基于滑模觀測信息的電動舵機自適應終端滑?？刂?/h1>
2021-12-23 11:19:06梁海波
導彈與航天運載技術 2021年6期
李 浩，梁 婕，王 尚，梁海波，王 瑞
（北京航天自動控制研究所，北京，100854）
0 引 言
舵機是飛行器控制系統(tǒng)中的關鍵部件，其性能的優(yōu)劣決定了飛行控制效果的好壞。根據(jù)動力源的不同，飛行控制系統(tǒng)可以采用液壓舵機、氣動舵機和電動舵機。電動舵機體積小、質(zhì)量輕，結構簡單，維護方便，在飛行控制系統(tǒng)中得到廣泛應用[1]。由于飛行過程中飛行器參數(shù)會發(fā)生變化，電動舵機的負載會隨飛行條件的變化而改變，因此其控制器必需能夠適應參數(shù)變化和負載擾動的影響，才能取得良好的動、靜態(tài)性能。
滑模控制對不確定參數(shù)、擾動具有很強的魯棒性，是控制不確定系統(tǒng)的一種有效方法[2]。終端滑?？刂仆ㄟ^引入終端吸引子來改變系統(tǒng)的收斂特性，可以實現(xiàn)狀態(tài)的有限時間收斂[3,4]。文獻[5]提出一種非奇異快速終端滑模面，解決了奇異性問題，但對具體應用對象其控制律不易實現(xiàn)。文獻[6]提出一種不確定二階系統(tǒng)的快速終端滑模控制方法，可實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂。上述控制方法中采用高增益來抑制系統(tǒng)不確定性的影響，保守性較強。文獻[7]將自適應控制與魯棒控制相結合，對參數(shù)進行在線估計，降低了控制保守性，但只能保證誤差漸近收斂。文獻[8]采用復合自適應律進行參數(shù)估計，按照估計值設計復合自適應非奇異終端滑?？刂疲ˋdaptive Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Control，ANFTSMC），可實現(xiàn)輸出誤差有限時間收斂，但在構造自適應律時需要使用系統(tǒng)狀態(tài)的導數(shù)信息。
本文在舵機控制中設計自適應終端滑?？刂破?，利用滑模觀測信息來構造自適應律，具有與一般復合自適應律相似的參數(shù)估計特性，但在設計自適應律時不需要系統(tǒng)狀態(tài)的導數(shù)，可實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定控制與誤差有限時間收斂。
1 問題描述
電動舵機作為一種位置伺服機構，主要由控制器、直流電機、減速器和位置傳感器構成。一般直流電機電感較小，可忽略電感對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，舵機的數(shù)學模型為[1]
式中δ為舵偏角；u為電機電樞電壓；J為轉(zhuǎn)動慣量；KM為電壓-力矩轉(zhuǎn)換系數(shù)；B為阻尼系數(shù)；Af為摩擦力矩；hf為可選參數(shù)，一般hf選為較大的正數(shù)；ML為負載力矩；Δ為系統(tǒng)未建模動態(tài)。
令x=[x1,x2]T=[δ,δ˙]T，則可得系統(tǒng)狀態(tài)表達式為
式中x=[x1,x2]T為系統(tǒng)狀態(tài)向量；y為系統(tǒng)輸出；b為控制增益，；a=[B/J,Af/J,ML/J]T；φ(x)=[-x2,-tanh(hfx2),-1]T。
a和b不確定，但滿足以下假設：
假設1：系統(tǒng)參數(shù)和干擾有界，即：
式中ai,min，ai,max，bmin，bmax和?d已知。
假設2：系統(tǒng)參考軌跡xd連續(xù)，且其一階導數(shù)和二階導數(shù)有界并可得。
控制的目標是式（2），在滿足假設1和假設2時，設計控制器，使系統(tǒng)輸出誤差e1=y-xd收斂為0，并且保證系統(tǒng)中所有信號有界。
2 控制器設計
對于式（2），設計如下非奇異快速終端滑模面[5]：
對σ2求導，可得[5]：
設計如下控制律：
式中ua為自適應項；us為魯棒項；k1>0；k2>0；，0將式（6）代入式（5），可得：
對式（2），定義回歸表達式如下：
由式（5）、式（8）可得：
設計自適應律為
若忽略Δ，則有：
因此，式（10）的自適應律中包含參數(shù)估計誤差信息，與一般復合自適應律類似，但未使用系統(tǒng)狀態(tài)的導數(shù)。式（10）中若不使用veq，而使用文獻[8]中定義的預測誤差ef，則可獲得一般復合自適應律。
3 穩(wěn)定性分析
定理1：對于對象（2），采用式（6）和式（10）組成的控制器時，有：
a）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；
b）若滿足持續(xù)激勵條件：式中α>0，I為m×m的單位矩陣，則系統(tǒng)狀態(tài)有限時間收斂。
證明之前，先給出如下引理：
引理1[11]：，Γ為正定對角陣，有：
引理2[12,13]：假設m1>0，m2>0，0 引理3[12]：若連續(xù)正函數(shù)V(t)在時，≥0，其中α1>0，α2>0，0<μ<1，則，?t≥t1，有V(t)=0。
證明：
a）選取系統(tǒng)Lyapnov函數(shù)為V=V1+V2，V1=，，則，
根據(jù)引理1可知：
則：
則，
定義vd為
則vd≥0，并且有，由式（14）可知：
由式（20）和式（22）可知，當σ2≠0時，，滿足Lyapnov穩(wěn)定性條件。
b）當Ψ(x,u)滿足式（15）的持續(xù)激勵條件時，有：
其中，
下面分3種情況證明。
1）σ2≠0且。
當σ2≠0且時，由式（18）、式（19）知：
式（25）中，有：
以及：
由于0 由式（26）、式（27）可得：
根據(jù)定理3可知，V有限時間收斂，即，當t≥t1時，V(t)=0。而當V=0時，V1=0，則σ2=0。因此，當σ2≠0且+cσ1≠0時系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)到達滑模面。
2）σ2≠0且+cσ1=0。
當σ2≠0且σ˙1+cσ1=0時，由式（4）知σ2=σ1，。令，將式（6）代入式（8），有：
當σ2>0時，由于，因此有-k3′sign(σ2)+Δ=-k3′+Δ<0，則，
由于0 0，可知。若σ2<0，經(jīng)類似過程可推出>0。因此，系統(tǒng)狀態(tài)不可能一直保持在σ2≠0且+cσ1=0，由文獻0知，σ2≠0且+cσ1=0不是系統(tǒng)的吸引子，系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時間內(nèi)到達滑模面σ2。
3）σ2=0。
當σ2=0時，系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上。再由定理2知，當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面之后，系統(tǒng)狀態(tài)有限時間收斂至平衡點。
從上述3種情況的分析可知，系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)到達滑模面，而系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面之后，系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。
4 仿真與分析
按照第2節(jié)中的步驟設計基于滑模觀測信息的ANFTSMC。作為比較，還設計了一般復合自適應律的ANFTSMC[8]和一般自適應律的ANFTSMC。各控制器參數(shù)如下：
a）方案1：采用滑模觀測信息的ANFTSMC。
控制律中：β=0.1，c=10，γ=r=13/15，k1=100，k2=100，k3=4，kv=20；自適應律中：Γ1=[1,1.5,1,1.5]T，Γ2=Γ3=[1,2.5,2,2]T。為了降低抖振，采用tanh(h·)代替sign(·)，h在控制器中為900，而在觀測器中為50。
b）方案2：采用一般復合自適應律的ANFTSMC。
控制律中參數(shù)與方案1一致，自適應律中：Γ1=[2,1,2.5,1]T，Γ2=Γ3=[1,1,1.5,1]T，τ1=0.01。
c）方案3：采用一般自適應律的ANFTSMC。
在方案2中，令Γ2=Γ3=[0,0,0,0]T則可得采用一般自適應律的ANFTSMC，但需從新選擇Γ1，這里Γ1=[50,600,750,2800]T。除Γ1、Γ2和Γ3，其余參數(shù)與方案2中相同。
圖1至圖4為系統(tǒng)參數(shù)的估計值，采用常規(guī)自適應律的ANFTSMC，雖然能夠保證參數(shù)估計值保持在已知范圍內(nèi)，但很難逼近真值，而采用滑模觀測信息的ANFTSMC和采用復合自適應律的ANFTSMC，參數(shù)估計值則能較快地收斂到真值。從圖中可以看出，方案1和方案2在參數(shù)估計方面具有相似的性能。
圖1 參數(shù)θ1的估計值Fig.1 Estimation ofθ1
圖2 參數(shù)θ2的估計值Fig.2 Estimation ofθ2
圖3 參數(shù)θ3的估計值Fig.3 Estimation ofθ3
圖4 參數(shù)θ4的估計值Fig.4 Estimation ofθ4
圖5為系統(tǒng)跟蹤誤差，方案1和方案2中參數(shù)能夠較快地收斂到真值，系統(tǒng)誤差收斂速度加快，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差也大大減小，既可以提高參數(shù)估計的精度，又可以加快系統(tǒng)的響應速度。
圖5 系統(tǒng)跟蹤誤差Fig.5 System Tracking Error
5 結束語
本文通過構造滑模觀測器，使觀測狀態(tài)到達觀測器的滑模面，通過低通濾波器提取出觀測器的等效輸入信號，該等效信號包含系統(tǒng)參數(shù)估計的誤差信息，然后將該等效信號應用于自適應律中，該自適應律具有與一般復合自適應律相似的參數(shù)估計特性，但不需要系統(tǒng)狀態(tài)的導數(shù)。采用該自適應律，設計了電動舵機的自適應終端滑?？刂破?，實現(xiàn)了系統(tǒng)穩(wěn)定控制與誤差有限時間收斂。
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滑模控制對不確定參數(shù)、擾動具有很強的魯棒性，是控制不確定系統(tǒng)的一種有效方法[2]。終端滑?？刂仆ㄟ^引入終端吸引子來改變系統(tǒng)的收斂特性，可以實現(xiàn)狀態(tài)的有限時間收斂[3,4]。文獻[5]提出一種非奇異快速終端滑模面，解決了奇異性問題，但對具體應用對象其控制律不易實現(xiàn)。文獻[6]提出一種不確定二階系統(tǒng)的快速終端滑模控制方法，可實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂。上述控制方法中采用高增益來抑制系統(tǒng)不確定性的影響，保守性較強。文獻[7]將自適應控制與魯棒控制相結合，對參數(shù)進行在線估計，降低了控制保守性，但只能保證誤差漸近收斂。文獻[8]采用復合自適應律進行參數(shù)估計，按照估計值設計復合自適應非奇異終端滑?？刂疲ˋdaptive Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Control，ANFTSMC），可實現(xiàn)輸出誤差有限時間收斂，但在構造自適應律時需要使用系統(tǒng)狀態(tài)的導數(shù)信息。
本文在舵機控制中設計自適應終端滑?？刂破?，利用滑模觀測信息來構造自適應律，具有與一般復合自適應律相似的參數(shù)估計特性，但在設計自適應律時不需要系統(tǒng)狀態(tài)的導數(shù)，可實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定控制與誤差有限時間收斂。
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假設1：系統(tǒng)參數(shù)和干擾有界，即：
式中ai,min，ai,max，bmin，bmax和?d已知。
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