陳素霞，黃全振，高繼勛

（1.河南工程學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，河南 鄭州 451191; 2.河南工程學(xué)院電氣信息工程學(xué)院，河南 鄭州 451191）

0 引 言

輪式機(jī)器人具有輕巧、靈活、載重大等特性，目前已成為國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)，并被廣泛應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域[1-2]。因其非完整約束、非線性等特點(diǎn)，輪式機(jī)器人的軌跡跟蹤有很多亟待解決的問題。

軌跡跟蹤作為輪式機(jī)器人實(shí)際應(yīng)用的基本問題，Kanayama等[3]利用Lyapunov第二方法，基于移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型，設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器。吳衛(wèi)國等[4]在此基礎(chǔ)上引入虛擬變量，設(shè)計(jì)全局漸進(jìn)穩(wěn)定控制器。程林俊等[5]在文獻(xiàn)[4]的研究基礎(chǔ)上，通過滑?？刂婆cbackstepping的結(jié)合，設(shè)計(jì)了滑模軌跡跟蹤控制器?？紤]到移動機(jī)器人質(zhì)心與驅(qū)動輪軸線中心重合的問題[6]，孫忠廷等[7]在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上引入自適應(yīng)控制的方法，設(shè)計(jì)了質(zhì)心與驅(qū)動輪軸線參數(shù)不確定的自適應(yīng)軌跡跟蹤控制器。宋立業(yè)等[8]利用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)神經(jīng)滑模軌跡跟蹤控制器。顧萬里等[9]在建立系統(tǒng)誤差模型的基礎(chǔ)上，引入虛擬中間控制輸入，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器。

以上研究在設(shè)計(jì)控制器時(shí)通常將車輪半徑、車身寬度假定為已知，沒有考慮到在實(shí)際應(yīng)用中，由于長時(shí)間使用、形變、環(huán)境、測量誤差以及移動機(jī)器人本身負(fù)載變化等因素的影響，往往無法通過測量得到車輪半徑和車身寬度的準(zhǔn)確值，進(jìn)而影響移動機(jī)器人軌跡跟蹤控制的精度。研究人員通過將輪胎半徑等不確定參數(shù)引入到運(yùn)動學(xué)模型，并且根據(jù)自適應(yīng)控制器在線估計(jì)參數(shù)。文獻(xiàn)[10]利用自適應(yīng)模糊滑?？刂品椒?，設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器。孫棣華等[11]通過利用backstepping方法，根據(jù)Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋的自適應(yīng)控制器。在運(yùn)動學(xué)模型的基礎(chǔ)上研究自適應(yīng)軌跡跟蹤，對移動機(jī)器人控制的工程應(yīng)用和學(xué)術(shù)研究具有重要意義[12]。

本文以兩輪差速移動機(jī)器人的運(yùn)動軌跡為研究對象，使用傳統(tǒng)運(yùn)動學(xué)模型無法保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在此基礎(chǔ)上通過引入自適應(yīng)參數(shù)，給出一種自適應(yīng)控制算法，使機(jī)器人系統(tǒng)在運(yùn)動過程中根據(jù)運(yùn)動狀態(tài)自動調(diào)節(jié)參數(shù)，保證跟蹤誤差的漸進(jìn)收斂和系統(tǒng)的穩(wěn)定，抑制不確定參數(shù)對系統(tǒng)控制精度的影響。

1 問題描述及模型建立

1.1 問題描述

本文以兩輪差速移動機(jī)器人為研究對象，由兩個(gè)獨(dú)立驅(qū)動的后輪控制，輸入為線速度v、角速度ω?？赏ㄟ^控制輸入，改變移動機(jī)器人位姿。

圖1 兩輪差速移動機(jī)器人模型

假設(shè)移動機(jī)器人運(yùn)動時(shí)只有滾動、無滑動現(xiàn)象，則滿足3個(gè)約束條件，且線速度方向始終在移動機(jī)器人中軸線上。約束條件如下式所示[13]：

約束條件可表示為：

因此，非完整約束機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型可表述為：

1.2 自適應(yīng)控制運(yùn)動學(xué)模型

當(dāng)以V作為控制輸入，構(gòu)建運(yùn)動學(xué)自適應(yīng)軌跡：

其中v1、v2分別為移動機(jī)器人左輪和右輪的角速度。

若僅考慮x、y、φ，忽略θl、θr，則v1、v2與移動機(jī)器人線速度v、角速度ω的關(guān)系可表示為：

將式（8）代入式（7），得到移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型的一般形式：

2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

由式（9）可知，移動機(jī)器人模型共有x、y兩個(gè)自由度，其輸出為3個(gè)變量，即該運(yùn)動學(xué)模型為欠驅(qū)動系統(tǒng)。

取理想運(yùn)動為參考機(jī)器人運(yùn)動軌跡，通過對實(shí)際機(jī)器人線速度v、角速度ω的設(shè)計(jì)，完成對參考機(jī)器人的軌跡跟蹤。

參考機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型可表示為：

式中：xr、yr、φr——參考機(jī)器人位姿；

vr、ωr——參考機(jī)器人控制輸入，且vr>0。

參考機(jī)器人Rr與實(shí)際機(jī)器人R位姿示意圖如圖2所示。

圖2 參考機(jī)器人與實(shí)際機(jī)器人位姿示意圖

其中e為不同位姿狀態(tài)下，參考機(jī)器人Rr與實(shí)際機(jī)器人R的誤差。當(dāng)實(shí)際機(jī)器人控制輸入線速度vf、角速度ωf如式（12）所示時(shí)[13]，可使誤差在一定時(shí)間內(nèi)趨于0：

K1、K2、K3為正數(shù)。對誤差向量求導(dǎo)數(shù)：

根據(jù)移動機(jī)器人相對位姿誤差，定義Lyapunov函數(shù)V0[13]：

對V0求導(dǎo)可得到：

假定式（8）中r和b為未知數(shù)，則無法結(jié)合式（7）、式（8）、式（9）證明當(dāng)輸入v、ω為式（12）時(shí)，可使e1、e2、e3趨于0。

因此，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器通過估計(jì)參數(shù)r和b，得到控制對象。

通過v1、v2，式（13）可表示為：

定義：

則v1、v2與vf、ωf可表示為：

因此，式（16）可表示為：

定義Lyapunov函數(shù)V1：

對V1求導(dǎo)可得到：

即當(dāng)式（22）成立時(shí)，該自適應(yīng)控制器穩(wěn)定。

選擇機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型式（7）的控制輸入為式（18），其約束條件為式（22），自適應(yīng)控制器處于穩(wěn)定收斂狀態(tài)，在一定時(shí)間內(nèi)可使誤差趨于0。

3 系統(tǒng)仿真分析

該系統(tǒng)采用雙輪差速移動機(jī)器人為研究對象，使用計(jì)算機(jī)仿真軟件Matlab對自適應(yīng)軌跡跟蹤控制器的運(yùn)動學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證分析。

由圖3和圖4可知，在未引入自適應(yīng)參數(shù)時(shí)，實(shí)際機(jī)器人能夠完成對參考機(jī)器人運(yùn)動軌跡的跟蹤，但是存在的跟蹤誤差為10 cm左右。

圖3 未引入自適應(yīng)參數(shù)的運(yùn)動軌跡

圖4 未引入自適應(yīng)參數(shù)的位置誤差曲線

圖5 引入自適應(yīng)參數(shù)的運(yùn)動軌跡

由圖5和圖6可知，引入自適應(yīng)參數(shù)后，當(dāng)參考機(jī)器人以設(shè)定速度運(yùn)動時(shí)，跟隨機(jī)器人可在一定時(shí)間內(nèi)完成對參考機(jī)器人軌跡跟蹤；并且，圖6中位置誤差較圖4有明顯減小。跟蹤誤差曲線如圖7所示，e1、e2、e3由式（11）可得。速度曲線如圖8所示，由圖可知，實(shí)際機(jī)器人速度在t=50 s時(shí)，趨于參考機(jī)器人速度0.8 m/s。自適應(yīng)參數(shù)曲線如圖9所示。

圖6 引入自適應(yīng)參數(shù)的位置誤差曲線

圖7 跟蹤誤差曲線

圖8 參考機(jī)器人與實(shí)際機(jī)器人速度曲線

圖9 估計(jì)參數(shù)曲線

由仿真結(jié)果可知，在參數(shù)不確定的情況下，自適應(yīng)參數(shù)會隨著機(jī)器人姿態(tài)誤差動態(tài)調(diào)整，補(bǔ)償系統(tǒng)因參數(shù)不準(zhǔn)確產(chǎn)生的誤差，并在控制器的作用下，完成對目標(biāo)軌跡的跟蹤。

4 結(jié)束語

本文針對含有未知參數(shù)動態(tài)模型的移動機(jī)器人軌跡跟蹤，提出了一種自適應(yīng)軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)方法。以兩輪差速移動機(jī)器人為研究對象，在移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差模型的基礎(chǔ)上，利用backstepping方法，基于Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器，并通過仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對比驗(yàn)證。在仿真實(shí)驗(yàn)過程中，通過將無自適應(yīng)參數(shù)與引入自適應(yīng)參數(shù)的模型和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果做對比，驗(yàn)證了該控制方法在參數(shù)不確定情況下，能夠完成對參考軌跡的精確跟蹤，表明該設(shè)計(jì)方法穩(wěn)定、可行，可為后續(xù)研究提供一定的參考與借鑒。