裘子劍 劉繼興

(①江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學院無錫機電分院，江蘇 無錫 214028;②北京航空航天大學能源與動力工程學院，北京 100191)

圓弧端齒最早由美國的格里森公司在二戰(zhàn)時期設(shè)計研發(fā)，其目的是為了給活塞發(fā)動機曲軸(crankshaft)提供精確的連接[1]。由于圓弧端齒良好的自動定心精度及高承載能力，被廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動機的轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)中，如RB199、EJ200、MK202、RTM322等[2-3]。

Pisani S R分別采用有限元法和邊界元法對圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中系數(shù)進行了分析，研究表明采用有限元方法計算端齒類帶多接觸面的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，具有很好的適應(yīng)性[4-5]。Honeywell的Muju S提出將圓弧端齒齒根倒角設(shè)計成多段復(fù)合結(jié)構(gòu)，計算結(jié)構(gòu)表明該結(jié)構(gòu)能夠顯著降低齒根應(yīng)力集中，提高端齒的疲勞壽命[6]。Yuan S等重點研究了重型燃氣輪機中使用的端齒結(jié)構(gòu)在不同載荷作用下的應(yīng)力分布、拉桿松弛/失諧以及剛度分析[7]，研究表明在工作轉(zhuǎn)速下，由于端齒受離心力載荷作用，會出現(xiàn)轉(zhuǎn)子拉桿松弛效應(yīng)。Bannister R H首次采用有限元方法對端齒結(jié)構(gòu)的剛度模型進行分析，提出用等效截面慣性矩參數(shù)進行定量描述端齒結(jié)構(gòu)的彎曲剛度，并分析了端齒結(jié)構(gòu)局部等效截面慣性矩與軸段截面慣性矩的關(guān)系對轉(zhuǎn)子動力特性的影響[8]。Jiang X等針對重型燃氣輪機的單排圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)，提出了考慮端齒結(jié)構(gòu)細節(jié)的軸向壓縮剛度模型[9]，該模型采用有限元計算/實驗方法得到關(guān)鍵位置處的變形參數(shù)，從而得到端齒的軸向壓縮剛度。

對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)連接結(jié)構(gòu)對動力特性的影響研究，現(xiàn)有研究主要有套齒、螺栓、止口[10]等，對于套齒聯(lián)軸器結(jié)構(gòu)的研究，主要研究不對中、套齒嚙合剛度、嚙合力以及阻尼的影響。NASA的研究[11]采用非常簡化的模型分析了套齒、止口定心面和端齒的阻尼特性，該模型能夠簡單分析端齒的剛度、阻尼特性影響因素，但模型較為粗糙，很難直接應(yīng)用于工程實踐中。對于螺栓連接結(jié)構(gòu)的研究，Yu L等[12]提出了螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的雙線性模型，即拉壓剛度不同，且壓縮剛度明顯高于拉伸剛度；Qin Z[13]發(fā)展了一種螺栓連接結(jié)構(gòu)的雙線性彎曲剛度分析模型，并將該模型應(yīng)用于帶螺栓連接結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子動力特性分析中，結(jié)果表當螺栓出現(xiàn)松動現(xiàn)象時，其非線性剛度影響明顯增大。Nagaraj B D等研究了盤鼓混合式轉(zhuǎn)子螺栓連接結(jié)構(gòu)在不同轉(zhuǎn)速下的彎曲剛度特性及松動特性，研究表明由于接觸面的損失，導致螺栓連接結(jié)構(gòu)連接剛度明顯下降，連接結(jié)構(gòu)出現(xiàn)松動[14]。尹澤勇院士提出端齒梁元模型[15]，該模型將拉桿轉(zhuǎn)子的圓弧端齒等效為梁單元，梁單元的剛度參數(shù)采用有限元方法或試驗方法得到。

綜上，現(xiàn)有對于圓弧連接結(jié)構(gòu)的研究主要是采用三維有限元方法對結(jié)構(gòu)參數(shù)進行分析、優(yōu)化。對于端齒剛度方面的研究，主要是針對拉桿轉(zhuǎn)子的單排圓弧端齒進行分析,鮮有雙排圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)剛度特性及其對轉(zhuǎn)子動力特性影響的研究工作。因此本文借鑒已有研究，采用有限元方法獲取雙排圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)的彎曲剛度特性，并將彎曲剛度的非線性特征引入轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學模型中，研究了雙排圓弧端齒局部剛度非線性對轉(zhuǎn)子動力特性的影響，為雙排圓弧端齒的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供分析方法和數(shù)據(jù)參考。

1 圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)特征

圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)用于航空燃氣輪機中，主要用于傳遞高壓渦輪和高壓壓氣機之間的扭矩和軸向力載荷，并將高壓轉(zhuǎn)子分為兩個裝配模塊，如圖1a所示。在轉(zhuǎn)子裝配過程中，利用工裝將轉(zhuǎn)子內(nèi)、外側(cè)端齒相互貼緊，然后利用螺栓預(yù)緊力進行轉(zhuǎn)子軸向壓緊，扭矩載荷通過內(nèi)外側(cè)齒面?zhèn)鬟f。端齒的主要載荷包括：螺栓預(yù)緊力、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)子扭矩、轉(zhuǎn)子彎矩和熱載荷等，其中預(yù)緊力、轉(zhuǎn)速和熱載荷為軸對稱載荷，所有端齒面載荷相同，扭矩和彎矩為非對稱載荷，會導致端齒載荷承載面和非承載面接觸狀態(tài)差異較大。

將端齒結(jié)構(gòu)沿周向展開得到齒形截面如圖1b所示，圖中θ為壓力角，ha為齒頂高，hb為齒根高，hf為齒全高，c為齒頂間隙，hc為齒頂?shù)菇歉?，hg為山形底高度，λg為山形底角度，Rd為齒根圓角。

2 雙排圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度特性

2.1 雙排圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)有限元模型

有限元模型在ANSYS WORKBENCH18平臺建立，由于模型的周期對稱特性，采用1/24模型(模型共有48對端齒，24個壓緊螺栓)進行分析，并施加周期對稱邊界條件。材料選取為1Cr18Ni9Ti。模型采用20節(jié)點的186單元，全六面體網(wǎng)格，共有單元75 321個，節(jié)點295 615個；在端齒的8個配合面處建立TARG170/CONT174接觸單元，接觸摩擦系數(shù)為0.15；螺栓預(yù)緊力采用PRET179單元施加。對于法蘭盤及軸段部分采用1.0 mm的單元尺寸，并且僅進行單方向結(jié)構(gòu)化，而對圓弧端齒局部及齒根部分進行局部加密，并采用全結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，端齒模型如圖2a和2b所示。

載荷邊界條件如圖2c所示，其中在B界面處施加軸向和周向位移為0約束，載荷包括：(1)螺栓軸向力，40 kN，如圖中A處載荷。(2)轉(zhuǎn)速，13 000 r/min。(3)扭矩，20 000 N·m，等效扇區(qū)切向力為6 830.6 N，如圖2中C處載荷。由于端齒的接觸面較多，為了提高計算的收斂性，分3個載荷步依次施加預(yù)緊力、轉(zhuǎn)速和扭矩載荷。

2.2 圓弧端齒彎曲剛度特性

分析計算彎曲剛度時，在2.1節(jié)基礎(chǔ)載荷上，對模型施加彎矩載荷，利用有限元分析得到彎矩載荷作用下的連接結(jié)構(gòu)傾角，從而得到連接結(jié)構(gòu)的角剛度與彎矩載荷的關(guān)系曲線如圖3所示，可以看出端齒彎曲剛度表現(xiàn)為軟特性，彎曲剛度隨彎矩載荷的增大而減小。100 N·m低載荷下，圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)角剛度有1×108N·m/rad，剛度較好。

首先對切線彎曲剛度與彎矩載荷的關(guān)系曲線進行擬合，采用二次指數(shù)形式(注：二次指數(shù)函數(shù)形式為f(x) =axb+c)進行擬合可以得到擬合后的剛度曲線方程為

K=3.603×1013M-2.941+7.896×107

(1)

采用數(shù)值積分方法可以得到剛度與角變形量的關(guān)系曲線如所示。K與轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系可以很方便地擬合得到

K=0.000 182 5θ-1.875+7.827×107

(2)

3 圓弧端齒對轉(zhuǎn)子動力特性的影響

3.1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學模型

M=KM(φ)·Δφ

(3)

式中:KM(φ)為連接結(jié)構(gòu)的彎曲剛度，該非線性剛度與連接結(jié)構(gòu)在該處的相對轉(zhuǎn)角有關(guān)。

記連接結(jié)構(gòu)左右兩側(cè)的作用力分別為RL和RR，當轉(zhuǎn)子在連接結(jié)構(gòu)兩側(cè)發(fā)生相對變形時，連接結(jié)構(gòu)的作用力可以表示為

(4)

式中:Miθ=MΔθi/Δφ，Miφ=MΔφi/Δφ，分別為連接結(jié)構(gòu)在θ和φ方向的反作用力矩。忽略連接結(jié)構(gòu)的質(zhì)量特征，則在連接結(jié)構(gòu)兩側(cè)的反作用力矩相等，即

RL+RR=0

(5)

由力平衡方程可得

帶有連接結(jié)構(gòu)的多盤兩支點轉(zhuǎn)子系統(tǒng)如圖5所示，系統(tǒng)共有m個節(jié)點，僅考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的橫向振動(忽略軸向振動和扭轉(zhuǎn)振動)，系統(tǒng)共有4m個自由度，在系統(tǒng)有限元建模時以連接結(jié)構(gòu)為斷點，將系統(tǒng)分為3部分，此時系統(tǒng)動力學方程為

式中的相互作用力RL和RR通過連接結(jié)構(gòu)進行傳遞。上述分立的方程可用于求解各部分的動力學矩陣，對方程兩側(cè)進行求和可以得到系統(tǒng)的總體動力學方程。

3.2 計算模型

高推重比渦扇發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通常前兩階模態(tài)振型為剛體振型，第三階振型為轉(zhuǎn)子彎曲振型。因此建立的模型要能夠反映轉(zhuǎn)子前三階模態(tài)特征。為了模型簡化考慮，本章采用如圖5所示的兩支點三盤轉(zhuǎn)子模型，圖中SP為轉(zhuǎn)子支承結(jié)構(gòu)，忽略連接結(jié)構(gòu)的軸向尺寸認為L4的右側(cè)與L5的左側(cè)端點軸向重合。

航空發(fā)動機采用端齒連接的高壓轉(zhuǎn)子通常采用1-0-1支承方案，前支點位于高壓壓氣機各級盤之間，因此disk1模擬前伸壓氣機盤，disk2模擬其他壓氣機盤，disk3模擬渦輪盤，disk2與disk3之間為端齒連接結(jié)構(gòu)。各軸段的參數(shù)如表1所示，所有軸段均假設(shè)為實心軸，各軸段材料相同，密度為8 240 kg/m3，彈性模量為160 GPa，泊松比為0.31，各輪盤質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)如表2所示。

表1 軸段參數(shù) mm

表2 輪盤質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)

在模型中，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的兩處軸承支承的動力學參數(shù)為

kxx,SP1=kyy,SP1=2×107N/m,kxy,SP1=kyx,SP1=0,CSP1=0kxx,SP2=kyy,SP2=1×107N/m,kxy,SP2=kyx,SP2=0,CSP2=0

(8)

即忽略軸承支承處的交叉剛度項和阻尼項，且轉(zhuǎn)子支承剛度各向同性。

首先為了驗證轉(zhuǎn)子離散模型的計算準確性，在零轉(zhuǎn)速下分析不考慮連接結(jié)構(gòu)時轉(zhuǎn)子各階固有頻率隨與節(jié)點數(shù)量的關(guān)系如圖6所示，計算誤差的參照為節(jié)點數(shù)為53時計算得到的前三階頻率。由誤差圖可以看出，前三階頻率誤差隨節(jié)點數(shù)量的增加而減小，當n=12時，計算誤差小于0.1%，因此在下文計算中均采用節(jié)點數(shù)為12的模型。

考慮轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)處為剛性連接時，利用上述參數(shù)可以得出系統(tǒng)的前三階振型如圖7所示，前兩階振型為剛體振型、固有頻率分別為31.9 Hz、56.4 Hz，第三階振型為一階彎曲振型，固有頻率為78.0 Hz，因此該轉(zhuǎn)子模型能夠反映典型航空發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前三階模態(tài)振型。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的計算模型按前述方法給出，系統(tǒng)的阻尼系數(shù)選定為ξ=0.1，用前兩階無阻尼系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速折合系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼比，分析可得前兩階系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速分別為33.14 Hz和57.54 Hz，折合方法為

(9)

式中:α，β為比例阻尼系數(shù)；ω1，ω2為前兩階臨界轉(zhuǎn)速。

考慮系統(tǒng)的不平衡量為10 g·mm，不平衡量施加于disk2，求的3個盤的振動響應(yīng)如圖8所示。圖中考慮的轉(zhuǎn)子頻率范圍為1～120 Hz，包含模型轉(zhuǎn)子的前三階正進動臨界轉(zhuǎn)速，可以看出：

(1)由于轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)的彎曲剛度低于固定連接的剛性連接，因此考慮連接結(jié)構(gòu)的各階正進動臨界轉(zhuǎn)速均低于固定連接轉(zhuǎn)子，但其影響很小，其中影響最大的為第三階臨界轉(zhuǎn)速，降低1%，主要是由于轉(zhuǎn)子剛體振型，軸段部分的彎曲變形較小，連接結(jié)構(gòu)的剛度較大，且變形小，因此更接近剛性連接。

(2)連接結(jié)構(gòu)的剛度非線性對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應(yīng)影響很小，振幅影響均小于0.4%，因此航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學分析中，可以忽略圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)剛度非線性特征的影響。

4 結(jié)語

分析了雙排圓弧端齒的結(jié)構(gòu)特征和載荷特征，通過建立三維有限元扇區(qū)模型，首次得到了圓弧端齒的局部剛度非線性特征，并采用數(shù)值擬合方法將該非線性特征引入轉(zhuǎn)子動力學模型，得到了雙排圓弧端齒局部非線性剛度對轉(zhuǎn)子動力特性的影響。主要研究結(jié)論如下：

(1)彎矩增大時，接觸面的有效接觸減小，因此雙排圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度隨彎曲載荷的增大而減小，呈現(xiàn)明顯的軟特性。

(2)雙排圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度較高，在100 N·m低載荷下，圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)角剛度為1×108N·m/rad。

(3)雙排圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)的局部剛度非線性對彎曲臨界轉(zhuǎn)速影響較大，臨界轉(zhuǎn)速降低約1%，對動力響應(yīng)的影響約為0.4%；對剛體振型的響應(yīng)較小，對頻率和振幅影響均小于0.1%。