游小杰 楊才偉 王 劍 王琛琛 原志強

一種適用于機車PWM整流器的比例積分-諧振電流控制器設計

游小杰1楊才偉1王 劍1王琛琛1原志強2

（1. 北京交通大學電氣工程學院 北京 100044 2. 大同電力機車有限公司 大同 037038）

隨著寬禁帶開關器件的發(fā)展，機車中PWM整流器的開關頻率逐漸提高，并網濾波器的電感和體積可隨之減小，此時PWM整流器的電流控制不僅要對基波電流快速響應，也需要快速抑制直流偏置和由牽引網諧波電壓造成的諧波電流。該文選用比例積分（PI）和多個矢量比例積分（VPI）控制器分別控制直流信號和基波、各次諧波交流信號。但是由于各控制器的增益相互耦合，共同影響系統(tǒng)的動態(tài)性能，傳統(tǒng)增益設計方法很難應用。因此基于Nichols圖提出一種增益設計方法，將增益設計轉變成最小幅值裕度和相位穿越頻率設計，實現(xiàn)增益的解耦；通過優(yōu)化調整時間和超調選取最終參數(shù)，優(yōu)化動態(tài)響應，并通過實驗驗證，使用該設計方法調優(yōu)后的系統(tǒng)擁有良好的穩(wěn)定性、動態(tài)性和魯棒性。

電流控制 諧振控制器 PWM整流器 增益設計

0 引言

隨著寬禁帶器件的發(fā)展，碳化硅（SiC）器件有望應用于機車牽引系統(tǒng)的PWM整流器中，使開關頻率提高，并網濾波器的電感和體積可隨之減小。但由于牽引網電壓存在諧波[1]，造成的電流諧波也相應增大，增加了PWM整流器電流控制的難度。

PWM整流器的電流控制對系統(tǒng)的穩(wěn)定、快速響應起到了至關重要的作用，選擇合適的電流控制器是首先需要考慮的問題。作為單相系統(tǒng)，諧振控制器能夠實現(xiàn)對特定頻率信號的零穩(wěn)態(tài)誤差、快速瞬態(tài)響應，是非常合適的選擇。對于基波和各次諧波，需要采用多個諧振控制器。其中，比例諧振（Proportional Resonant, PR）控制器是諧振控制器中最常見的實現(xiàn)形式[2-7]，但是PR控制器沒有考慮系統(tǒng)被控對象的極點、計算延時和PWM延時，動態(tài)性能較差。在PR控制器基礎上，加入一個能夠與被控對象極點對消的零點，形成了矢量比例積分（Vector Proportional Integrator, VPI）控制器[8-10]，該控制器消除了系統(tǒng)極點對系統(tǒng)性能的影響，動態(tài)性能得到優(yōu)化。如果控制頻率無法遠大于被控信號頻率，計算延時和PWM延時的影響不能忽略，此時一般使用超前矯正比例矢量比例積分（Vector Proportional Integrator with compensation, VPIc）控制器[10-12]，進一步優(yōu)化動態(tài)性能。然而VPIc控制器在域右半平面引入了一個零點，會導致較為明顯的非最小相位系統(tǒng)響應，加入與否需要對比實際響應，該問題是本文將要討論的問題之一。此外，PWM整流器交流回路中可能存在直流偏置電流，原因有很多，包括不一致的開關特性[13-14]、牽引網中的2次諧波[13]、負載中的基波頻率功率波動[15]等。對于實際系統(tǒng)，在電流控制器中加入比例積分（Proportional Integral, PI）控制器是解決直流偏置電流最簡單、有效的方法[14-16]。

除了控制器的選擇外，控制器增益設計對系統(tǒng)性能同樣起到了非常關鍵的作用。PI控制器和各VPIc控制器都包含一個增益，且各增益之間相互耦合，目前在電流控制中涉及采用多個諧振控制器的情況時，控制器增益的選取沒有完全解耦，大都需通過觀察頻率響應并根據(jù)經驗選取，很難形成一套通用的設計方案。例如，文獻[4]采用了比例加多個PR控制器，比例環(huán)節(jié)通過系統(tǒng)帶寬確定，而各PR控制器增益選取相同數(shù)值；文獻[17]采用比例加多個VPIc控制器，由于比例環(huán)節(jié)與VPIc控制器增益相互解耦，比例環(huán)節(jié)被優(yōu)先提取出來通過阻尼比進行設計，再通過調整時間對單個VPIc控制器的增益進行設計，但沒有涉及多個VPIc控制器增益之間的解耦；文獻[14, 16]采用了PI和多個VPI控制器，其中PI控制器的增益直接給定，多個VPI控制器的增益通過觀察Bode圖給定。文獻[5]則在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下直接根據(jù)Bode圖給定。

為了明確各控制器增益設計的含義，本文提出了一種新的增益設計方法將各個控制器的增益進行解耦，通過Nichols圖而不是Bode圖進行分析，簡化了分析復雜度。該方法中，PI控制器的增益被提取出來作為整體增益，給出其與最小的幅值裕度（Gain Margin, GM）的關系；隨后各個VPIc控制器與PI控制器的增益比通過多個相位穿越頻率PC來進行設計，實現(xiàn)了與PI控制器增益的解耦；最后，通過最小化響應時間和超調來確定最優(yōu)的最小幅值裕度和各個相位穿越頻率。

該文首先介紹了PWM整流器電流控制，給出VPI控制器中相位補償加入條件；然后，在Nichols圖上通過幅值裕度和相位穿越頻率對控制器增益解耦，通過最優(yōu)化動態(tài)響應設計控制器增益，并分析了系統(tǒng)的魯棒性；最后，通過實驗驗證了該分析方法的有效性。

1 PWM整流器電流控制

1.1 電流環(huán)模型

機車PWM整流器及其控制如圖1所示，通常使用雙環(huán)控制，外環(huán)控制直流母線電壓，內環(huán)控制交流電流。本文重點研究電流內環(huán)，假定同步策略工作穩(wěn)定，能夠給出基波電壓和相位，電流環(huán)控制框圖如圖2所示，但牽引網諧波擾動仍然會引入電流環(huán)路中，用d等效。

圖1 機車PWM整流器及其控制

圖2 電流環(huán)控制框圖

電流環(huán)控制中，交流側濾波器是系統(tǒng)被控對象，其傳遞函數(shù)為

PWM延時等效為零階保持器（Zero-Order Hold, ZOH），同時考慮連續(xù)域到離散域的采樣，PWM延時的傳遞函數(shù)為

式中，為控制周期。計算延時為一拍時延，傳遞函數(shù)為

用i()表示控制器，那么系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)ol()為

從電流參考sref到電流s的傳遞函數(shù)為

其中

式中，()為誤差傳遞函數(shù)。

從d到電流s的傳遞函數(shù)為

1.2 電流環(huán)控制器

機車PWM整流器是單相變流器，需要使用諧振控制器控制基頻交流電流；隨著開關頻率的提高，濾波器減小，牽引網中的諧波電壓會造成較大的諧波電流，需要加入抑制諧波電流的諧波諧振控制器。此外，系統(tǒng)需要擁有直流調節(jié)能力以抑制因不一致的開關、牽引網中的2次諧波、基頻功率波動等造成的直流偏置電流，加入PI控制器是解決該問題的簡單方法。綜上，系統(tǒng)采用PI+VPI控制器，即

式中，e=2p×50rad/s；諧振控制器個數(shù)根據(jù)實際諧波情況進行選擇（本文分析中=4）；p為PI控制器的增益；v,n為基波諧振控制器和各次諧波諧振控制器增益。為了抵消系統(tǒng)極點對動態(tài)性能的影響，PI控制器和諧振控制器中都包含用于補償系統(tǒng)極點的零點（=-/），此時諧振控制器的實現(xiàn)形式為VPI控制器。

如果要控制高次諧波，VPI控制器中還需要加入超前相位補償角來減輕計算延時和PWM延時對動態(tài)性能的影響，形成PI+VPIc控制器，即

根據(jù)先前的研究[10, 12, 15]可知，VPIc控制器中的相位補償角可表示為

但是相位補償會引入一個在域右平面的零點（=etan），導致非最小相位系統(tǒng)響應，劣化系統(tǒng)動態(tài)性能，因此需要權衡相位補償?shù)睦住?/p>

2 諧振控制器相位補償影響分析

為了對比相位補償對動態(tài)性能的影響，本節(jié)對比VPI控制器和VPIc控制器頻率響應的敏感峰值倒數(shù)的大小，給出的加入條件。

相位延時的大小主要由控制頻率（=1/，本文中=5kHz）和被控信號頻率f（f=e/(2p)）的比值（=/f）決定。為了簡化分析復雜度，在這里僅使用單個VPI（VPIc）控制器進行分析，系統(tǒng)開環(huán)頻率響應為

VPI控制器中的零點（=-/）與被控對象相抵消，濾波器參數(shù)對頻率響應沒有影響。忽略v,n對選取的影響，使用文獻[15]中的設計方法確定v,n，并將VPIc控制器的幅值裕度調整到6.5dB（VPI控制器使用相同大小的v,n進行對比）。

在Nyquist圖中對比VPI控制器和VPIc控制器的敏感峰值倒數(shù)，如圖3所示（=10，v,n=183.7，GMVPIc=6.5dB）。在圖中表示開環(huán)頻率響應距離(-1, j0)的最近距離。越大，系統(tǒng)穩(wěn)定裕度越大。

圖3 使用單VPI和單VPIc控制器敏感峰值倒數(shù)h 對比

因為VPIc位于相位穿越頻率PC處，所以

是恒定值。而VPI與相關，則

敏感峰值倒數(shù)和調整時間隨頻率比變化情況如圖4所示。將隨的變化情況繪于圖4中，當＞7.6時，VPI與呈正相關。系統(tǒng)對e頻率信號的調整時間2%（2%誤差）也繪于圖4中做對比，可以看出，VPI＜VPIc基本對應2%,VPI＞2%,VPIc，因此用判斷是否加入是一種合理的方法。最終選擇

即當d＜16時，可以加入jn來提高系統(tǒng)的動態(tài)響應。

3 控制器增益設計

在第1、2節(jié)中，選定PI+VPI(c)控制器用于電流控制，由式（14）確定。但此時仍然還有p和v,n共+1個增益需要設計。先前的文獻中，增益參數(shù)大都是根據(jù)Bode圖或根軌跡直接給定[4, 14, 16, 18]，沒有對各個增益之間進行解耦；或者各個諧振控制器的增益都取相同數(shù)值[4, 18]，沒有分別設計，無法發(fā)揮控制器的最優(yōu)性能。

圖5 使用不同相位補償角開環(huán)頻率響應Bode圖對比

3.1 基于Nichols圖的增益解耦

3.1.1p與最小幅值裕度的關系

在Nichols圖上的開環(huán)頻率響應曲線有一個很實用的特點：如果該開環(huán)頻率響應有一個整體增益變化，頻率響應曲線只會沿著幅值軸垂直向上或向下移動，接近或遠離臨界點((180+360)°, 0dB)（?Z）（由Nyquist圖中(-1, j0)點轉換而來），方便確認系統(tǒng)穩(wěn)定性。

圖6 使用不同相位補償角系統(tǒng)開環(huán)頻率響應Nichols圖對比

將控制器中的p提取出來，開環(huán)頻率響應為

式中，vp,n=v,n/p。如果p增大，ol(j)會上移靠近臨界點，所有GM都會隨之減小，當曲線任意一點穿過臨界點時，即任意GM＜0dB時，系統(tǒng)不再穩(wěn)定。GM的定義是

根據(jù)式（16），p可以由GM計算得到

其中

式中，PCmin為取得最小幅值裕度GMmin時的相位穿越頻率。

3.1.2vp,n與相位穿越頻率的關系

為了使GMmin僅與p相關，需要先對式（17）中的vp,n進行設計，并且vp,n必須與p無關，才能實現(xiàn)增益之間的解耦。

觀察系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，在ol(j)=0時，p不起作用，而該等式可在相位穿越頻率或幅值穿越頻率處滿足。因此可以通過給定相位穿越頻率或幅值穿越頻率來確定vp,n，個增益可通過設計個穿越頻率獲取。由于最大的相位、幅值穿越頻率主要由系統(tǒng)特性決定，可設計閾值很小，不建議使用。剩余相位穿越頻率PCm相較幅值穿越頻率更接近兩個諧振峰之間的最小增益處，而且隨著p增大，這些頻率將會成為系統(tǒng)的振蕩頻率，因此更適合用于確定vp,n。

根據(jù)相位穿越頻率的定義可知

代入不同PCm得到個方程為

其中

給定個PCm后，求解式（19）即可求得個增益vp,n。

3.2 根據(jù)調整時間設計相位穿越頻率

經過3.1節(jié)的解耦，增益的設計轉換為相位穿越頻率和系統(tǒng)最小幅值裕度設計，這些變量在控制系統(tǒng)中含義更明確。由不同vp,n系統(tǒng)開環(huán)頻率響應Nichols圖對比如圖7所示。由圖7的Nichols圖（GMmin(GM4)=15dB）可以看出，只有vp,n變化，即相位穿越頻率變化時，系統(tǒng)穩(wěn)定性不發(fā)生變化，僅影響帶寬。因此本文將通過調節(jié)系統(tǒng)調整時間來設計相位穿越頻率。

在GMmin固定后，DwPCmPCm+1-wPCm(?[1,-1])與第個諧振控制器的帶寬呈正相關，將用于對比設計。系統(tǒng)調整時間隨相位穿越頻率變化情況如圖8所示。為了進一步明確該數(shù)值對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，將各個DwPCm變化時調整時間對比繪于圖8中（GMmin(GM4)=15dB），由于系統(tǒng)對直流偏置的抑制速度不是重點，本文僅對比跟蹤基波指令值（見式（5））和各次諧波擾動抑制（見式（7））的調整時間。

圖7 使用不同Kvp,n系統(tǒng)開環(huán)頻率響應Nichols圖對比

圖8 系統(tǒng)調整時間隨相位穿越頻率變化情況

圖8a對比了DwPC1變化時系統(tǒng)調整時間大小，可以看出，DwPC1主要影響基波和3次諧波的調整時間，而對5、7次諧波的響應影響很小。在實際控制中保證最快的基波響應速度更重要，需要較大的DwPC1，因此本文選取

按照比例將PC1和PC2分布在e兩側，即

此時基波調整時間接近最小，而3次諧波調整時間還沒有增大到不可接受的程度。剩余DwPCm則主要影響各次諧波響應速度。由圖8b和圖8c可以看出，二者非常相似，DwPCm越大，2-1次諧波調整時間越小，而2+1次諧波調整時間越大，基本不影響基波和其他次諧波響應。從平衡各次諧波響應速度的角度選擇

由于PC2已經確定，PC3和PC4可相應確定為

確定個PCm后，即可由式（19）求得個vp,n。

3.3 根據(jù)調整時間和超調設計幅值裕度

相位穿越頻率設計完成后，vp,n全部確定。此時僅剩p需要設計，傳統(tǒng)方法中的基于調整時間、超調、帶寬等方法都適用。

本文通過對比基波和各次諧波調整時間2%和基波超調p確定系統(tǒng)幅值裕度。各動態(tài)性能隨GMmin的變化如圖9所示?？梢钥闯?，GMmin在0～30dB之間時基波調整時間都維持較低數(shù)值，并在15～20dB之間達到最小值；基波超調隨著GMmin的增大而減小；各次諧波調整時間在3～5dB之間達到最小值，然后便隨著GMmin的增大而增大。折中考慮各項動態(tài)性能后，將GMmin選取為15dB。在確定GMmin后，即可由式（17）求得p。

圖9 系統(tǒng)調整時間和超調隨最小幅值裕度變化情況

3.4 魯棒性分析

一般而言，實際系統(tǒng)中的濾波參數(shù)與標稱值存在誤差，而且濾波參數(shù)的數(shù)值會隨電流大小、溫度等變化，被控對象的極點和增益并不準確，VPI控制器中的零點無法準確對消系統(tǒng)極點。實際系統(tǒng)開環(huán)頻率響應為

式中，r和r為實際濾波器參數(shù)。

對比r和r變化時系統(tǒng)的Nichols圖，濾波器參數(shù)變化對系統(tǒng)開環(huán)頻率響應影響如圖10所示?？梢钥吹?，r變化時，GMmin變化很大；r減小，GMmin變小，當r=0.2時，GMmin=1.3dB；r增大，GMmin變大，當r=5時，GMmin=29dB。但r在5倍變化范圍內，系統(tǒng)仍然穩(wěn)定。r的變化對系統(tǒng)影響更小，r的變化對GMmin沒有影響，但基波附近頻率響應變化較大，動態(tài)性能會受到影響，在5倍范圍內變化時系統(tǒng)仍然穩(wěn)定。綜上，本文的設計方法有較強的魯棒性。

圖10 濾波器參數(shù)變化對系統(tǒng)開環(huán)頻率響應影響

4 實驗結果

為了驗證本文電流控制器增益設計結果的實用性，對本文方法進行實驗驗證。由于本文重點研究電流環(huán)，需要排除電壓外環(huán)的影響，因此實驗將基于PWM整流器的單電流環(huán)控制，直流母線連接直流源，實驗參數(shù)見表1。

驗證本文設計方法的有效性。對比該方法與傳統(tǒng)給定各個諧振控制器增益的方法的動態(tài)響應，如圖11所示，控制器相位補償角按照式（14）設計為=0（=1, 3, 5），=3e/2（=7）。增益設計方面，圖11a使用本文設計方法，PC1=0.12e，PC2= 2.76e，PC3=4.76e，PC4=6.76e，GMmin(GM4)= 15dB（p=5.78），vp,1=66.5，vp,2=13.1，vp,3=8.9，vp,4=6.04；圖11b在使用傳統(tǒng)給定方法vp,n=2（= 1, 3, 5, 7）的同時，將GMmin(GM4)也調整為15dB，p=49.4。整個動態(tài)過程中，電流參考值sref給定首先從0跳變?yōu)?5sin(e)，經過0.16s后在d處注入3sin(3e)+3sin(5e)+3sin(7e)的信號。

表1 實驗參數(shù)

Tab.1 Parameters of experiments

圖11 不同設計方法系統(tǒng)動態(tài)響應

可以看到，使用本文設計方法時基波跟隨過程中的超調很難觀察到，經過0.05s后，電流誤差值err減小到可以忽略的大小，該數(shù)值與圖9中的設計值基本相同；使用傳統(tǒng)給定方法同樣沒有超調，但調整時間為0.09s，而且誤差的波動明顯更大。諧波抑制方面，使用本文方法的抑制速度略微慢于傳統(tǒng)方法，但由于實際系統(tǒng)中諧波并不會出現(xiàn)很大的突變，因此本文設計方法的動態(tài)性能已經足夠滿足實際需求。

驗證本文分析方法的準確性。對比設計方法在極限GMmin=0dB附近（GMmin=-0.5dB和GMmin= 0.5dB）的動態(tài)響應，最小幅值裕度極限取值時系統(tǒng)動態(tài)響應如圖12所示，其中控制器相位補償角設計和動態(tài)變化過程與圖11相同；相位穿越頻率設計與圖11a相同。可以看到，當GMmin=-0.5dB時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，并逐漸發(fā)散，發(fā)散過程中的振蕩頻率為338Hz，與設計的最小幅值裕度GMmin(GM4)處的相位穿越頻率PC4相同。而當GMmin增大到0.5dB時，系統(tǒng)穩(wěn)定，并逐漸收斂，但是收斂速度較慢，綜上，仿真與理論分析相互匹配，驗證了設計方法的準確性。同時可以看到，GMmin=0.5dB時p=30.7是GMmin(GM4)=15dB時p的5.3倍，有充足調整裕度。

圖12 最小幅值裕度極限取值時系統(tǒng)動態(tài)響應

驗證本文設計方法的魯棒性，對比濾波器參數(shù)變化時系統(tǒng)動態(tài)響應，由于實際系統(tǒng)中的濾波器參數(shù)的變化不可控，因此改變控制器中的濾波器參數(shù)來模擬實際參數(shù)的變化。由于r變化時系統(tǒng)穩(wěn)定裕度變化較小，在這里只對比r發(fā)生變化時的動態(tài)響應，濾波電感r變化時系統(tǒng)動態(tài)響應如圖13所示，其中控制器所有參數(shù)設計和動態(tài)變化過程均與圖11a相同。可以看到，當r=0.2時，系統(tǒng)對基波的動態(tài)響應變慢，波動頻率減小，但誤差峰值減小；而當r=5時，系統(tǒng)振蕩變大，而且系統(tǒng)對諧波的動態(tài)響應變慢很多。兩種變化下系統(tǒng)仍然穩(wěn)定，本文設計方法有良好的魯棒性，而且因為r=0.2的動態(tài)性能要好于r=5，當實際電感值不確定時，可以在控制器中取較大一些的電感值，以保證有更好的動態(tài)性能。

圖13 濾波電感Lr變化時系統(tǒng)動態(tài)響應

對是否加入相位補償角進行對比，如圖14所示，其中控制器增益參數(shù)設計和動態(tài)變化過程與圖11a相同。圖14a對所有諧振控制器的相位都進行了補償，但是系統(tǒng)對基波的調整時間沒有減小，說明只有當被控信號的頻率足夠高的時候才應該加入相位補償角來提高系統(tǒng)的動態(tài)響應。圖14b則將針對7次諧波（=14.3）的諧振控制器的相位補償角設為0，此時系統(tǒng)調整時間相較圖11a略微增大，說明本文給出的相位補償角加入時刻（見式（14））的分析準確性良好，可用于實際設計中。

將本文設計的電流環(huán)控制器應用在PWM整流器中，起動、加載及正常運行波形如圖15所示，可以看到，系統(tǒng)運行穩(wěn)定，低次諧波含量很少，本文設計方法有良好的實用性。

5 結論

為了使開關頻率提高后機車牽引系統(tǒng)中PWM整流器中的電流控制器能夠對基波電流快速響應，快速抑制電流中的偏置和諧波，本文選用了PI+VPI(c)控制器，提出了該控制器的一種增益設計方法。首先，通過對比調整時間，給出VPI控制器相位補償角的設定與控制頻率和被控信號頻率比值的關系，本文推薦當＜16時加入相位補償；然后，通過Nichols圖將控制器增益設計轉換成最小幅值裕度GMmin和相位穿越頻率PCm的設計，實現(xiàn)了控制器增益的解耦；最后，通過系統(tǒng)調整時間和超調來確定最終的GMmin和PCm，本文選取PC1=0.12e，PCm=2.76e+2(-2)e（?[2,]），GMmin=15dB。實驗驗證了本文設計方法的有效性、準確性和魯棒性。由于GMmin和PCm與系統(tǒng)濾波器參數(shù)無關，因此本文的設計方法適用于需要多個諧振電流控制器控制的任何單相應用。

圖15 PWM整流器波形

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A Tuning Method for Proportional Integral-Resonant Current Controller in Locomotive PWM Rectifiers

11112

（1. School of Electrical Engineering Beijing Jiaotong University Beijing 100044 China 2. CRRC Datong Co. Ltd Datong 037038 China）

With the development of wide-bandgap semiconductors, the switching frequency of locomotive or EMU PWM rectifiers is increasing, and the gird-tied filter is reduced correspondingly. Therefore, the current control in PWM rectifier must not only respond fast to the fundamental current reference, but also quickly suppress the DC bias and harmonics generated by the grid voltage. Hence, proportional integral (PI) plus multiple vector proportional integral (VPI) controllers are used in this paper to control these signals. However, because the gains of PI and multiple VPI are coupled with each other and affect the system performance together, it is difficult to use traditional gain tuning methods. Therefore, a gain tuning method based on Nichols chart is proposed to achieve the gain decoupling, and the gain design is transformed into the tuning of minimum gain margin and phase crossover frequency. The settling time and overshoot are considered for the optimal gain tuning. The experimental results show that the designed system has good stability, transient performance and robustness.

Current control, resonant controller, PWM rectifiers, gains tuning

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.L90079

TM461

國家自然科學基金資助項目（51977006）。

2020-06-20

2020-10-21

游小杰 男，1964年生，教授，博士生導師，主要研究方向大功率電源技術、軌道交通電力牽引技術。E-mail: xjyou@bjtu.edu.cn

王 劍 男，1979年生，講師，碩士生導師，研究方向為并網變流器的控制策略、電力機車電牽引傳動系統(tǒng)。E-mail: jwang4@bjtu.edu.cn（通信作者）

（編輯 陳 誠）