摘 要：物理離不開數(shù)學，數(shù)理融合、發(fā)揮數(shù)學在物理中的效能有助于培養(yǎng)學生的物理核心素養(yǎng).但在實際教學中數(shù)理的融合度不高，且培養(yǎng)學生數(shù)理結合思維和應用能力的相關研究較少.本文從數(shù)理融合的現(xiàn)狀與意義著手，通過具體路徑及案例說明其對物理教學的價值.

關鍵詞：數(shù)理融合;建模;物理核心素養(yǎng);關鍵能力培養(yǎng)

中圖分類號：G633.7???? 文獻標識碼：B???? 文章編號：1008-4134（2021）22-0026-03

基金項目：江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃重點資助課題“指向科學思維的初中物理‘證據(jù)課堂構建研究”（項目編號：E-a/2018/05）.

作者簡介：錢嘉（1987-），男，江蘇無錫人，本科，中學二級教師，研究方向：“證據(jù)課堂的建構”研究.

1 中學物理教學數(shù)理融合的背景概述

1.1 數(shù)理融合的現(xiàn)狀

經調查發(fā)現(xiàn)，教師缺少數(shù)學對于物理功能的開發(fā)，對學生數(shù)學思維方法和應用培養(yǎng)不夠;而學生則認為數(shù)學與物理聯(lián)系不大，缺乏將數(shù)學與物理專業(yè)模型結合的能力.這樣的現(xiàn)狀沒有發(fā)揮數(shù)學對于物理的價值，學生數(shù)理結合思維和數(shù)學應用能力得不到提升.數(shù)學與物理自古并肩發(fā)展.隨著課改的推進，數(shù)理融合在中學物理教學中的需求愈發(fā)明顯.

1.2 數(shù)理融合的意義

視角不同，思維深度不同.利用數(shù)學視角審視物理問題能讓思維對科學理解更深刻.在中學物理教學中進行數(shù)理融合的意義在于：

第一，數(shù)理融合遵循物理學發(fā)展規(guī)律.牛頓借助微積分描述萬有引力，麥克斯韋通過纖維叢理論描述電磁波.可見數(shù)學和物理是相互促進，彼此依存的關系.

第二，物理是架設初等數(shù)學思維到高等數(shù)學思維的橋梁.大學物理具有明顯的數(shù)理結合特征，學生的學習過程需要將高等數(shù)學思維和具體模型相結合，達到訓練學生專業(yè)模型數(shù)學化的教學目標.這就需要教師在中學物理教學中進行數(shù)理融合訓練，做好充分的準備.

第三，數(shù)理融合有助于物理核心素養(yǎng)的提升.費米說過“One way， and this is the way I prefer， is to have a clear physical picture of the process that you are calculating”.物理圖像（physical picture）屬于物理范疇，而圖像基于幾何建立.對比普通高中課程標準不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學與物理既相互獨立，又彼此交融.物理和數(shù)學的課程標準存在很多共性（見表1）.可見數(shù)理融合對學生關鍵能力的培養(yǎng)意義非凡.

2 數(shù)理融合的實踐路徑簡介

筆者就數(shù)理融合在物理教學中的應用進行實踐，并取得良好效果.本文就實踐路徑進行介紹，并輔以具體案例.

2.1 物理建模過渡為數(shù)學建模

在物理教學中，規(guī)律和概念雖然內容不同，但得出流程相似，大致經歷：（1）基于生活創(chuàng)設物理情境;（2）提取物理模型，科學建模;（3）物理模型轉為數(shù)學模型;（4）分析數(shù)學模型;（5）總結物理規(guī)律和概念.運用數(shù)學模型來設計物理教學使復雜的物理問題簡單化.以坐標軸為例，其貫穿于整個初中物理教學，使物理問題簡潔而又深刻（以蘇科版物理教材為例，見表2）.

案例1 引入坐標軸建模牛頓第一定律

牛頓第一定律是初中物理最為重要的定律之一.教師在教學中最大難點在于思維的跨越：讓學生從對物體受到阻力的分析跨越到對物體不受力情況的推理.在實際教學中大部分學生能就實驗阻力對運動的影響（如圖1所示）得出“阻力越小，小車運動得越遠”的結論，但無法科學推理小車在不受力時的運動.從阻力小到不受力看似簡單，但思維的跨度極大.

利用數(shù)學模型——直角坐標系科學推理牛頓第一定律使復雜的問題簡單明了.由于小車在同一斜面的同一高度處由靜止釋放，到達水平面的初速度相同.我們用坐標軸來描述小車在不同水平面上的v-t圖像（起始點選取相同的初速度）.

首先分析小車在毛巾表面的運動情況.由于運動過程小車在水平面只受到摩擦力作用，因此小車做減速運動，據(jù)此畫出小車在毛巾表面運動的v-t圖像（如圖2所示）.

其次分析小車在棉布表面的運動情況.由于壓力一定，接觸面粗糙程度變小，小車所受摩擦力變小.所以小車在水平面運動得更遠，速度減小得更慢.對比圖2畫出小車在棉布表面的v-t圖像（如圖3所示）.

最后分析小車在木板表面的運動情況.同理可得小車在更為光滑的木板運動時間更長，由此畫出小車在木板表面的v-t圖像（如圖4所示）.

處理坐標軸4可得：阻力越小，直線的傾斜程度（斜率）越小.那么更為光滑的接觸面v-t圖像是什么樣的？傾斜程度越小直至為零.當運動的小車不受力時，就保持勻速直線運動（如圖5所示）.

2.2 一題多解實現(xiàn)數(shù)理深層融合

近年，中考壓軸題都可應用不同的解法得出最終結果，借助數(shù)學方法和數(shù)學思維對試題進行一題多解，更能促進數(shù)理的深層次融合.對同一問題用不同方法進行分析，如此舉一反三可拓展學生的科學思維.

案例2 動態(tài)電路問題

如圖6所示，電流表量程0～0.6A，電壓表量程0～3V，電阻R0=5Ω，電路兩端電壓恒為4.5V，當滑動變阻器連入電路的電阻太小時，電路中的電流會超過電流表量程，當滑動變阻器連入電路的電阻太大時，變阻器兩端電壓會超過電壓表量程.求：不超過電表量程，滑動變阻器連入電路的電阻范圍.

解法1：第一步，畫出滑動變阻器滑片P處于極限位置的等效電路如圖7、圖8所示（物理量對應標記在相應圖像上）.

第二步，對比等效電路：由圖7可以看出滑動變阻器接入電路阻值最小—總電阻最小—總電流最大—定值電阻兩端電壓最大—滑動變阻器兩端電壓最小;由圖8可以看出滑動變阻器接入電路阻值最大—總電阻最大—總電流最小—定值電阻兩端電壓最小—滑動變阻器兩端電壓最大.

第三步，利用歐姆定律分別計算兩個電路圖可得滑動變阻器連入電路的電阻范圍為2.5Ω到10Ω .

解法2：不等式是數(shù)學的重要內容，極具現(xiàn)實意義.我們用其分析動態(tài)電路.

I≤0.6AUV≤3V利用歐姆定律代入數(shù)據(jù)可得

I=UR總=4.5V5Ω+RP≤0.6AUV=IRP=UR總RP=4.5V5Ω+RPRP≤3V

求得：2.5Ω≤RP≤10Ω

歐姆定律是初中電學的核心，動態(tài)電路是歐姆定律的具體應用.滑動變阻器的滑片調節(jié)問題最為常見，根據(jù)學生能否解決動態(tài)電路問題即能評價學生是否理解歐姆定律.解決物理問題既能提高數(shù)學分析的能力，又能通過數(shù)學思維提升學生科學思維.

2.3 數(shù)理融合挖掘中考試題，改進評價

中考試題“一核四層四翼”評價理念，對教師日常教學具有極強導向作用.筆者從課程標準和教學目標的角度出發(fā)，數(shù)理融合挖掘中考試題，使教、學、評更具有一致性.

案例3 蹦極問題

（中考原題）如圖9所示，小明在做模擬“蹦極”小實驗，一根橡皮筋一端系一個小石塊，另一端固定在A點，B點是橡皮筋不系小石塊自然下垂時下端所在的位置，C點是小石塊從A點自由釋放后所能達到的最低點，關于小石塊從A點到C點運動過程的說法，正確的是

A.小石塊減少的重力勢能全部轉化為動能

B.從A點下落到B點的過程中，小石塊受到重力和彈力的作用

C.從B點下落到C點的過程中，小石塊的速度先增大后減小

D.小石塊在C點時，受到平衡力的作用

答案：C.

評：該題基于實際情境考查學生對力與運動關系的掌握.難點在于定式思維，認為受到阻力物體就會減速，而不會定量分析動力與阻力的大小關系.為了發(fā)揮試題促學的功能，我們依據(jù)數(shù)理融合的思想重新改進試題，引發(fā)認知沖突、喚醒學生深層次思考.

（原創(chuàng)）如圖9為小明模擬“蹦極”場景，將一根橡皮筋系一個小石塊的一端固定在A點，B點是橡皮筋豎直懸掛自然長度的位置，C點是小石塊從A點靜止釋放后所能達到的最低點.

（1）從A點下落到B點的過程中，彈性繩處于松弛狀態(tài)，石塊（受/不受）彈力.

（2）從B點下落到C點的過程中，石塊所受的彈力（變大/變小/不變）.

（3）小明繪制橡皮筋彈力與伸長量的關系圖像（如圖10所示），（1/2/3）能表示重力與伸長量的關系.

（4）當石塊到達最低點時，重力（大于/小于/等于）彈力，受到（平衡/非平衡）力作用.

（5）從B點下落到C點的過程中，小石塊的速度變化情況為.

答案：（1）不受;（2）變大;（3）3;（4）小于，非平衡;（5）先變大后變小.

設計意圖：學生能認識到：（1）石塊所受重力大小是恒定值而彈力大小屬于變量.（2）物體所受重力小于彈力最大值.（3）重力與彈力的合力發(fā)生方向和大小的變化.（4）運動方向向下，但合力方向發(fā)生改變，據(jù)此判斷運動狀態(tài)也會發(fā)生改變.本題基于學生的認知規(guī)律，應用數(shù)學模型分析重力和彈力的關系，初步形成正確物理觀念.

3 結語

在中學物理教學中進行數(shù)理融合，使學生深層感悟物理與數(shù)學融合之美.數(shù)理融合應趁早挖掘，這既是教學實際需求也是培養(yǎng)責任.良好的數(shù)學應用能力和數(shù)學思維對于物理學習至關重要.核心素養(yǎng)的培育絕非單學科教學所能達成.數(shù)理融合，我們一直在路上.

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（收稿日期：2021-07-19）