戴清霞，馬米花

(閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 漳州 363000)

0 引 言

目前，機(jī)械臂系統(tǒng)的跟蹤控制問(wèn)題引起了科學(xué)和工程界的廣泛關(guān)注[1,2].因?yàn)榫哂袕?qiáng)非線性的二階拉格朗日系統(tǒng)能夠描述許多復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)，如機(jī)械臂系統(tǒng)[3]、飛行器系統(tǒng)[4]、航天器系統(tǒng)[5]等，所以用拉格朗日方程研究動(dòng)力系統(tǒng)的跟蹤控制成為一個(gè)重要的課題.可是，目前有關(guān)拉格朗日系統(tǒng)控制的成果大多數(shù)考慮的是連續(xù)控制.但在現(xiàn)實(shí)生活中，連續(xù)控制模型很難實(shí)現(xiàn).值得關(guān)注的是，不連續(xù)控制比連續(xù)控制更簡(jiǎn)單有效，脈沖控制就具有連續(xù)和離散相結(jié)合的特點(diǎn)[6].由于許多原因，脈沖系統(tǒng)狀態(tài)在極短的時(shí)間內(nèi)遭受突然的改變從而發(fā)生跳躍，跳躍過(guò)程可以看作在某時(shí)刻瞬時(shí)完成，這就是脈沖現(xiàn)象.通常，脈沖現(xiàn)象是直接或間接地受到脈沖約束或脈沖力的作用而產(chǎn)生的[7].通過(guò)脈沖控制，系統(tǒng)只需在離散時(shí)刻接收信息，便捷且有效.而有關(guān)脈沖控制策略基于拉格朗日方程模型的相關(guān)成果還比較少[8]，所以提出脈沖控制實(shí)現(xiàn)拉格朗日方程描述的機(jī)械臂系統(tǒng)的跟蹤控制.

1 機(jī)械臂系統(tǒng)模型及脈沖控制策略

在沒(méi)有其他干擾條件下，n連桿機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為可以用如下拉格朗日方程來(lái)描述如公式(1)：

(1)

定義1[8]任意給定拉格朗日方程(1)的一個(gè)初始條件以及給定h>0，如果存在常數(shù)T0∈R+使得?t>T0時(shí)，有公式(2)：

(2)

將設(shè)計(jì)脈沖控制實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂系統(tǒng)(1)達(dá)到實(shí)用跟蹤.從物理角度看，脈沖效應(yīng)主要由脈沖力或脈沖約束引起的，使得系統(tǒng)狀態(tài)突然改變.此外，狄拉克脈沖函數(shù)可以很好地描述在某些離散時(shí)刻具有瞬時(shí)狀態(tài)跳變的演化過(guò)程.接下來(lái)，本文將設(shè)計(jì)的控制輸入τ是由一個(gè)非線性補(bǔ)償項(xiàng)和脈沖約束引起的脈沖效應(yīng)組成.因此，對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)設(shè)計(jì)如下脈沖控制律，如公式(3)：

(3)

其中，μ>0，α>0是待設(shè)計(jì)的控制增益.控制律中第一項(xiàng)g(q)為非線性補(bǔ)償項(xiàng)，第二項(xiàng)含有狄拉克函數(shù)δ(t-tk)表示系統(tǒng)在時(shí)刻t=tk，k∈N+具有脈沖約束引起的脈沖效應(yīng).根據(jù)狄拉克函數(shù)的性質(zhì)知，在t≠tk時(shí)，有δ(t-tk)=0，這意味著該系統(tǒng)只有在離散時(shí)刻tk才需要接收期望軌道qd的信息，這就減少了信息之間傳輸?shù)呢?fù)擔(dān).另外，令Δtk=tk-tk-1表示脈沖時(shí)間間隔，時(shí)間序列tk滿足00。

因?yàn)棣又写嬖趃(q)補(bǔ)償項(xiàng)，所以無(wú)脈沖控制時(shí)可以將系統(tǒng)(1)寫成(4)

(4)

(5)

2 跟蹤代數(shù)判據(jù)

將設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂圃鲆姒?，反饋增益α和脈沖時(shí)間間隔δ0使拉格朗日方程描述的機(jī)械臂系統(tǒng)(1)在脈沖控制律(3)的作用下達(dá)到實(shí)用跟蹤。

將脈沖控制律(3)代入拉格朗日方程(1)得公式(6)：

(6)

(7)

(8)

也可以寫成式(9)：

(9)

因此，可以得到如下脈沖動(dòng)力系統(tǒng)式(10)：

(10)

定理1 任意給定期望的跟蹤誤差界h，若選取控制增益μ，α和脈沖時(shí)間間隔δ0使得

(11)

如公式(11)，拉格朗日方程描述的機(jī)械臂系統(tǒng)(1)在脈沖控制律(3)的作用下可以跟蹤到目標(biāo)軌道qd，且跟蹤誤差界為h，即達(dá)到實(shí)用跟蹤。

證明：首先證明存在T1>0，當(dāng)?t>T1，使得

(12)

如式(12)，為此選取一個(gè)二次李雅普諾夫函數(shù)

V(s(t))=sT(t)M(q)s(t)

2‖sT(t)‖‖Δ‖≤

(13)

(14)

另一方面，在脈沖時(shí)刻t=tk，k∈N+，如果條件(A1)滿足，則可以從式(10)的第二個(gè)等式推導(dǎo)得式(15)

(15)

(16)

(17)

(18)

注1 稱條件(11)為跟蹤代數(shù)判據(jù).這個(gè)條件是充分非必要條件。另外，往往控制增益越大，就越容易實(shí)現(xiàn)跟蹤，這將在應(yīng)用例子中得到驗(yàn)證。

3 應(yīng)用實(shí)例及仿真結(jié)果

作為理論結(jié)果的一個(gè)應(yīng)用，這里以2連桿機(jī)械臂為例，其中機(jī)械臂如圖1所示，拉格朗日方程(1)可以描述該機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)行為[11]。

圖1 一個(gè)2連桿機(jī)械臂[11]

跟蹤誤差‖q(t)-qd(t)‖時(shí)間演化。

機(jī)械臂跟蹤到期望軌道

圖2 取α=1.2，μ=0.5和δ0=0.01時(shí)，

圖3 取α=1.2，μ=0.5和δ0=0.01時(shí)，

如果增大控制增益，取α=3，而其他數(shù)據(jù)不變，那么該系統(tǒng)仍然可以跟蹤到期望軌道，模擬結(jié)果如圖4所示。和圖2相比，圖4顯示機(jī)械臂可以更快地跟蹤到期望軌道。正如注1描述，控制增益越大，系統(tǒng)越容易跟蹤到期望軌道。

圖4 取α=3，μ=0.5和δ0=0.01時(shí)，跟蹤誤差‖q(t)-qd(t)‖時(shí)間演化。

如果增大脈沖時(shí)間間隔，取δ0=tk-tk-1=0.2，而其他的數(shù)據(jù)和圖2相同，這時(shí)不滿足定理1中的條件，然而機(jī)械臂仍然可以跟蹤到期望軌道，模擬結(jié)果如圖5所示。正如注1描述，定理1的條件是充分性的。和圖2相比，脈沖間隔越小，跟蹤效果越好。在工程上，可以根據(jù)需要選取適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)使得機(jī)械臂系統(tǒng)在脈沖控制律(3)作用下實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌道的跟蹤。

圖5 取α=1.2，μ=0.5和δ0=0.2時(shí)，跟蹤誤差‖q(t)-qd(t)‖時(shí)間演化

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)設(shè)計(jì)含有非線性補(bǔ)償項(xiàng)和脈沖約束效應(yīng)組成的脈沖控制律，研究了拉格朗日方程描述的機(jī)械臂系統(tǒng)的實(shí)用跟蹤問(wèn)題。通過(guò)脈沖控制，拉格朗日方程描述的機(jī)械臂只需要在一些離散時(shí)刻接收期望軌道的信息。得到的結(jié)果應(yīng)用于2連桿機(jī)械臂的跟蹤控制。仿真結(jié)果表明了提出的脈沖控制策略和代數(shù)判據(jù)是有效且可行的。