曹 越，王 鵬，齊 薇

(空軍工程大學信息與導航學院，西安，710077)

近年來，科技的進步推動了無人系統(如無人機、無人車、無人船/艇)迅猛發(fā)展。由多個無人系統基于相互間的交互協同組成一個編隊(如無人機群[1]、無人車隊[2]、無人船/艇隊[3])，可以實現無人系統執(zhí)行任務能力的質的提升。在多無人系統執(zhí)行任務的過程中，組成指定隊形來對目標進行跟蹤(即多無人系統跟蹤與編隊)是一種常見的應用形式，已廣泛地體現在軍事和民用等領域(如戰(zhàn)場目標偵察打擊、毀傷效果評估、協同運輸、搜索救援等)中[4]。而相應的多無人系統跟蹤與編隊問題也已成為了當前的研究熱點，備受國內外研究機構與相關學者的重點關注[5-11]。

目前，針對多無人系統的跟蹤與編隊問題，已涌現出了許多成熟的控制方法，也促生了許多新的控制思路及相應的控制策略，其中多以分布式控制方式(即將整個無人系統的跟蹤與編隊問題分解成由各無人系統獨立解決的控制子問題)為主[6-8]，例如文獻[6]采用的領航者-跟隨者法、文獻[7]利用的李雅普諾夫理論、文獻[8]采用的滑模控制等等。以上方法相對忽略了無人系統的一些性能要求，而且無法解決一些具有物理約束的實際問題。

預測控制是一種與上述策略不同的控制方法，其控制輸入一般通過滾動求解一個涉及未來輸入、輸出(或狀態(tài)變量)的有限時域約束優(yōu)化問題來計算獲得，而通過在優(yōu)化問題中設計合適的目標代價函數來反映控制性能，并對未來輸入、輸出(或狀態(tài)變量)加以約束限制，使得預測控制具備了優(yōu)化控制性能與處理物理約束的特殊能力，也因此成為解決多無人系統跟蹤與編隊問題的一類針對性方法。目前，針對無人系統跟蹤與編隊問題開展分布式預測控制研究需要重點解決以下難題：首先為各無人系統構造能夠保證其運動控制穩(wěn)定性的(魯棒)正定不變集，然后在此基礎上設計具有遞歸可行性保證的分布式控制實施算法[7-10]。

針對多無人系統跟蹤與編隊問題，現有的分布式預測控制研究均需要滿足1個條件：假設跟蹤目標時所形成的隊形與編隊指定的隊形一致且不違反無人系統的物理約束[8-11]。然而，在無人系統執(zhí)行實際任務時，這一前提條件往往不容易滿足(如跟蹤目標因約束影響而不可實現、編隊因障礙影響而不可保持等)?？紤]以上實際情況，本文借鑒文獻[12]“在跟蹤預測控制中引入人工規(guī)劃目標”的思路，通過在目標代價函數中引入規(guī)劃目標的方式，解決了跟蹤與編隊控制目標不一致的問題；進一步通過在控制優(yōu)化問題中附加規(guī)劃目標約束的方式，確保規(guī)劃的目標具有可實現性；最終基于預測控制方法為各無人系統構造出具有遞歸可行性保證的控制優(yōu)化問題并給出了相應的控制實施算法。

主要符號

Na多無人系統中無人系統的個數

Na′ 多無人系統的指標集合，即Na′={1,2,…,Na}

Ni無人系統i的鄰居集合

Xi無人系統i的狀態(tài)可容許集合

Ui無人系統i的控制輸入可容許集合

Rnn維的幾何空間

Rm×nm×n維的實數矩陣集合

I適維的單位矩陣

Inn維的單位矩陣

0nn維的零矩陣

01×n1×n維的零向量

x(t|k)k時刻對k+t時刻狀態(tài)x(k+t)的預測

N預測時域長度

N整數集合{0,1,2,…,N-1}

N+整數集合{0,1,…,N}

N-整數集合{1,2,…,N-1}

1 問題概述

考慮由Na無人系統所組成的多無人系統，動態(tài)方程為：

xi(k+1)=Aixi(k)+Biui(k)，i∈Na′

(1)

式中：xi(k)=[pi(k);vi(k)]∈R2n與ui(k)∈Rm分別為無人系統i的狀態(tài)與控制輸入；pi(k)∈Rn與vi(k)∈Rn分別為無人系統i的位置與速度。

在每個無人系統的控制過程中，其狀態(tài)與輸入必須滿足以下約束：

(2)

(3)

注：式(2)與式(3)是狀態(tài)與輸入約束的通用描述形式，選擇狀態(tài)約束參數Φi,j=[In,0n](或Φi,j=[0n,In])即可描述對無人系統i的位置(或速度)約束，而選擇Φi,j=[01×(s-1),1,01×(n-s)]即可描述對無人系統i的第s維狀態(tài)約束。選擇類似形式的輸入約束參數Ψi,l即可對不同的輸入約束進行描述。

被跟蹤目標r為一個虛擬的無人系統，其動態(tài)方程為：

xr(k+1)=Arxr(k)+Brur(k)

(4)

式中：xr(k)=[pr(k);vr(k)]∈R2n與ur(k)∈Rm分別為目標r的狀態(tài)與控制輸入;pr(k)∈Rn與vr(k)∈Rn分別為目標r的位置與速度。

本文旨在控制多無人系統跟蹤到根據目標r所指定的位置，并形成指定的編隊隊形，即：

(5)

(6)

根據以上指定的控制目標，可以為各無人系統i生成目標代價函數：

Ji(xir,uir,xi?,k)=

(7)

注：對于式(5)與式(6)中所指定的控制目標，現有研究成果均要求滿足跟蹤與編隊一致的條件，即

(8)

當該條件不滿足時，式(7)中的跟蹤目標代價與編隊目標代價無法同時趨于零，即無法同時實現跟蹤與編隊。

本文針對一致性條件(8)不滿足的情況，研究更為通用的跟蹤與編隊控制算法。

2 自主式預測控制算法

通常，各無人系統i利用其上一時刻的真實預測信息來構造當前時刻的假設預測信息，即：

(9)

根據假設預測狀態(tài)(9)，可得相應的狀態(tài)編隊預測偏差：

2.1 目標代價函數重規(guī)劃

在無人系統執(zhí)行跟蹤與編隊的實際任務時，跟蹤目標所形成的隊形與編隊指定的隊形往往存在不一致，為了解決這一問題，本文通過為各無人系統重新規(guī)劃控制目標來對目標代價函數進行設計。

(10)

(11)

根據以上所構造的目標代價可知，令規(guī)劃目標代價(10)最小，可實現對給定跟蹤與編隊之間的平衡；而令控制目標代價(11)越小，各無人系統對規(guī)劃目標的收斂性越高。因此，將以上兩項目標代價合并，為各無人系統設計出最終的目標代價函數：

(12)

2.2 規(guī)劃目標的約束設計

在實際問題中，控制目標可能受到環(huán)境、無人系統性能等因素影響而不可實現，為了保證規(guī)劃控制目標的可實現性，本小節(jié)對規(guī)劃的控制目標進行相應的約束設計。

(13)

(14)

(15)

2.3 無人系統的終端約束設計

根據預測控制的常規(guī)方法，需要為各無人系統設計“三要素”(終端代價函數、終端約束集合與終端控制律)[13]。本文借鑒文獻[11]設計終端約束的思路為各個無人系統i設計實時的終端約束如下：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

2.4 控制優(yōu)化問題構造與控制實施算法設計

對以上設計的代價函數與相關約束進行整合，可為各個無人系統i構造控制優(yōu)化問題如下：

(21)

s.t.

xi(0|k)=xi(k)

(22)

xi(t+1|k)=Aixi(t|k)+Biui(t|k),t∈N

(23)

xi(t|k)∈Xi,t∈N-

(24)

ui(t|k)∈Ui,t∈N

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

相應的自主式預測控制實施算法設計如下：

2.4.1 離線設置

2.4.2 在線實施

在每個在線時刻k≥0，各無人系統i執(zhí)行以下步驟：

3 優(yōu)化問題的LMI描述

為了便于對優(yōu)化問題(21)～(29)進行求解，本節(jié)給出一系列變換步驟來將該優(yōu)化問題轉化成LMI形式，具體步驟如下：

1)應用舒爾補引理，預測時域內無人系統i的狀態(tài)約束(24)與輸入約束(25)分別等價于LMI：

(30)

(31)

2)應用舒爾補引理，預測時域內規(guī)劃目標的狀態(tài)約束(28)與輸入約束(29)分別等價于LMI：

(32)

(33)

3)終端約束(26)中的約束條件(16)～(19)可分別由以下條件保證：

(34)

(Ai+BiKi(k))TPi(k)(Ai+BiKi(k))-

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

4)對目標代價函數(21)進行拆分，令:

(42)

(43)

(44)

應用舒爾補引理，式(42)～(44)可分別等價于LMI：

(45)

(46)

(47)

其中:

j，…，l∈Ni

將式(34)與(42)～(44)代入目標代價函數(21),可得其上界:

(48)

5)優(yōu)化問題(21)～(29)，可等價地轉化為以下LMI形式的優(yōu)化問題：

(49)

s.t. (30)～(33),(38)～(41),(45)～(47)

注：約束(22)表示無人系統i在初始時刻的預測值，無需轉化為LMI形式；約束(23)與(27)已經分別包含在約束(24)與(28)轉化為LMI形式的過程中，無需再單獨轉化。

4 仿真驗證

本文通過一個仿真實例來驗證自主式預測控制算法的有效性?？紤]一個由3個無人系統組成的多無人系統，各個無人系統的動態(tài)方程為：

i∈Na′

(50)

多無人系統指定的狀態(tài)跟蹤與編隊偏差向量為：

給定跟蹤與編隊的權重參數為αi=1、ρi=0.5、βi=0.1，i∈Na′。在控制過程中，無人系統需要滿足以下物理約束：

(51)

(52)

設定規(guī)劃目標的速度與輸入約束為：

(53)

(54)

在實施自主式預測控制實施算法中，利用MATLAB中的LMI工具箱(采用“mincx”命令)來求解優(yōu)化問題。在整個仿真過程中，各個無人系統的優(yōu)化問題均可求出最優(yōu)解。仿真結果見圖1～3。

從圖1可以看出，各無人系統與規(guī)劃目標的位置軌跡最終重合在一起，多無人系統最終成功地跟蹤到了目標，各無人系統最終所形成的隊形介于跟蹤隊形與編隊隊形之間。以上結果顯示：各無人系統能夠收斂到規(guī)劃目標，而通過引入規(guī)劃控制目標并對目標代價函數進行重新設計解決了跟蹤與編隊之間的不一致問題。

圖1 各無人系統、規(guī)劃目標與被跟蹤目標的位置軌跡以及跟蹤與編隊的隊形圖

從圖2可以看出，在k=20時，各無人系統便收斂到了規(guī)劃目標。在k=30時，所有無人系統都已經跟蹤上了被跟蹤目標。在整個跟蹤與編隊的過程中，各個無人系統的狀態(tài)以及規(guī)劃目標的狀態(tài)均能夠滿足指定的狀態(tài)約束。

圖2 各無人系統速度、規(guī)劃速度與被跟蹤目標速度的2-范數

從圖3可以看出，在整個多無人系統進行跟蹤與編隊的過程中，各系統的輸入以及規(guī)劃目標的輸入均未違反相應的輸入約束，且最終均收斂到被跟蹤目標的輸入。

圖3 各無人系統輸入、規(guī)劃目標輸入與參考目標輸入

5 結語

本文針對多無人系統的跟蹤與編隊問題設計了自主式預測控制算法，通過規(guī)劃出一致、可實現的控制目標并令整個多無人系統實現該目標，最終解決多無人系統跟蹤與編隊控制目標不一致及不可實現的問題。本文的跟蹤與編隊控制算法設計均從單個無人系統自主進行跟蹤與組成編隊的角度出發(fā)，構造的控制優(yōu)化問題也是由各無人系統獨立求解，因此所給出的控制實施算法稱為自主式預測控制算法，該算法可以拓展應用于由大規(guī)模無人系統所組成的無人集群進行動態(tài)編隊與拆分重組等問題，具有較高的應用價值。下一步將基于該算法，考慮由大規(guī)模無人系統所組成的無人集群避障的需求，解決其進行動態(tài)編隊與拆分重組等問題。