吳會民,魏天路

(蚌埠學(xué)院機械與車輛工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233000)

0 引 言

TiNi形狀記憶合金作為一種優(yōu)良的功能型材料，由于其偽彈性相變可以吸收大量能量，且沒有殘余變形，在工程上得到了一定的應(yīng)用[1～3]。圍繞TiNi形狀記憶合金結(jié)構(gòu)(梁、板和殼等)動態(tài)響應(yīng)研究也開展了一系列的工作。唐志平[4～6]等人對TiNi合金懸臂梁沖擊響應(yīng)進(jìn)行了研究，從實驗和數(shù)值計算兩方面研究了TiNi合金懸臂梁的波動響應(yīng)和動態(tài)結(jié)構(gòu)響應(yīng)，提出了“相變鉸”的概念，并對相變彎曲波和相變鉸的形成、演變規(guī)律進(jìn)行了詳細(xì)的探討。同時，還利用落錘裝置和LS-DYNA大型數(shù)值計算軟件從實驗和數(shù)值模擬角度研究了低速沖擊下固支梁的動態(tài)響應(yīng)[7、8]。

這些研究圍繞大質(zhì)量低速和小質(zhì)量高速沖擊下TiNi合金固支梁動態(tài)響應(yīng)，可以視為速度加載下固支梁的動態(tài)響應(yīng)。與速度加載不同，一些沖擊可以視為載荷加載下作用。為考察不同幅值載荷作用下TiNi合金固支梁的動態(tài)響應(yīng)和能量耗散，對其進(jìn)行數(shù)值計算。

1 計算模型

梁長度為200mm，寬度為8mm，高度為5mm。在x(長度)方向單元尺寸為1mm，y(高度)方向單元尺寸為5/6mm，z(寬度)方向單元尺寸為1mm，采用3D實體單元SOLID164對梁進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共9600個單元(如圖1所示)。

圖1 有限元模型及網(wǎng)格劃分示意圖

LS-DYNA中30號材料*MAT_SHAPE_MEMORY為形狀記憶合金的材料模型，該模型(如圖2所示)建立在Auricchio等人[9,10]的相變模型的基礎(chǔ)之上，能夠較好的模擬SMA的偽彈性行為。材料的彈性模量、相變臨界應(yīng)力、最大可恢復(fù)應(yīng)變等參數(shù)如表1所示。

圖2 偽彈性TiNi合金材料模型

梁兩端為固定端約束。在固支梁中間結(jié)點分別施加Fc和4Fc載荷進(jìn)行計算。Fc為固支梁相應(yīng)極限載荷，即靜載下使得固定端和中點材料表層進(jìn)入相變的臨界載荷。按照準(zhǔn)靜態(tài)情況下彈塑性材料的計算步驟進(jìn)行計算，得到初始極限載荷Fc為4Mp/L。Mp為梁固定端和梁中間位置截面表層材料相變時的相變極限彎矩，L為梁全部長度的1/2。通過計算得到Fc=950N?；贚S-DYNA對其進(jìn)行顯示動力學(xué)分析，計算步長根據(jù)單元最小尺寸和彈性波速確定。

2 計算結(jié)果與分析

2.1 1Fc載荷下固支梁內(nèi)力動態(tài)響應(yīng)分析

圖3給出了1Fc載荷作用下固支梁M(x,t)圖。圖3中x為固支梁坐標(biāo)，Time為作用時間，Moment為彎矩，各單位分別如圖3所示。圖3給出了1Fc作用下TiNi固支梁M(x,t)隨時間演化過程。這個演化過程基本可以分為三個階段。第一個階段是載荷作用早期階段(大約0.5ms內(nèi))，梁的響應(yīng)特征以彈性彎曲波的傳播和反射。第二個階段(大約0.5ms～0.8ms)是隨著時間的增加，在梁中點和兩端產(chǎn)生相變，相變區(qū)域逐步擴展形成相變鉸，梁結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)殂q接曲梁(桿)機構(gòu)，該階段動力響應(yīng)為鉸接曲梁(桿)機構(gòu)形成過程。第三階段(0.8ms以后)的響應(yīng)特征為鉸接曲梁(桿)機構(gòu)的自由振動，M(x,t)響應(yīng)特點為準(zhǔn)靜態(tài)彎矩分布與慣性力引起附加彎矩的疊加，固支梁中點和固定端彎矩值隨時間出現(xiàn)周期性的增加或減小。1Fc載荷作用下固支梁響應(yīng)過程與低速大質(zhì)量沖擊下TiNi固支梁響應(yīng)特征基本相同。

圖3 Fc載荷作用下M(x,t)

圖4給出了1Fc載荷作用下固支梁N(x，t)圖。圖4中x為固支梁坐標(biāo)，Time為作用時間，Axial Force為軸力，各單位分別如圖4所示。由Fc階躍載荷作用下的N(x，t)可以看出，載荷作用的初期(0～0.5ms)，軸力值基本為0，隨時間增加(0.5～0.8ms)，軸力迅速增加，隨時間增加軸力增加幅值增加，0.8ms以后，軸力圍繞平衡位置做周期振蕩。同時從圖4中可以看出，在固定端和梁中點由于彎曲變形較大，其軸力值高于梁內(nèi)的平均軸力。

圖4 Fc載荷作用下N(x,t)

圖3和圖4詳細(xì)揭示了1Fc階躍載荷作用下，TiNi固支梁M(x，t)和N(x，t)隨時間的演化過程，得出了由于“結(jié)構(gòu)破損”，機構(gòu)形成，機構(gòu)運動的整個過程中的內(nèi)力隨時間變化規(guī)律。

2.2 4Fc載荷下固支梁動態(tài)響應(yīng)

圖5給出了4Fc載荷作用下固支梁M(x,t)隨時間演化過程，圖中各坐標(biāo)表示內(nèi)容和圖3中一樣。從圖5中可以看出，4Fc載荷作用下固支梁動力響應(yīng)與1Fc一致，都可以分為三個階段。根據(jù)梁的彎曲波動方程，彈性范圍內(nèi)彎矩值和載荷幅值成正比，所以4Fc作用下，梁中點處的彎矩值增加迅速，彈性波動響應(yīng)階段與1Fc相比，時間較短，小于0.1ms。4Fc載荷作用下，梁中點上下表面迅速開始相變，并形成相變鉸。此時，固支梁兩端未發(fā)生相變。與1Fc相比，出現(xiàn)相變局部化，導(dǎo)致能量在相變區(qū)域沉積，并使得鉸區(qū)彎曲變形增加。鉸區(qū)的彎曲變形將使得局部的軸力迅速增加，局部的軸力增加將作為擾動在梁內(nèi)進(jìn)行傳播。載荷作用下，相變鉸區(qū)域的持續(xù)彎曲變形使得該處的曲率持續(xù)變化，相應(yīng)的軸力持續(xù)增加。4Fc載荷作用下，中點附近區(qū)域產(chǎn)生正向彎曲的同時，在相鄰區(qū)域?qū)a(chǎn)生負(fù)向彎曲，隨時間增加，負(fù)向的峰值將沿梁傳播并不斷增加，軸力作用下，在一定時刻將產(chǎn)生相變。

圖5 4Fc載荷作用下M(x,t)

0.35ms時，固定端相變鉸的形成，進(jìn)一步將影響固支梁中點相變鉸區(qū)域的內(nèi)力響應(yīng)。固定端形成相變鉸之前，中點鉸區(qū)的彎矩將保持不變。固定端形成相變鉸的時候，對于中點鉸區(qū)的彎矩值將產(chǎn)生卸載，該卸載是通過連接固定端相變鉸和中點相變鉸的梁分別繞固定端和中點轉(zhuǎn)動完成的。繞固定端和中點的轉(zhuǎn)動使得梁內(nèi)的彎矩趨于平衡，此時梁內(nèi)的彎矩部分沿梁基本呈線性分布，類似于準(zhǔn)靜態(tài)平衡彎矩分布。

通過以上分析可以看出，4Fc幅值載荷作用下，迅速使得作用區(qū)域產(chǎn)生相變，載荷繼續(xù)作用下，彎曲變形增加，進(jìn)一步導(dǎo)致軸力的增加，形成直桿鉸接機構(gòu)。

圖6給出了4Fc載荷作用下固支梁N(x，t)演化圖形。由4Fc階躍載荷作用下的N(x，t)可以看出，載荷作用的初期，軸力的增加比較緩慢，隨時間增加軸力增加幅值增加。同時可以看出，在固定端和梁中點由于彎曲變形較大，其軸力值高于梁內(nèi)的平均軸力。另外在結(jié)構(gòu)響應(yīng)后期其軸力圍繞平衡位置做周期振蕩。

圖6 4Fc載荷作用下N(x,t)

綜上所述，階躍載荷作用下，固支梁的內(nèi)力響應(yīng)可以分為三個階段。第一個階段為波動響應(yīng)階段，內(nèi)力以彈性彎曲波的傳播和反射為主要特征，梁變形較小，軸力幅值較小，隨時間非線性增加且增加幅度較小。第二個階段為機構(gòu)形成階段。內(nèi)力響應(yīng)以軸力近似線性增加為主要特征，彎矩值波動幅值較小，梁變形較大。第三個階段為機構(gòu)自由振動階段。內(nèi)力響應(yīng)主要特征是軸力圍繞平衡位置的自由震蕩。

2.3 能量耗散

圖7給出了1Fc階躍載荷作用時輸入能量(Total energy)、動能(Kinetic energy)和內(nèi)能(Internal energy)的時間曲線。從圖7中可以看出，輸入能量、動能和內(nèi)能的時間曲線均呈現(xiàn)宏觀波動性。0.45ms內(nèi)輸入的能量主要轉(zhuǎn)變?yōu)閯幽?，梁的變形較小，內(nèi)能較小。0.45ms時梁的動能達(dá)到最大值，此時梁的內(nèi)能迅速增加，輸入的能量主要轉(zhuǎn)變?yōu)榱旱膬?nèi)能。0.85ms輸?shù)娜氲哪芰窟_(dá)到最大值，梁的動能為零。

圖7 能量時間曲線

輸入的最大能量為7.4焦耳，最終有內(nèi)能和輸入能量圍繞4.5焦耳幅值脈動。此時能量脈動幅值基本不變。所以在輸入的能量耗散了2.2，占輸入全部能量的30%，其中第一次循環(huán)耗散了1.58J，第二次循環(huán)耗散了0.48J，其他循環(huán)耗散了0.14J。主要的能量耗散通過第一次循環(huán)完成。能量耗散在機構(gòu)形成過程中。

圖8給出了4Fc階躍載荷作用時輸入能量、動能和內(nèi)能的時間曲線。0.37ms梁的動能達(dá)到最大值，此時梁的內(nèi)能幅值基本與動能相同。0.70ms輸入的能量達(dá)到最大值，梁的動能為零，完成了第一次能量耗散過程。

圖8 能量時間曲線

輸入的最大能量為73.46焦耳，最終有內(nèi)能和輸入的能量圍繞53.7焦耳幅值脈動。此時能量脈動幅值基本不變。所以在輸入的能量耗散了19.76，占輸入全部能量的27%。

3 結(jié) 論

利用數(shù)值計算方法研究了不同幅值階躍載荷作用下TiNi合金固支梁動態(tài)響應(yīng)，結(jié)果表明：

(1)不同幅值階躍載荷固支梁響應(yīng)過程與低速大質(zhì)量沖擊下TiNi固支梁響應(yīng)過程基本相同。

(2)不同幅值階躍載荷作用，機構(gòu)形成過程不同。在高幅值載荷作用下，相變會發(fā)生在波動階段，低幅值載荷作用下相變會發(fā)生在結(jié)構(gòu)響應(yīng)階段；在高幅值載荷作用下，會形成直桿鉸接機構(gòu)，低幅值載荷作用下會形成曲梁(桿)鉸接機構(gòu)。

(3)階躍載荷作用下，能量的耗散幅值基本為梁的動能；能量耗散發(fā)生在機構(gòu)形成過程中。