廖選平，黎克波，劉遠賀，陳 磊

(1.國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073; 2.中國人民解放軍軍事科學(xué)院 國防科技創(chuàng)新研究院，北京 100071)

碰撞角約束(impact angle constraints,IAC)可以有效提高導(dǎo)彈對目標的打擊效果，對防御武器也具有很好的突防效果(例如垂直打擊)，是當前導(dǎo)彈制導(dǎo)領(lǐng)域研究的重點問題之一[1]。

碰撞角約束制導(dǎo)律(impact angle constrained guidance law,IACG)通常由比例導(dǎo)引律(proportional navigation,PN)加上碰撞角偏差控制項組成，目的是使碰撞角偏差在終點時刻收斂至極小值[2]。最優(yōu)控制理論是設(shè)計IACG的主要方法之一。Zarchan[3]基于施瓦茨不等式，推導(dǎo)了一種碰撞角約束最優(yōu)制導(dǎo)律，稱為“彈道成型制導(dǎo)律”(trajectory shaping guidance law,TSG)。陳克俊等[4]基于線性二次型最優(yōu)控制理論，推導(dǎo)了一種落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律。然而，上述2種制導(dǎo)律都不能使導(dǎo)彈指令過載在攔截時刻收斂至0。最近， He等[5]基于最優(yōu)誤差動力學(xué)理論，提出了可使導(dǎo)彈指令過載在命中時刻收斂至0的一種碰撞角約束最優(yōu)制導(dǎo)律(impact angle constrained optimal guidance law，IACOG)，可增強導(dǎo)彈在末段對干擾的魯棒性，提高了制導(dǎo)律的實用性。

滑模控制對系統(tǒng)的干擾和不確定性具有較強的魯棒性，很多學(xué)者基于高階滑?？刂评碚摚岢隽硕喾N碰撞角約束滑模制導(dǎo)律(impact angle constrained sliding mode guidance law，IACSMG)[6-8]。近期，同時滿足飛行時間約束和碰撞角約束的制導(dǎo)律設(shè)計逐漸成為導(dǎo)彈制導(dǎo)領(lǐng)域研究的熱點問題[9-10]。

然而目前已有的各種IACG仍然存在一些缺陷，例如：IACOG的推導(dǎo)過程通?；诰€性化假設(shè)，并且引入了剩余飛行時間估計[5]，導(dǎo)致制導(dǎo)律性能并非理論上的全局有效；IACSMG的指令加速度形式較為復(fù)雜，且引入的測量量較多，使其實用性受到限制[6-10]。

實際上，僅使用經(jīng)典純比例導(dǎo)引律(PPN)就可以實現(xiàn)對固定目標的碰撞角約束制導(dǎo)。Lu等[11]首先基于PPN表達式的直接積分，提出了變比例導(dǎo)引系數(shù)的三維碰撞角約束PPN制導(dǎo)策略，可適用于變速飛行器。胡正東等[12]在此基礎(chǔ)上進一步推導(dǎo)了以高度為特征變量的垂直打擊三維自適應(yīng)PPN。然而，上述2種方法未深入探究PPN打擊固定目標的解析解,可能導(dǎo)致某些應(yīng)用上的不便。

本文基于PPN攔截固定目標的解析解，重新設(shè)計三維空間中的碰撞角約束制導(dǎo)律。PPN的指令加速度垂直于導(dǎo)彈速度矢量[13]，在攔截固定目標時，導(dǎo)彈速度矢量與彈目相對速度矢量重合。根據(jù)PN的統(tǒng)一方法[14]，可以認為此時PPN與理想比例導(dǎo)引律(ideal proportional navigation law，IPN)[15]是等價的。IPN在攔截非機動目標時有解析解，因而可以基于此直接得到PPN攔截固定目標的解析解。文獻[16]基于以上方法，設(shè)計了基于PPN的二維碰撞角約束制導(dǎo)律(2D-PPNIACG)。

本文在文獻[16]的基礎(chǔ)上，首先深入分析了2D-PPNIACG對固定目標的攔截制導(dǎo)性能，包括最大過載、能量消耗和捕獲區(qū)域。然后基于對空間幾何關(guān)系的深入分析和合理近似，提出了在俯沖平面和轉(zhuǎn)彎平面同時實現(xiàn)碰撞角約束的基于PPN的三維碰撞角約束制導(dǎo)律(3D-PPNIACG)。最后通過數(shù)值仿真算例，驗證了所提出制導(dǎo)律的有效性與可靠性。

1 二維PPNIACG回顧

二維攔截幾何如圖1所示。oI-xIyI為參考慣性系，q為視線角；er為視線方向單位矢量，由OIXI軸逆時針旋轉(zhuǎn)角度q得到；eθ為垂直于視線方向的單位矢量，由er逆時針旋轉(zhuǎn)90°獲得；vm為導(dǎo)彈(用下標m來表示)速度矢量，vm為導(dǎo)彈的速度大?。沪誱為導(dǎo)彈速度傾角，以逆時針方向為正；am為導(dǎo)彈加速度矢量，am為導(dǎo)彈加速度大??；θm=φm-q為導(dǎo)彈前置角。

圖1 二維攔截幾何

在動坐標系(er,eθ)內(nèi)構(gòu)建的二維相對運動方程為

(1)

(2)

PN的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)為[14]

aPN=NL×ωs

(3)

式中L為參考速度矢量。對于PPN，有L=-vm。

當目標固定時，有

vt=0,at=0

(4)

因而有

(5)

因此也可將PPN的指令加速度寫為

(6)

將式(4)和式(6)代入式(1)，相對運動方程變?yōu)?/p>

(7)

由式(7)的第2式可推導(dǎo)出：

(8)

再將式(8)代入式(7)的第1式，可推導(dǎo)出：

(9)

并且可進一步推導(dǎo)出[16]：

(10)

由式(10)可知，PPN在攔截固定目標時，導(dǎo)彈前置角會隨彈目相對距離的減小而逐漸收斂至0，即導(dǎo)彈速度方向?qū)⒅饾u收斂于視線方向。

對PPN還可進一步推導(dǎo)出[16]：

θm-θm0=(N-1)(q-q0)

(11)

于是可得

(12)

由于式(10)已經(jīng)表明了θm將隨r減小而逐漸收斂至0，即θmf=0，因此由式(12)可知

(13)

由式(13)可知，對攔截固定目標的情況，PPN的攔截碰撞角φmf由初始視線角q0、導(dǎo)彈初始前置角θm0和比例導(dǎo)引系數(shù)N所共同決定。

文獻[16]所提出的2D-PPNIACG為：先選擇合適的常值N，再構(gòu)造合適的彈目初始幾何關(guān)系，使導(dǎo)彈沿當前狀態(tài)無控飛行，當彈目相對運動狀態(tài)滿足式(13)時即自動轉(zhuǎn)入PPN制導(dǎo)，然后可獲得想要的攔截碰撞角φmf。并且，在使用PPN進行攔截碰撞角約束制導(dǎo)的過程中，可以根據(jù)實時的q(t)、θm(t)情況，計算實時所需的比例導(dǎo)引系數(shù)，即

(14)

式(14)將導(dǎo)致比例導(dǎo)引系數(shù)N的時變性。對其取變分可得

(15)

由于在導(dǎo)彈飛行過程中，在控制穩(wěn)定的情況下，實際前置角、視線角和理論制導(dǎo)彈道之間的誤差是很小的，因而所引起的N的變化也是很小的。根據(jù)式(15)，當接近攔截終點時刻時，q趨近于qf，此時可將N固定，以避免奇異現(xiàn)象的發(fā)生。

2 攔截性能分析

導(dǎo)彈在打擊目標的飛行過程中，所關(guān)心的問題主要有：最大過載、能量消耗與捕獲區(qū)域。

2.1 最大過載

最大過載即為導(dǎo)彈在攔截飛行過程中可能出現(xiàn)的最大指令加速度。由式(6)可得

(16)

意味著PPN指令加速度也會隨著彈目距離的減小而逐漸降低至0，則其最大過載出現(xiàn)在初始時刻，即

(17)

2.2 能量消耗

在制導(dǎo)律分析中，通常可將指令加速度的積分(即導(dǎo)彈攔截所消耗的速度增量)作為導(dǎo)彈的能量消耗。

由式(16)可進一步計算出整個攔截過程中PPN所需的速度增量為

(18)

可近似認為此即為導(dǎo)彈飛行的能量消耗。

2.3 捕獲區(qū)域

當導(dǎo)彈從某個特定的相對運動狀態(tài)區(qū)域內(nèi)出發(fā)時，如果可確保對目標的攔截捕獲，則此初始相對運動狀態(tài)區(qū)域即為捕獲區(qū)域。

要使導(dǎo)彈實現(xiàn)對目標的打擊，需要使彈目相對距離降低至0，且此時保證導(dǎo)彈朝著目標飛行，即彈目接近速度小于0，即

(19)

此即為捕獲的定義[14]。將式(7)的自變量從時間t變成視線角q，即

(20)

式中：x為任意因變量，上標“′”代表對q求導(dǎo)。則式(7)可以改寫為

(21)

再考慮：

(22)

可將式(21)無量綱化，即

(23)

式中，ψ0=cos-1(vθ0/v0)=cos-1(vθ0/vm)為初始相對速度與初始視線的偏離程度，如圖2所示。

圖2 初始相對速度相對于初始視線的偏離程度

求解式(23)可得

(24)

式中，需滿足k=N-1>0。由式(19)、(20)和式(22)，捕獲的定義可以轉(zhuǎn)換為：

(25)

(26)

將其代入式(24)的第1式，有

(27)

可知，只要滿足N>1即k>0，則對固定目標，無論導(dǎo)彈從任何條件下出發(fā)，在不考慮最大過載約束的情況下，PPN都能實現(xiàn)對目標的攔截。

如果考慮導(dǎo)彈過載限制，由式(2)的第2式和式(17)，若需使其小于某最大值α，需使：

(28)

式中，需滿足N>2。式(28)即為以θm0表示的PPN對固定目標的捕獲區(qū)域?？芍攲?dǎo)彈受到過載限制時，前置角不能過大，否則不能實現(xiàn)對固定目標的攔截。

3 基于PPN的攔截碰撞角約束制導(dǎo)策略

三維制導(dǎo)律的經(jīng)典設(shè)計方法是將三維相對運動在兩個相互垂直的平面內(nèi)進行解耦，分別設(shè)計二維制導(dǎo)律，然后再進行三維空間中的綜合。

三維攔截幾何如圖3所示。

圖3 基于經(jīng)典垂直分解的三維攔截幾何

圖4中，oI-xIyIzI為參考慣性系，oI-xsyszs為視線坐標系，oI-xvyvzv為導(dǎo)彈速度坐標系，qε為視線俯仰角、qβ為視線方位角，φ′m為俯仰前置角，ψ′m為偏航前置角，xvoIyv平面為俯沖平面，xvoIzv平面為轉(zhuǎn)彎平面。

導(dǎo)彈的控制力主要是氣動升力和側(cè)向力，其方向沿速度系的yv和zv方向。因此，可以認為導(dǎo)彈制導(dǎo)律的指令加速度為

am=amyvyv+amzvzv

(29)

在小角假設(shè)下，對導(dǎo)彈在三維空間中的碰撞角約束制導(dǎo)，可將其解耦為俯沖平面內(nèi)的落角約束制導(dǎo)和轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的碰撞角約束制導(dǎo)。

3.1 俯沖平面落角約束制導(dǎo)

假設(shè)攔截過程中ψ′m總為較小值，可以近似認為俯沖平面xvoIyv和視線鉛垂面xsoIys。此時俯沖平面內(nèi)彈目空間幾何的近似關(guān)系如圖4所示。

圖4 俯沖平面內(nèi)的2D-PPNIACG

可使

(30)

并使用文獻[16]中的2D-PPNIACG制導(dǎo)策略。

先使導(dǎo)彈在一定高度h下保持平飛，針對預(yù)設(shè)的比例導(dǎo)引系數(shù)Ny，有

(31)

(32)

時，采用式(30)進行制導(dǎo)控制。式中，δε為設(shè)定的門限值。

為增強制導(dǎo)律的魯棒性，可采用式(14)進行比例導(dǎo)引系數(shù)的實時更新，即

(33)

(34)

如此即可實現(xiàn)落角約束制導(dǎo)，即

(35)

式中tf為攔截終點時刻。

注意，在使用PPNIACG進行落角約束制導(dǎo)時，可使導(dǎo)彈初始時刻距離目標較遠，使|qε0|較小。由圖4可知，在導(dǎo)彈平飛過程中，|qε|不斷增大，相應(yīng)φ′m也在不斷增大。假設(shè)可以使導(dǎo)彈較遠處向目標平飛，設(shè)qε0=-20°，并且限制在qε=-60°之前轉(zhuǎn)入PPN。為保證制導(dǎo)控制系統(tǒng)的魯棒性，通常取N=3～5時。此時根據(jù)式(31)，可得落角可能的范圍是-25°～-90°，可以滿足一般落角約束控制的要求。

3.2 轉(zhuǎn)彎平面碰撞角約束制導(dǎo)

對轉(zhuǎn)彎平面，可近似認為qε和φ′m均為較小值，則可認為xsoIx″平面與xIoIx′平面重合。

如圖5所示，不失一般性，假設(shè)初始時刻導(dǎo)彈向目標飛行，即

qβ(t0)=0,ψ′m(t0)=0

(36)

此時若直接使用PPN進行制導(dǎo)控制，則導(dǎo)彈將直接飛向目標，將有qβf(tf)=qβf。

圖5 轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的2D-PPNIACG

因此可以首先采用最大過載或偏置比例導(dǎo)引(BPPN)，使導(dǎo)彈產(chǎn)生一個較大的零控脫靶量D(類比于圖4中的飛行高度h)，以獲得產(chǎn)生碰撞角約束的可能性。

當導(dǎo)彈速度方向產(chǎn)生一定偏移，并因此產(chǎn)生一定的零控脫靶量D后，可使

(37)

針對預(yù)設(shè)的比例導(dǎo)引系數(shù)Nz，有

(38)

(39)

時，采用式(37)進行制導(dǎo)控制。式中，δβ為設(shè)定的門限值。

為增強制導(dǎo)律的魯棒性，可采用式(14)進行比例導(dǎo)引系數(shù)的實時更新，即

(40)

(41)

如此即可實現(xiàn)落角約束制導(dǎo)，即

(42)

式中tf為攔截終點時刻。

4 仿真算例

文獻[16]通過與彈道成型制導(dǎo)律(TSG)[3]和一種最優(yōu)碰撞角約束制導(dǎo)律(IACOG)[5]的仿真對比分析，已經(jīng)驗證了2D-PPNIACG的有效性和優(yōu)越性。

本文通過數(shù)值仿真算例，驗證3D-PPNIACG的有效性和可靠性。導(dǎo)彈與目標的初始運動狀態(tài)見表1。

表1 初始彈目相對運動狀態(tài)

由表1可知，初始俯仰前置角φ′m0=20°，初始偏航前置角ψ′m0=0°。初始時刻導(dǎo)彈朝目標平飛，如圖6所示。

圖6 初始時刻攔截幾何

采用基于PPN的攔截碰撞角約束制導(dǎo)策略所給出的3D-PPNIACG對導(dǎo)彈進行制導(dǎo)控制。設(shè)俯沖平面內(nèi)的落角約束為qεf=-90°，轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的碰撞角約束為qβf=60°。

對俯沖平面，設(shè)Ny=3，δε=5°；對轉(zhuǎn)彎平面，同樣設(shè)Nz=3，δβ=5°。

4.1 理想情況仿真結(jié)果

首先不考慮導(dǎo)彈測量誤差與執(zhí)行機構(gòu)響應(yīng)延遲等干擾和影響因素。仿真結(jié)果如圖7所示。

由圖7(a)～圖7(c)可知，本文所設(shè)計的3D-PPNIACG可以實現(xiàn)俯沖平面的落角約束和轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的碰撞角約束，導(dǎo)彈的飛行彈道較為平滑。

由圖7(d)、圖7(e)可知，在導(dǎo)彈的俯沖和轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)，前置角φ′m、ψ′m收斂至0，而視線角均收斂到了所設(shè)計終端約束值qεf=-90°和qβf=60°極小的領(lǐng)域內(nèi)。由圖7(f)可知，在導(dǎo)彈飛行過程中，兩個方向視線轉(zhuǎn)率的絕對值總保持在0.1 rad/s內(nèi)，并且在攔截末段視線轉(zhuǎn)率逐漸降低至0附近。由圖7(g)可知，在俯沖平面內(nèi)，導(dǎo)彈在y方向的加速度先為0，當彈目相對運動狀態(tài)符合PPNIACG的攔截幾何關(guān)系時，轉(zhuǎn)入PPNIACG制導(dǎo)。此時導(dǎo)彈的加速度先達到某個最大值，然后逐漸降低至0。在轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)，導(dǎo)彈先采用BPPN進行轉(zhuǎn)彎；然后轉(zhuǎn)為平飛；當彈目相對運動狀態(tài)滿足PPNIACG的攔截幾何時，轉(zhuǎn)入PPNIACG制導(dǎo)。此時導(dǎo)彈的加速度同樣先達到某個最大值，然后逐漸降低至0。在制導(dǎo)過程中，導(dǎo)彈的最大過載都沒有超過其飽和過載。

4.2 考慮現(xiàn)實影響因素的仿真結(jié)果

在理想情況仿真條件的基礎(chǔ)上，考慮視線轉(zhuǎn)率測量誤差為1×10-4rad/s，將彈體執(zhí)行機構(gòu)響應(yīng)延遲近似為一階慣性環(huán)節(jié)，時間常數(shù)τ=0.2 s，設(shè)導(dǎo)彈y方向和z方向的飽和過載均為amax=100 m/s2，并且考慮當彈目相對距離小于50 m時，認為導(dǎo)彈導(dǎo)引頭進入盲區(qū)，使制導(dǎo)指令切換為0，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 現(xiàn)實干擾因素影響下的仿真結(jié)果

由圖8(a)～8(c)可知，在考慮現(xiàn)實影響因素的情況下，3D-PPNIACG也可以實現(xiàn)俯沖平面的落角約束和轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的碰撞角約束。

由圖8(d)可知，在存在測量誤差、執(zhí)行機構(gòu)響應(yīng)延遲、導(dǎo)引頭盲區(qū)等現(xiàn)實干擾因素的情況下，視線俯仰角收斂到了所設(shè)計終端約束值qεf=-90°附近，視線方位角除最終時刻出現(xiàn)跳躍外，均位于qβf=60°附近。實際上，qβ在終端時刻的跳躍主要是由于相對距離進入導(dǎo)引頭盲區(qū)后指令加速度切換為0導(dǎo)致的。

由圖8(e)可知，在導(dǎo)彈的俯沖和轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)，前置角φ′m、ψ′m收斂至0。

由圖8(f)可知，在導(dǎo)彈飛行過程中，兩個方向視線轉(zhuǎn)率真實值和濾波值的絕對值總保持在0.1 rad/s內(nèi)，并且在攔截末段視線轉(zhuǎn)率逐漸降低至0附近。由于導(dǎo)引頭盲區(qū)的影響，視線轉(zhuǎn)率在終點時刻出現(xiàn)跳躍。

由圖8(g)可知，導(dǎo)彈在y方向的加速度先為0，當彈目相對運動狀態(tài)符合PPNIACG的攔截幾何關(guān)系時，轉(zhuǎn)入PPNIACG制導(dǎo)。此時導(dǎo)彈加速度指令先達到某個最大值，然后逐漸降低至0。在轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)，導(dǎo)彈先采用BPPN進行轉(zhuǎn)彎；然后轉(zhuǎn)為平飛；當彈目相對運動狀態(tài)滿足PPNIACG的攔截幾何時，轉(zhuǎn)入PPNIACG制導(dǎo)。此時導(dǎo)彈的加速度指令同樣先達到某個最大值，然后逐漸降低至0。受一階慣性環(huán)節(jié)的影響，導(dǎo)彈實際加速度稍微之后于指令加速度，其從0階躍到最大值的過程趨于平緩。在實際的制導(dǎo)律應(yīng)用過程中，導(dǎo)彈的姿控系統(tǒng)本身具有時滯性，同時可以使用濾波器對攻角指令進行平滑處理，并且對攻角指令的最大值施加限制，因而對于在轉(zhuǎn)入PPN制導(dǎo)時，所產(chǎn)生的突然的加速度指令階躍并不會對導(dǎo)彈的控制穩(wěn)定產(chǎn)生較大影響。值得注意的是，可以根據(jù)式(17)對導(dǎo)彈可能產(chǎn)生的最大過載進行設(shè)計和估計，從而避免過載飽和現(xiàn)象的出現(xiàn)。在本仿真算例中，導(dǎo)彈的最大過載就沒有超過其飽和過載。

仿真所得導(dǎo)彈脫靶量為0.005 6 m，俯沖平面內(nèi)的落角偏差為-1.570 8°，轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的碰撞角偏差在終端跳躍前為1.047 2°。可知本文所提出的3D-PPNIACG在考慮現(xiàn)實干擾因素的影響下，對固定目標的碰撞角約束打擊仍然具有較好的攔截制導(dǎo)性能。

5 結(jié) 論

1)本文基于純比例導(dǎo)引律(PPN)對固定目標的解析解，深入分析了基于純比例導(dǎo)引的二維碰撞角約束制導(dǎo)律(2D-PPNIACG)的攔截制導(dǎo)性能，包括最大過載、能量消耗與捕獲區(qū)域。

2)進一步基于小角假設(shè)和三維攔截制導(dǎo)的垂直分解方法，提出了基于純比例導(dǎo)引的三維碰撞角約束制導(dǎo)律(3D-PPNIACG)，對固定目標可同時實現(xiàn)俯沖平面內(nèi)的落角約束打擊和轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的碰撞角約束打擊。

3)通過對數(shù)值仿真算例的分析可知，無論在理想情況下，還是在考慮測量誤差、執(zhí)行機構(gòu)響應(yīng)延遲、導(dǎo)引頭盲區(qū)等現(xiàn)實干擾因素的情況下，3D-PPNIACG對固定目標都具有良好的攔截制導(dǎo)性能。

4)本文所提出的3D-PPNIACG基于經(jīng)典的PPN制導(dǎo)律，不需要估計剩余飛行時間等狀態(tài)變量，其結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)、魯棒性好，因而具有良好的應(yīng)用前景。