王波

摘要：選擇一個(gè)特定的周期鋸齒波信號(hào)，求出其離散頻譜函數(shù)及其幅度頻譜和相位頻譜，編制程序繪制其雙邊頻譜圖，探討利用Matlab輔助教學(xué)手段，使周期信號(hào)復(fù)傅里葉級(jí)數(shù)及相關(guān)理論教學(xué)過程直觀、可視化的一般方法。

關(guān)鍵詞：周期信號(hào);傅里葉級(jí)數(shù);離散頻譜函數(shù);幅度頻譜;相位頻譜;Matlab

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2021）33-0118-02

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1 引言

非正弦周期信號(hào)分解為傅里葉級(jí)數(shù)的理論是具有驚人洞察力的法國(guó)科學(xué)家傅里葉（J.Fourier）在1807年提出，并于1822年公之于世的[1]。其后，泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人將這一成果應(yīng)用到電學(xué)中，經(jīng)過近兩個(gè)世紀(jì)時(shí)間的發(fā)展，如今傅里葉分析法已廣泛成熟地應(yīng)用于眾多的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域[2]。

在諸如信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理等眾多的高等學(xué)校理工科專業(yè)基礎(chǔ)課的課程體系中，傅里葉級(jí)數(shù)理論是系統(tǒng)分析由時(shí)域轉(zhuǎn)向頻域的重要關(guān)節(jié)點(diǎn)，起著承前啟后的重要作用。在依托傳統(tǒng)教學(xué)手段的基礎(chǔ)上，借助Matlab軟件使傅里葉級(jí)數(shù)及相關(guān)理論脫離抽象，可在一定程度上降低教學(xué)難度，取得更好的教學(xué)效果。以下，將以一個(gè)特定的周期鋸齒波信號(hào)的雙邊頻譜圖的Matlab實(shí)現(xiàn)過程為例對(duì)此進(jìn)行說明。

2周期信號(hào)的復(fù)傅里葉級(jí)數(shù)及相關(guān)理論

2.1復(fù)傅里葉級(jí)數(shù)

狄里赫利（P.Dirichlet）嚴(yán)格證明了傅里葉級(jí)數(shù)理論，當(dāng)周期信號(hào)滿足狄里赫利條件時(shí)，可將其展開成傅里葉級(jí)數(shù)，傅里葉級(jí)數(shù)分為三角形式傅里葉級(jí)數(shù)和復(fù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)兩種[3]。三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)表明周期信號(hào)由直流成分及眾多的正弦、余弦函數(shù)形式的諧波分量疊加組成，而復(fù)指數(shù)級(jí)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)簡(jiǎn)稱為復(fù)傅里葉級(jí)數(shù)，其理論的核心內(nèi)容體現(xiàn)在以下一對(duì)數(shù)學(xué)變換式中[4]。

[ft=n=-∞∞Fnejnω1t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）Fn=1T-T2T2f（t）e-jnω1tdt? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）]

式（1）給出周期為T的連續(xù)時(shí)間信號(hào)f（t）的復(fù)傅里葉級(jí)數(shù)表示，其物理意義非常明確，意味著f（t）可分解為直流及無(wú)窮多個(gè)指數(shù)形式的諧波分量[Fnejnω1t]，其中的[ω1=2πT]稱為基波角頻率，而[nω1]則為f（t）中的n次諧波角頻率。

2.2離散頻譜函數(shù)及周期信號(hào)的雙邊頻譜

式（1）中各個(gè)諧波分量的復(fù)傅里葉系數(shù)[Fn]是實(shí)現(xiàn)周期信號(hào)復(fù)傅里葉級(jí)數(shù)表示的關(guān)鍵，可依據(jù)式（2）所示的積分變換求出[Fn]。

一般情況下，[Fn]為以各次諧波角頻率[nω1]為自變量的復(fù)函數(shù)，其極坐標(biāo)形式為[Fn=Fnejφn]，[Fn]的模[|Fn|]稱為幅度頻譜，[Fn]的輻角[φn]則稱為相位頻譜，它們分別反映了組成周期信號(hào)的各個(gè)諧波分量的幅度和相位隨[nω1]的變化關(guān)系。因?yàn)檎麛?shù)n的取值范圍為[-∞～+∞]，所以幅度頻譜和相位頻譜均為雙邊頻譜，在對(duì)應(yīng)的頻譜圖上，譜線都是僅出現(xiàn)在基波角頻率[ω1]整數(shù)倍即[nω1]處，故[Fn]亦稱為信號(hào)f（t）的離散頻譜函數(shù)。

3周期信號(hào)雙邊頻譜圖的實(shí)現(xiàn)

3.1實(shí)例時(shí)間信號(hào)

選擇一個(gè)周期T=2秒，峰值為1且位于每個(gè)周期最左側(cè)的周期鋸齒波信號(hào)f（t），在以t=0為奇函數(shù)對(duì)稱中心的周期內(nèi)，其可以用函數(shù)[ft=-2Tt=-t]加以描述，以此實(shí)例信號(hào)探討利用Matlab實(shí)現(xiàn)周期信號(hào)雙邊頻譜圖的方法。

3.2實(shí)例信號(hào)的頻譜

實(shí)例信號(hào)f（t）的基波角頻率為[ω1=2π2=π（rad/s）]，利用式（2）求對(duì)應(yīng)的離散頻譜函數(shù)。

[Fn=1T-T2T2f（t）e-jnω1tdt=12-11（-t）e-jnπtdt]

可知[F0=0]，即f（t）中不存在直流分量，而對(duì)于f（t）中的各交流諧波分量，則有

[Fn=-j1nπcosnπ=j（-1）n+11nπ（n=±1，±2，±3…）]

其中的幅度頻譜為

[Fn=1nπ=1nπ? ? ? ?（n=+1，+2，+3，…）-1nπ? ?（n=-1，-2，-3，…）? ? ?（3）]

相位頻譜為[φn=π2? ? ?（n=+1，+3，+5，…）-π2? ?（n=-1，-3，-5，…）-π2? ?（n=+2，+4，+6，…）π2? ? ?（n=-2，-4，-6，…）? ? ? （4）]

3.3雙邊頻譜圖的實(shí)現(xiàn)

根據(jù)上述討論內(nèi)容編制本文后續(xù)3.4部分給出的Matlab程序，通過其中代碼的順序執(zhí)行，可完成以下4步操作。

（1）以交互方式輸入一個(gè)數(shù)值，后續(xù)代碼將依據(jù)此值設(shè)定頻譜圖中繪制的最高次諧波譜線的諧波次數(shù);

（2）依次以[pi*t-1、0]為兩個(gè)實(shí)參調(diào)用sawtooth函數(shù)，生成并存儲(chǔ)實(shí)例周期鋸齒波信號(hào)f（t）的相關(guān)數(shù)據(jù);

（3）根據(jù)式（3）、式（4）分別計(jì)算并存儲(chǔ)幅度頻譜[|Fn|]和相位頻譜[φn]的相關(guān)數(shù)據(jù);

（4）在圖形窗口中，利用從上到下排列的（a）、（b）和（c）三個(gè)子窗口依次繪制f（t）的波形及其對(duì)應(yīng)的雙邊幅度頻譜圖和雙邊相位頻譜圖。

設(shè)定最高次諧波次數(shù)為15時(shí)，運(yùn)行程序?qū)⒌玫饺鐖D1所示的圖形窗口，周期信號(hào)的復(fù)傅里葉級(jí)數(shù)分解的思想得以形象、直觀地圖示，復(fù)雜理論的教學(xué)過程變得相對(duì)簡(jiǎn)單、方便。

可以借助圖1說明周期信號(hào)幅度頻譜的諧波性（譜線只能在基波角頻率[ω1]的整數(shù)倍即諧波角頻率[nω1]處出現(xiàn)）、離散性（頻譜圖由頻率離散的譜線組成，每根譜線代表一個(gè)諧波分量，兩根相鄰譜線之間的角頻率間隔為[ω1]）和收斂性（各譜線的高度即各諧波分量的幅度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸減小并直至趨于無(wú)窮?。?。另外，幅度頻譜[|Fn|]是諧波角頻率[nω1]的偶函數(shù)，相位頻譜[φn]則是[nω1]的奇函數(shù)的特征在圖1中也是顯而易見的。

3.4 程序代碼

display（'請(qǐng)輸入最高次諧波次數(shù)Nmax'）;

Nmax=input（'Nmax= '）;

t=-5：0.0001：5;

f=sawtooth（pi*（t-1），0）;

AbsFn=zeros（2*Nmax+1，1）;Phase=AbsFn;

fori=（Nmax+2）：（2*Nmax+1）

AbsFn（i）=1/（i-（Nmax+1））/pi;

AbsFn（2*Nmax+2-i）=AbsFn（i）;

end

fori=（Nmax+2）：2：（2*Nmax+1）

Phase（i）=pi/2;

Phase（2*（Nmax+1）-i）=-pi/2;

end

fori=（Nmax+3）：2：（2*Nmax+1）

Phase（i）=-pi/2;

Phase（2*（Nmax+1）-i）=pi/2;

end

subplot（311）;plot（t，f，'linewidth'，1.5）;

axis（[-4.8 4.8 -1.1 1.1]）;

xlabel（'＼itt? ? ? ＼rm單位：s'，'Fontsize'，9）;

ylabel（'（a）? 周期鋸齒信號(hào) f（t）'，'Fontsize'，9）;

k=-Nmax：Nmax;

subplot（312）;stem（k，AbsFn，'filled'）;

axis（[-NmaxNmax 0 0.34]）;

xlabel（'n＼omega_1? ? ? 單位：rad/s'，'Fontsize'，9）;

ylabel（'（b）? 幅度頻譜 |F_n|'，'Fontsize'，9）;

subplot（313）;stem（k，Phase，'filled'）;

axis（[-NmaxNmax -1.8 1.8]）;

xlabel（'n＼omega_1? ? ? 單位：rad/s'，'Fontsize'，9）;

ylabel（'（c）? 相位頻譜 ＼phi_n'，'Fontsize'，9）;

4結(jié)束語(yǔ)

不限于實(shí)例鋸齒波信號(hào)，只要按照上述說明的方法、步驟，將信號(hào)的函數(shù)表達(dá)式代入式（2）求出其對(duì)應(yīng)的離散頻譜函數(shù)[Fn]，并根據(jù)[Fn]的具體形式計(jì)算出[|Fn|]和[φn]的相關(guān)數(shù)據(jù)，對(duì)Matlab程序中的相關(guān)代碼加以有針對(duì)性地簡(jiǎn)單修改，此程序即可以應(yīng)用于諸如周期性三角波、周期性方波等許多一般周期信號(hào)的雙邊頻譜圖的繪制。

本文所敘述的工作，僅僅是Matlab實(shí)際應(yīng)用的一個(gè)簡(jiǎn)單的嘗試探索。由于在數(shù)值計(jì)算處理、數(shù)據(jù)可視化分析和系統(tǒng)直觀描述等方面具有強(qiáng)大的能力，Matlab一定會(huì)在高等學(xué)校眾多課程的理論和實(shí)踐教學(xué)過程中得到更廣泛的應(yīng)用。選擇恰當(dāng)?shù)闹R(shí)點(diǎn)，適時(shí)使用Matlab輔助教學(xué)手段，一定會(huì)取得較之傳統(tǒng)教學(xué)手段更好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 燕慶明.信號(hào)與系統(tǒng)教程[M].北京：高等教育出版社，2013：86.

[2] 馬金龍.信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：科學(xué)出版社，2010：114.

[3] 王明泉.信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：科學(xué)出版社，2008：79.

[4] 沈元隆.信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：人民郵電出版社，2003：71.

【通聯(lián)編輯：王力】