謝超凡 葉阿真

摘要：近年來(lái)，大數(shù)據(jù)、人工智能、物聯(lián)網(wǎng)以及計(jì)算機(jī)視覺(jué)的蓬勃發(fā)展，使得市場(chǎng)對(duì)大學(xué)生的基礎(chǔ)工科能力需求有了質(zhì)的變化，同時(shí)，對(duì)相關(guān)課程尤其是基礎(chǔ)課程的設(shè)計(jì)有了更高的要求，希望基礎(chǔ)課程能有緊緊地圍繞新興的學(xué)科特別是人工智能這些有生命力的相關(guān)領(lǐng)域，在這種背景下，該文圍繞新工科背景下高等數(shù)學(xué)課程的計(jì)算思維進(jìn)行案例設(shè)計(jì)，并給出了三個(gè)相關(guān)案例。

關(guān)鍵詞：人工智能;新工科;計(jì)算思維

中圖分類(lèi)號(hào)：G642? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2021）33-0228-04

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

1 高等數(shù)學(xué)課程的改革背景

新工科時(shí)代的到來(lái)，特別是以人工智能為首的新興工程學(xué)科的蓬勃發(fā)展，使得大學(xué)生的計(jì)算思維培養(yǎng)變得尤為重要。培養(yǎng)大學(xué)生的多種思維能力;在計(jì)算思維的研討中要從實(shí)際出發(fā)，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，而不要把簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化;要注意內(nèi)容和方法的大眾化，講求實(shí)效。大學(xué)生是國(guó)家和社會(huì)的中堅(jiān)力量，如何使大學(xué)生所學(xué)的知識(shí)更好地服務(wù)社會(huì)，是目前最為迫切需要解決的問(wèn)題。段躍興認(rèn)為計(jì)算思維對(duì)培養(yǎng)當(dāng)今大學(xué)生自身素養(yǎng)、創(chuàng)新能力等方面的重要性，提出大學(xué)基礎(chǔ)教育應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維及計(jì)算能力為目標(biāo)，采用"1+X"模式， 提高大學(xué)生計(jì)算思維能力[1]。

美國(guó)卡內(nèi)基.梅隆大學(xué)周以真教授在美國(guó)計(jì)算機(jī)權(quán)威雜志ACM指出計(jì)算思維不是只屬于計(jì)算機(jī)科學(xué)家，而是每個(gè)人都應(yīng)具備的基本技能，在培養(yǎng)孩子的計(jì)算機(jī)能力時(shí)候要同時(shí)培養(yǎng)計(jì)算思維的能力[2]。計(jì)算思維促成NSF（美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)）的CDI（Cyber-Enabled Discovery and Innovation）計(jì)劃，CDI計(jì)劃的目的是借助計(jì)算思維的思想和方法促進(jìn)國(guó)家自然科學(xué)、工程技術(shù)領(lǐng)域發(fā)生重大變革，以此改變?nèi)藗兯季S的方式，從而使國(guó)家現(xiàn)代科技遙遙領(lǐng)先于世界[3-4]。2014年，CAS（Computing at School Working Group）深入分析思維的定義、核心概念、教學(xué)方法和評(píng)估框架，研制出計(jì)算思維培養(yǎng)框架，為中小學(xué)基礎(chǔ)課程中融入計(jì)算思維提供指導(dǎo)作用[5]。美國(guó)范德堡大學(xué)的Gautam Biswas 教授認(rèn)為盡管目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)計(jì)算思維與STEM教育之間的協(xié)同效應(yīng)，但對(duì)計(jì)算思維的領(lǐng)域共性與科學(xué)表示的領(lǐng)域特性時(shí)間的互換協(xié)調(diào)與探索，是教育領(lǐng)域的重大挑戰(zhàn)[6]。

以上學(xué)者均給出了通過(guò)基礎(chǔ)教育培養(yǎng)計(jì)算思維的重要性，也給出了相應(yīng)的概念模式，但是并沒(méi)有給出具體的實(shí)踐和實(shí)驗(yàn)方法步驟，為了探索新工科背景下的人才培養(yǎng)，提升基礎(chǔ)教育研究水平，面向高等數(shù)學(xué)與學(xué)科領(lǐng)域深度融合的教學(xué)改革新思路，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維能力為導(dǎo)向的教學(xué)內(nèi)容改革，推動(dòng)“人工智能、智能制造、互聯(lián)網(wǎng)+、云計(jì)算、大數(shù)據(jù)”等信息技術(shù)與基礎(chǔ)教育教學(xué)深度融合，使得高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程也能解決工程領(lǐng)域的大型科研問(wèn)題[7-11]。不管是學(xué)科的前沿問(wèn)題還是復(fù)雜系統(tǒng)的架構(gòu)問(wèn)題，都可以先通過(guò)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)工具來(lái)構(gòu)建基本方法和組件，使學(xué)生具備更扎實(shí)的基礎(chǔ)計(jì)算能力，為高年級(jí)的專(zhuān)業(yè)課程的基礎(chǔ)概念有了形象化的能力，不再畏懼復(fù)雜的計(jì)算和抽象知識(shí)。

將現(xiàn)有教學(xué)模式與計(jì)算思維下的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)效果對(duì)比實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)目前大學(xué)高等數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)思維相結(jié)合模式的缺點(diǎn)，主要體現(xiàn)在學(xué)生只會(huì)做單純的數(shù)學(xué)題，也就是說(shuō)本質(zhì)上和高中的水平并無(wú)拉開(kāi)太大的距離，一旦脫離課本尋求一個(gè)現(xiàn)實(shí)的切入點(diǎn)或者需要使用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行建模的時(shí)候，學(xué)術(shù)開(kāi)始感到無(wú)所適從和無(wú)從下手[12-14]。學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣了有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的答案的形式或者說(shuō)做題的模式和慣性，這在大學(xué)生素質(zhì)培養(yǎng)中反而變成成長(zhǎng)過(guò)程中的絆腳石，特別是即將到來(lái)的工業(yè)4.0時(shí)代，需要人才不僅具有計(jì)算機(jī)能力，更需要具備使用高等數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)課程來(lái)處理和建模實(shí)際問(wèn)題，解決實(shí)際問(wèn)題的能力，而這種問(wèn)題往往沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，也沒(méi)有統(tǒng)一的解題思路和慣性。改革現(xiàn)有的教學(xué)模式，讓學(xué)生在解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題中去學(xué)習(xí)知識(shí)，自我構(gòu)建知識(shí)、獲得技能，提升解決實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算建模思想。打破傳統(tǒng)的師生關(guān)系，倡導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性與教師教學(xué)的啟發(fā)性，學(xué)生的主觀能動(dòng)性與實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)相結(jié)合的思想，實(shí)踐又反過(guò)來(lái)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)理論知識(shí)。要突破目前高校高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)和實(shí)際需求脫鉤的問(wèn)題，因此需要尋求培養(yǎng)計(jì)算數(shù)學(xué)思維與高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的最優(yōu)切入點(diǎn)和案例點(diǎn)，使用各個(gè)學(xué)科中存在的高等數(shù)學(xué)元素，或者說(shuō)提煉出高等數(shù)學(xué)元素進(jìn)行結(jié)合從而組合成為一個(gè)案例，這樣不僅能豐富低年級(jí)學(xué)生的高等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更重要的是已經(jīng)進(jìn)入了工程實(shí)踐環(huán)節(jié)，知識(shí)來(lái)源于實(shí)踐，服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義得到了充分的體現(xiàn)。打破傳統(tǒng)的考核制、考級(jí)制學(xué)習(xí)方式，課程本身隔離了與其他課程的聯(lián)系，教師不應(yīng)該再去加大這種距離性，研究通過(guò)項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)重新把科研實(shí)踐的問(wèn)題把所有的相關(guān)知識(shí)組合在一起，達(dá)到一種知識(shí)最完美的耦合度。高等數(shù)學(xué)將重新煥發(fā)它作為基礎(chǔ)學(xué)科的生命力，從其他各個(gè)學(xué)科和工程類(lèi)專(zhuān)業(yè)中吸取積極的養(yǎng)分，并為高年級(jí)的課程學(xué)習(xí)打下更為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本文，提出了高等數(shù)學(xué)的幾個(gè)實(shí)際案例，涉及人工智能、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、概率論、變分學(xué)、偏微分方程等領(lǐng)域。

2 高等數(shù)學(xué)與計(jì)算思維融合設(shè)計(jì)案例

（1）高等數(shù)學(xué)計(jì)算最優(yōu)概率分布函數(shù)

案例一：系統(tǒng)的可靠性密度函數(shù)[p（t）]包含兩個(gè)未知參數(shù)，且隨時(shí)間[t]變化，系統(tǒng)函數(shù)的熵為公式（1）。在條件（2）（3）（4）下，使系統(tǒng)熵最大化的分布函數(shù)為正態(tài)分布。

[Max [J[p（t）]=-∞+∞-p（t）lnp（t）dt] （1） [ s.t.-∞+∞p（t）dt=1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -∞+∞tp（t）dt=μ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -∞+∞t2p（t）dt=ν2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?] （2）

（3）

（4） ]

證明：令 [G=-p（t）lnp（t）]，[G1=p（t）]，[G2=tp（t）]，[G3=t2p（t）].為：在約束條件下的拉格朗日方程：[H=G+λ1G1+λ2G2+λ3G3=-p（t）lnp（t）+λ1p（t）+λ2tp（t）+λ3t2p（t）]，則目標(biāo)函數(shù)為：

[[J*=-∞+∞Hdt= -∞+∞-p（t）lnp（t）+λ1p（t）+λ2tp（t）+λ3t2p（t）dt] （5） ]

根據(jù)取得極值的歐拉條件方程為：

[[-lnp（t）-1+λ1+λ2t+λ3t2=0] （6） [p（t）=eλ1-1+λ2t+λ3t2] （7） 代入約束條件（2）可得：

[ -∞+∞p（t）dt=-∞+∞eλ1-1+λ2t+λ3t2dt=eλ1-1e-λ22λ3-∞+∞eλ3x2dx=1] （8） ]

代入約束條件（3）可得：

[[ -∞+∞tp（t）dt=-∞+∞teλ1-1+λ2t+λ3t2dt=eλ1-1e-λ22λ3-∞+∞（x-λ22λ3）eλ3x2dx=-λ22λ3=μ] （9） 代入約束條件 （4）可得：

[λ2=μν2-μ2，λ3=12（μ2-ν2）] （10） 最終可得：

[p（t）=12π（ν2-μ2）e-（t-μ）22（ν2-μ2）] （11） ]

因此，系統(tǒng)最穩(wěn)定可靠的分布曲線為正態(tài)分布，均值為[μ]，方差為[σ2=ν2-μ2]，證明完畢。

（2）高等數(shù)學(xué)數(shù)值離散化偏微分方程

案例二：[?u?t=?2u?x2]

定值條件為：

（1）初始條件[（t=0）：u（x，0）=0，x∈[0，10]]

（2）[u（0，t）=100，t≥0]

（3）[u（10，t）=50，t≥0]

根據(jù)Crank-Nicolson方法，方程的左端改寫(xiě)為：[uj+1i-ujiΔt]，方程的右端，需要在時(shí)間點(diǎn)[j]和時(shí)間點(diǎn)[j+1]上對(duì)[?2u?x2]離散化。下面給出[?2u?x2]離散化的中心差分公式，由于是對(duì)空間域做差分，下面略去時(shí)間域上標(biāo)，根據(jù)泰勒展開(kāi)公式：

[[ui+1=ui+Δx?u?x|i+Δx22?2u?x2|i+Δx33！?3u?x3|i+o（Δx4）] （12） [ui-1=ui-Δx?u?x|i+Δx22?2u?x2|i-Δx33！?3u?x3|i+o（Δx4）] （13） 兩式相加可得：

[ui+1+ui-1=2ui+Δx2?2u?x2|i+o（Δx4）] （14） 移項(xiàng)可得[?2u?x2]離散化的中心差分公式：

[?2u?x2|i=ui+1-2ui+ui-1Δx2] （15） ]

根據(jù)式（14）和式（15）可得例1方程右端的離散化公式如下：

[[12（Fj+1i（u，x，t，?u?x，?2u?x2）+Fji（u，x，t，?u?x，?2u?x2））=12（?2u?x2|j+1i+?2u?x2|ji）] （16） ]

式（15）代入到式（16）可得：

[[12（?2u?x2|j+1i+?2u?x2|ji）=（（uj+1i+1-2uj+1i+uj+1i-1）+（uji+1-2uji+uji-1））2Δx2] （17） ]

則可推得例2的離散化方程如下：

[[uj+1i-ujiΔt=（（uj+1i+1-2uj+1i+uj+1i-1）+（uji+1-2uji+uji-1））2Δx2] （18） ]

為了建立迭代計(jì)算式，根據(jù)式 （18）把時(shí)間點(diǎn)[j+1]間的項(xiàng)移動(dòng)到方程式的左邊，把時(shí)間點(diǎn)[j]的項(xiàng)移動(dòng)到方程式的右邊，則可得：

[[-Δt2Δx2uj+1i+1+（1+ΔtΔx2）uj+1i-Δt2Δx2uj+1i-1=Δt2Δx2uji+1+（1-ΔtΔx2）uji+Δt2Δx2uji-1] （19） ]

令[r=Δt2Δx2]則，式（19）可寫(xiě)為：

[[-ruj+1i+1+（1+2r）uj+1i-ruj+1i-1=ruji+1+（1-2r）uji+ruji-1] （20） ]

假設(shè)[Δx=2]，則區(qū)間[0，10]分成5份，6個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)定值條件（2）以及式（20）可得：

[[-ruj+13+（1+2r）uj+12-ruj+11=ruj3+（1-2r）uj2+ruj1] （21） ]

其中，根據(jù)定值條件（2）[uj1=100，uj+11=100]值，代入式（21）可得：

[[-ruj+13+（1+2r）uj+12=ruj3+（1-2r）uj2+200r] （22） ]

同理，根據(jù)定值條件（3）以及式（22）可得：

[[-ruj+16+（1+2r）uj+15-ruj+14=ruj3+（1-2r）uj2+ruj1] （23） ]

其中，根據(jù)定值條件（3）[uj6=50，uj+16=50]值，代入式（23）可得：

[[（1+2r）uj+15-ruj+14=（1-2r）uj5+ruj4+100r] （24） ]

根據(jù)式（18），（23）和 （24） 令矩陣：

[A=1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2r]，

[B=1-2rr00r1-2rr00r1-2rr00r1-2r]

[w=[200r，0，0，100r]T]，則例1離散的迭代方程可以表示如下：

[? 1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2ruj+12uj+13uj+14uj+15=1-2rr00r1-2rr00r1-2rr00r1-2ruj2uj3uj4uj5+200r00100r]（25）

對(duì)于空間分布[U]來(lái)說(shuō)，原先是分成5個(gè)區(qū)間有6個(gè)點(diǎn)，由于定值條件的（2），（3）消掉了兩個(gè)自由度，剩下4個(gè)變量，對(duì)于線性方程組（25）來(lái)說(shuō)剛好可以解出未知的變量。再根據(jù)定值條件（1）就可以不停地迭代計(jì)算。

（3）高等數(shù)學(xué)中梯度下降法在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

案例三：BP網(wǎng)絡(luò)是現(xiàn)在應(yīng)用最為廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。它采用光滑活化函數(shù)， 具有一個(gè)或多個(gè)隱層， 相鄰兩層之間通過(guò)權(quán)值全連接。它是前傳網(wǎng)絡(luò)，即所處理的信息逐層向前流動(dòng)。而當(dāng)學(xué)習(xí)權(quán)值時(shí)， 卻是根據(jù)理想輸出與實(shí)際輸出的誤差，由前向后逐層修改權(quán)值（誤差的向后傳播， 即Back Propagation）。

BP網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1（以帶一個(gè)隱層和一個(gè)輸出單元的BP網(wǎng)絡(luò)為例）。

選定一個(gè)非線性光滑活化函數(shù)[g：R1→R1]， 并按稍后給出的規(guī)則確定了權(quán)矩陣[W=WmpM×P]和[w=wpn1≤p≤P，1≤n≤N]之后，對(duì)任一輸入信息向量[ξ=（ξ1，…，ξN）∈RN]， 網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出為

[[?m=g（Wm?τ）=g（p=1PWmpτp），m=1，…，M] （26） 其中隱層輸出為

[τp=g（wp?ξ）=g（n=1Nwpnξn）， p=1，…，P] （27） ]

假設(shè)給定一組樣本輸入向量[ξjJj=1?RN]及相應(yīng)的理想輸出[OjJj=1?RM]， 并記[ζjJj=1?RM]為相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)實(shí)際輸出。定義誤差函數(shù)

[[E（W，w）≡12j=1JOj-ζj2=12j=1Jm=1MOjm-gp=1PWmpg（n=1Nwpnξjn）2] （28） ]

權(quán)值矩陣[W和w]的確定（即學(xué)習(xí)過(guò)程）應(yīng)使誤差函數(shù)[E（W，w）]達(dá)到極小。為此，一個(gè)簡(jiǎn)單而又常用的方法是梯度下降法。取當(dāng)前權(quán)值[Wmp]的改變量為

[[ΔWmp=-η?E?Wmp=ηj=1J（Ojm-ζjm）g（Hjm）τjp=ηj=1JΔjmτjp] （29） ]

其中[η>0]為學(xué)習(xí)速率：

[[Δjm=（Ojm-ζjm）g（Hjm）] （30） 而[Hjm=p=1PWmpτjp] （31） ]

式（31）是隱層單元對(duì)第[m]個(gè)輸出層單元的線性輸入。進(jìn)一步，我們使用梯度下降法可以得到當(dāng)前權(quán)值[wpn]的改變量應(yīng)為：

[ [Δwpn=-η?E?wpn=-ηj=1J?E?τjp?τjp?wpn =ηj=1Jm=1M（Ojm-ζjm）g（Hjm）Wmpg（hjp）ξjn =ηj=1Jm=1MΔjmWmpg（hjp）ξjn =ηj=1Jδjpξjn] （32） [hjp=n=1Nwpnξjn δjp=g（hpj）m=1MΔjmWmp] （33） ]

綜合以上討論我們看到，應(yīng)用BP網(wǎng)絡(luò)時(shí)， 所處理的信息（工作流程）是前向傳播的，因此稱(chēng)為前傳網(wǎng)絡(luò)。而在網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)階段，是用誤差的向后（或稱(chēng)反向）傳播來(lái)逐層修改權(quán)值，因此稱(chēng)為反向傳播（Back Propagation）算法，使用的本質(zhì)是梯度下降法。

3 結(jié)論

在新工科背景下，老師們需要考慮如何把高等數(shù)學(xué)融入工程或者人工智能領(lǐng)域，使得高等數(shù)學(xué)不再是單純地做題式的教學(xué)，而應(yīng)該將它解放出來(lái)，它本身所蘊(yùn)含處理實(shí)際的實(shí)踐問(wèn)題和其他專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域的能量是巨大的，也只有把它跟其他學(xué)科結(jié)合起來(lái)，才能充分發(fā)揮其作為基礎(chǔ)學(xué)科的生命力。因此，設(shè)計(jì)高等數(shù)學(xué)與其他專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域或者其他課程之間的關(guān)聯(lián)案例就顯得尤為重要，本文提供了幾個(gè)案例涉及人工智能、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、概率論、變分學(xué)、偏微分方程等領(lǐng)域，不僅解放了高等數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，也使得學(xué)生學(xué)習(xí)其他課程提供了很好的橋梁，學(xué)生不僅將在高等數(shù)學(xué)課程中學(xué)習(xí)到本課程的思維，而且也將跟工程實(shí)踐的工科思維或者跟其他學(xué)科的思維緊密聯(lián)系在一起，從而在處理大型問(wèn)題具備多學(xué)科、多角度、多方位的思維習(xí)慣，計(jì)算與理性完美地結(jié)合。最后，案例設(shè)計(jì)是個(gè)開(kāi)放的形式，隨著案例的增加，多學(xué)科、多專(zhuān)業(yè)、多學(xué)院的課程之間的交叉將更為緊密，對(duì)于培養(yǎng)多個(gè)院系的學(xué)生之間的團(tuán)隊(duì)協(xié)作和溝通障礙的掃除也將產(chǎn)生積極的作用。

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