planes

圖9 螺距對偏心率的影響Fig.9 Influence of Pitch on Eccentricity

圖10 牙型半角對偏心率的影響Fig.10 Influence of Half Angle of Tooth Profile on Eccentricity

圖11為是否考慮主平面夾角影響兩種情況下滾柱絲杠側(cè)和滾柱螺母側(cè)接觸橢圓面積隨接觸載荷的變化規(guī)律?？梢钥闯觯S接觸載荷的增大，接觸橢圓面積將會增大，但增大的速度會逐漸變小，同時可以看出是否考慮主平面夾角對接觸橢圓面積的影響較小。

圖11 接觸載荷對橢圓面積的影響Fig.11 Influence of Contact Load on Ellipse Area

5 結(jié) 論

本文針對標準式PRSM，基于微分幾何原理，計算出接觸點處主平面夾角，比較分析了是否考慮主平面夾角兩種方法計算結(jié)果，研究了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對主平面夾角以及接觸特性的影響規(guī)律，結(jié)論如下：

a）絲杠側(cè)和螺母側(cè)主平面夾角與滾柱所在位置無關(guān)，在整個接觸過程中接觸側(cè)主平面夾角保持不變；

b）在考慮主平面夾角的情況下，螺紋螺距和牙型半角對橢圓偏心率的影響并不是線性關(guān)系，而是波動變化的，且絲杠側(cè)計算值整體比忽略夾角情況下偏大，而螺母側(cè)整體偏??；

c）在加載條件下，考慮主平面夾角時絲杠側(cè)接觸面積變大，螺母側(cè)接觸面積變小，但影響程度較小。