朱忠熏，周鋆鵬

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

矩陣是高等代數(shù)學中的常見工具，也常見于統(tǒng)計分析等應用數(shù)學學科中，但隨著社會的發(fā)展，高階高維、多索引數(shù)據(jù)在科學和工程領域的應用變得十分廣泛.因此作為矩陣的高階推廣，張量(超矩陣)開始被學者們所關注.由于張量與超圖有著自然的對應關系，因此可用張量來研究超圖.當今，超圖理論已經成為了相關領域學者們研究的熱點問題.很多關于超圖譜理論的結果和性質被提出，關于一致超圖的結果可看文獻[1-4]；關于一般超圖的結果可看文獻[5-6]；關于超圖極譜的結果可看文獻[7].文獻[2]中作者首次提出了關聯(lián)張量的概念，通過該張量的元素可以得到在與該張量對應的一致超圖中包含某一個、兩個、或兩個以上點的超邊數(shù)量，該性質是其他張量所不具有的，因此本文致力于研究關聯(lián)張量.在文獻[2]中給出了一般超圖對應關聯(lián)張量的一些重要性質；并且刻畫了一致超樹的極值結構.本文則刻畫階數(shù)為n且具有r個懸掛點的k一致連通超圖的極值結構，刻畫了n-r≥k，以及n-r∈[k-1]中的一些情況.

1 準備知識

對于正整數(shù)k，張量A=(Ai1i2…ik是一個k階n維的數(shù)組，其ij∈[n]:={1,…,n}，j∈[k].如果對于下標的任意置換σ有Ai1i2…lk=Aσ(i1)σ(i2)…σ(ik)，則稱張量A是對稱的.

對階數(shù)為n大小為m的k一致超圖H,它的關聯(lián)矩陣B(H)定義為B(H)=(B(H)ij)n×m，其中:

H的關聯(lián)張量定義為Q*(H)=B(H)IB(H)T(見文獻[8])，這里I是適當維數(shù)的單位張量.通過張量積的定義[9],有:

(Q*(H))i1i2…ik=(B(H)IB(H)T)i1i2…ik=

對邊e={vi1,…，vik}和向量x∈Rn,記x(e)=xvi1+…+xvik，則：

ρ(Q*(H))=max{|λ|∶Q*(H)xk-1=λx[k-1]}.

通過著名的Perron-Frobenius定理，存在一個對應于ρ(Q*(H))的單位正向量，稱其為H的主特征向量.為了方便，記ρQ(H)=ρ(Q*(H)).

引理1設H是連通k一致超圖.若H′是H的子圖，則ρQ(H′)≤ρQ(H).

引理3設H=(V,E)是連通k一致超圖且x是H的主特征向量.對i,m∈V(H)，如對每一條邊e∈E,i∈e暗示著m∈e，則xi≤xm.此外，如存在一條邊包含點m且不包含i，則xi

則:

通過引理2和引理3，類似于文獻[10]中引理5的證明，有下面的結果.

(i)c=2且t=0，或c≥3(參見文獻[10]).

2 主要結果

結論1F(V1)?F(V2)?……?F(Vc).

對任l2>l1，l1,l2∈[c],如果存在點u∈F(Vl2)F(Vl1)和點v∈F(Vl1)F(Vl2)，使得xu≥xv.設H1=H+((el1{v}∪{u})-el1，則通過引理2得ρQ(H1)>ρQ(H)，矛盾.因此F(Vl2)?F(Vl1)或F(Vl1)?F(Vl2).注意到|F(Vl2)|=k-|Vl2|≤k-|Vl1|=|F(Vl1)|.故F(Vl2)?F(Vl1).由l1，l2的任意性可得結論1.

設

因|V0|+|F(V1)|=n-r≥k+1且|V1|+|F(V1)|=k，有|V0|>|V1|.通過引理3，可設:

因|Vi+1|>|Vi|，設

ρQ(H)+[x(e0)]k>ρQ(H).

這與H具有最大關聯(lián)Q-譜半徑相矛盾，因此

結論3|V1|=|V2|=…=|Vc|.

得到一個矛盾.則|Vc|≤|V1|.注意到

1≤|V1|≤|V2|≤…≤|Vc|，因此

|Vc|=|V1|且|V1|=|V2|=……=|Vc|.

如果|V1|≥2,設H3是由H通過刪除e1并且添加|V1|條邊生成的超圖，這里每條新邊包含V1中的一個點，V0中的任|V1|-1個點和F(V1),容易看出：

結論4設u∈Vi,i∈[c]且v∈e0，則xu

H6=H-ei+{{ei{uk}}∪{uj}}.

3 結論

對于連通k一致超圖，首先得出了n-r≥k+1時，具有最大關聯(lián)Q-譜半徑的唯一超圖；又得出了n-r=k時，具有最大關聯(lián)Q-譜半徑的唯一超圖；最后考慮了n-r≤k-1中的r=c(k-n+r)和r=c(k-n+r)+1兩種情況，分別得出了具有最大關聯(lián)Q-譜半徑的唯一超圖.