岳鵬飛，王德石，趙洋，刁詩靖

(海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

擺彈機(jī)是大口徑艦炮實現(xiàn)彈藥自動化轉(zhuǎn)運(yùn)的關(guān)鍵機(jī)構(gòu)，它將炮彈由揚(yáng)彈系統(tǒng)交接給發(fā)射系統(tǒng)，其動作可靠性影響艦炮高發(fā)射率的實現(xiàn)。以往研究將擺彈機(jī)簡化為一個末端帶質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)懸臂梁[1-2]，僅考慮擺彈臂彎曲變形[3-4]的影響。實際上炮彈質(zhì)心偏離擺彈臂軸線，炮彈姿態(tài)擾動引起的慣性激勵力導(dǎo)致擺彈臂呈現(xiàn)彎扭耦合振動規(guī)律[5-7]，使得擺彈臂振動位移不再局限于上擺運(yùn)動平面內(nèi)，這對于擺彈機(jī)轉(zhuǎn)運(yùn)彈藥的可靠性造成較大影響。因此，研究擺彈機(jī)系統(tǒng)彎扭耦合動力學(xué)，對于提高其動作可靠性具有重要意義，反映了艦炮自動機(jī)設(shè)計的迫切需求。

擺彈機(jī)需要在較短時間內(nèi)完成上擺動作，并與轉(zhuǎn)彈機(jī)完成彈藥交接，針對擺彈機(jī)動力學(xué)和優(yōu)化設(shè)計等問題成為學(xué)者們關(guān)注的熱點。考慮到擺彈臂彈性變形引起機(jī)構(gòu)運(yùn)動誤差，文獻(xiàn)[8]通過動力學(xué)誤差分析確定了擺彈和轉(zhuǎn)彈接口應(yīng)滿足的誤差裕度。文獻(xiàn)[9]結(jié)合支持向量回歸機(jī)與蒙特卡洛法，分析了擺彈機(jī)構(gòu)的可靠性靈敏度。針對艦炮傳統(tǒng)供彈系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問題，文獻(xiàn)[10]根據(jù)變胞理論提出了一種新型彈藥裝填機(jī)構(gòu)，建立了剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，研究了機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動誤差。文獻(xiàn)[11-12]綜合考慮揚(yáng)、擺動作，設(shè)計了一型兩自由度的彈藥協(xié)調(diào)器，基于一種給定的隱式李雅普洛夫函數(shù)給出了協(xié)調(diào)器的位置控制算法。

不同于在平面坐標(biāo)系中研究擺彈臂轉(zhuǎn)動和彎曲變形耦合的振動響應(yīng)，本研究考慮炮彈質(zhì)心偏離引起的慣性效應(yīng)，在空間坐標(biāo)系中建立擺彈機(jī)系統(tǒng)彎扭耦合模型，根據(jù)Hamilton原理推導(dǎo)出時變方程，利用振型疊加法將動力學(xué)方程離散，結(jié)合數(shù)值算例分析炮彈質(zhì)心位置變化對擺彈機(jī)振動特性的影響規(guī)律，研究結(jié)果對于提高供彈系統(tǒng)交接彈藥的可靠性具有應(yīng)用價值。

1 物理模型

擺彈機(jī)儲能機(jī)構(gòu)利用炮身復(fù)進(jìn)動作為上擺彈簧儲存能量，當(dāng)炮彈由揚(yáng)彈機(jī)送入抱彈器后，壓縮狀態(tài)的上擺彈簧帶動齒條進(jìn)行水平運(yùn)動，齒條通過圓柱齒輪帶動擺彈臂開始上擺動作。圖1為擺彈機(jī)系統(tǒng)動力學(xué)模型。為了研究擺彈機(jī)系統(tǒng)的振動響應(yīng)，作如下假設(shè)：擺彈臂橫截面積為定值，其剪切中心軸與質(zhì)心軸重合；擺彈臂的橫截面在扭轉(zhuǎn)振動過程中仍保持為平面；不考慮擺彈臂軸向變形量的影響。

如圖1所示，擺彈臂繞圓柱齒輪中心O轉(zhuǎn)動，擺彈臂長為L，單位長度線密度為ρ(x)，擺彈臂單位長度轉(zhuǎn)動慣量為J，截面慣性矩為I，楊氏彈性模量為E。以O(shè)點為圓心建立慣性直角坐標(biāo)系X0Y0Z0，OX0Y0平面坐標(biāo)系描述擺彈臂大范圍轉(zhuǎn)動，Z0軸與擺彈臂旋轉(zhuǎn)軸重合。將OX0Y0平面繞Z0軸逆時針轉(zhuǎn)動θ，形成坐標(biāo)系X1Y1Z1，擺彈臂橫向變形量為u(x,t)，上擺彈簧提供的驅(qū)動力矩為τ。

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，驅(qū)動力矩可以表示為

τ=(F0-kr0θ)r0,

(1)

式中：F0為初始壓力；k為上擺彈簧剛度；r0為圓柱齒輪半徑。

如圖2所示，以擺彈臂軸線上某點S為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系X2Y2Z2，其中Z2軸與Z0軸平行，X2軸在OX1Y1平面內(nèi)并且與X1軸成角θs，Y2軸方向由右手螺旋定則確定。將SY2Z2平面繞X2軸逆時針(向X2負(fù)方向看去)旋轉(zhuǎn)φ，形成直角坐標(biāo)系X3Y3Z3，擺彈臂扭轉(zhuǎn)角位移為φ(x,t)。假設(shè)坐標(biāo)系X1Y1Z1的單位方向矢量分別為ξ1(t)、η1(t)和ζ1(t)，坐標(biāo)系X3Y3Z3的單位方向矢量分別為ξ3(t)、η3(t)和ζ3(t)。

為便于研究，將擺彈臂簡化為半徑為R的等截面圓柱體，取長度為dx的微元為研究對象，微元段內(nèi)某點的矢徑R(t)可以表示為

R(t)=ξ1(t)x+η1(t)u(x,t)+

rcosγη3(t)+rsinγζ3(t),

(2)

式中,r和γ均為柱坐標(biāo)參數(shù)。

如圖3所示，將炮彈和抱彈器整體視為質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為Q，擺彈臂末端切線延長線與炮彈質(zhì)心所在橫截面的交點為P，擺彈臂末端距P點距離為c，定義為炮彈質(zhì)心離心距，P點和Q點之間距離為e，定義為炮彈質(zhì)心偏心距。先將OX1Y1平面繞Z1軸逆時針轉(zhuǎn)動θd，再將其沿X4軸方向平移至原點與P點重合形成坐標(biāo)系X4Y4Z4，Q點在Z4軸上，θd為炮彈質(zhì)心相對于未變形擺彈臂軸線的角位移。將PY4Z4平面繞X4軸逆時針(向X4軸負(fù)方向看去)旋轉(zhuǎn)φd，得到直角坐標(biāo)系X5Y5Z5，其單位方向矢量分別為ξ5(t)、η5(t)和ζ5(t)，φd為炮彈扭轉(zhuǎn)角位移。

用r(t)表示炮彈質(zhì)心Q的矢徑，有

r(t)=ξ1(t)L+η1(t)u(L,t)+

ξ5(t)c+ζ5(t)e.

(3)

2 系統(tǒng)動力學(xué)方程

考慮到θs，φ，θd和φd數(shù)值較小，根據(jù)式(2)、(3)，系統(tǒng)動能可以表示為

(4)

式中：Th為圓柱齒輪動能；J0和JE分別為過炮彈質(zhì)心相對于Z4軸和X4軸平行線的轉(zhuǎn)動慣量。

系統(tǒng)勢能包括彈性變形勢能和重力勢能，有

(u(L,t)+cu′(L,t)-eφ(L,t))sinθ],

(5)

式中：G為剪切彈性模量；Ip為擺臂截面極慣性矩。

根據(jù)假設(shè)模態(tài)法和分離變量法，擺彈臂橫向振動和扭轉(zhuǎn)振動的解可以表示為

(6)

(7)

式中：i為模態(tài)階數(shù)；N為模態(tài)截斷數(shù)；Yi(x)和Φi(x)分別為第i階橫向振動和扭轉(zhuǎn)振動的振型函數(shù)；Ai(t)和Bi(t)分別為對應(yīng)的第i階模態(tài)坐標(biāo)。

外力矩對系統(tǒng)做功可以表示為W=τθ，根據(jù)Hamilton原理，可以得到系統(tǒng)動力學(xué)方程

(8)

式中,M、C、K均為2N+1階矩陣。

角速度以及系統(tǒng)振動響應(yīng)的時變性引起M、C、K矩陣的時變性，矩陣中非零元素的具體形式為

M11=J0+Jh+m[u(L,t)+cu′(L,t)-eφ(L,t)]2+

m(L+c)(Y(L)+cY′(L)),

M13=-me(L+c)Φ(L),

m(cY′(L)+Y(L))T(cY′(L)+Y(L))+

M23=-me[cY′(L)+Y(L)]TΦ(L),

u(L,t)-eφ(L,t))(cY′(L)+Y(L)),

F1=τ-mg[(L+c)sinθ-eφ(L,t)cosθ+(u(L,t)+

F3=mgesinθΦT(L).

3 振型函數(shù)

針對系統(tǒng)彎扭耦合振動方程型函數(shù)的求解問題，Sakawa[5]提出一種利用一對具有耦合邊界條件的解耦偏微分方程來描述旋轉(zhuǎn)梁運(yùn)動姿態(tài)的動力學(xué)模型，進(jìn)一步通過耦合邊界條件確定振型函數(shù)的參數(shù)。根據(jù)這種方法，引入?yún)?shù)β，并且β>0，定義特征參數(shù)λ和α，令

(9)

(10)

在x=0處，擺彈臂橫向振動和扭轉(zhuǎn)振動的邊界條件為

u(x,t)|x=0=0，u′(x,t)|x=0=0，φ(t,0)=0。

根據(jù)等截面Bernoulli-Euler梁模型，擺彈臂橫向振動和扭轉(zhuǎn)振動的振型函數(shù)分別為

Y(x)=C1[sin(βx/L)-sinh(βx/L)]+

C2[cos(βx/L)-cosh(βx/L)],

(11)

(12)

式中,Ci(i=1,2,3)為振型函數(shù)的系數(shù)。

將u(L,t)、u′(L,t)和φ(L,t)作為廣義變量，相對應(yīng)的廣義力可以表示為

f1=EIu?(L,t)，f2=-EIu″(L,t)，f3=-GIpφ′(L,t)。

根據(jù)第二類Lagrange方程，得到炮彈姿態(tài)控制方程組

(13)

在自由振動條件下，式(13)的振型函數(shù)為

(14)

將式(11)和(12)代入式(14)中以確定系數(shù)Ci(i=1,2,3)的值，可以得到

(15)

方程(15)存在非零解的條件是|aij(β)|=0。根據(jù)求得βi(i=1,2,…)的值，定義變量

(16)

綜合式(11)、(12)和(16)，可以得到第i階模態(tài)對應(yīng)振型函數(shù)為

(17)

(18)

采用四階龍格-庫塔法求解方程(8)，針對某一求解時刻，將該時刻的計算結(jié)果以及對應(yīng)的M、C、K矩陣的值作為下一求解時刻的初值進(jìn)行迭代計算。

4 數(shù)值仿真

針對某型大口徑艦炮進(jìn)行數(shù)值仿真計算，射擊狀態(tài)為平射，根據(jù)供輸彈系統(tǒng)結(jié)構(gòu)原理可知，為了實現(xiàn)彈藥姿態(tài)與輸彈通道相匹配，此時擺彈臂上擺角位移行程為90°，對應(yīng)著擺彈臂由下垂直位上擺到水平同步位，定義廣義坐標(biāo)列陣

q=[θ,AT(t),BT(t)]T,

(19)

表1 物理參數(shù)

針對炮彈質(zhì)心偏心距對擺彈臂振型函數(shù)的影響進(jìn)行研究。取c=0.05 m，e的取值范圍為0.01～0.05 m，圖4、5分別為擺彈臂前3階彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形的振型。當(dāng)e小于0.02 m時，彎曲變形振型幅值遠(yuǎn)大于扭轉(zhuǎn)變形，說明質(zhì)量偏心距較小時，橫向彎曲振動是其主要振動形式。當(dāng)e大于0.02 m時，扭轉(zhuǎn)變形相對于彎曲變形的振型幅值之比減小，擺彈臂扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)逐漸凸顯。根據(jù)上述分析，質(zhì)量偏心距影響擺彈臂系統(tǒng)慣性參數(shù)的空間分布規(guī)律，相較于扭轉(zhuǎn)振型，炮彈質(zhì)量偏心距對彎曲振型的影響較大，隨著質(zhì)量偏心距增大，系統(tǒng)振動形式由彎曲振動逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閺澟ゑ詈险駝印?/p>

炮彈偏心距引起擺彈臂扭轉(zhuǎn)變形，炮彈離心距決定擺彈臂負(fù)載的大小，擺彈機(jī)系統(tǒng)振動響應(yīng)是橫向振動、扭轉(zhuǎn)振動和大范圍角運(yùn)動共同作用的結(jié)果，進(jìn)一步研究炮彈質(zhì)心位置變化下的系統(tǒng)振動特性。

4.1 炮彈質(zhì)心偏心距的影響

炮彈質(zhì)心偏心距的影響如圖6所示，圖中曲線1表示炮彈質(zhì)心偏離量e=0，曲線2表示炮彈質(zhì)心偏離e=0.05 m。由曲線1可知，擺彈臂末端彎曲變形量最大幅值為2.618 mm，上擺角速度最大幅值為2.984 rad/s，上擺運(yùn)動時間為0.7 s，其時間歷程曲線近似為光滑曲線，波動幅度較小。由曲線2可知，擺彈臂彎曲變形量最大幅值為3.943 mm，上擺角速度最大幅值為3.914 rad/s，角速度出現(xiàn)較大幅度振蕩，擺彈臂末端扭轉(zhuǎn)角位移最大幅值為9.934 mrad。研究表明，相較于僅考慮橫向彎曲變形量影響的擺彈機(jī)動力學(xué)模型，炮彈質(zhì)心偏離使得擺彈機(jī)工作力學(xué)環(huán)境更加復(fù)雜，引起彎曲變形量幅值增大約50%，并且擺彈臂橫截面出現(xiàn)幅值約10 mrad的扭轉(zhuǎn)角位移，導(dǎo)致炮彈上擺位置偏差，影響機(jī)構(gòu)交接動作可靠性，在擺彈機(jī)振動特性分析中應(yīng)該考慮炮彈質(zhì)心偏離的影響。

4.2 炮彈質(zhì)心離心距的影響

進(jìn)一步研究炮彈質(zhì)心離心距對擺彈臂振動響應(yīng)的影響。取e=0.03 m，在有無炮彈質(zhì)心離心距兩種情形下進(jìn)行數(shù)值仿真。不計炮彈質(zhì)心離心距情形下，如圖7中曲線1所示，擺彈臂末端橫向振動位移最大幅值為3.842 mm，扭轉(zhuǎn)角位移最大幅值為9.778 mrad，上擺角速度最大幅值為4.083 rad/s，擺彈臂上擺運(yùn)動時間0.642 s?？紤]炮彈質(zhì)心離心距的影響，取c=0.05m，如圖7中曲線2所示，相較于曲線1的結(jié)果，擺彈臂末端振動位移最大幅值增大了2.6%，扭轉(zhuǎn)角位移最大幅值增大了1.6%，上擺角速度最大幅值減小了4.3%，擺彈臂完成上擺動作延后57 ms。研究表明，考慮炮彈質(zhì)心離心距條件下，擺彈機(jī)負(fù)載增大，上擺角速度減小，擺彈臂橫向振動位移和扭轉(zhuǎn)角位移幅值增大。綜上可知，炮彈由揚(yáng)彈筒傳入抱彈器的初始位置影響擺彈機(jī)動態(tài)特性，機(jī)構(gòu)運(yùn)動誤差隨著彈藥轉(zhuǎn)運(yùn)路徑逐漸積累，最終影響彈藥位置精度和機(jī)構(gòu)動作可靠性。

5 結(jié)束語

筆者考慮炮彈質(zhì)心偏離擺彈臂軸線的情形，根據(jù)Hamilton原理推導(dǎo)出擺彈機(jī)系統(tǒng)彎扭耦合振動方程，進(jìn)一步將方程離散成模態(tài)坐標(biāo)表示的微分方程組，分析了炮彈質(zhì)心位置變化對擺彈臂振型函數(shù)和系統(tǒng)振動特性的影響，得到如下結(jié)論：炮彈質(zhì)心偏心距是影響擺彈臂彎曲振型的重要因素。炮彈質(zhì)心偏離條件下，上擺角速度出現(xiàn)振蕩，擺彈臂末端彈性變形量幅值顯著增大，影響擺彈機(jī)轉(zhuǎn)運(yùn)彈藥精度，在擺彈機(jī)動力學(xué)分析中應(yīng)該考慮炮彈質(zhì)心偏離的影響。當(dāng)炮彈質(zhì)心離心矩增大時，擺彈臂末端振動響應(yīng)幅值增大以及上擺角速度減小，引起擺彈和轉(zhuǎn)彈機(jī)構(gòu)交接動作時間誤差。建立的擺彈機(jī)系統(tǒng)彎扭耦合動力學(xué)模型以及求解方法，適用于大口徑艦炮旁側(cè)路擺彈以及中腹擺彈系統(tǒng)的振動特性分析，對于研究擺彈機(jī)交接誤差界限和提高供彈系統(tǒng)可靠性具有重要意義。