董思衛(wèi) 程 誠(chéng) 陳堅(jiān)強(qiáng) 袁先旭 , 李偉鵬

1 中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心, 空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 四川綿陽(yáng) 621000 2 上海交通大學(xué)航空航天學(xué)院, 上海 200240

1 引 言

雖然Richardson (1920)一百年前提出的湍流級(jí)串模型就已經(jīng)預(yù)示著湍流中存在著多尺度和自相似的“湍流渦”(eddy)或者流動(dòng)結(jié)構(gòu), 但直到斯坦福大學(xué)Kline 等 (1967)在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)速度條帶及伴隨的猝發(fā)現(xiàn)象, 人們才真正認(rèn)識(shí)到無(wú)序的湍流中存在“有序”的流動(dòng)結(jié)構(gòu), 即擬序結(jié)構(gòu). 伴隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)和高性能計(jì)算的發(fā)展, 擬序結(jié)構(gòu)得到了人們?cè)絹?lái)越多的關(guān)注. 人們發(fā)現(xiàn)了諸如馬蹄渦、速度條帶、剪切層、上拋(ejections)和下掃(sweeps)等多種擬序結(jié)構(gòu)(Robinson 1991; Adrian 2007; Jiménez 2012, 2018a;Wallace 2012; 許春曉 2015;鄭曉靜和王國(guó)華 2020), 這些結(jié)構(gòu)極大地拓展了人們對(duì)湍流的認(rèn)識(shí).

湍流是一個(gè)在時(shí)間和空間上都存在很強(qiáng)間歇性的動(dòng)力學(xué)過(guò)程, 李存標(biāo)教授基于對(duì)轉(zhuǎn)捩動(dòng)力學(xué)過(guò)程的研究強(qiáng)調(diào)了從動(dòng)力學(xué)角度研究湍流的重要性, 以級(jí)串現(xiàn)象為例, 他認(rèn)為學(xué)術(shù)界對(duì)級(jí)串一直缺乏深入認(rèn)識(shí)的根本原因是人們對(duì)湍流的動(dòng)力學(xué)過(guò)程認(rèn)識(shí)不足(李存標(biāo)和佘振蘇 2001). 實(shí)際上, 人們對(duì)擬序結(jié)構(gòu)的研究一開(kāi)始是從動(dòng)力學(xué)角度出發(fā)的, 因?yàn)槿藗冊(cè)谕牧鲗?shí)驗(yàn)中首次觀察到低速條帶時(shí)就發(fā)現(xiàn)了它的準(zhǔn)周期猝發(fā)過(guò)程, 即條帶的抬升、振蕩、破碎和再生. 即便如此, 相比于湍流的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征, 人們對(duì)湍流動(dòng)力學(xué)過(guò)程方面的研究要少很多, 且大多數(shù)研究往往基于被廣為詬病的唯象性描述.

湍流的無(wú)序性要求必須從統(tǒng)計(jì)的角度來(lái)研究擬序結(jié)構(gòu)以及它們?cè)跁r(shí)空演化過(guò)程中的性質(zhì).為此, 就必須提取從Kolmogrov尺度到積分尺度的所有擬序結(jié)構(gòu)并將它們以及它們的時(shí)空演化過(guò)程作為統(tǒng)計(jì)樣本. 在高雷諾數(shù)湍流中, 對(duì)多尺度的三維擬序結(jié)構(gòu)進(jìn)行時(shí)空追蹤和統(tǒng)計(jì)刻畫一直是一個(gè)極大挑戰(zhàn).

聚 類 連 通 法(Jiménez et al. 2004)以 及 衍 生 的 擬 序 結(jié) 構(gòu) 時(shí) 空 追 蹤 法(Lozano-Durán et al.2014a)是從統(tǒng)計(jì)角度研究三維擬序結(jié)構(gòu)以及它們時(shí)空演化過(guò)程的有力工具, 它實(shí)現(xiàn)了擬序結(jié)構(gòu)與統(tǒng)計(jì)方法的深度融合, 擺脫了對(duì)流動(dòng)結(jié)構(gòu)唯象描述的局限, 極大加深了人們基于傳統(tǒng)逐點(diǎn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)湍流的認(rèn)識(shí). 因此, 近幾年來(lái), 該方法在研究湍流擬序結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征和動(dòng)力學(xué)過(guò)程中得到了越來(lái)越多的應(yīng)用(Lozano-Durán et al. 2012, 2014a, 2020; Dong et al. 2017, 2020; Cardesa et al.2017, 2019; Hwang & Sung 2018, 2019; Osawa & Jiménez 2018; Yoon et al. 2020; Cheng et al. 2020a,2020b). 聚類連通法是最簡(jiǎn)單的、基于數(shù)據(jù)的特征提取方法, 其他的湍流特征提取方法, 如基于算子(operator-based)的預(yù)解算子(resolvent operator) (McKeon & Sharma 2010)、基于數(shù)據(jù)(databased)的模 態(tài)分解方法, 如POD (proper orthogonal decomposition) (Lumley 1967, Rowley 2005,Towne et al. 2018), DMD (dynamic mode decomposition) (Schmid 2010, Jovanovi? et al. 2014,Noack et al. 2016), EMD (empirical mode decompcsition) (Huang et al. 1998)和基于圖像(imagebased)的經(jīng)驗(yàn)小波變換(Gilles 2013)等在湍流中也得到了廣泛的應(yīng)用.

對(duì)于湍流的動(dòng)力學(xué)過(guò)程, 最直接的手段是采用時(shí)間解析的直接數(shù)值模擬(time-resolved direct numerical simulation, TR-DNS)或者實(shí)驗(yàn)測(cè)量技術(shù)(如tomographic time-resolved particle image velocimetry, Tomo-TRPIV)將流場(chǎng)以較高的采樣頻率保存下來(lái), 然后觀察某些流動(dòng)特征的演化.

以往基于該思想對(duì)擬序結(jié)構(gòu)時(shí)空演化的研究往往存在很多局限性或者對(duì)問(wèn)題進(jìn)行某些簡(jiǎn)化,例如Singer & Joslin (1994), Haidari & Smith (1994), Zhou 等 (1999), Suponitsky 等 (2005)在層流背景下研究了單個(gè)發(fā)卡渦的演化以及繁殖過(guò)程. Kim (1985)在低雷諾數(shù)槽道湍流(Reτ< 200)的近壁區(qū)追蹤了單個(gè)馬蹄渦的演化, 發(fā)現(xiàn)渦腿中有明顯的渦量生成, 渦頭部有較強(qiáng)的雷諾切應(yīng)力.Bernard等(1993)追蹤了流向渦的渦核, 發(fā)現(xiàn)流向渦是雷諾應(yīng)力的主要貢獻(xiàn)者. 采用最小計(jì)算單 元(Jiménez & Moin 1991), Hamilton等(1995)提 出 了 近 壁 湍 流 的 自 維 持 過(guò) 程, Flores和Jiménez (2010)觀察了對(duì)數(shù)層的猝發(fā)過(guò)程中條帶的演化. Yeung等(2015)在網(wǎng)格量為81923(約5500億)的均勻各向同性湍流(Reλ≈ 1300)中研究了極端的強(qiáng)耗散和強(qiáng)渦量事件的生命周期.由于網(wǎng)格量極大, 他們只在28個(gè)Kolmogrov時(shí)間tη內(nèi)保存了31個(gè)流場(chǎng), 結(jié)果表明強(qiáng)耗散和強(qiáng)渦量事件幾乎是同時(shí)發(fā)生, 同時(shí), 那些ε/εrms> 1000和ω/ωrms> 1000的極端事件的生存周期只有5tη左右. 此外, 基于拉格朗日觀點(diǎn)的渦面場(chǎng)方法(如Zheng et al. 2016, Zhao et al. 2016, Xiong &Yang 2019)以及精確相干態(tài)(如Jiménez et al. 2005, Sekimoto & Jiménez 2017, Yang et al. 2019)也可以用來(lái)研究湍流的時(shí)空演化過(guò)程.

本文對(duì)這些特征提取以及研究湍流動(dòng)力學(xué)過(guò)程的方法不做對(duì)比, 感興趣的讀者可針對(duì)不同的問(wèn)題, 選取合適的方法或者將聚類連通法與其他方法結(jié)合起來(lái). 在下文中, 將從運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩方面重點(diǎn)介紹人們利用聚類連通法在雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu)、Townsend (1976) 的附著渦假設(shè)(attached-eddy hypothesis, 以下簡(jiǎn)稱附著渦)和能量級(jí)串方面取得的重要進(jìn)展.

2 擬序結(jié)構(gòu)的提取和時(shí)空追蹤

本節(jié)將詳細(xì)介紹如何采用聚類連通法提取擬序結(jié)構(gòu)并對(duì)它們進(jìn)行時(shí)空追蹤.

2.1 擬序結(jié)構(gòu)的提取

聚類連通法是一個(gè)非常成熟的特征提取方法, 它與生活息息相關(guān), 常見(jiàn)的醫(yī)學(xué)圖像分析、視覺(jué)跟蹤中的前景檢測(cè)、光學(xué)字符識(shí)別和人臉識(shí)別等都采用了該技術(shù). 在提取湍流結(jié)構(gòu)時(shí), 為便于闡述, 采用簡(jiǎn)單的二維流場(chǎng)(圖1)描述其過(guò)程. 對(duì)流場(chǎng)中的任意量Φ(圖1(a)), 聚類連通法首先將流場(chǎng)二值化, 即將滿足

的點(diǎn)(如圖1(a)中等值線內(nèi)的區(qū)域)賦1, 而其余的點(diǎn)賦0 (圖1(b)), 然后將滿足式(1)且彼此連通的空間點(diǎn)組成的連通域x= (x,y,z)提取出來(lái)并標(biāo)記, 圖1(c)中共提取了29個(gè)連通域, 連通域中的網(wǎng)格點(diǎn)以連通域的索引賦值. 式(1)中α為閾值, 對(duì)法向不均勻的壁湍流, 一般取Φrms為離壁面距離y的函數(shù).Φ可以為雷諾應(yīng)力、速度脈動(dòng)、渦量脈動(dòng)和亞格子能流等任意流場(chǎng)特征. 例如,若Φ為速度脈動(dòng), 稱每個(gè)連通域構(gòu)成一個(gè)速度結(jié)構(gòu). 當(dāng)然, 該方法也同樣適用于轉(zhuǎn)捩(Chen et al.2021).

圖1

圖1中的步驟在三維流場(chǎng)中不容易直觀地表示, 不過(guò)三維和二維結(jié)構(gòu)的提取在算法上并無(wú)本質(zhì)區(qū)別, 本文使用的算法為種子填充法(seed filling), 其核心是遞歸. 大體思路是:

(1)對(duì)網(wǎng)格量為(nx,ny,nz)的二值化三維流場(chǎng)逐點(diǎn)掃描, 當(dāng)掃描到某個(gè)值為1的網(wǎng)格點(diǎn)(i,j,k)時(shí), 初值為0的連通域索引(label)加1, 將索引賦值給(i,j,k)點(diǎn), 并以該點(diǎn)為種子, 分別沿i,j和k方向繼續(xù)搜索與其相鄰且值為1的網(wǎng)格點(diǎn), 對(duì)這些點(diǎn)賦予相同的索引, 同時(shí)對(duì)這些點(diǎn)的相鄰點(diǎn)進(jìn)行搜索和賦值(遞歸過(guò)程), 直至旁邊所有的點(diǎn)值為0為止, 這時(shí)遞歸結(jié)束, 獲得一個(gè)連通域;

(2)繼續(xù)逐點(diǎn)掃描, 跳過(guò)那些值不為1的點(diǎn), 當(dāng)掃描到另一個(gè)值為1的點(diǎn)時(shí), 索引值加1(即連通域數(shù)量加1), 重復(fù)步驟(1), 直至掃描完整個(gè)三維數(shù)組, 索引最后的值即為整個(gè)三維流場(chǎng)中連通域的總數(shù).

當(dāng)然, 還有其他算法, 這里不再贅述. 聚類連通法的計(jì)算量取決于滿足式(1)的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù). 在表1中以提取某槽道湍流(網(wǎng)格量1.125億)中的三維低速條帶(即u(x) < ?αurms(y))為例, 給出了采用種子填充法和Intel(R) Core(TM) i7-7700處理器提取不同閾值三維低速條帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算時(shí)間(只考慮聚類連通法的時(shí)間). 即使對(duì)于約5 × 107的網(wǎng)格量, 該方法也僅需約2 s, 因此, 聚類連通法是一個(gè)非常經(jīng)濟(jì)實(shí)用的擬序結(jié)構(gòu)提取方法.

表 1 采用聚類連通法(基于種子填充算法)在槽道湍流中提取三維低速條帶的耗時(shí)

圖2為采用聚類連通法在槽道湍流中提取的雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu)和渦簇(vortex cluster), 顯然,這些結(jié)構(gòu)的大小和形態(tài)各異, 所有流場(chǎng)中的結(jié)構(gòu)組成了數(shù)量可觀的統(tǒng)計(jì)樣本. 感興趣的讀者還可以在網(wǎng)站http://turbulentbeautycontest.appspot.com找到更多不同形態(tài)的三維結(jié)構(gòu).

圖2

使用該方法時(shí)需要注意兩點(diǎn), 一是閾值α的選取, 閾值太小時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)超大結(jié)構(gòu), 而閾值太大時(shí), 連通域往往只有幾個(gè)網(wǎng)格點(diǎn), 這兩種極端情況都不適合研究擬序結(jié)構(gòu)的性質(zhì). 為避免α取值的隨意性, Moisy和Jiménez (2004)引入了逾滲理論(percolation theory), 該理論具有定義臨界閾值參數(shù)的能力, 被認(rèn)為是處理無(wú)序系統(tǒng)及隨機(jī)幾何最好的方法之一(Stauffer & Aharony 1994). 閾值從零逐漸增加時(shí), 原本低閾值時(shí)的較大連通域會(huì)分散為更多的小結(jié)構(gòu), 因此最大結(jié)構(gòu)的體積與所有結(jié)構(gòu)的體積的比值Vmax/∑V從1開(kāi)始逐漸減小, 并在一定閾值范圍內(nèi)急劇下降, 這種驟降類似于滲流相變(percolation transition), 一般將閾值選在該區(qū)域內(nèi). 結(jié)構(gòu)的數(shù)量N(α)隨閾值的增大先增加后減小, 在“滲流相變”區(qū)域, 結(jié)構(gòu)的數(shù)量大致在最大值Nmax附近. 下文中介紹的工作都表明, 在“滲流相變”區(qū)域, 擬序結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特性沒(méi)有本質(zhì)不同.

另一個(gè)需要注意的點(diǎn)是平板湍流邊界層中脈動(dòng)量的定義, 當(dāng)采用傳統(tǒng)的雷諾分解時(shí), 即使在湍流/非湍流界面(turbulent/non-turbulent interface, TNTI)以外的非湍流區(qū), 也可能存在大尺度結(jié)構(gòu)(Atzori et al. 2019). 為了避免得到非湍流區(qū)的虛假擬序結(jié)構(gòu), 以流向速度為例, 其平均量應(yīng)當(dāng)是離壁面高度y以及湍流/非湍流界面高度δTNTI的函數(shù), 而不僅僅是y的函數(shù), 因此, 脈動(dòng)量應(yīng)為相應(yīng)地, 脈動(dòng)量的均方根也是y和δTNTI的函數(shù), 具體的實(shí)現(xiàn)方法可參考Hwang和Sung (2018)和Yoon等(2020) 的研究.

提取出三維擬序結(jié)構(gòu)之后就可對(duì)其幾何特性以及周圍的流場(chǎng)開(kāi)展統(tǒng)計(jì)研究. 最基本的幾何特性包括體積V、外接長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)(Δx, Δy, Δz)和重心位置(xc,yc,zc), 在壁湍流中還包括它們離壁面最近和最遠(yuǎn)的距離ymin和ymax. 此外, 還可以計(jì)算三維結(jié)構(gòu)的分形系數(shù)以及虧格(Lozano-Durán & Borrel 2016)等.

對(duì)于三維擬序結(jié)構(gòu)周圍的流場(chǎng)特征, 一般可采用自適應(yīng)條件平均獲得, 即條件平均的窗口(長(zhǎng)方體)大小與結(jié)構(gòu)的大小成正比. 條件平均的流動(dòng)參數(shù)可以為速度、渦量或者剪切等任意可反映流動(dòng)機(jī)理的量, 下文中條件平均后的流場(chǎng)將以表示. 這一方法已被廣泛采用(Lozano-Durán et al. 2012; Dong et al. 2017, 2020; Osawa & Jiménez 2018; Cardesa et al. 2019). 此外, 線性統(tǒng)計(jì)估計(jì)(Adrian & Moin 1988)也是獲得平均流場(chǎng)的的一個(gè)重要方法(如Deng et al. 2018, Wang et al. 2021).

馬德里理工大學(xué)(U. Politécnica de Madrid)的Jiménez (2004)最早將聚類連通法用在了湍流研究中, 這和他早年在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的工作有關(guān). 1973年在加州理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)獲得博士學(xué)位并做短暫停留之后, 從1975年開(kāi)始, Jiménez在IBM馬德里科學(xué)中心工作了近15年, 主要從事圖像的分割算法及應(yīng)用研究, 涉及的圖像涵蓋了天文、生物和流體力學(xué)等多個(gè)學(xué)科. 期間代表性的工作包括位圖與矢量圖的轉(zhuǎn)換算法及軟件開(kāi)發(fā)(涉及輪廓跟蹤、線條細(xì)化和多邊形逼近等技術(shù)) (Jiménez & Navalon 1982)、從湍流混合層實(shí)驗(yàn)?zāi)z片中提取流動(dòng)結(jié)構(gòu)并研究它們的時(shí)空演化特征(Hernan & Jiménez 1982)和基于湍流混合層實(shí)驗(yàn)的激光熒光圖片對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行三維重構(gòu)(Jiménez et al. 1985)等. 實(shí)際上, 基于實(shí)驗(yàn)圖像或錄像的流動(dòng)特征提取至今仍是熱點(diǎn)話題, 例如Zheng 等 (2019)根據(jù)可壓縮平板邊界層轉(zhuǎn)捩過(guò)程中標(biāo)量場(chǎng)的二維圖像, 建立了壁面摩阻和標(biāo)量流向傾斜角之間的關(guān)系, 并成功預(yù)測(cè)了壁面摩阻沿流向的變化. Ren等(2021)采用經(jīng)驗(yàn)小波變換, 基于羽流和尾跡流的二維實(shí)驗(yàn)圖像和直接數(shù)值模擬得到的平板邊界層轉(zhuǎn)捩前期流向速度和渦量的二維圖像, 對(duì)流動(dòng)進(jìn)行了模態(tài)分解, 所得結(jié)果真實(shí)反映了流動(dòng)特征.

由于早期計(jì)算機(jī)內(nèi)存有限, 人們采用該方法提取三維結(jié)構(gòu)時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)是逐面處理的(Moisy &Jiménez 2004, del álamo et al. 2006), 后來(lái), 隨著計(jì)算機(jī)內(nèi)存的極大提升, Lozano-Durán等 (2012)對(duì)聚類連通法的算法進(jìn)行了大量的優(yōu)化, 極大提高了計(jì)算效率. 如今, MATLAB的bwlabel, bwlabeln和bwconncomp函數(shù)可以輕松地提取連通域, 此外, Python的圖像處理包SciKit-Image也有類似功能, 不過(guò)讀者們?cè)谑褂眠@些工具時(shí)需注意它們對(duì)周期性邊界的處理.

2.2 擬序結(jié)構(gòu)的時(shí)空追蹤

當(dāng)保存流場(chǎng)的時(shí)間間隔Δt足夠小時(shí), 圖2中的三維結(jié)構(gòu)在相鄰時(shí)刻變化很小, 因此空間上會(huì)有重疊. 基于此, Lozano-Durán和Jiménez (2014a) 借鑒圖分析(Needham & Hodler 2019)開(kāi)發(fā)了基于連通域重疊的三維擬序結(jié)構(gòu)時(shí)空追蹤方法, 該方法可以對(duì)從Kolmogrov尺度到積分尺度的所有三維結(jié)構(gòu)進(jìn)行追蹤, 且不限于結(jié)構(gòu)的類型, 該方法當(dāng)然也可退化為對(duì)低維流動(dòng)特征的追蹤. 該方法主要分為三步.

首先, 計(jì)算相鄰時(shí)刻擬序結(jié)構(gòu)的空間重疊. 如果t時(shí)刻的某一擬序結(jié)構(gòu)與t? Δt時(shí)刻多個(gè)擬序結(jié)構(gòu)有空間重疊, 可認(rèn)為該結(jié)構(gòu)是t? Δt時(shí)刻與之重疊的結(jié)構(gòu)合并而來(lái). 反之, 若t時(shí)刻的某一擬序結(jié)構(gòu)與t+ Δt時(shí)刻的多個(gè)擬序結(jié)構(gòu)有空間重疊, 可認(rèn)為該結(jié)構(gòu)在t+ Δt時(shí)刻分裂為多個(gè)結(jié)構(gòu). 當(dāng)然, 也有些擬序結(jié)構(gòu)與相鄰時(shí)刻的結(jié)構(gòu)沒(méi)有重疊, 這時(shí), 該擬序結(jié)構(gòu)被稱為孤立結(jié)構(gòu), 因而無(wú)法被追蹤. 在正式進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的時(shí)間分辨直接數(shù)值模擬之前, 需要綜合考慮孤立結(jié)構(gòu)的占比以及所需存儲(chǔ)空間的大小, 以確定合適的時(shí)間分辨率Δt. 如果追蹤的是大尺度或超大尺度結(jié)構(gòu), Δt則可以顯著增大.

其次, 在得到所有相鄰時(shí)刻擬序結(jié)構(gòu)間的重疊情況之后, 就可以在時(shí)間方向上采用聚類連通法, 將所有相鄰時(shí)刻有空間重疊的擬序結(jié)構(gòu)放入一個(gè)圖(graph)中, 在圖算法中, 這類圖叫做連通圖(connected graph). 圖3(a)為兩個(gè)擬序結(jié)構(gòu)在從生成到消亡的過(guò)程中構(gòu)成的一個(gè)圖, 在圖中,如圖3(b)所示, 每一個(gè)三維擬序結(jié)構(gòu)被虛化為一個(gè)節(jié)點(diǎn)(node), 相鄰時(shí)刻彼此有重疊的結(jié)構(gòu)(節(jié)點(diǎn))構(gòu)成一個(gè)邊(edge或link).

最后, 將graph中的結(jié)構(gòu)劃分到不同的分支(branch)中. 每個(gè)分支中相鄰時(shí)刻兩個(gè)結(jié)構(gòu)的相對(duì)重疊率Ro= |V2?V1|/Vo(體積為V1(t)和V2(t+ Δt), 體積重疊為Vo)對(duì)彼此都是最小的(即相鄰時(shí)刻體積變化小、空間重疊多), 因此每個(gè)分支都可視為某個(gè)結(jié)構(gòu)的演化過(guò)程. 這里需要注意的是結(jié)構(gòu)的分裂與合并, 如圖3所示, 當(dāng)某一個(gè)結(jié)構(gòu)由上一時(shí)刻多個(gè)結(jié)構(gòu)合并而來(lái)時(shí), 它就有多個(gè)“引入邊”(incoming edge),Ro最小的那個(gè)邊所在分支為主引入分支(primary incoming branch),其他邊所在分支則在該時(shí)刻終止. 同樣地, 當(dāng)某一結(jié)構(gòu)在下一時(shí)刻分裂為多個(gè)結(jié)構(gòu)時(shí), 該結(jié)構(gòu)有多個(gè)“外出邊”(outcoming edge),Ro最小的那個(gè)邊所在分支為主外出分支(primary outcoming branch), 其他邊所在分支則代表碎片的演化. 那些包含擬序結(jié)構(gòu)從生成到消亡整個(gè)過(guò)程的分支為主分支(primary branches), 只有主分支的生命周期才有明確的定義. 關(guān)于追蹤方法更多的細(xì)節(jié)及其驗(yàn)證可參考Lozano-Durán和Jiménez (2014a)及其補(bǔ)充材料.

圖3

以上步驟使得每個(gè)三維結(jié)構(gòu)的時(shí)空演化過(guò)程成為統(tǒng)計(jì)樣本, 從而使得對(duì)三維擬序結(jié)構(gòu)從生成到消亡時(shí)空演化過(guò)程的統(tǒng)計(jì)刻畫成為可能.

在高雷諾數(shù)湍流中, 要實(shí)現(xiàn)對(duì)每個(gè)擬序結(jié)構(gòu)的時(shí)空追蹤, 所需的內(nèi)存是極大的, 對(duì)存儲(chǔ)空間的需求也是巨大的, 特別是需要保存瞬時(shí)流場(chǎng)時(shí)(如速度及其梯度等). 圖4為Reτ≈ 4200的槽道湍流中瞬時(shí)的渦簇和雷諾應(yīng)力結(jié)構(gòu), 它們是非常復(fù)雜的, 類似這樣的快照共有一萬(wàn)多個(gè), 渦簇和雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu)的總數(shù)都高達(dá)8 ~ 9億, 覆蓋了從Kolmogrov尺度到積分尺度的整個(gè)范圍. 為節(jié)省存儲(chǔ)空間, 在雷諾數(shù)較高時(shí)(Reτ≈ 2000和4200), Lozano-Durán和Jiménez (2014a)只以高時(shí)間分辨率保存了擬序結(jié)構(gòu)的信息, 而瞬時(shí)流場(chǎng)則非常有限. 此外, 在保證能夠解析大尺度結(jié)構(gòu)的前提下(Lozano-Durán & Jiménez 2014b), 盡量減小計(jì)算域的大小(Lx/h= 2π,Lz/h= π), 并通過(guò)巧妙的設(shè)計(jì)將不同閾值的雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu)和渦簇信息以“INTEGER 2”的形式保存在同一個(gè)文件中, 文件中只有零和非零兩種整形值, 因此文件得以進(jìn)一步壓縮. 即便如此, 最終的存儲(chǔ)量也達(dá)到了上百TB.

圖4

由于近年來(lái)人們已將目光轉(zhuǎn)向了外層的大尺度和超大尺度結(jié)構(gòu), Vela-Martín等(2019)進(jìn)一步提出了在高雷諾槽道湍流中時(shí)間解析大尺度結(jié)構(gòu)的低存儲(chǔ)GPU-MPI混合計(jì)算方案. 他們采用高分辨率開(kāi)展直接數(shù)值模擬, 但以較低的時(shí)空分辨率保存大尺度結(jié)構(gòu)的信息和濾波之后的流場(chǎng). 該方案可將存儲(chǔ)空間減小三個(gè)量級(jí), 為研究大尺度和超大尺度結(jié)構(gòu)的時(shí)空演化提供了可能.

圖5(a)為對(duì)Reτ≈ 4200的槽道湍流中所有時(shí)刻的渦簇進(jìn)行時(shí)空追蹤后所得的一個(gè)圖中渦簇隨時(shí)間的演化, 圖5(b)為圖5(a)中組成graph的分支之間的聯(lián)系, 其中實(shí)線表示分支, 藍(lán)色和紅色虛線分別表示結(jié)構(gòu)的分裂與合并. 由此可見(jiàn), 三維擬序結(jié)構(gòu)的時(shí)空演化是非常復(fù)雜的. 圖5(c)為上拋在一個(gè)主分支中隨時(shí)間的演化, 類似這樣的分支一共有100多萬(wàn)(Lozano-Durán & Jiménez 2014a).

圖5

需要注意的是, 以上擬序結(jié)構(gòu)的提取和時(shí)空追蹤只是采用聚類連通法研究擬序結(jié)構(gòu)性質(zhì)的前提, 針對(duì)特定的物理問(wèn)題, 讀者們還需要進(jìn)一步編寫不同的后處理程序, 深入挖掘所提取的湍流結(jié)構(gòu)及其演化過(guò)程蘊(yùn)含的物理機(jī)理是湍流研究者需要深入思考的問(wèn)題.

3 擬序結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征

本節(jié)將主要介紹聚類連通法在渦結(jié)構(gòu)、雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu)和速度條帶的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征上取得了哪些新的認(rèn)識(shí), 當(dāng)然, 在下文中將會(huì)看到, 這些結(jié)構(gòu)是彼此聯(lián)系的, 而不是孤立的.

3.1 渦結(jié)構(gòu)

Moisy和Jiménez (2004)在Reλ= 168的均勻各向同性湍流中提取了三維強(qiáng)渦量(|ω(x)| =結(jié)構(gòu), 并刻畫了它們的幾何特性和空間分布, 這是聚類連通法首次用于提取三維流動(dòng)結(jié)構(gòu). 他們之所以同時(shí)研究這兩種結(jié)構(gòu)是因?yàn)镴iménez等(1993)和Pumir (1994)的結(jié)果表明渦管邊緣存在著較強(qiáng)的剪切.

他們采用盒計(jì)數(shù)法(box-counting method)計(jì)算了兩類結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)Df以及特征長(zhǎng)度r1,r2和r3. 對(duì)每一個(gè)體積為V的三維結(jié)構(gòu), 外尺度r3和內(nèi)尺度r1分別為該結(jié)構(gòu)最小外接正方體和最大內(nèi)切正方體的邊長(zhǎng),r2=V/(r1r3)沒(méi)有實(shí)際的物理意義, 但比值(r1/r2,r2/r3)可以大致確定三維結(jié)構(gòu)的形狀. 分形維數(shù)和(r1/r2,r2/r3)表明渦量結(jié)構(gòu)隨著閾值增大從塊狀(sheet)或者絲帶狀(ribbon)變?yōu)楣軤罨颉叭湎x(chóng)”狀(worm), 而強(qiáng)剪切結(jié)構(gòu)則維持塊狀或者絲帶狀. 他們發(fā)現(xiàn)無(wú)法通過(guò)三維強(qiáng)渦量(剪切)結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)來(lái)描述強(qiáng)渦量(剪切)場(chǎng)整體的分形維數(shù), 這是人們首次對(duì)三維梯度場(chǎng)的分形特性開(kāi)展研究, 在此之前, 人們對(duì)諸如湍流/非湍流界面、標(biāo)量或速度等值面等的分形特性雖已開(kāi)展大量研究, 但絕大多數(shù)工作都是對(duì)二維流場(chǎng)的分析(黃真理 2000), 缺少對(duì)三維流場(chǎng)及其梯度分形特性的研究.

除此之外, 通過(guò)對(duì)比三維結(jié)構(gòu)重心和隨機(jī)Poisson點(diǎn)集的分布特性, 他們發(fā)現(xiàn)這些三維結(jié)構(gòu)在空間的分布并不是隨機(jī)的, 而是比Poisson點(diǎn)集更緊湊. 這方面的研究進(jìn)一步演化為對(duì)三維擬序結(jié)構(gòu)之間距離和相對(duì)位置的刻畫(見(jiàn)3.2節(jié)).

在壁湍流中, 自從Perry和Chong (1982)采用隨機(jī)分布的發(fā)卡渦復(fù)現(xiàn)了壁湍流對(duì)數(shù)層中的統(tǒng)計(jì)特征之后, 發(fā)卡渦一直是研究熱點(diǎn)之一. 21世紀(jì)初, 根據(jù)平板湍流邊界層中的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果,Adrian等(2000)提出了著名的發(fā)卡渦包模型. 在該模型中, 流向一連串的壁面附著的發(fā)卡渦以幾乎相同的對(duì)流速度向下游運(yùn)動(dòng). 在渦腿(流向渦量主導(dǎo))的誘導(dǎo)下, 發(fā)卡渦下方形成了大尺度低速條帶. 然而, 這個(gè)三維的發(fā)卡渦包模型是通過(guò)研究二維流場(chǎng)推測(cè)得到的, 在湍流中實(shí)際上很難發(fā)現(xiàn)完整的發(fā)卡渦. 因此, del álamo等(2006)直接采用脈動(dòng)速度梯度張量的判別式(該判據(jù)對(duì)空間分辨率要求較高)提取并研究了Reτ≈ 2000的槽道湍流中的三維渦簇, 這一工作奠定了用聚類連通法研究壁湍流中擬序結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ).

圖2給出了槽道湍流中典型的渦簇, 圖6為這些渦簇體積的概率密度函數(shù)與ymin和ymax的關(guān)系, 很明顯, 渦簇可以分為壁面附著(wall-attached,ymin+< 20)和壁面分離(wall-detached,ymin+>20)兩類. 后面將會(huì)看到, 區(qū)別壁面附著和分離的法向臨界高度并不是固定的(取決于結(jié)構(gòu)類型和壁面條件等), 一般來(lái)說(shuō)壁面附著擬序結(jié)構(gòu)的ymin≈ 0, 因此yc≈ Δy/2.

圖6

由于緩沖層內(nèi)當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)y+很低, 幾乎沒(méi)有尺度分離, 且當(dāng)時(shí)近壁區(qū)已得到了較充分的認(rèn)識(shí), 他們便重點(diǎn)研究了那些在對(duì)數(shù)區(qū)的壁面附著渦簇(ymin+< 20且ymax+> 100). 在下文中如無(wú)特別說(shuō)明, 提到的壁面附著擬序結(jié)構(gòu)的ymax也都在緩沖層以外.

以ns≈ Δy?3衰減, 其中N(Δy)為高度為Δy的結(jié)構(gòu)數(shù)量,Nf為流場(chǎng)數(shù)量,Lx和Lz分別為計(jì)算域的流向和展向長(zhǎng)度, 在槽道中, 由于存在兩個(gè)壁面, 因此存在系數(shù)2. 以上結(jié)果表明壁面附著的渦簇直觀上非常類似于具有層次結(jié)構(gòu)的附著渦, 這為后人逐漸揭示抽象的附著渦奠定了基礎(chǔ).

為揭示壁面附著渦簇周圍的流動(dòng)特征, 他們對(duì)壁面附著渦簇周圍的流場(chǎng)做了三維自適應(yīng)條件平均. 條件平均結(jié)果表明(圖7), 渦簇位于斜坡?tīng)畹拇蟪叨鹊退贄l帶(u' < 0)上游, 它與強(qiáng)上拋事件(u' < 0,v' > 0)密切相關(guān), 周圍存在很強(qiáng)的剪切層和雷諾切應(yīng)力. 人們?cè)趯?shí)驗(yàn)中也觀察到了類似的斜坡?tīng)畹退贄l帶(Adrian et al. 2000, Christensen & Adrian 2001), 并將其歸因于發(fā)卡渦串的誘導(dǎo). 三維結(jié)果(圖8)表明低速條帶為錐狀, 渦簇的兩側(cè)各有一個(gè)比低速條帶要短很多的高速條帶(u' > 0).v'和w'的合矢量表明在低速條帶的兩側(cè)有一對(duì)渦量相反的大尺度流向渦. 在(rx,rz)截面上, 低速條帶的寬度和長(zhǎng)度滿足rz≈rx1/2, 這與該槽道湍流對(duì)數(shù)層中流向脈動(dòng)速度預(yù)乘譜kxkzΦuu反映的波長(zhǎng)間的關(guān)系λz≈λx1/2是一致的(del álamo et al. 2004). 注意圖7和圖8中條件平均窗口的長(zhǎng)度是以yc也就是Δy/2無(wú)量綱化的, 因此統(tǒng)計(jì)平均意義上, 低速條帶的長(zhǎng)度是渦簇高度的50倍以上, 而單個(gè)渦簇?zé)o法在其生命周期(通過(guò)法向速度的頻率?波數(shù)能譜估計(jì))中在下游誘導(dǎo)如此大尺度的低速條帶. 他們認(rèn)為渦簇是下游大尺度低速條帶的果, 而非因. 其下游的大尺度低速條帶則是由多個(gè)高度與流向位置成正比的渦簇誘導(dǎo)形成的, 這與近壁區(qū)的自維持過(guò)程是類似的.

圖7

圖8

注意圖8中綠色等值面為條件平均流場(chǎng)的速度梯度判別式等值面, 它們類似于發(fā)卡渦的渦腿. 雖然對(duì)低速條帶與渦簇之間因果關(guān)系的理解有所差別, 但del álamo等(2006)得到的渦簇?低速條帶和Adrian等(2000)的發(fā)卡渦串?低速條帶模型在運(yùn)動(dòng)學(xué)上是一致的.

del álamo等(2006)還發(fā)現(xiàn), 渦簇的生存周期很短, 它們不太可能是從近壁區(qū)生成并逐漸向遠(yuǎn)壁區(qū)生長(zhǎng)而成, 而是在當(dāng)?shù)厣傻? 為了進(jìn)一步探明大尺度渦簇的產(chǎn)生機(jī)制, 一年之后, Flores等(2007)對(duì)比了Reτ< 674的槽道湍流中光滑和粗糙壁面條件下外層(outer layer)渦簇的性質(zhì),結(jié)果發(fā)現(xiàn)雖然粗糙壁面改變了近壁區(qū)的統(tǒng)計(jì)特性, 卻幾乎不改變渦簇的性質(zhì): 它們還是存在壁面附著和壁面分離兩類, 壁面附著渦簇的幾何特性及周圍的統(tǒng)計(jì)平均流場(chǎng)與光滑壁面條件下的非常接近. 他們的結(jié)果表明大尺度渦簇不是“自下而上” (bottom-up)形成的.

最后, 雖然幾何上一些壁面附著渦簇貫穿了整個(gè)對(duì)數(shù)層, 但是后來(lái)Dong等(2017)發(fā)現(xiàn)在Reτ≈2000的槽道湍流中, 壁面附著渦簇僅占所有渦簇體積的10% ~ 15%, 且隨雷諾數(shù)增加這一比值有減小的趨勢(shì), 因此用它們來(lái)研究大尺度結(jié)構(gòu)(very large scale motions, VLSMs)可能不太適合. 實(shí)際上, 這些壁面附著的渦簇中包含的流動(dòng)信息是小尺度的, 這是由提取渦簇的定義決定的. 此外,槽 道(del álamo et al. 2006, Lozano-Durán et al. 2012)和 統(tǒng) 計(jì) 平 穩(wěn) 均 勻 剪 切 湍 流(Dong et al.2017)中渦簇的內(nèi)尺度r1都不隨外尺度r3變化, 約為5η, 渦絲的直徑約為η也得到了其他學(xué)者的證實(shí)(Jiménez & Wray 1998, Tanahashi et al. 2001, Pirozzoli et al. 2008, Stanislas et al. 2008), 這也從側(cè)面說(shuō)明大尺度渦簇其實(shí)是由多個(gè)小尺度的渦絲纏繞而成的.

3.2 雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu)

雷諾切應(yīng)力u'v' 代表單位質(zhì)量流體的動(dòng)量u' 在法向的傳遞, 它和平均剪切S= d〈u〉/dy一起構(gòu)成了湍動(dòng)能的生成項(xiàng), 它還是壁面摩阻的主要貢獻(xiàn)者(Renard & Deck 2016, Li et al. 2019). 此外, 對(duì)亞格子雷諾應(yīng)力的正確模擬是大渦模擬的關(guān)鍵之一. 因此, 深入研究雷諾切應(yīng)力具有重要的學(xué)術(shù)和工程意義.

對(duì)于雷諾切應(yīng)力, 人們往往采用象限分析方法(quadrant analysis), 即根據(jù)流向和法向脈動(dòng)速度u'和v'的符號(hào), 將其分為Q1 (u' > 0,v' > 0), Q2 (上拋,u' < 0,v' > 0), Q3 (u' < 0,v' < 0)和Q4 (下掃,u' > 0,v' < 0)(Wallace et al. 1972, Willmarth & Lu 1972, Lu & Willmarth 1973), 其中, 對(duì)湍動(dòng)能貢獻(xiàn)最大的Q2和Q4受到了人們極大的關(guān)注. 然而, 以往對(duì)雷諾切應(yīng)力的研究局限于各象限的雷諾切應(yīng)力在法向的一維分布或者二維條件平均流場(chǎng)(Jeong et al. 1997, Schoppa & Hussain 2002, Ganapathisubramani 2008), 從未涉及對(duì)三維雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu)的定量刻畫, Wallace (2016)對(duì)該方法在過(guò)去四十多年的應(yīng)用做了詳細(xì)介紹.

Lozano-Durán等(2012)首次研究了Reτ= 2000的槽道湍流中的三維雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu), 結(jié)果表明, 上拋和下掃也可以分為壁面附著和壁面分離兩類. 其中壁面附著的上拋和下掃占它們總體的80%, 它們幾何上是自相似的

它們的法向分布密度隨高度的衰減比壁面附著渦簇要慢(ns≈ Δy?2). 如圖9為一個(gè)超大尺度(superstructure)的壁面附著Q2, 該結(jié)構(gòu)在法向已超過(guò)槽道半高, 長(zhǎng)度約為20h. 值得一提的是, 在2013年的美國(guó)物理學(xué)會(huì)流體力學(xué)分會(huì)上, Lozano-Durán還展示了3D打印的超大尺度雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu), 從而第一次使得湍流中的擬序結(jié)構(gòu)觸手可得.

圖9

他們計(jì)算了壁面附著結(jié)構(gòu)在流向和展向的相對(duì)距離δx和δz(詳見(jiàn)Lozano-Durán et al. 2012中公式6.1和6.2). 計(jì)算時(shí), 他們只考慮那些大小接近的結(jié)構(gòu)之間的距離, 即1/2 < Δy(i)/Δy(j)< 2,其中i和j表示結(jié)構(gòu)的類型, 例如i= 2表示Q2. 圖10為δx和δz的聯(lián)合概率密度函數(shù), 虛線和實(shí)線等值線分別表示相對(duì)于在(δx,δz) = (0, 0)處的參考結(jié)構(gòu), 找到其他結(jié)構(gòu)概率較低和較高的地方. 很明顯, 同一種類型的擬序結(jié)構(gòu)(例如上拋與上拋之間)在流向是一連串出現(xiàn)的(圖10(a) ~圖10(c)). 上拋和下掃則是在展向成對(duì)出現(xiàn)的(圖10(d)), 渦簇大致與上拋重合(圖10(e)), 這與del álamo等(2006)的統(tǒng)計(jì)平均流場(chǎng)是一致的. 注意相對(duì)距離δx和δz是絕對(duì)距離除以結(jié)構(gòu)的特征長(zhǎng)度d= (Δx2+ Δz2)1/2. 圖8的結(jié)果表明結(jié)構(gòu)間的距離與其大小是自相似的, 即彼此間的距離與它們的大小成正比. 值得一提的是, 最近Encinar和Jiménez (2020)關(guān)于猝發(fā)動(dòng)力學(xué)過(guò)程的研究結(jié)果表明, 上拋和下掃的成對(duì)出現(xiàn)是同時(shí)的.

圖10 (d)中Q2與Q4之間的相對(duì)位置與Adrian等(2000)的發(fā)卡渦包模型反映的是不一樣的, 在該模型中, Q2位于Q4的下游. 實(shí)際上, 早在直接數(shù)值模擬剛興起不久, Moin (1987)就在xz平面上觀察到u和v的正負(fù)脈動(dòng)在展向都是交替出現(xiàn)的. 后來(lái), Robinson (1991)指出, 上拋并不需要一對(duì)反向的流向渦生成, 而且也很難發(fā)現(xiàn)一對(duì)反向的準(zhǔn)流向渦, 他認(rèn)為一個(gè)準(zhǔn)流向渦就可以生成Q2和Q4, 且它們應(yīng)該是展向成對(duì)出現(xiàn)的, 而不是流向. 他還指出人們?cè)趚y平面上之所以會(huì)得到Q2和Q4在流向成對(duì)可能是因?yàn)镼2和Q4在流向的錯(cuò)位, 或者說(shuō)條帶的蜿蜒導(dǎo)致的, 這也說(shuō)明二維的結(jié)果是不全面的.

基于圖10(d)的結(jié)果, 他們對(duì)展向成對(duì)的壁面附著上拋?下掃(Q2?Q4 pairs)周圍的流場(chǎng)做了自適應(yīng)條件平均, 圖11(b)為瞬時(shí)的Q2(綠色)、Q4(藍(lán)色)和渦簇(銀灰色), 條件平均的結(jié)果如圖11(a)所示,等值面為網(wǎng)格點(diǎn)屬于不同結(jié)構(gòu)的概率密度. 渦簇大致位于Q2和Q4 中間, 但更接近前者. 雖然計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均流場(chǎng)的Q2和Q4 尺寸是接近的(圖11(a)), 但和Q2關(guān)聯(lián)的低速條帶比與Q4 關(guān)聯(lián)的高速條帶要短的多(圖11(c)), 且前者幾乎被后者包了起來(lái)(圖11(d)).

圖10

相比以往對(duì)單個(gè)擬序結(jié)構(gòu)的研究, Lozano-Durán等建立了上拋?下掃?渦簇綜合體, 揭示了雷諾切應(yīng)力、渦簇、速度條帶和大尺度流向渦之間的關(guān)系. 他們認(rèn)為, 上拋和下掃并沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別, 都同屬于一個(gè)大尺度(相對(duì)于上拋和下掃)準(zhǔn)流向渦(見(jiàn)圖11(d)中的矢量圖), 該流向渦的直徑與Q2(Q4)的大小成正比. 該模型與Robinson (1991)的觀點(diǎn)是一致的, 但流向渦不再局限于近壁區(qū). 由于壁面附著的上拋和下掃是自相似的, 且具有層次結(jié)構(gòu), 因此, 圖11(d)中的流向渦實(shí)際上也是多尺度和自相似的壁面附著結(jié)構(gòu), 動(dòng)量在不同尺度的結(jié)構(gòu)之間傳遞(Jiménez 2012), 這極大簡(jiǎn)化了人們對(duì)剪切湍流中雷諾切應(yīng)力的認(rèn)識(shí). 注意這里的流向渦不是指采用ωx提取的結(jié)構(gòu),渦量是流場(chǎng)中的小尺度信息. 上拋和下掃在展向成對(duì)出現(xiàn)反映了高、低速條帶之間的關(guān)系(Moin 1987, Sillero et al. 2014), 本質(zhì)上是連續(xù)方程的體現(xiàn).

圖11

和壁湍流類似, 統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)均勻剪切湍流中也有猝發(fā)現(xiàn)象(Pumir 1996), 雖然統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)均勻剪切湍流中的猝發(fā)是有限計(jì)算域引起的非物理現(xiàn)象(均勻剪切流動(dòng)本質(zhì)上是無(wú)界的), 但Sekimoto等(2016)發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)均勻剪切湍流與槽道湍流對(duì)數(shù)層中的統(tǒng)計(jì)特性非常接近, 特別是以剪切時(shí)間無(wú)量綱化的猝發(fā)周期(都約為20 ~ 30S?1). 由于絕大多數(shù)的雷諾切應(yīng)力能都是在猝發(fā)過(guò)程中產(chǎn)生的, 那么在有壁面和無(wú)壁面的兩種剪切湍流中雷諾切應(yīng)力有什么異同呢？Flores等(2007),Mizuno和Jiménez (2013), Tuerke和Jiménez (2013)的結(jié)果表明對(duì)數(shù)層的統(tǒng)計(jì)特性并不是由壁面決定的, 而是由平均剪切決定的, 基于此, 本文作者(Dong et al. 2017)將統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)均勻剪切湍流(Reλ= 100, 250)和槽道湍流對(duì)數(shù)層(Reλ≈ 100)中的雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu)做了詳細(xì)對(duì)比, 并進(jìn)一步完善了上拋?下掃?渦簇綜合體.

圖12為雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu)之間的最短距離r與特征長(zhǎng)度d= (Δx2+ Δy2+ Δz2)1/2之間的關(guān)系.當(dāng)d< 50η時(shí),r約為常數(shù), 而當(dāng)d> 50η時(shí),r與d成正比. 有意思的是, Q4(Q2)與Q4(Q2)的最短距離以Kolmogrov長(zhǎng)度η標(biāo)度(r/η ≈ d/η), 而Q2與Q4的最短距離卻以Taylor長(zhǎng)度λ標(biāo)度, 且r與d不再是自相似的, 而是r/λ≈ (d/η)2/3. 值得注意的是, 槽道湍流中壁面分離的雷諾應(yīng)力結(jié)構(gòu)(ymin+> 100)之間的最短距離和統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)均勻剪切湍流中非常接近.

圖12

圖13為雷諾應(yīng)力結(jié)構(gòu)之間相對(duì)位置的三維概率密度函數(shù). 圖13(a)表明, 相對(duì)參考下掃(位于坐標(biāo)原點(diǎn)), 在其上游和下游找到其他下掃的概率比較高, 但是上下游的高概率區(qū)相對(duì)流向是向下傾斜的(傾斜角約為45°), 上拋與上拋之間的相對(duì)位置呈類似的結(jié)果. 而Q1(Q3)與Q1(Q3)之間相對(duì)位置的概率密度函數(shù)等值面相對(duì)流向是向上傾斜的(傾斜角約為45°). 他們認(rèn)為最可能找到與參考雷諾應(yīng)力結(jié)構(gòu)同類的結(jié)構(gòu)的位置與定義雷諾切應(yīng)力的脈動(dòng)速度矢量方向一致. 以(u',w')定義的雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu)之間的相對(duì)位置印證了他們的觀點(diǎn).

圖13

圖13(b)表明, 相對(duì)參考上拋, 找到下掃的高概率區(qū)成倒U狀, 該區(qū)域與流向約成45°角, 由于對(duì)稱性, 相對(duì)參考下掃, 找到上拋的高概率區(qū)成U狀. 圖13(b)中高概率區(qū)在展向的對(duì)稱性是由流動(dòng)本身的性質(zhì)決定的, 并不代表上拋和下掃以三體(下掃?上拋?下掃)的形式出現(xiàn), 若和圖10(d) ~ 圖10(f)一樣將z> 0指向離參考結(jié)構(gòu)最近的另一類型結(jié)構(gòu), 高概率區(qū)將只在z> 0一側(cè), 即上拋和下掃大概率是展向成對(duì)出現(xiàn)的, 這與槽道湍流中壁面附著的上拋和下掃是一致的(圖10(d)). 圖13(b)同時(shí)也表明, 也有小部分下掃出現(xiàn)在上拋的斜上方, 后面將會(huì)發(fā)現(xiàn), 這一區(qū)域存在較高的剪切. 值得一提的是, 槽道湍流中壁面分離雷諾應(yīng)力結(jié)構(gòu)之間的相對(duì)位置和統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)均勻剪切湍流中是一致的, 而對(duì)于壁面附著的上拋和下掃, 由于壁面的約束, 下掃(上拋)不可能出現(xiàn)在上拋(下掃)的斜上方, 而只能出現(xiàn)在側(cè)方. 由于圖12中最小距離的標(biāo)度律不同, 圖13(a)和圖13(b)中的相對(duì)距離為不同長(zhǎng)度尺度無(wú)量綱化的結(jié)果.

統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)均勻剪切湍流中上拋?下掃?渦簇綜合體如圖14(a)所示, 圖14(b) ~ 圖14(c)為Q2 ~Q4對(duì)中心zy截面上的平均流場(chǎng), 圖14(d)為{?yu'}的等值面. 和槽道中壁面分離結(jié)構(gòu)類似,圖14(a)中的結(jié)構(gòu)幾何上趨近各項(xiàng)同性. 實(shí)際上, 槽道中壁面附著結(jié)構(gòu)流向的大拉伸比是其近壁部分導(dǎo)致的. 由于流動(dòng)是均勻的, 渦簇對(duì)上拋和下掃沒(méi)有偏向, 且高、低速條帶之間是對(duì)稱的,Q2的上方和Q4的下方存在高剪切層.

圖14

圖15對(duì)比了統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)均勻剪切湍流中的Q2 ~ Q4對(duì)(圖15(a) ~ 圖15(d))以及槽道湍流中的壁面分離(圖15(b)(e))和壁面附著(圖15(c)(f))Q2 ~ Q4對(duì)周圍的統(tǒng)計(jì)平均流場(chǎng). 其中圖15(a) ~圖15(c)為位于Q2~Q4對(duì)中心zy截面上的平均脈動(dòng)速度, 圖15(d) ~ 圖15(f)中藍(lán)色和黃色等值面分別為流向脈動(dòng)速度和平均渦量場(chǎng)的擬渦能, 當(dāng)壁面的約束逐漸增強(qiáng)時(shí), 高低速條帶之間的不對(duì)稱越發(fā)明顯, 在圖15(f)中壁面附著Q2 ~ Q4對(duì)周圍的低速條帶很小以至于被擬渦能等值面掩蓋. 圖15表明, 統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)均勻剪切和槽道湍流中Q2 ~ Q4對(duì)周圍的流場(chǎng)并無(wú)本質(zhì)的差別, 壁面只是為擬序結(jié)構(gòu)提供了可附著的載體. 關(guān)于圖15的更多細(xì)節(jié)還可參考Jiménez (2018a).

圖15

需要指出的是, 如果單獨(dú)對(duì)Q2或Q4做條件平均, 會(huì)分別在Q2的上方和Q4的下方得到發(fā)卡渦(Dong 2016), 然而, 正如Robinson (1991)指出, 由于流動(dòng)在展向的對(duì)稱性, 無(wú)差別的條件平均必然得到對(duì)稱的發(fā)卡渦, 但這似乎并未引起學(xué)術(shù)圈的廣泛重視, Lozano-Durán等(2012)和本文作者的結(jié)果(Dong et al. 2017)表明, 對(duì)成對(duì)的Q2 ~ Q4做條件平均則更能反映流動(dòng)的真實(shí)情況.

Lozano-Durán等(2012)和Dong等(2017)研究的是雷諾應(yīng)力本身, 然而, 在Navier?Stokes方程中出現(xiàn)的是雷諾應(yīng)力的散度?(ui'uj')/?xj. 對(duì)任意一個(gè)散度為零的張量Ψ,?(ui'uj')/?xj與?(ui'uj' +Ψij)/?xj是等價(jià)的, 這就導(dǎo)致當(dāng)?shù)氐膭?dòng)量通量不唯一. 據(jù)此, Jiménez (2016)提出了最優(yōu)動(dòng)量通量(optimal momentum flux)的概念, 他發(fā)現(xiàn)最優(yōu)動(dòng)量通量與雷諾應(yīng)力的瞬時(shí)場(chǎng)和單點(diǎn)統(tǒng)計(jì)特性有較大差別, 因此, 雷諾應(yīng)力是否能夠真實(shí)反映動(dòng)量傳遞需要進(jìn)一步研究. 于是, Osawa和Jiménez(2018)從結(jié)構(gòu)的角度進(jìn)一步比較了雷諾應(yīng)力和最優(yōu)動(dòng)量通量之間的異同. 結(jié)果發(fā)現(xiàn)最優(yōu)動(dòng)量通量結(jié)構(gòu)也可以分為壁面附著和壁面分離兩類, 其中前者是自相似的, 且貢獻(xiàn)了絕大部分的動(dòng)量通量. 更重要的是, 最優(yōu)動(dòng)量通量周圍的平均流場(chǎng)同時(shí)包含了上拋和下掃(圖16), 這說(shuō)明雷諾應(yīng)力本身是可以反映動(dòng)量通量的, 當(dāng)然, 應(yīng)當(dāng)將上拋和下掃視為同一結(jié)構(gòu)的兩個(gè)部分, 這與Lozano-Durán等(2012)和Dong等(2017)的觀點(diǎn)是一致的.

圖16

以上討論的都是二維剪切湍流(只有一個(gè)方向有平均剪切), 而在自然界和工程實(shí)際中, 三維(除了流向速度還有橫流速度)剪切湍流則更常見(jiàn), 例如龍卷風(fēng)、后掠翼邊界層、水下航行體表面邊界層和葉輪機(jī)械內(nèi)部流動(dòng)等. Coleman等(2000)指出, 相比于平穩(wěn)態(tài)的三維湍流邊界層, 二維湍流邊界層受到突發(fā)三維效應(yīng)后的非平穩(wěn)響應(yīng)過(guò)程具有更大的挑戰(zhàn). 在這里對(duì)三維湍流邊界層的性質(zhì)不作過(guò)多的介紹, 感興趣的讀者可以參考van den Berg (1975), Bradshaw和Pontikos(1985), Degani等(2013), Coleman等(2000). 但是其中兩個(gè)與雷諾切應(yīng)力密切相關(guān)的特點(diǎn)需要指出: (1)雷諾切應(yīng)力不再“跟隨”平均剪切, 即這在非平穩(wěn)三維壁湍流中更明顯; (2)雷諾切應(yīng)力幅值與湍動(dòng)能之比隨著三維效應(yīng)的增強(qiáng)而減小.

最近, Lozano-Durán等(2019)在Reτ≈ 500和1000的槽道湍流中研究了二維湍流邊界層在不同強(qiáng)度的瞬時(shí)展向壓力梯度影響下雷諾應(yīng)力隨時(shí)間的演化規(guī)律. 他們對(duì)受到突發(fā)展向壓力梯度之后不同時(shí)刻的上拋?下掃對(duì)作了條件平均, 隨著時(shí)間推進(jìn), 上拋和下掃的流向長(zhǎng)度變小, 而高度維持不變. 在近壁區(qū)(圖17中白色虛線以下),的區(qū)域逐漸增大, 表明近壁流動(dòng)逐漸散失擬序性. 同時(shí), 高低速條帶都有所減弱, 尤其是低速條帶.

圖17

他們提出了受突發(fā)展向壓力梯度影響下的條帶?流向渦模型(圖18(b)). 圖18(a)是二維壁湍流中反復(fù)提及的條帶?流向渦模型. 他們發(fā)現(xiàn)條帶?流向渦對(duì)突發(fā)的展向壓力梯度的響應(yīng)過(guò)程是自相似的, 即不同尺度的壁面附著流向渦對(duì)dP/dz的響應(yīng)時(shí)間與其大小(也即離壁面距離)成正比, 由于近壁面的小尺度結(jié)構(gòu)比遠(yuǎn)壁面的大尺度結(jié)構(gòu)先受到dP/dz的影響, 近壁面和遠(yuǎn)壁面流向渦渦軸方向存在偏差, 導(dǎo)致雷諾切應(yīng)力減弱. 根據(jù)該模型, 他們?；睦字Z切應(yīng)力為

圖18

3.3 速度結(jié)構(gòu)

長(zhǎng)期以來(lái), 由于低速條帶(u' < 0)和發(fā)卡渦密切相關(guān), 一直受到較大關(guān)注, 而高速條帶(u' > 0)受到的關(guān)注則少得多. Robinson等(1989)和Robinson (1991)較早注意到了高、低速條帶之間的不對(duì)稱性, 他們認(rèn)為在近壁區(qū)高速條帶比低速條帶要短, 但是更寬, 并預(yù)測(cè)高、低速條帶之間的差別在高雷諾數(shù)時(shí)會(huì)更明顯. 針對(duì)高、低速條帶的條件相關(guān)函數(shù)表明(Lee & Sung 2013, Sillero et al. 2014), 只有在脈動(dòng)較強(qiáng)時(shí)(如|u'| >urms), 高、低速條帶之間的差別才會(huì)顯現(xiàn). 但是這一現(xiàn)象一直沒(méi)有引起人們的足夠重視, 直到采用聚類連通法將高低速條帶分開(kāi)之后, 人們才對(duì)高、低速條帶有了更加深入的了解.

最早采用聚類連通法研究速度條帶可追溯到2004年. Jiménez等(2004)在研究槽道湍流近壁區(qū)的大尺度流向速度結(jié)構(gòu)時(shí), 采用二維聚類連通法提取了xz平面上(y+= 16)的流向和法向速度結(jié)構(gòu). 他們認(rèn)為流向很長(zhǎng)的條帶是由多個(gè)較短的條帶合并而成, 而小尺度的條帶則是法向速度對(duì)平均剪切的擾動(dòng)造成的, 且法向速度結(jié)構(gòu)應(yīng)該分別在新生成的低、高速條帶的上游和下游, 他們通過(guò)計(jì)算法向速度結(jié)構(gòu)與小尺度條帶的相對(duì)位置證實(shí)了這一推斷. 當(dāng)然, 從動(dòng)力學(xué)角度上來(lái)說(shuō), 小尺度條帶不一定代表?xiàng)l帶剛生成不久, 也可能代表它們即將消亡. 此外, 他們通過(guò)理論模型預(yù)測(cè)的條帶長(zhǎng)寬之間的關(guān)系與二維結(jié)構(gòu)外接長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之間的關(guān)系是吻合的.

采用聚類連通法研究三維速度結(jié)構(gòu)則是在10年之后, Sillero (2014)首次研究了δ+≈ 2000的零壓力梯度平板湍流邊界層中的三維條帶, 他發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)條帶是壁面附著的(約占總體積的95%), 且?guī)缀紊鲜亲韵嗨频?Δx≈ 5Δy, Δz≈ Δy). 圖19為Sillero (2014) 提取的高速條帶, 個(gè)別的超大尺度結(jié)構(gòu)達(dá)到了(Δx, Δy, Δz) ≈ (25δ,δ, 10δ), 但達(dá)到Δy≈δ的低速條帶卻幾乎沒(méi)有, 高低速條帶之間幾何上的這種不對(duì)稱在上文中已經(jīng)提及(圖11(c)(d)).

圖19

del álamo等(2006)最早將Townsend的附著渦假設(shè)中壁面附著的概念具體化, 即三維結(jié)構(gòu)離壁面的最小距離ymin+≈ 0. 這些壁面附著的擬序結(jié)構(gòu)(如渦簇、雷諾應(yīng)力結(jié)構(gòu)、速度結(jié)構(gòu)和最優(yōu)動(dòng)量通量結(jié)構(gòu))滿足附著渦的兩條性質(zhì), 即幾何自相似

以及法向分布密度與高度成反比

其中指數(shù)γ= ?1是附著渦模型的預(yù)測(cè)值(Perry & Chong 1982). 以上兩點(diǎn)雖符合附著渦的幾何性質(zhì), 但嚴(yán)格意義上不能完全據(jù)此認(rèn)為壁面附著的擬序結(jié)構(gòu)就是附著渦, 因?yàn)槌艘陨蟽牲c(diǎn), 附著渦 內(nèi) 速 度 脈 動(dòng) 的 強(qiáng) 度 需 滿 足(Townsend 1976, Perry & Abell 1977, Meneveau & Marusic 2013,Yang et al. 2018, Mehrez et al. 2019)

其中p=1, 2, 3, 4. 式(6)表明在固定的y+處

此外, 附著渦中流向速度脈動(dòng)的預(yù)乘譜存在一個(gè)平臺(tái)區(qū)(k?1region), 即在一定波數(shù)范圍內(nèi)

其中k可以為流向波數(shù)kx或展向波數(shù)kz. 以上Ap,Bp,Cp,Dp和E均為常數(shù).

人 們 在 高 雷 諾 數(shù) 湍 流 中 確 實(shí) 觀 察 到 了 這 些 統(tǒng) 計(jì) 規(guī) 律(Hultmark et al. 2012; Marusic et al.2013, 2019;Meneveau & Marusic 2013; Sillero et al. 2013; Lee & Moser 2015; ?rlü et al. 2017; Yang et al. 2018), 因此, 學(xué)術(shù)界對(duì)附著渦的存在性已有廣泛的共識(shí), 但對(duì)附著渦到底是何種具體的擬序結(jié)構(gòu)仍缺少認(rèn)識(shí). 由于式(6) ~ 式(10)都是關(guān)于脈動(dòng)速度的統(tǒng)計(jì)規(guī)律, 因此, 直覺(jué)上, 三維速度結(jié)構(gòu)可能是尋找附著渦的突破口.

Hwang和Sung (2018)在δ+≈ 1000的零壓力梯度平板湍流邊界層中提取了流向、法向和展向速度結(jié)構(gòu), 并首次研究了這些速度結(jié)構(gòu)中脈動(dòng)速度的統(tǒng)計(jì)規(guī)律. 圖20為他們提取的壁面附著的速度結(jié)構(gòu), 與v和w結(jié)構(gòu)相比,u結(jié)構(gòu)在流向有更明顯的拉伸. 雖然vrms比urms和wrms要小很多, 但由于速度結(jié)構(gòu)是根據(jù)各自脈動(dòng)的均方根提取的(|ui'| > 1.5ui,rms,i= 1, 2, 3), 因此壁面附著的v結(jié)構(gòu)(圖20(c))的體積比w結(jié)構(gòu)(圖20(b))的還要大是合理的. 需要注意的是u和w是壁面附著的量而v并不是, 這里的壁面附著v結(jié)構(gòu)只是聚類連通法造成的幾何上的附著.

圖20

壁面附著速度結(jié)構(gòu)的寬與高滿足Δz≈ Δy, 高度在550 < Δy+< 750范圍內(nèi)的u結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度與高度滿足線性關(guān)系(Δx≈ 3.8Δy), 而對(duì)數(shù)區(qū)內(nèi)Δy+< 500的u結(jié)構(gòu)的Δx與Δy是非線性的, 他們認(rèn)為這是低雷諾數(shù)造成的, 并預(yù)測(cè)如果對(duì)數(shù)層內(nèi)所有壁面附著u結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度與高度都滿足線性關(guān)系,Reτ至少為5000. 壁面附著速度結(jié)構(gòu)的法向分布密度ns與它們的高度成反比, 特別是當(dāng)220 <Δy+<550時(shí),u結(jié)構(gòu)的分布密度ns≈ Δy?1.

Hwang和Sung (2018)并沒(méi)有區(qū)分速度脈動(dòng)為正、負(fù)的速度結(jié)構(gòu). 一年后, 在Reτ至3000的圓管湍流中, 他們對(duì)高速和低速條帶分別做統(tǒng)計(jì)(Hwang & Sung 2019), 結(jié)果表明, 相比低速條帶,高速條帶中的平均速度剖面更符合對(duì)數(shù)律(圖21). 他們認(rèn)為高、低速條帶間的這一差別可能也是雷諾數(shù)不夠高導(dǎo)致的. 雖然Reτ= 3000時(shí)高速條帶中的平均流向速度剖面已存在明顯的對(duì)數(shù)律(圖21(b)), 但即使在雷諾數(shù)高達(dá)Reτ=O(104~ 105)的圓管湍流實(shí)驗(yàn)中, 全流場(chǎng)平均速度剖面的對(duì)數(shù)律指示因子(indicator function)在均值附近仍有較大波動(dòng)(Hultmark et al. 2012, ?rlü et al.2017).

圖21

在Reτ≈ 3000的圓管湍流中, 長(zhǎng)度和高度滿足線性關(guān)系(Δx≈ 4Δy)的u結(jié)構(gòu)的高度下限值比δ+≈ 1000的零壓力梯度平板湍流邊界層中低150δν, 這間接證明了幾何自相似性是高雷諾數(shù)的特性. 在δ+高達(dá)26 000的湍流邊界層中, 流向脈動(dòng)速度的二維能譜表明流向和展向波長(zhǎng)滿足λx≈λz(Chandra et al. 2017), 而不再是低雷諾數(shù)情況下的λz≈λx1/2. 雖然流動(dòng)的波長(zhǎng)和結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度并不等價(jià), 但del Alamo等(2006)的結(jié)果表明結(jié)構(gòu)的Δx/Δz能大致反映波長(zhǎng)之間的關(guān)系, 因此, 雷諾數(shù)足夠高時(shí), 壁面附著u結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)與高可能將滿足線性關(guān)系.

后來(lái), 他們采用同樣的方法, 研究了逆壓梯度平板湍流邊界層(δ+≈ 800)中的u結(jié)構(gòu)(Yoon et al.2020), 并按照壁面附著和自相似與否將其分為了四種類型, 即壁面附著/自相似、壁面分離/自相似、壁面附著/非自相似和壁面分離/非自相似. 壁面附著/自相似的u結(jié)構(gòu)法向的分布密度ns在0.4δ< Δy< 0.58δ的高度范圍內(nèi)滿足ns≈ Δy?1; 在對(duì)數(shù)層內(nèi), 結(jié)構(gòu)內(nèi)流向速度脈動(dòng)的展向波數(shù)預(yù)乘譜在展向波長(zhǎng)為λz+/y+≈ 1.2 ~ 2.0的范圍內(nèi)為常數(shù)(即滿足式(10)). 壁面附著/非自相似的u結(jié)構(gòu)高度Δy＝O(δ), 長(zhǎng)度O(3δ~ 6δ), 它們是流向脈動(dòng)速度在外層峰值的主要貢獻(xiàn)者. 壁面分離/自相似的u結(jié)構(gòu)主要出現(xiàn)在外層, 且?guī)缀紊鲜歉飨蛲缘?Δx≈ Δy≈ Δz), 它們可能是從壁面附著/非自相似結(jié)構(gòu)上脫落下來(lái)的. 而壁面分離/非自相似的結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度為當(dāng)?shù)氐腒olmogrov長(zhǎng)度. 對(duì)這四種類型流向速度結(jié)構(gòu)的總結(jié)詳見(jiàn)Yoon等(2020)中表3.

本文作者發(fā)現(xiàn)高、低速條帶統(tǒng)計(jì)特性的不對(duì)稱并不是Hwang和Sung (2018)聲稱的低雷諾數(shù)引起的. 圖22為高、低速條帶內(nèi)的剪切因子S*沿法向的變化. 剪切因子S*=Sq2/ε可以理解為特征長(zhǎng)度和速度分別為L(zhǎng)ε=q3/ε和q的結(jié)構(gòu)的生存周期q2/ε與平均剪切的特征時(shí)間1/S之比.S*>>1表示結(jié)構(gòu)被剪切扭曲變形;S*<<1則表示結(jié)構(gòu)幾乎不受剪切的影響, 只有黏性耗散起作用.y/h> 0.02時(shí)低速條帶中的S*比高速條帶中大很多. 因此, 低速條帶在高剪切條件下很難保持具有對(duì)數(shù)律的平衡態(tài).

圖22

從Lozano-Durán等(2012)和Dong等(2017)的研究中已經(jīng)知道高、低速速度條帶分別與下掃和上拋事件密切相關(guān), 本文作者通過(guò)流向速度結(jié)構(gòu)中平均流向和法向脈動(dòng)速度的概率密度函數(shù)也證明了這一點(diǎn). 由于下掃事件來(lái)自平均剪切較弱的遠(yuǎn)壁區(qū), 而上拋事件則來(lái)自平均剪切較強(qiáng)的近壁區(qū)(在下節(jié)中將討論上拋和下掃的運(yùn)動(dòng)規(guī)律). 因此, 不難理解為什么低速流向條帶中的S*比高速流向條帶更高, 這也能很好地解釋w' > 0和w' < 0兩類結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性, 因?yàn)閣' 對(duì)v' 沒(méi)有偏向所以這兩類結(jié)構(gòu)中的剪切常數(shù)是相等的.

Hwang和Sung (2018, 2019), Yoon等(2020)和Cheng等(2020a)只考慮了u結(jié)構(gòu)中u' 和w結(jié)構(gòu)中w' 的統(tǒng)計(jì)規(guī)律, 但是附著渦中三個(gè)脈動(dòng)速度分量應(yīng)同時(shí)分別滿足式(6) ~ 式(8). 其實(shí)仔細(xì)思考會(huì)發(fā)現(xiàn), 由于w' 對(duì)u' 也沒(méi)有偏向且w' > 0和w' < 0是對(duì)稱的,u結(jié)構(gòu)中w' 的脈動(dòng)強(qiáng)度也應(yīng)符合對(duì)數(shù)規(guī)律, 雖然暫不清楚與高速條帶緊密相關(guān)的v' < 0結(jié)構(gòu)中v' 的脈動(dòng)強(qiáng)度是否存在平臺(tái)區(qū), 但高速條帶應(yīng)該是目前最符合附著渦性質(zhì)的擬序結(jié)構(gòu). 當(dāng)然, 并不排除其他擬序結(jié)構(gòu)也滿足附著渦假設(shè), 但高速條帶是最容易獲得的一種擬序結(jié)構(gòu), 這對(duì)流動(dòng)控制具有重要的參考意義.

3.4 其他

最近, 本文作者研究了統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)均勻剪切湍流中的亞格子能流結(jié)構(gòu)(Dong et al. 2020). 亞格子能流(sub-grid scale energy flux)

其中波浪線代表濾波.ПSGS> 0代表湍動(dòng)能從解析尺度向?yàn)V波尺度傳遞, 即正級(jí)串(forward cascade); 而ПSGS< 0則代表逆級(jí)串(backward cascade). 級(jí)串事件周圍的統(tǒng)計(jì)平均流場(chǎng)表明它們位于強(qiáng)剪切區(qū)(圖23). 對(duì)于正級(jí)串, 剪切層是由于上拋和下掃的碰撞引起的; 而對(duì)逆級(jí)串, 剪切層則是由下掃和上拋的分離導(dǎo)致的.

平均渦量場(chǎng)的擬渦能以正、反發(fā)卡渦的形式出現(xiàn)(圖24), 正、反發(fā)卡渦分別位于級(jí)串事件的下游和上游. 發(fā)卡渦上平均渦量的方向(圖中箭頭)取決于亞格子能流的符號(hào). 渦頭以展向渦量占主導(dǎo), 而渦腿則以流向和法向渦量占主導(dǎo).

實(shí)際上, 前人基于二維條件平均對(duì)壁湍流中能量級(jí)串周圍的流場(chǎng)開(kāi)展過(guò)大量的研究, 雖然他們并沒(méi)有直接得到類似圖24中的發(fā)卡渦, 但是他們推測(cè)能量級(jí)串只單獨(dú)與正或反發(fā)卡渦有關(guān)(Piomelli et al. 1991, 1996; Porté-Agel et al. 2001, 2002; Hong et al. 2012). 雖 然 反 發(fā) 卡 渦 在 槽 道(Kim & Moin 1986)和均勻剪切湍流(Kim & Moin 1987)中均早已被發(fā)現(xiàn), 但在此之前, 還從來(lái)沒(méi)有任何物理現(xiàn)象能將正反發(fā)卡渦同時(shí)聯(lián)系起來(lái). 圖23和圖24中的模型極大簡(jiǎn)化了人們對(duì)能量級(jí)串的理解, 同時(shí)也表明二維條件平均結(jié)果往往存在很大的局限性. 在均勻各向同性湍流中沒(méi)有上游和下游之分, 因此, 各向同性情況下能量級(jí)串周圍的統(tǒng)計(jì)平均流場(chǎng)仍值得繼續(xù)研究.

圖23

圖24

圖23中的上拋和下掃在流向是成對(duì)出現(xiàn)的, 這與發(fā)卡渦串模型(Adrian et al. 2000)是一致的, 但似乎又與Lozano-Durán等(2012)和Dong等(2017)的結(jié)果是相違背的. 實(shí)際上, 圖10和圖13給出的是上拋和下掃最可能的空間構(gòu)成, 并不排除其他可能的、概率較小的空間分布形式, 且圖24不涉及三維上拋和下掃之間重心的相對(duì)位置.

Dong等(2017)并沒(méi)有揭示能量級(jí)串周圍強(qiáng)剪切的來(lái)源, 最近, Wang等(2021)在研究槽道湍流中的能量傳遞現(xiàn)象時(shí), 將式(11)拆開(kāi), 分析了對(duì)亞格子能流的貢獻(xiàn), 并通過(guò)線性隨機(jī)估計(jì)獲得了能量級(jí)串事件周圍的二維平均流場(chǎng), 他們的結(jié)果表明大尺度條帶的蜿蜒是造成強(qiáng)剪切和能量級(jí)串的原因, 因此, 圖24中流向成對(duì)的上拋和下掃很大可能也是條帶的蜿蜒造成的.

最后, 需要說(shuō)明的是, 圖24中的發(fā)卡渦是流動(dòng)在展向?qū)ΨQ條件下條件平均的必然結(jié)果, 不代表流場(chǎng)的瞬時(shí)特性.

4 擬序結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程

Lozano-Durán和Jiménez (2014a)首次采用基于連通域重疊的時(shí)空追蹤方法研究了槽道湍流(Reτ≈950, 2000和4200)中三維雷諾應(yīng)力結(jié)構(gòu)和渦簇的時(shí)空演化特性, 并從結(jié)構(gòu)合并與破碎的角度揭示了能量級(jí)串的規(guī)律. Lozano-Durán等(2012)和Lozano-Durán和Jiménez (2014a)一起,構(gòu)成了對(duì)槽道湍流中雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu)和渦簇的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征和動(dòng)力學(xué)過(guò)程的完整定量刻畫.

他們發(fā)現(xiàn)壁面分離分支(wall-detached branches, 分支的每一時(shí)刻結(jié)構(gòu)都不附著于壁面)的生命周期與其重

心yc處的Kolmogrov時(shí)間tη成正比, 而壁面附著分支(wall-attached branches, 分支中至少有一個(gè)時(shí)刻結(jié)構(gòu)附著于壁面)的生命周期大致為渦翻轉(zhuǎn)時(shí)間(eddy-turnover time)ly/uτ(ly為在壁面附著分支整個(gè)生命周期內(nèi)結(jié)構(gòu)的平均高度), 這首次證實(shí)了壁面附著結(jié)構(gòu)在時(shí)間上的自相似性, 即生命周期正比于結(jié)構(gòu)的大小.

上拋在近壁區(qū)生成, 并在其前2/3的生命周期中保持壁面附著狀態(tài), 之后快速遠(yuǎn)離壁面并逐漸消亡; 而下掃則反過(guò)來(lái), 它在遠(yuǎn)壁區(qū)生成, 之后逐漸向壁面移動(dòng), 在其1/3生命周期之后一直附著于壁面, 直至消亡. 渦簇和上拋的法向軌跡類似, 但是它們?cè)诜ㄏ虻倪\(yùn)動(dòng)距離非常有限. 上拋和下掃的重心在法向的平均運(yùn)動(dòng)速度分別為uτ和?uτ. 在流向, 除了近壁區(qū)部分(y+< 100), 上拋各xz截面的平均速度為〈u〉(y) ? 1.5uτ, 下掃各xz截面的平均速度則為〈u〉(y) + 1.5uτ. 本文作者Dong (2016)對(duì)均勻剪切湍流中的上拋和下掃也進(jìn)行了時(shí)空追蹤, 并得到了同樣的運(yùn)動(dòng)速度. 這再次表明壁面對(duì)剪切湍流中擬序結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程沒(méi)有本質(zhì)影響.

此外, 剛生成的上拋(下掃)與已有大尺度壁面附著上拋(下掃)的位置關(guān)系表明. 新生成的上拋都在已有上拋的下游, 而新生成的下掃則在已有下掃的上游. 這與上文中上拋(下掃)在流向一連串出現(xiàn)是一致的. 當(dāng)然, 這里的結(jié)果是否反映了大尺度結(jié)構(gòu)對(duì)小尺度結(jié)構(gòu)的誘導(dǎo)(即因果關(guān)系)還需要進(jìn)一步研究.

上文提到, 擬序結(jié)構(gòu)在其時(shí)空演化過(guò)程中不可避免地會(huì)與其他結(jié)構(gòu)合并為一個(gè)尺度更大的結(jié)構(gòu), 或者分裂為多個(gè)尺度較小的結(jié)構(gòu). Richardson (1920)和Obukhov (1941)關(guān)于能量級(jí)串的唯像模型認(rèn)為湍流中的能量由大尺度向小尺度的傳遞過(guò)程(正級(jí)串)是通過(guò)類似于細(xì)胞分裂的“渦破碎”實(shí)現(xiàn)的(一個(gè)大小為d的“渦”分裂為兩個(gè)大小為d/2的“渦”). 據(jù)此, Lozano-Durán和Jiménez (2014a)將擬序結(jié)構(gòu)的分裂與合并作為級(jí)串事件, 即結(jié)構(gòu)的分裂代表能量從大尺度結(jié)構(gòu)向小尺度結(jié)構(gòu)傳遞(正級(jí)串); 而反之, 幾個(gè)結(jié)構(gòu)合并為更大尺度結(jié)構(gòu)代表能量從小尺度向大尺度傳遞(逆級(jí)串). 他們發(fā)現(xiàn), 當(dāng)三維結(jié)構(gòu)外接長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)大于100η時(shí)會(huì)至少發(fā)生一次合并或分裂, 正級(jí)串(分裂)主要發(fā)生在擬序結(jié)構(gòu)生命周期80%的階段, 而逆級(jí)串(合并)則發(fā)生在擬序結(jié)構(gòu)生成不久(生命周期的20%), 正級(jí)串和逆級(jí)串分別主要發(fā)生在擬序結(jié)構(gòu)生命周期的后期和前期. 絕大多數(shù)的合并與分裂都涉及一個(gè)Kolmogrov尺度的“小碎片”(d≈ 30η), 但均衡的能量級(jí)串(balanced cascade, 即分裂后或合并前兩個(gè)結(jié)構(gòu)的尺寸相當(dāng)), 即類似于Richardson (1920)和Obukhov (1941)提出的級(jí)串模型, 在整個(gè)慣性區(qū)間也都存在. 發(fā)生均衡的能量級(jí)串的時(shí)間間隔與結(jié)構(gòu)的大小成正比. 這是湍流界首次對(duì)Richardson (1920)和Obukhov (1941)能量級(jí)串模型的定量刻畫.

基于Kolmogrov (1941)能量級(jí)串(即能量傳遞發(fā)生在尺度間)模型, 人們往往通過(guò)濾波后亞格子能流的符號(hào)判斷能量級(jí)串的方向(如Dong et al. 2020). 這與三維結(jié)構(gòu)合并與分裂的角度是完全不同的. 若流場(chǎng)沒(méi)有被濾波, 那么即使結(jié)構(gòu)的幾何尺寸很小, 它們包含的流場(chǎng)實(shí)際上也有各種不同尺度(波長(zhǎng))的貢獻(xiàn). 對(duì)于亞格子能流, 逆級(jí)串與正級(jí)串的比值與濾波方法、濾波尺度、離壁面距離和雷諾數(shù)等都有關(guān)系, 而從擬序結(jié)構(gòu)合并與分裂的角度, 正級(jí)串與逆級(jí)串的比值則與結(jié)構(gòu)的類型有關(guān), 對(duì)于雷諾切應(yīng)力結(jié)構(gòu), 正級(jí)串和逆級(jí)串事件的比例約為1.3, 對(duì)于渦簇, 這一比例約為2.2.

后來(lái), Cardesa等(2017)結(jié)合濾波和聚類連通域法, 研究了能量在空間(三維)、尺度和時(shí)間五個(gè)維度中的傳遞, 彌補(bǔ)了Richardson (1920)和Obukhov (1941)能量級(jí)串模型只考慮能量的空間傳遞而Kolmogrov能量級(jí)串模型只考慮能量尺度間傳遞的缺陷.

與Lozano-Durán和Jiménez (2014a)不同的是, Cardesa等(2017)中的能量級(jí)串不再是指三維結(jié)構(gòu)的分裂與合并, 而是指不同濾波尺度下獲得的三維結(jié)構(gòu)之間的空間重疊. 如圖25所示, 對(duì)每一個(gè)尺度為A的結(jié)構(gòu)(橙色), 它與尺度為B的結(jié)構(gòu)(藍(lán)色)的相對(duì)重合率R(A,B)定義為二者重合的體積除以A本身的體積, 即

圖25

他們先用一組濾波尺度Δ/η=30, 60, 120和240, 對(duì)Reλ =315的均勻各向同性湍流進(jìn)行了濾波. 對(duì)某一濾波尺度Δ1, 他們采用的帶通濾波只保留尺度在范圍內(nèi)的流動(dòng)信息, 濾波之后的能譜如圖26所示.

圖26

然后, 他們用聚類連通法獲得了不同濾波尺度下的三維含能結(jié)構(gòu)(以湍動(dòng)能為提取條件,圖27). 這時(shí), 所提取的三維結(jié)構(gòu)中只有特定波長(zhǎng)的貢獻(xiàn), 因此, 雖然圖27(a)中存在幾何尺度比圖27(b)中還小的結(jié)構(gòu), 但是其內(nèi)部的流場(chǎng)卻是由更大尺度貢獻(xiàn)的.

圖27

結(jié)果表明(圖28(a)), 在含能結(jié)構(gòu)的生存周期內(nèi), 只有濾波尺度成兩倍關(guān)系(如Δ/η= 30和60)的擬序結(jié)構(gòu)之間才有顯著的能量交換, 而成其他倍數(shù)關(guān)系時(shí)(如Δ/η= 30和120), 對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)之間的空間重疊符合零假設(shè)(null hypothesis), 即空間重疊是隨機(jī)的. 更有意思的是, 若將R(A,B)以整個(gè)生存周期中的最大值歸一化(圖28(b)), 以濾波尺度為Δ/η= 60獲得的三維結(jié)構(gòu)為例, 它們與濾波尺度為Δ/η= 120的結(jié)構(gòu)發(fā)生能量交換(重疊率的極大值)的時(shí)間為它們剛生成不久(生存周期的20%); 而反過(guò)來(lái), 它們與Δ/η= 30結(jié)構(gòu)的能量交換則發(fā)生在它們將要消失之前(生存周期的80%). 也就是說(shuō), 小尺度結(jié)構(gòu)剛生成不久需要從大尺度獲得能量, 而即將消亡時(shí), 它們將能量傳遞給更小尺度的結(jié)構(gòu)(需要再次強(qiáng)調(diào)的是, 這里的尺度不是指結(jié)構(gòu)的幾何尺度).

圖28

Cardesa等(2017)首次定量刻畫了湍動(dòng)能在空間和尺度間傳遞的動(dòng)力學(xué)過(guò)程, 極大深化了人們對(duì)級(jí)串過(guò)程的理解.

基于連通域的擬序結(jié)構(gòu)追蹤方法的最大優(yōu)勢(shì)是它可以實(shí)現(xiàn)對(duì)任意流場(chǎng)特征的追蹤. 例如, 最近Cardesa等(2019)又對(duì)槽道湍流(雷諾數(shù)Reτ= 950)中的三維回流(backflow, 即瞬時(shí)流向速度u< 0)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了時(shí)空追蹤. 回流結(jié)構(gòu)在時(shí)空演化過(guò)程中幾乎不發(fā)生分裂與合并, 因此其性質(zhì)比Lozano-Durán和Jiménez (2014a)中的雷諾應(yīng)力和渦簇要簡(jiǎn)單的多. 它們?cè)诹飨虻倪\(yùn)動(dòng)速度(流向運(yùn)動(dòng)的距離除以生存周期)約等于y+= 12處的平均流向速度. 此外, 他們還獲得了回流結(jié)構(gòu)在生存周期不同階段的統(tǒng)計(jì)平均流場(chǎng), 這在類似的研究中是第一次.

Cardesa等(2019)將三維回流結(jié)構(gòu)的生命周期分為了8個(gè)等分, 圖29為回流結(jié)構(gòu)在其前1/8生命周期內(nèi)的統(tǒng)計(jì)平均渦量場(chǎng)(非脈動(dòng)量). 圖中紅色等值面代表展向渦量綠色和藍(lán)色等值面分別代表法向渦量為零. 圖中黑色區(qū)域?yàn)樵撾A段回流結(jié)構(gòu)的平均外接長(zhǎng)方體. 由于回流是非常罕見(jiàn)的現(xiàn)象, 因此, 三維回流結(jié)構(gòu)是一種空間尺度非常小的結(jié)構(gòu), 平均大小僅為Δx+≈ Δz+≈ 20, Δy+≈ 1, 且與雷諾數(shù)無(wú)關(guān). 但是得到的平均展向渦量卻延伸到回流結(jié)構(gòu)下游近300δν, 據(jù)此他們認(rèn)為這可能是某些近壁統(tǒng)計(jì)量采用黏性尺度標(biāo)度時(shí)失效的原因.

圖29給出了回流結(jié)構(gòu)整個(gè)生命周期的不同階段在xy截面上(圖30中的淡藍(lán)色截面)的統(tǒng)計(jì)平均流場(chǎng), 流場(chǎng)用展向渦量的平均值〈ωz〉無(wú)量綱化. 他們還保存了回流結(jié)構(gòu)生成之前(a,b,c)和消亡之后(l,m,n)一段時(shí)間內(nèi)的流場(chǎng). 在回流結(jié)構(gòu)生成之前, 在y+< 15的整個(gè)流向區(qū)域,ωz非常低, 他們認(rèn)為可能這是回流結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的前兆. 在a時(shí)刻, 出現(xiàn)了流向很長(zhǎng)的高剪切層, 隨后, 在回流結(jié)構(gòu)所在位置(x= 0)的下游, 高剪切層逐漸切斜, 并與上游的分開(kāi), 二者之間有一個(gè)明顯的弱ωz區(qū), 在回流結(jié)構(gòu)生成的時(shí)刻, 強(qiáng)ωz明顯向近壁移動(dòng). 時(shí)刻i之后, 回流上游的剪切層逐漸遠(yuǎn)離壁面, 同時(shí)強(qiáng)度減弱. 回流結(jié)構(gòu)消亡之后, 下游的剪切層也逐漸減弱.

圖30

在文章的最后, 表2總結(jié)了采用聚類連通法進(jìn)行湍流擬序結(jié)構(gòu)研究的代表性工作.

5 結(jié) 論

本文回顧了人們采用聚類連通法在湍流擬序結(jié)構(gòu)方面取得的重要發(fā)現(xiàn): 剪切湍流中包含了渦簇、上拋和下掃、速度條帶、剪切層和準(zhǔn)流向渦的擬序結(jié)構(gòu)綜合體; 滿足附著渦特性的高速條帶; 湍動(dòng)能在空間、尺度和時(shí)間五個(gè)維度的傳遞. 這些基于統(tǒng)計(jì)方法和擬序結(jié)構(gòu)深度融合的研究成果極大擴(kuò)展了人們對(duì)壁湍流的認(rèn)識(shí).

經(jīng)過(guò)幾十年的研究, 除了外層的超大尺度結(jié)構(gòu)(VLSMs), 湍流界對(duì)近壁區(qū)和對(duì)數(shù)區(qū)擬序結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性已有較深入的認(rèn)識(shí). 本文的結(jié)果表明, 對(duì)擬序結(jié)構(gòu)的研究應(yīng)當(dāng)從建立包含多種物理現(xiàn)象的擬序結(jié)構(gòu)綜合體角度出發(fā). 這為研究存在多物理場(chǎng)耦合效應(yīng)的湍流場(chǎng)中的擬序結(jié)構(gòu)提供了思路, 例如在可壓縮湍流中, 邊界層內(nèi)除了動(dòng)量傳遞還有熱量傳遞, 由于溫度與速度有較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性, 熱量傳遞應(yīng)該也可以包含在Lozano-Durán等(2012)和Dong等(2017)建立的擬序結(jié)構(gòu)綜合體中.

然而在動(dòng)力學(xué)方面, 除了近壁面, 人們對(duì)壁湍流其他區(qū)域動(dòng)力學(xué)過(guò)程的認(rèn)識(shí)還不夠深, 難點(diǎn)主要體現(xiàn)在多尺度之間的相互作用. 高性能計(jì)算和實(shí)驗(yàn)手段的發(fā)展都使得研究時(shí)間分辨的高雷諾數(shù)湍流逐漸成為現(xiàn)實(shí)和未來(lái)的趨勢(shì). 基于連通域重疊的時(shí)空追蹤方法被證明是研究湍流動(dòng)力學(xué)過(guò)程的有力工具之一, 相比其他方法, 該方法的優(yōu)勢(shì)除了可以對(duì)任意流動(dòng)特征進(jìn)行追蹤, 也可以同時(shí)對(duì)多種結(jié)構(gòu)進(jìn)行追蹤, 以研究它們之間可能的相互作用, 但目前只有少量的工作采用了該方法. 本文作者認(rèn)為該方法可能會(huì)在以下方向取得突破性進(jìn)展:

(1)VLSMs的生成機(jī)制: 人們對(duì)VLSMs的生成機(jī)制仍存在較大爭(zhēng)議(鄭曉靜和王國(guó)華 2020),主要還是因?yàn)槿鄙賹?duì)VLSMs生成演化過(guò)程的定量刻畫. 由于VLSMs是高雷諾數(shù)下獨(dú)有的特征,這項(xiàng)工作具有較大的挑戰(zhàn). Jimenéz (2018b)認(rèn)為VLSMs很可能是較小尺度的結(jié)構(gòu)級(jí)聯(lián)造成的,但是對(duì)具體的級(jí)聯(lián)過(guò)程還缺少深入認(rèn)識(shí).

(2)摩阻和熱流的生成機(jī)制: 壁面摩阻和熱流對(duì)飛行器的性能至關(guān)重要, 它們?cè)跁r(shí)空上具有很強(qiáng)的間歇性, 這必然與壁面附著結(jié)構(gòu)的時(shí)空演化有關(guān). 摩阻分解方法從統(tǒng)計(jì)平均意義上揭示了摩阻的生成機(jī)理以及熱流與摩阻的定量關(guān)聯(lián)(Li et al. 2019). 然而, 對(duì)強(qiáng)摩阻和熱流事件在演化過(guò)程中與邊界層內(nèi)擬序結(jié)構(gòu)的聯(lián)系尚不清楚.

(3)附著渦的時(shí)空演化及伴隨的尺度間相互作用: 附著渦是有生命周期的, 不同尺度的附著渦之間可能會(huì)有相互作用. 前人對(duì)這一問(wèn)題幾乎沒(méi)有開(kāi)展研究, 很大程度上是因?yàn)楦街鴾u一直處于抽象的統(tǒng)計(jì)概念之中, 而最近人們已將其與高速條帶聯(lián)系起來(lái), 并且還有可能發(fā)現(xiàn)其他符合附著渦特點(diǎn)的擬序結(jié)構(gòu).

(4)湍流中的因果關(guān)系和預(yù)測(cè): 理解湍流中不同現(xiàn)象間的因果關(guān)系(例如Lozano-Durán et al.2020)并實(shí)現(xiàn)對(duì)湍流的預(yù)測(cè)和控制具有十分重要的意義, 例如, Jimenéz (2013a, 2013b, 2015)和Encinar & Jimenéz (2020)從猝發(fā)過(guò)程中速度脈動(dòng)傾斜角的規(guī)律提出了猝發(fā)的預(yù)測(cè)方法. 此外, 擬序結(jié)構(gòu)的生成演化與人工智能結(jié)合的角度也會(huì)是個(gè)突破口(Jimenéz 2018b, 2020).

致 謝 董思衛(wèi)感謝Jimenéz教授在寫作過(guò)程中給予的熱情幫助. 國(guó)家自然科學(xué)基金(11702307,12072306), 國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃(2016YFA0401200, 2019YFA0405200)以及國(guó)家數(shù)值風(fēng)洞(NNW)資助項(xiàng)目.