張科，張明，張雄飛，賈國(guó)平

（1.河北鋼鐵集團(tuán)邯鄲鋼鐵集團(tuán)有限責(zé)任公司大型軋鋼廠，河北 邯鄲 056015；2.河北工程大學(xué)機(jī)械與裝備工程學(xué)院，河北 邯鄲 056038；3.邯鄲市永年區(qū)職業(yè)技術(shù)教育中心，河北 邯鄲 057150）

熱軋精軋機(jī)組傳動(dòng)系統(tǒng)包括電機(jī)、減速機(jī)、主軸、分速箱、接軸和輥系組成。熱軋精軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)通過(guò)齒輪分速箱使上下輥系進(jìn)行等速轉(zhuǎn)動(dòng)。分速箱作為傳動(dòng)系統(tǒng)的一部分，其動(dòng)力學(xué)特性對(duì)軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)至關(guān)重要。近年來(lái)，熱軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題頻繁，劇烈振動(dòng)傳遞到分速箱中，當(dāng)振動(dòng)頻率與分速箱系統(tǒng)固有頻率相接近時(shí)，發(fā)生劇烈共振，加劇傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)程度，引起分速箱等部件發(fā)生磨損，甚至重大事故。研究分速箱的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)揭示振動(dòng)傳遞、放大機(jī)理，保障設(shè)備穩(wěn)定運(yùn)行具有重要作用。分速箱主要由箱體、人字齒齒輪軸、軸承部分組成。齒輪系統(tǒng)中具有軸與軸承支承結(jié)合部和輪齒嚙合結(jié)合部，結(jié)合部的動(dòng)態(tài)特性對(duì)整個(gè)齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征有著重要的影響。因此，建立分速箱齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型關(guān)鍵是軸承支撐剛度和齒輪嚙合剛度計(jì)算。

1 齒輪動(dòng)力學(xué)模型建立

齒輪分速箱中齒輪軸是由兩個(gè)斜齒輪組成的人字齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)，如圖1所示。在齒輪傳動(dòng)中，由于一個(gè)齒輪軸上的兩個(gè)斜齒輪嚙合產(chǎn)生的軸向動(dòng)態(tài)嚙合分力相互抵消，因此，齒輪系統(tǒng)主要有扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和橫向振動(dòng)(在二維平面內(nèi)的平移運(yùn)動(dòng)），振動(dòng)形式表現(xiàn)為齒輪系統(tǒng)的彎-扭耦合振動(dòng)。在這種情況下，一對(duì)斜齒輪副的典型的動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。

圖1 齒輪彎-扭耦合動(dòng)力學(xué)模型

圖2 齒輪彎-扭耦合動(dòng)力學(xué)模型

圖2 中Ip、Ig分別為主、被動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，mp、mg分別為主、被動(dòng)齒輪的平動(dòng)慣量，Rp、Rg分別為主、被動(dòng)齒輪的分度圓半徑，Cpy、Cgy分別為主、被動(dòng)齒輪的y方向平動(dòng)的阻尼系數(shù)，kpy、kgy分別為主、被動(dòng)齒輪的y方向平動(dòng)的剛度。

齒輪動(dòng)力學(xué)模型為一個(gè)二維平面振動(dòng)系統(tǒng)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，不考慮齒面摩擦，輪齒的動(dòng)態(tài)嚙合力沿嚙合線方向作用，因此，該模型為4自由度系統(tǒng)，分別為主、被動(dòng)齒輪繞旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和y方向的平移自由度。其廣義坐標(biāo)矩陣[]δ為：

式中，yp、yg分別為主、被動(dòng)齒輪y方向的平移振動(dòng)位移；θp、θg分別為主、被動(dòng)齒輪繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)位移。

由圖2可知，P點(diǎn)的振動(dòng)位移與主動(dòng)輪廣義坐標(biāo)之間的關(guān)系為：

G點(diǎn)的振動(dòng)位移與被動(dòng)輪廣義坐標(biāo)之間的關(guān)系為：

設(shè)輪齒嚙合的法向剛度為km，則橫向剛度為

因此，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析模型為

式中，切向動(dòng)態(tài)嚙合力Fp為

將切向動(dòng)態(tài)嚙合力Fp代入式（5）中，并整理成下面矩陣形式

由于求解系統(tǒng)的固有頻率，因此可以不考慮阻尼矩陣和激振力矩陣。只需要求解出剛度矩陣和質(zhì)量矩陣便可。則

2 參數(shù)計(jì)算

2.1 質(zhì)量參數(shù)計(jì)算

根據(jù)上下齒輪軸的零件圖可以計(jì)算出齒輪軸的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量。其中mp= 13703.9kg，Ip= 1059.4kg?m2，mg=10943.3 kg，Ig= 933.8kg?m2。

2.2 齒輪嚙合剛度計(jì)算

對(duì)斜齒輪系統(tǒng)，由于其嚙合是由輪齒的一端開始，并逐漸擴(kuò)展至整個(gè)齒面，最后由輪齒的另一端退出嚙合的。因此，斜齒輪輪齒的嚙合綜合剛度雖然是時(shí)變的，但并不像直齒嚙合剛度存在著階躍性突變，而是在某一均值下的微小波動(dòng)。由此，輪齒嚙合剛度用平均剛度來(lái)簡(jiǎn)化對(duì)線性耦合振動(dòng)動(dòng)態(tài)特性的分析是適宜的。影響輪齒嚙合剛度的主要因素有：齒形參數(shù)(齒厚、齒高、齒形及曲率半徑)、設(shè)計(jì)參數(shù)(螺旋角β、重合度αε、齒圈截面形狀等)、齒輪制造誤差及齒向嚙合誤差?？梢愿鶕?jù)一種常用的方法來(lái)確定輪齒平均嚙合剛度。該方法中定義了單對(duì)齒嚙合剛度和平均嚙合剛度。

對(duì)于外嚙合剛性齒輪，在載荷作用下，其單對(duì)齒剛度可按下式計(jì)算：

式中，Zv2、Zv2分別為大、小齒輪的當(dāng)量齒數(shù)。

式中，αε為端面重合度。

上式適用于 45β≤ °的斜齒輪。而此分速箱中齒輪的螺旋角β= 25.7245°。

總嚙合剛度為

式中，b為齒輪寬度，b=0.76m。

則依據(jù)公式(10)～(12)可計(jì)算出km1=km2= 1.86× 1 010N/m 。

此分速箱中，由于每個(gè)齒輪軸中都有兩個(gè)齒輪，在此把兩個(gè)單個(gè)齒輪看作并聯(lián)關(guān)系，即齒輪軸上的齒輪嚙合剛度等于其上兩個(gè)斜齒輪的嚙合剛度之和。則齒輪軸的總嚙合剛度為k= 3.72× 1010N/m。

2.3 平移剛度kpy和kgy計(jì)算

圖3為分速箱中齒輪軸的軸承布置圖。根據(jù)圖3，kpy和kgy分別為上下兩組雙列圓錐滾子軸承徑向剛度的等效剛度。參考文獻(xiàn)7和文獻(xiàn)8，可知圓錐滾子軸承的徑向剛度計(jì)算公式為

圖3 分速箱中齒輪軸的軸承布置圖

式中，l為滾子全長(zhǎng)，mm；z為滾子數(shù)；α為接觸角；aF為預(yù)緊力，N。

式中，d為軸承孔徑，mm。

查詢零件圖可知，l=82mm，α=11°z=28、30、23，0aF=2100N。

根據(jù)式（13），并基于串聯(lián)等效原則，可分別計(jì)算出，k=1.58× 1010N/m ，kgy= 1.46× 1 010N/m 。

綜合以上計(jì)算結(jié)果，則系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)表

把表1的參數(shù)代入公式(4)、(8)、(9)中，利用matlab求解特征值和特征向量的函數(shù)[ V ,D] = eig(K,M)，可以很方便地求出齒輪系統(tǒng)的各階固有頻率及主振型（表2）。

表2 主傳動(dòng)系統(tǒng)的各階固有頻率及主振型（Hz）

可見，第一階固有頻率為零，表示存在剛體運(yùn)動(dòng)。這和采用的模型是相關(guān)的，因?yàn)辇X輪在扭轉(zhuǎn)方向上是無(wú)約束的，數(shù)學(xué)上體現(xiàn)為剛度矩陣K并不是正定矩陣，而是半正定矩陣。第二階固有頻率為165.5Hz，振型表現(xiàn)為主動(dòng)齒輪與被動(dòng)齒輪反向平動(dòng)和反向轉(zhuǎn)動(dòng)。第三階固有頻率為180.2Hz，振型表現(xiàn)為主動(dòng)齒輪與被動(dòng)齒輪同向平動(dòng)和反向轉(zhuǎn)動(dòng)。第四階固有頻率為180.2Hz，振型表現(xiàn)為主動(dòng)齒輪與被動(dòng)齒輪同向平動(dòng)和反向轉(zhuǎn)動(dòng)。由動(dòng)力學(xué)理論可知，設(shè)備的前幾階固有頻率振動(dòng)容易被激發(fā)，而且當(dāng)外界激勵(lì)載荷頻率與結(jié)構(gòu)固有頻率相近時(shí)，產(chǎn)生較強(qiáng)的振動(dòng)幅值。

3 齒輪箱振動(dòng)測(cè)試

為驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，對(duì)齒輪分速箱開展振動(dòng)測(cè)試，分別在輸入側(cè)和輸出側(cè)箱體上布置加速度傳感器。采集分速箱輸入側(cè)和輸出側(cè)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)信號(hào)。

在軋制過(guò)程中，該軋機(jī)出現(xiàn)了劇烈振動(dòng)，振源位置為弧形齒接軸。振動(dòng)是由于弧形齒磨損，嚙合間隙過(guò)大，產(chǎn)生嚙合沖擊引起的。因此，振動(dòng)主要頻率為弧形齒嚙合頻率，加之結(jié)構(gòu)的非線性將衍生出其二倍頻和三倍頻的振動(dòng)頻率。分速箱與弧形齒接軸直接相連，接軸劇烈振動(dòng)傳遞到分速箱中，引起分速箱出現(xiàn)振動(dòng)。根據(jù)軋制工藝參數(shù)，計(jì)算弧形齒接軸嚙合頻率處在55～60Hz，其二倍頻、三倍頻分別處在110～120Hz和165～180Hz。因此，在分速箱振動(dòng)測(cè)試試驗(yàn)中，分速箱外界激勵(lì)載荷頻率為55～60Hz及其倍頻，且基頻載荷幅值最大（圖4）。

圖4 軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)布置圖

圖5 和圖6為分速箱輸入側(cè)和輸出側(cè)的時(shí)域信號(hào)及其頻域信號(hào)。時(shí)域圖中，振動(dòng)幅值在0.2g以內(nèi)，振動(dòng)強(qiáng)度整體比較穩(wěn)定。頻域圖中，分速箱輸入側(cè)振動(dòng)優(yōu)勢(shì)頻率為55Hz、110Hz、145Hz和170Hz，其中145Hz頻率幅值最大，其次為55Hz；輸出側(cè)振動(dòng)優(yōu)勢(shì)頻率為55Hz、105Hz、145Hz、155Hz和170Hz，其中170Hz頻率幅值最大，其次為155Hz附近?？傮w來(lái)看，輸入軸和輸出軸在145～170Hz振動(dòng)強(qiáng)度較大，超過(guò)了基頻引起的振動(dòng)強(qiáng)度，說(shuō)明145～170Hz處在分速箱固有頻率附近。外界激勵(lì)載荷頻率與分速箱固有頻率相接近，激發(fā)了分速箱的共振，使該頻率振動(dòng)表現(xiàn)出了更強(qiáng)的振幅。

圖5 分速箱輸入側(cè)振動(dòng)時(shí)域圖（左圖）、頻域圖（右圖）

圖6 分速箱輸出側(cè)時(shí)域圖（左圖）、頻域圖（右圖）

通過(guò)振動(dòng)測(cè)試可以確定145～170Hz存在分速箱固有頻率，本文理論計(jì)算的分速箱二階固有頻率（165.5Hz）和三階固有頻率（180.2Hz）與實(shí)際振動(dòng)測(cè)試結(jié)果相接近。說(shuō)明本文建立的齒輪動(dòng)力學(xué)模型是有效的，具有工程價(jià)值。

上述分析可知，分速箱固有頻率區(qū)間與接軸弧形齒嚙合頻率的二倍頻區(qū)間相接近，弧形齒的嚙合沖擊與分速箱齒輪系統(tǒng)發(fā)生共振，這也是造成軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)不斷加劇的原因之一。因此，今后在分速箱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，需要考慮固有頻率的調(diào)整，使之避免與軋機(jī)系統(tǒng)其他部件的激振頻率相接近。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）根據(jù)分速箱人字齒輪結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立了分速箱齒輪系統(tǒng)的彎-扭耦合動(dòng)力學(xué)模型。計(jì)算了動(dòng)力學(xué)模型中剛度、質(zhì)量等關(guān)鍵參數(shù)，求解了分速箱齒輪系統(tǒng)的固有頻率，分別為0Hz、165.5Hz、180.2Hz和1202Hz。

（2）分速箱振動(dòng)測(cè)試試驗(yàn)中，外界激勵(lì)載荷頻率為55～60Hz及其倍頻；分速箱輸入軸和輸出軸在145～170Hz振動(dòng)強(qiáng)度較大，超過(guò)了基頻引起的振動(dòng)強(qiáng)度，145～170Hz區(qū)間處在分速箱固有頻率附近。

（3）本文理論計(jì)算的分速箱二階固有頻率（165.5Hz）和三階固有頻率（180.2Hz）與實(shí)際振動(dòng)測(cè)試結(jié)果相接近，本文建立的齒輪動(dòng)力學(xué)模型是有效的，具有工程價(jià)值。

（4）分速箱齒輪系統(tǒng)固有頻率與接軸弧形齒嚙合頻率二倍頻相接近，引起分速箱共振，加劇軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)。