李青倩，陳 躍，盛 濤

(1.浙江省土木工程工業(yè)化建造工程技術(shù)研究中心，寧波工程學(xué)院，浙江 寧波 315106；2.寧波大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，浙江 寧波 315211)

鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)是建筑結(jié)構(gòu)中廣泛應(yīng)用的一種結(jié)構(gòu)形式。然而，經(jīng)震后災(zāi)害調(diào)查可知，該類結(jié)構(gòu)在地震中容易發(fā)生不可修復(fù)的損傷[1-3]。據(jù)統(tǒng)計，框架結(jié)構(gòu)損傷破壞往往源于少數(shù)樓層變形集中形成的層屈服機制[4]。為了減少地震中不可修復(fù)的損傷、提高結(jié)構(gòu)的抗震性能，搖擺墻被引入到框架結(jié)構(gòu)中，進(jìn)而發(fā)展了框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)[5-6]。該結(jié)構(gòu)由框架與搖擺墻組成。框架結(jié)構(gòu)在水平荷載作用下，變形模式為剪切型，結(jié)構(gòu)的最大層間位移角出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)底部。而搖擺墻在水平荷載作用下，變形模式為彎曲型。兩者之間僅在樓層處由剪力連接鍵連接，共同工作協(xié)同作用。因此，框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的整體變形模式為彎剪型，變形集中的現(xiàn)象會大大降低。此外，由框架結(jié)構(gòu)承擔(dān)的水平力，轉(zhuǎn)嫁到搖擺墻結(jié)構(gòu)，內(nèi)力進(jìn)行了重新的分布?？蚣艿氖芰η闆r得到了緩解。研究表明：只要搖擺墻具有足夠的剛度和強度，搖擺墻可以有效地控制框架結(jié)構(gòu)的變形模式，使結(jié)構(gòu)的層間側(cè)移趨于均勻，減輕或避免框架結(jié)構(gòu)的層屈服破壞[7-9]。

查閱文獻(xiàn)可知[10-13]，既有研究中大多使用分布參數(shù)模型(Distributed parameter model(以下簡稱：DPM))來模擬框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)。具體來說，DPM分別采用剪切梁和彎曲梁模擬框架和搖擺墻，如圖1所示[10]。其中，H為模型總高度；x為模型的任意高度；K、EwIw分別為框架剪切剛度及搖擺墻的抗彎剛度；P(x)為外力分布函數(shù)；PF(x)為框架與搖擺墻之間的內(nèi)力分布函數(shù)。然而DPM有如下幾方面缺陷：1)由于框架結(jié)構(gòu)沿豎向質(zhì)量不均勻，因此用剪切梁模擬不合理；2)未考慮框架結(jié)構(gòu)沿豎向剛度的變化[14]；3)由于剪切梁和彎曲梁之間通過無限根剛性鏈桿連接，故導(dǎo)致兩梁的變形是相同的。因此，依據(jù)該模型求得的搖擺墻內(nèi)力曲線是光滑的，沒有任何突變，這與實際不符[15]；4)DPM只考慮了搖擺墻與基礎(chǔ)鉸接的方式。然而在實際結(jié)構(gòu)中，在搖擺墻底層通常會附加耗能裝置，從而會產(chǎn)生一定的抗彎剛度[15]。

依據(jù)工程實際情況，文中對已有的分布參數(shù)模型進(jìn)行了如下改進(jìn)：(1)采用集中質(zhì)量模型模擬框架結(jié)構(gòu)；(2)考慮框架結(jié)構(gòu)沿豎向剛度的變化；(3)框架與搖擺墻僅在樓層處連接；(4)在搖擺結(jié)構(gòu)底層引入反映基礎(chǔ)與搖擺墻之間約束強弱的轉(zhuǎn)動彈簧。文中基于以上的改進(jìn)，提出了一種模擬變剛度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的離散-連續(xù)參數(shù)模型(Discrete-Continuum Model(以下簡稱：DCM))。

1 離散-連續(xù)參數(shù)模型的理論公式

在DPM基礎(chǔ)上改進(jìn)的DCM模型，如圖2所示。DCM分別采用集中質(zhì)量模型和彎曲梁模擬框架和搖擺墻；K為框架頂層剪切剛度，并考慮其沿豎向的變化；框架與搖擺墻僅在樓層處用剛性鏈桿鉸接連接，并且通過剛性鏈桿傳遞剪力；Kr為搖擺墻底層轉(zhuǎn)動彈簧剛度；y(x)為結(jié)構(gòu)沿高度的側(cè)向位移；Fj為頂層框架與搖擺墻之間剛性鏈桿的軸力；F為頂層集中力。

圖1 分布參數(shù)模型 圖2 離散-連續(xù)參數(shù)模型Fig.1 Distributed parameter model(DPM) Fig.2 Discrete-continuum model(DCM)

考慮到搖擺墻的受力平衡，可以得出這樣的結(jié)論[10]：

(1)

為方便起見，定義無量綱參數(shù)：

(2)

(3)

ξ、β分別表示結(jié)構(gòu)的相對高度，轉(zhuǎn)動彈簧與搖擺墻相對剛度。因此方程(1)可簡化為：

(4)

求解方程(4)，可得通解為：

y=Aξ3+Bξ2+Cξ+D+y0.

(5)

在式(5)中，y0是方程(4)的一個特解。

若給出結(jié)構(gòu)體系的側(cè)移表達(dá)式y(tǒng)(x)，則搖擺墻的彎矩Mw、剪力Vw和轉(zhuǎn)角θ可表達(dá)為：

(6)

(7)

(8)

已知轉(zhuǎn)角θ，則可得轉(zhuǎn)動彈簧彎矩Mr：

(9)

DCM中集中質(zhì)量模型和彎曲梁僅樓層處具有相同的變形，因此可以得到框架結(jié)構(gòu)每層層的剪力VFi。為方便計算，引入表示框架結(jié)構(gòu)發(fā)生單位層間側(cè)移時所施加的水平力的參數(shù)ki[16]：

(10)

ki=δki-1.

(11)

注意，k1是框架結(jié)構(gòu)底層發(fā)生單位層間側(cè)移時所施加的水平力；n為樓層重復(fù)單元中的柱根數(shù)；Ef為框架彈性模量；Ic為柱子的慣性矩；Ib為梁的慣性矩；δ為變剛度系數(shù)。因此VFi為：

VFi=ki(yi-yi-1).

(12)

此外，DCM還能給出剛性鏈桿的軸力，有利于剛性鏈桿的設(shè)計。第i層處的鏈桿軸力Fi為:

當(dāng) 0≤i

Fi=VF(i+1)-VFi.

(13)

當(dāng)i=j：

Fi=VFi.

(14)

1.1 DCM在水平均布荷載作用下的側(cè)向位移表達(dá)式求解

當(dāng)P(ξ)=q時，為水平均布荷載，則式(4)的通解可以表示為：

(15)

式(15)中的系數(shù)可由以下邊界條件確定：

1)當(dāng)x=H,(ξ=1),Vw=-VFj

(16)

2)當(dāng)x=H,(ξ=1),Mw=0

(17)

剪力平衡

(18)

轉(zhuǎn)角相同

(19)

側(cè)移相同

(20)

彎矩相同

(21)

4)當(dāng)x=0,(ξ=0),Mw=Mr

(22)

5)當(dāng)x=0,(ξ=0),y=0

yξ=0=0.

(23)

1.2 DCM在水平倒三角荷載作用下的側(cè)向位移表達(dá)式求解

當(dāng)P(ξ)=qξ時，為水平倒三角荷載，則式(4)的通解可以表示為：

(24)

式(24)中的系數(shù)可由以下邊界條件確定：

1)當(dāng)x=H(ξ=1),Vw=-VFj

(25)

2)當(dāng)x=H(ξ=1),Mw=0

(26)

剪力平衡

(27)

轉(zhuǎn)角相同

(28)

側(cè)移相同

(29)

彎矩相同

(30)

4)當(dāng)x=0(ξ=0),Mw=Mr

(31)

5)當(dāng)x=0(ξ=0),y=0

yξ=0=0.

(32)

1.3 DCM在頂層集中荷載作用下的側(cè)向位移表達(dá)式求解

當(dāng)P(ξ)=0，且F≠0時，為頂層集中荷載，則式(4)的通解可以表示為：

y=Aξ3+Bξ2+Cξ+D.

(33)

式(33)中的系數(shù)可由以下邊界條件確定。

1)當(dāng)x=H(ξ=1),F=Vw+VFj

(34)

2)當(dāng)x=H(ξ=1),Mw=0

(35)

剪力平衡

(36)

轉(zhuǎn)角相同

(37)

側(cè)移相同

(38)

彎矩相同

(39)

4)當(dāng)x=0(ξ=0)Mw=Mr

(40)

5)當(dāng)x=0(ξ=0),y=0

yξ=0=0.

(41)

2 DCM精度驗證

本研究采用已有研究的模型案例[10]，見圖3所示，模型相關(guān)信息見表1。

圖3 框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)模型Fig.3 Frame-rocking wall model

表1 模型相關(guān)信息表Table 1 Model related information

運用ABAQUS建立框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖4所示。其中，梁、柱、墻及剛性鏈桿均采用桿單元。

圖4 框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.4 Finite element model of frame-rocking wall structure

為了驗證DCM的準(zhǔn)確性，將基于DCM和DPM及ABAQUS的計算結(jié)果進(jìn)行了比較。圖5(a)、(b)、(c)分別給出了搖擺墻的側(cè)移、彎矩及剪力沿豎向的變化曲線。另外，表2、表3分別給出了DCM與ABAQUS及DPM關(guān)鍵點的數(shù)值對比。

圖5 DCM與DPM及ABAQUS結(jié)果對比圖Fig.5 Comparison of DCM, DPM and ABAQUS results

由圖5(a)及表2可知，三者之間側(cè)移基本重合，頂點側(cè)移最大誤差為-1.9%。從表2中可以看出，DCM與ABAQUS結(jié)果的誤差都在10%以內(nèi)，說明DCM有較好的精度。由圖4(b)、(c)可知，DCM的內(nèi)力分布曲線相對于DPM有明顯突變，這一變化符合工程實際情況，即框架與搖擺墻僅在樓層處連接，說明DCM中的彎矩和剪力更加真實。從表3中可以得出，DCM與DPM的最大剪力誤差為12.9%。同時，DCM得到的彎矩最大值和剪力最大值均大于DPM得到的值。原因為：假設(shè)框架與搖擺墻通過無限根剛性鏈桿連接，而實際結(jié)構(gòu)中僅在樓層處連接，因此夸大了框架與搖擺墻的協(xié)同作用，導(dǎo)致DPM中搖擺墻最大彎矩和最大剪力偏小。通過比較，驗證了DCM的準(zhǔn)確性和可靠性。

2 參數(shù)分析

基于DCM模型，分析研究了δ與β的變化對搖擺墻的側(cè)移、IDR(層間位移角)、DCF(層間側(cè)移集中系數(shù))、彎矩、剪力及鏈桿軸力的影響。DCF由下式確定[17]：

(42)

DCF越小，均勻性越好，反之亦然。Δ表示頂點側(cè)移。

圖6顯示了頂點側(cè)移與δ和β的關(guān)系。由圖6可知，隨著δ及β的減小，頂點側(cè)移逐漸增大。原因為：隨著δ減小，框架沿豎向剛度的減小的幅度逐漸增大，從而導(dǎo)致?lián)u擺墻頂點側(cè)移變大；隨著β減小搖擺墻底層約束逐漸減弱，同樣導(dǎo)致?lián)u擺墻的頂點側(cè)移變大。圖7中IDR最大值的變化趨勢與圖5相同。圖8顯示了IDR最大值位置的分布情況，如下：隨著δ的減小、β的增加，IDR最大值位置逐漸上移。由圖9可知，隨著δ的減小，DCF先減小后增大。在δ=0.8時，DCF為最小。其中，當(dāng)β=0(鉸接)時，DCF達(dá)到最小值1.062，即結(jié)構(gòu)各層層間位移角趨于相同，搖擺墻控制結(jié)構(gòu)變形模式的效果最好。

圖6 頂點側(cè)移 圖7 IDR最大值Fig.6 Top lateral displacement Fig.7 The maximum IDR

圖8 IDR最大值位置分布 圖9 DCFFig.8 The maximum IDR position distribution Fig.9 DCF

由圖10可知，底層彎矩隨著β增大而逐漸增大、隨著δ增大而逐漸減小。由圖11可知，當(dāng)β=0(鉸接)時，隨著δ減小，彎矩最大值先減小后增大。其中，當(dāng)δ=0.8時彎矩最大值最小。其他情況下，彎矩最大值的變化趨勢與底層彎矩相同。由圖12～圖13可知，隨著δ、β減小，底層及頂層剪力逐漸減小。原因為：隨著δ的減小，框架沿豎向剛度減小的幅度逐漸變大，頂層框架與搖擺墻的協(xié)同能力減弱，頂層剪力逐漸減小。然而，由于框架結(jié)構(gòu)底層剛度不變，搖擺墻底層產(chǎn)生反向剪力，使底層剪力逐漸減小。此外，隨著β逐漸增加，基礎(chǔ)與搖擺墻的約束強度增加，會使搖擺墻底層和頂層剪力增加。

圖10 底層彎矩 圖11 彎矩最大值(絕對值)Fig.10 Bottom moment Fig.11 The maximum moment

圖12 底層剪力 圖13 頂層剪力(絕對值)Fig.12 Bottom shear force Fig.13 Top shear force (absolute value)

圖14 β=0時，δ對剛性鏈桿軸力的影響 圖15 δ=1時，β對剛性鏈桿軸力的影響Fig.14 β=0，influence of δ on the forces acting in the rigid links Fig.15 δ=1，influence of β on the forces acting in the rigid links

此外，DCM還可以提供連接框架與搖擺墻之間剛性鏈桿的軸力大小。由圖14～圖15可知，頂層鏈桿軸力始終遠(yuǎn)大于其他層。由圖14、圖16可知，隨δ逐漸減小，頂層鏈桿軸力逐漸減小，而底層鏈桿軸力逐漸增大。從圖15、圖16可以看出，頂層鏈桿軸力變化受β的影響不大；然而，底層鏈桿軸力的變化對β比較敏感，隨β逐漸增加，呈現(xiàn)出先減小，最后反向增加的現(xiàn)象。原因為：隨著δ的減小，框架沿豎向剛度減小的，幅度逐漸變大，頂層框架與搖擺墻的協(xié)同能力減弱，頂層鏈桿軸力減小。然而，由于框架結(jié)構(gòu)底層剛度不變，底層鏈桿軸力增大。此外，隨著β逐漸增加，搖擺墻底層約束增加，會使搖擺墻底層產(chǎn)生反向拉力。

圖16 頂層鏈桿軸力 (絕對值)Fig.16 Axial force of top rigid links (absolute value)

3 結(jié)論

本文對模擬框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)既有的分布參數(shù)模型進(jìn)行改進(jìn)。基于此，提出了一種模擬變剛度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的離散-連續(xù)參數(shù)模型。同時，對其合理性和精確性進(jìn)行了驗證，得出以下結(jié)論：

(1)與分布參數(shù)模型和ABAQUS有限元模型相比，離散-連續(xù)參數(shù)模型能夠更真實、合理地反映變剛度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的受力性能。該模型可在框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計中使用。

(2)框架變剛度系數(shù)δ取0.8時，搖擺墻對結(jié)構(gòu)的變形控制效果最好。其中，當(dāng)β=0(鉸接)時，DCF達(dá)到最小值1.062，即結(jié)構(gòu)各層層間位移角趨于相同，搖擺墻控制結(jié)構(gòu)變形模式的效果最好。

(3)離散-連續(xù)參數(shù)模型能顯示框架與搖擺墻之間剛性鏈桿受力的變化規(guī)律及軸力大小。其中，頂層剛性鏈桿軸力遠(yuǎn)大于其他層；β的變化對頂層鏈桿軸力幾乎沒有影響；然而，δ的變化對頂層鏈桿軸力的影響較為明顯。