萬(wàn)里勇，陳家益

(1.南昌工學(xué)院人工智能學(xué)院，南昌 330108；2.江西師范大學(xué)管理科學(xué)與工程研究中心，南昌 330046；3.廣東醫(yī)科大學(xué)信息工程學(xué)院，廣東 湛江 524023)

在圖像的拍攝和處理的過程中，常常受到噪聲的干擾.其中高斯噪聲是一種常見的噪聲，其服從零均值的高斯分布，數(shù)學(xué)模型為：

f=s+n，

(1)

其中，s、n和f分別為原圖像、高斯噪聲和含噪圖像，n服從零均值的高斯分布，n～N(0，σn).高斯噪聲影響圖像的視覺效果及其應(yīng)用，去除高斯噪聲非常必要.去除高斯噪聲常用的有效方法有空間域的高斯濾波[1]、維納濾波[2]以及非局部均值濾波[3]，以及變換域的小波閾值去噪方法[4].高斯濾波的各項(xiàng)同性會(huì)破壞圖像的邊緣和紋理結(jié)構(gòu)，非局部均值濾波雖然能夠有效地去除高斯噪聲，但是其計(jì)算復(fù)雜度較高，缺乏實(shí)用性.而小波因?yàn)槠渚哂卸喾直媛史治龊托盘?hào)局部特征表示的能力，被廣泛應(yīng)用于圖像處理.Kumar等[5]提出了一種應(yīng)用于醫(yī)學(xué)超聲圖像的小波閾值去噪方法，在閾值的選取中引入了Fisz變換方法，但是其收縮函數(shù)采用軟閾值函數(shù)，未能有效地保持的圖像的邊緣和細(xì)節(jié).Li等[6]提出了帶邊緣檢測(cè)的優(yōu)化小波閾值去噪方法(WTDED)，將小波檢測(cè)出來的圖像邊緣，融合到小波閾值去噪圖像中.Sumathi等[7]提出一種四方向的拉普拉斯濾波器，以去除小波高頻圖像的噪聲.但是拉普拉斯濾波器是空間域?yàn)V波器，會(huì)破壞圖像的部分小波系數(shù).為了同時(shí)利用小波的稀疏表示特性和中值濾波的邊緣保持能力，Ullah等[8]將小波閾值去噪與中值濾波相結(jié)合，提出了一種運(yùn)用對(duì)數(shù)收縮函數(shù)的小波去噪方法(WDLSF).

圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)錯(cuò)綜復(fù)雜，邊緣的灰度存在跳躍，小波變換存在平移敏感性和缺乏方向選擇性等缺陷，難以有效地保持圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)，于是Selesnick等[9]提出了雙樹復(fù)小波變換(DTCWT)方法.雙樹復(fù)小波變換除了具有小波變換的優(yōu)點(diǎn)外，還具有平移不變性和多方向選擇性，這正是圖像處理所亟需的.鑒于不同分解尺度間的小波系數(shù)存在相關(guān)性，在雙樹復(fù)小波變換的基礎(chǔ)上，La等[10]提出了雙密度的雙樹復(fù)小波變換.Velayudham等[11]提出了一種結(jié)合局部像素分組和雙樹復(fù)小波包的圖像去噪方法，用雙樹復(fù)小波包對(duì)噪聲信息進(jìn)行識(shí)別，然后分三階段，每一階段用不同的噪聲強(qiáng)度參數(shù)對(duì)噪聲進(jìn)行去除.鑒于形態(tài)學(xué)在圖像處理中的廣泛而有效的應(yīng)用，牛犇等[12]將形態(tài)學(xué)濾波和雙樹復(fù)小波變換相結(jié)合，提出了基于最大后驗(yàn)估計(jì)的圖像去噪方法(DCWM).用形態(tài)學(xué)濾波對(duì)含噪圖像進(jìn)行預(yù)處理，然后用最大后驗(yàn)估計(jì)方法確定去噪閾值，對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理.Edla等[13]指出，小波閾值去噪的性能取決于閾值的選取，于是提出了一種基于雙樹復(fù)小波變換去噪的最優(yōu)閾值的計(jì)算方法.利用最優(yōu)閾值，噪聲對(duì)圖像均勻區(qū)域像素強(qiáng)度的影響得到完全抑制，而圖像的邊緣不受影響.但是其閾值缺乏自適應(yīng)性，對(duì)于性質(zhì)不同的圖像未必有效.Saeedzarandi等[14]提出了一種應(yīng)用多元t分布與非抽樣雙樹復(fù)小波變換的圖像濾波方法(UDT-CWT)，采用多元t分布作為無噪聲系數(shù)的先驗(yàn)概率，以正確建模小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性.

為了在圖像去噪中更有效地保持和恢復(fù)圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)，本文提出了基于雙樹復(fù)小波變換與雙邊濾波的圖像去噪方法(DCWBF).DCWBF充分利用雙樹復(fù)小波變換的平移不變性和多方向選擇性，用推導(dǎo)出自適應(yīng)的閾值去噪模型對(duì)含噪圖像進(jìn)行去噪處理，然后用改進(jìn)的雙邊濾波對(duì)去噪圖像進(jìn)行邊緣增強(qiáng)，最后用實(shí)驗(yàn)證明方法的有效性.

1 雙樹復(fù)小波變換

文獻(xiàn)[9]中首次提出雙樹復(fù)小波的概念，在論文中演示了數(shù)學(xué)分析和推導(dǎo)過程，并詳盡地對(duì)雙樹復(fù)小波變換的濾波器構(gòu)造和濾波效果分析進(jìn)行了充分的論述.雙樹復(fù)小波變換建立于小波理論基礎(chǔ)上.復(fù)數(shù)小波定義為

ψ(t)=ψh(t)+jψg(t)，

(2)

其中，ψh(t)和jψg(t)分別為復(fù)小波的實(shí)部與虛部.

雙樹復(fù)小波變換如圖1所示，其中h0(n)和h1(n)表示共軛正交濾波器對(duì)，g0(n)和g1(n)表示共軛積分濾波器對(duì)，↓2表示隔點(diǎn)采樣.雙樹復(fù)小波變換的思想路線為：在第一層分解中，若要求樹a和樹b的濾波器之間的延遲剛好是一個(gè)采樣周期，就可以保證樹b中第一層的隔點(diǎn)采樣后所得的數(shù)據(jù)恰好是采樣到樹a中因隔點(diǎn)采樣所丟掉的數(shù)據(jù)，這樣就會(huì)降低數(shù)據(jù)的丟失，也就不會(huì)有平移敏感性.在以后的各層分解中，為確保樹a和樹b在這一層和它之前的各層上的延遲差總和相對(duì)輸入剛好有一個(gè)采樣周期，那么兩樹所對(duì)應(yīng)的濾波器相頻響應(yīng)之間就會(huì)剛好有半個(gè)采樣周期的群延遲，而且兩組濾波器的幅頻就會(huì)相同.為了確保濾波器之間的線性相位，文獻(xiàn)[9]中采用雙正交小波變換，要求兩樹中其中一樹的濾波器為奇數(shù)長(zhǎng)，而另一樹的濾波器則是偶數(shù)長(zhǎng).因此，要使這兩棵樹呈現(xiàn)好的對(duì)稱性，只要求在每樹的不同層次間采用交替的奇偶濾波器.

圖1 雙樹復(fù)小波變換的分析濾波器組Fig.1 Analysis filter bank for dual tree complex wavelet transform

雙樹結(jié)構(gòu)的濾波器組使得雙樹復(fù)小波變換具有近似的平移不變性，并且二維的雙樹復(fù)小波變換能夠提供6個(gè)方向的細(xì)節(jié)信息，具有多方向選擇性，并且其具有較小的數(shù)據(jù)冗余以及完成重構(gòu)的能力.雙樹復(fù)小波繼承了離散小波的時(shí)頻局部化分析與多分辨率分析等優(yōu)良性能，另外具有多方向選擇性，如圖2所示，以及平移不變性，如圖3所示[9].

圖2 二維雙樹復(fù)小波的方向和幅值Fig.2 Direction and amplitude of two dimensional dual tree complex wavelet

圖3 雙樹復(fù)小波變換的平移不變性Fig.3 Translation invariance of dual tree complex wavelet transform

2 DCWBF方法

2.1 適應(yīng)的閾值去噪模型

根據(jù)高斯噪聲模型(如式(1))，經(jīng)小波變換后，可寫為

F=S+N，

(3)

(4)

根據(jù)貝葉斯估計(jì)的法則可得

(5)

上式取對(duì)數(shù)后等價(jià)于

(6)

根據(jù)噪聲的小波系數(shù)N和原圖像系數(shù)S的概率分布，上式等價(jià)于

(7)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)求極值的方法，上式等價(jià)于求解以下方程

(8)

從而得到自適應(yīng)的閾值去噪模型

(9)

2.2 改進(jìn)的雙邊濾波

經(jīng)過自適應(yīng)的閾值去噪模型去噪后的圖像，由于圖像的部分高頻系數(shù)與噪聲系數(shù)易混淆，以致去噪不徹底，或者去除了部分有用的圖像系數(shù).鑒于雙邊濾波具有保持邊緣和降噪平滑的能力，采用改進(jìn)的雙邊濾波對(duì)去噪圖像作進(jìn)一步的處理，以徹底去除噪聲和恢復(fù)圖像的邊緣.

雙邊濾波如式(10)所示，核函數(shù)是空間域核Gd與像素范圍域核Gs的結(jié)合，可以達(dá)到保持邊緣和降噪平滑的效果.

(10)

雙邊濾波的效果決定于其核函數(shù)Gd和Gs，核函數(shù)不僅考慮了像素的空間距離，還考慮了像素范圍域中的輻射差異，具有邊緣識(shí)別的能力.在圖像的平坦區(qū)域，像素值變化很小，那么像素范圍域權(quán)重就大，此時(shí)像素范圍域權(quán)重起主要作用，提升鄰域像素的相似性；在圖像的邊緣區(qū)域，像素值變化很大，對(duì)應(yīng)的像素范圍域權(quán)重就小，此時(shí)空間域權(quán)重起主要作用，從而保護(hù)了邊緣的信息.但是，一般的雙邊濾波核函數(shù)忽略了圖像與空間鄰域的特征，從而導(dǎo)致濾波缺乏魯棒性.于是，根據(jù)平滑區(qū)域的像素方差小，細(xì)節(jié)區(qū)域的像素方差大，我們提出了改進(jìn)的雙邊濾波

(11)

W=αGd+(1-α)Gs，

(12)

其中，

α用以決定空間域核Gd與像素范圍域核Gs的權(quán)重的分量，經(jīng)過圖像數(shù)據(jù)集的測(cè)試與驗(yàn)證，α取0.226為宜，為保持圖像的邊緣和細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)，Gs占主導(dǎo)地位.σd為鄰域像素位置的空間距離標(biāo)準(zhǔn)差，σs為原圖像小波子帶的標(biāo)準(zhǔn)差.小鄰域的像素相關(guān)性強(qiáng)，方差小，其空間域權(quán)重就大；反之，大鄰域的空間域權(quán)重小.平滑區(qū)域的像素相關(guān)性強(qiáng)，方差小，其像素范圍域權(quán)重大；反之，細(xì)節(jié)區(qū)域的像素范圍域權(quán)重小.因此，改進(jìn)的核函數(shù)自適應(yīng)于鄰域的大小和原圖像的特征，根據(jù)鄰域的大小和圖像特征自適應(yīng)地調(diào)整空間域核與像素范圍域核的權(quán)重，從而獲得平滑非細(xì)節(jié)區(qū)域而保持細(xì)節(jié)區(qū)域邊緣信息的效果.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)據(jù)分析

以處理器為Intel(R)i7、內(nèi)存為8 G的計(jì)算機(jī)和Matlab 2019a為實(shí)驗(yàn)操作環(huán)境，實(shí)驗(yàn)所用的數(shù)據(jù)集為BSD68、SET12和部分醫(yī)學(xué)圖像，其中醫(yī)學(xué)圖像如圖4所示.以最新提出的算法WTDED[6]、WDLSF[8]、DCWM[12]、UDT-CWT[14]作為參照，根據(jù)峰值信噪比(PSNR)和結(jié)構(gòu)相似性(SSIM)[15]以及圖像的視覺感知分析DCWBF方法的效果.PSNR和SSIM的定義如下:

圖4 醫(yī)學(xué)圖像Fig.4 Medical images

(13)

C1=(K1L)2，C2=(K2L)2.

(14)

3.1 去噪結(jié)果的PSNR和SSIM

數(shù)據(jù)集BSD68總共有68張性質(zhì)各異的圖像：包括人物、動(dòng)物、山水景觀、建筑等圖像，圖像尺寸各異，部分圖像偏暗而部分圖像偏亮.利用BSD68可以較準(zhǔn)確而穩(wěn)定地度量算法的性能.各算法在數(shù)據(jù)集BSD68上實(shí)驗(yàn)得到PSNR和SSIM值用曲線表示如圖5所示.其中，WDLSF和WTDED的PSNR和SSIM曲線處于較低位置，表明它們?cè)谠肼暤娜コ图y理結(jié)構(gòu)保持上的性能較差，另外，UDT-CWT在噪聲強(qiáng)度較低時(shí)，取得了相對(duì)良好的去噪效果，但是對(duì)于中、高強(qiáng)度的噪聲，其性能驟然走低.DCWM的去噪效果較好，對(duì)紋理結(jié)構(gòu)的保持和恢復(fù)得很好.相對(duì)地，本文提出的方法取得了更好的去噪效果，其PSNR和SSIM曲線高于所有算法，與去噪性能較好的DCWM相比，其PSNR比DCWM高出了大約0.8 dB，SSIM高出大約2.3%.

圖5 各算法對(duì)數(shù)據(jù)集BSD68去噪的PSNR和SSIMFig.5 The PSNR and SSIM of each filter on dataset BSD68

將各算法應(yīng)用于數(shù)據(jù)集SET12得到的PSNR和SSIM曲線如圖6所示.相對(duì)于數(shù)據(jù)集BSD68，各算法在SET12上的結(jié)果都稍有提高，但得到的結(jié)論是一致的.WDLSF和WTDED的性能相對(duì)較差，雖然UDT-CWT在噪聲強(qiáng)度較低時(shí)，性能表現(xiàn)還可以，但是總體上還是較差.而DCWM和DCWBF的性能較好，另外，DCWBF在性能上還是比DCWM超出一定的距離，PSNR比DCWM高出了大約0.85 dB，SSIM高出大約4.7%.結(jié)果表明了DCWBF算法在去噪徹底性與紋理結(jié)構(gòu)保持上的性能更優(yōu).

圖6 各算法對(duì)數(shù)據(jù)集SET12去噪的PSNR和SSIMFig.6 The PSNR and SSIM of each filter on dataset SET12

各算法對(duì)醫(yī)學(xué)圖像spine＿mri的去噪結(jié)果如圖7所示.其中UDT-CWT和WTDED的效果較差，特別是在噪聲強(qiáng)度較高時(shí)，它們的PSNR值和SSIM值驟然走低.雖然WDLSF的SSIM值較高，能夠有效地保持圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)，但是其PSNR值總體上不高.DCWM與本文算法DCWBF的性能表現(xiàn)較好，PSNR和SSIM曲線均處于較高位置.相對(duì)地，DCWBF還是比DCWM高出一定的距離，PSNR值大約高出0.85 dB，SSIM值高出2.2%.

圖7 各算法對(duì)醫(yī)學(xué)圖像spine＿mri去噪的PSNR和SSIMFig.7 The PSNR and SSIM of each filter on medical image spine＿mri

鑒于改進(jìn)的雙邊濾波是本文方法的重要部分，在數(shù)據(jù)集SET12上單獨(dú)驗(yàn)證其有效性.本文方法中分別用雙邊濾波(BF)與改進(jìn)的雙邊濾波(IBF)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示.根據(jù)數(shù)據(jù)的比較，在本文方法中結(jié)合改進(jìn)的雙邊濾波，比結(jié)合傳統(tǒng)的雙邊濾波具有一定的優(yōu)勢(shì)，對(duì)于表1中不同的噪聲強(qiáng)度，其PSNR平均提高0.26 dB，SSIM平均提高0.32%.

3.2 去噪圖像的視覺感知

各算法對(duì)乳腺圖像mammogram的去噪圖像如圖8所示，各分圖下的兩個(gè)數(shù)字為圖像對(duì)應(yīng)的PSNR和SSIM值.很明顯，WTDED去除不徹底，殘留的噪聲布滿整個(gè)畫面.UDT-CWT去噪后圖像出現(xiàn)了類似噪聲的偽影.WDLSF徹底去除了噪聲，但是圖像的模糊效果嚴(yán)重，圖像的紋理不清.DCWM的去噪效果相對(duì)較好，圖像的紋理較清晰，但是依然存在一些模糊效果.DCWBF的去噪效果圖非常清晰，圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)恢復(fù)得較好，細(xì)節(jié)更加豐富和細(xì)膩，比如圖像的右下角部分.根據(jù)圖像的PSNR和SSIM值可以得出同樣的結(jié)論.

圖8 各算法對(duì)含噪強(qiáng)度σ=35乳腺圖像mammogram的去噪圖像Fig.8 Denoised image of each filter on mammogram corrupted with noise of intensity σ=35

綜上所述，實(shí)驗(yàn)得出的客觀圖像質(zhì)量指標(biāo)和去噪圖像，驗(yàn)證了所提出方法的有效性與實(shí)用性，相對(duì)地，所提出方法具有更好的去噪和邊緣恢復(fù)性能.對(duì)于性質(zhì)不同的數(shù)據(jù)集，其始終取得一致良好的去噪結(jié)果.

4 結(jié)論

為了在有效去除高斯噪聲的同時(shí)，更好地保持和恢復(fù)圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)，提出了基于雙樹復(fù)效波變換與雙邊濾波的去噪方法.根據(jù)對(duì)圖像和噪聲的分布假設(shè)，推導(dǎo)出基于雙樹復(fù)小波變換的自適應(yīng)閾值去噪模型，用改進(jìn)的自適應(yīng)雙邊濾波器對(duì)去噪圖像進(jìn)行濾波，以徹底去除噪聲和增強(qiáng)圖像的邊緣.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證明了所提出方法的有效性，具有良好的去噪和邊緣恢復(fù)性能.將方法作進(jìn)一步的改進(jìn)，與Retinex圖像增強(qiáng)方法結(jié)合，應(yīng)用于圖像的去噪和增強(qiáng)，是我們下一步的研究工作.