張國(guó)勖

（重慶交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，重慶 400074）

鯡魚(yú)群在每年由南至北的大遷徙中，為了對(duì)抗沿途強(qiáng)大的捕食者聯(lián)盟，會(huì)自發(fā)地聚集成一個(gè)個(gè)直徑達(dá)數(shù)十米的近乎完美球形的“魚(yú)球”，且個(gè)體能在遇到威脅時(shí)快速地傳遞威脅信號(hào)給其它個(gè)體而及時(shí)退避，使得強(qiáng)大數(shù)倍的捕食者們難以得逞。本文通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬鯡魚(yú)群的集群運(yùn)動(dòng)行為，探索鯡魚(yú)群中的信號(hào)傳遞機(jī)制。分析鯡魚(yú)在自然狀態(tài)下和捕食狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并基于鯡魚(yú)的感知范圍建立兩種狀態(tài)下的鯡魚(yú)三維空間運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型和海豚在捕食狀態(tài)下的三維空間運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型。其次，結(jié)合鯡魚(yú)群的“六大運(yùn)動(dòng)規(guī)則”和數(shù)學(xué)模型，給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型公式。最后，利用MATLAB 對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真。

1 模型建立

1.1 捕食狀態(tài)下魚(yú)群運(yùn)動(dòng)模型

在空間三維坐標(biāo)系中，將鯡魚(yú)群中每條鯡魚(yú)看做為一個(gè)一個(gè)具有空間坐標(biāo)和運(yùn)動(dòng)方向的矢量點(diǎn)。假定初始時(shí)刻t=0 時(shí)鯡魚(yú)之間無(wú)任何感知，初始運(yùn)動(dòng)速度相同且大小不變，初始運(yùn)動(dòng)方向隨機(jī)給定。研究鯡魚(yú)群t 時(shí)刻在捕食狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，就相當(dāng)于研究鯡魚(yú)Si在t 時(shí)刻的空間坐標(biāo)和運(yùn)動(dòng)方向。鯡魚(yú)魚(yú)群在捕食狀態(tài)下主要分為兩大魚(yú)群：一類是直接感應(yīng)到海豚的威脅并接收到其它鯡魚(yú)傳來(lái)的警告信號(hào)；另外一類是只接收到其它鯡魚(yú)傳來(lái)的警告信號(hào)。這兩大類鯡魚(yú)的運(yùn)動(dòng)遵守Reynolds 模型的六大規(guī)則：慣性運(yùn)動(dòng)規(guī)則、排斥運(yùn)動(dòng)規(guī)則、吸引運(yùn)動(dòng)規(guī)則、平行運(yùn)動(dòng)規(guī)則、逃避運(yùn)動(dòng)規(guī)則、警告運(yùn)動(dòng)規(guī)則，其中第二類鯡魚(yú)不具有逃避運(yùn)動(dòng)規(guī)則。

圖2 捕食狀態(tài)下鯡魚(yú)運(yùn)動(dòng)規(guī)則

（M1-慣性運(yùn)動(dòng)；M2-排斥運(yùn)動(dòng)；M3-吸引運(yùn)動(dòng)；M4-平行運(yùn)動(dòng)；M5-逃避運(yùn)動(dòng)；M6-警告運(yùn)動(dòng)）

如圖1 所示，取四個(gè)運(yùn)動(dòng)規(guī)則下的運(yùn)動(dòng)方向的合方向?yàn)轹E魚(yú)Si在t 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向，則鯡魚(yú)si在t 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向可以表示為

圖1 自然狀態(tài)下的鯡魚(yú)運(yùn)動(dòng)規(guī)則

1.2 捕食狀態(tài)下海豚運(yùn)動(dòng)模型

在空間三維坐標(biāo)系中，將海豚作為一個(gè)具有空間坐標(biāo)和運(yùn)動(dòng)方向的矢量點(diǎn)。假定t=0 時(shí)海豚的初始運(yùn)動(dòng)速度大小不變方向隨機(jī)給定。如圖3 所示，取二個(gè)運(yùn)動(dòng)規(guī)則下的運(yùn)動(dòng)方向的合方向?yàn)楹ｋ嘣趖 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向，則海豚在t 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向可以表示為

圖3 捕食狀態(tài)下海豚運(yùn)動(dòng)規(guī)則

式中，H0為海豚在初始時(shí)刻t=0 時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向；Ht為海豚在t 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向；H1t為海豚的慣性運(yùn)動(dòng)方向；H2t為海豚的吸引運(yùn)動(dòng)方向。

2 模型求解與仿真分析

2.1 自然狀態(tài)下鯡魚(yú)群仿真

利用MATLAB 軟件對(duì)無(wú)外界威脅自然狀態(tài)下的魚(yú)群進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模型仿真。在三維空間坐標(biāo)系下通過(guò)MATLAB 函數(shù)隨機(jī)生成700 個(gè)自由分布的鯡魚(yú)，如圖4 所示，初始運(yùn)動(dòng)方向隨機(jī)設(shè)定。

2.2 捕食狀態(tài)下鯡魚(yú)群仿真

利用MATLAB 軟件對(duì)有外界捕食威脅狀態(tài)下的魚(yú)群進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模型仿真。對(duì)魚(yú)群進(jìn)行無(wú)外界威脅狀態(tài)模型迭代500 次，迭代后的魚(yú)群狀態(tài)作為有外界捕食威脅狀態(tài)模型的初始狀態(tài)。

通過(guò)對(duì)捕食狀態(tài)下魚(yú)群空間分布的仿真發(fā)現(xiàn)：當(dāng)捕食者逐漸逼近于鯡魚(yú)群時(shí)，靠近捕食者一側(cè)的鯡魚(yú)呈現(xiàn)出以捕食者為中心，以威脅范圍為半徑的球面的分布狀態(tài)，不同迭代次數(shù)下的魚(yú)群空間分布狀態(tài)如圖5 所示，仿真結(jié)果與實(shí)際情況相符合。

3 結(jié)論

本文針對(duì)鯡魚(yú)運(yùn)動(dòng)規(guī)律提出了優(yōu)化算法。在無(wú)外界干擾的自然狀態(tài)下，鯡魚(yú)群具有趨于集群抱團(tuán)現(xiàn)象，形成一個(gè)“魚(yú)團(tuán)”，魚(yú)群系統(tǒng)保持一個(gè)相對(duì)平穩(wěn)的狀態(tài)。當(dāng)遇到海豚捕食的威脅時(shí)，外部魚(yú)群最先發(fā)現(xiàn)來(lái)自捕食者的威脅信息，并將信息迅速向魚(yú)群內(nèi)部傳遞，從而使整個(gè)魚(yú)群遠(yuǎn)離捕食者。通過(guò)MATLAB對(duì)魚(yú)群兩種狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行仿真，得出的結(jié)果和實(shí)際情況相吻合，從而驗(yàn)證了該運(yùn)動(dòng)規(guī)律模型的合理性。