王 萍，張吉昂，程 澤

(天津大學(xué) 電氣自動化與信息工程學(xué)院，天津 300072)

鋰離子電池具有能量密度高、安全性能好、污染小的優(yōu)點，正在逐漸替代鉛酸電池和氫鎳電池，成為混合動力汽車、新能源汽車的重要儲能裝置。為了提升鋰離子電池使用的安全性，提高其使用壽命，就必須對鋰離子電池進行科學(xué)管理。

鋰離子電池?zé)峁芾韀1]正逐漸成為電池管理系統(tǒng)的重要組成部分。研究鋰離子電池的熱效應(yīng)，建立合理的模型來估計和監(jiān)測電池的內(nèi)核溫度，從熱的角度對電池管理系統(tǒng)的運維提供有益的指導(dǎo)，對于避免熱濫用和熱失控，延長電池的使用壽命，提升電池運行的安全性、經(jīng)濟性具有重要意義。

現(xiàn)有的鋰離子電池?zé)峤７椒ㄖ饕谢跓醾鲗?dǎo)方程[2]的方法，即求解一類較復(fù)雜的對流擴散方程。該模型由許多復(fù)雜的偏微分方程構(gòu)成，這可以更加精確地揭示鋰電池內(nèi)部的反應(yīng)機理。然而這類模型的求解比較復(fù)雜，不適合用于鋰離子電池溫度的在線估計。

電池的熱偏微分方程模型是分布參數(shù)模型，即模型參數(shù)隨時間和位置變化。由于鋰離子電池多為圓柱形，熱傳導(dǎo)在縱向上具有各向同性，故主要考慮熱在徑向上的傳導(dǎo)，可以將電池單體簡化為外殼和內(nèi)核兩部分，包含表面溫度和內(nèi)核溫度這兩個狀態(tài)，熱過程的阻容參數(shù)設(shè)為常數(shù)，形成了雙態(tài)熱子模型[3-4]這一集總參數(shù)模型。該模型的參數(shù)較少，計算速度快，適用于鋰離子電池內(nèi)核溫度的在線監(jiān)測，同時估計的精確度很大程度上依賴于集總參數(shù)辨識的精確性。

本文研究了鋰離子電池的熱傳導(dǎo)的集總參數(shù)模型-雙態(tài)熱子模型，并改進了內(nèi)阻模型和參數(shù)辨識方法，在此基礎(chǔ)上，提出了一種基于無跡卡爾曼濾波算法的鋰離子電池內(nèi)核溫度的在線估計方法。實驗和仿真的結(jié)果表明，該方法能夠快速消除表面溫度和內(nèi)核溫度的初始估計誤差，魯棒性較強，并能很好地跟蹤表面溫度、內(nèi)核溫度、內(nèi)阻的長期變化，為鋰離子電池的健康狀態(tài)(state of health,SOH)估計提供有益的參考。

1 模型建立

1.1 雙態(tài)熱子模型

實際應(yīng)用的鋰離子電池多為圓柱形，其縱向熱阻較小，故溫度在縱向的差異可以忽略，只考慮徑向溫度的變化[5]，將電池模型簡化為內(nèi)核和外殼兩部分，如圖1 所示。

圖1 雙態(tài)熱子模型示意圖

在圖1 中，Tc和Ts分別為電池的內(nèi)核與外部溫度。對流熱阻Ru用來描述電池表面與環(huán)境之間的熱對流，它是環(huán)境冷卻劑流量的函數(shù)，當(dāng)外界環(huán)境Tf不變時，Ru為常數(shù)。傳導(dǎo)熱阻Rc用來描述電池內(nèi)核與表面的熱傳導(dǎo)，Cc和Cs分別為電池內(nèi)核和表面的集中熱容，這里假設(shè)電池材料均勻，各部分的密度、比熱容一致，且熱阻和熱容值不受溫度和SOC變化的影響。建立如下的雙態(tài)熱子模型：

式中：Qi中i=1,2,3 表示電池內(nèi)部產(chǎn)熱，反應(yīng)熱Q1=IT?Uoc/?T，其中?Uoc/?T為溫熵系數(shù)[6]；I為放電電流；Uoc為開路電壓；極化熱Q2=I2Rp，Rp為極化電阻；歐姆熱Q3=I2Ro，Ro為歐姆內(nèi)阻，刻畫電子流動過程中的阻力。當(dāng)電池在正常工作溫度范圍內(nèi)時，反應(yīng)熱占的比重較小，可以忽略，故總產(chǎn)熱q=I2(Rp+Ro)=I2Re，Re為電池的內(nèi)阻，其受電池內(nèi)核溫度和SOC的影響較大，是時變參數(shù)。Re的時變表達式為：

為辨識(1)中的待定系數(shù)，消去內(nèi)核溫度Tc(k)，得到關(guān)于表面溫度Ts(k)的差分方程表達式：

1.2 模型參數(shù)辨識

用帶遺忘因子的遞推最小二乘法(FFRLS)[7]來辨識式(4)中的待定參數(shù)。用電池的表面?zhèn)鞲衅鞑杉趉，k+1，k+2 個時刻的表面溫度Ts(k)、Ts(k+1)和Ts(k+2)，恒定的環(huán)境溫度Tf，以及端電流在第k個時刻的采樣值I(k)，并根據(jù)式(7)遞推辨識出這一時刻的參數(shù)向量θ(k)。

使用式(7)反復(fù)遞推，辨識出參數(shù)向量θ，需要注意，θ 中有3 個已知量和5 個待辨識參數(shù)，需要先驗知識確定兩個熱參數(shù)，并求解剩余參數(shù)。熱容參數(shù)Cs和Cc與電池的比熱容、質(zhì)量和尺寸有關(guān)，可以根據(jù)電池的材料事先確定下來，本文Cs和Cc分別取4.5 和63.5 J/K[8]。通過式(7)反演出其余熱參數(shù)和內(nèi)阻值。

式(8)的第一個式子是關(guān)于對流熱阻Ru的一元二次方程，可以根據(jù)模型參數(shù)對于電池內(nèi)核以及表面溫度的擬合效果來確定舍根。

1.3 實驗驗證

本文所用的電池為標(biāo)稱容量2 Ah，標(biāo)稱電壓3.6 V 的三元鋰離子18650 電池。分別用兩個NTC(負溫度系數(shù))傳感器采集電池表面溫度和內(nèi)核溫度(內(nèi)部溫度傳感器預(yù)先埋入)，并將電池放置在恒溫箱中，Tf設(shè)為26 ℃，靜置在恒溫箱中2 h以獲得穩(wěn)定的初始溫度，進行內(nèi)外溫度采集實驗。實驗平臺如圖2 所示。

圖2 鋰離子電池溫度采集實驗平臺

為盡可能模擬電動汽車真實的運行狀態(tài)，電池測試工況選取在一個變化周期的FUDS 工況[9]。電池初始SOC為0.9，電池的端電壓、電流、SOC、內(nèi)核溫度與表面溫度的變化曲線分別如圖3～6 所示。

圖3 電池電壓變化曲線

圖4 電池電流變化曲線

圖5 SOC變化曲線

圖6 電池內(nèi)核溫度和表面溫度變化曲線

由電流曲線可知，在200 s 左右，輸入電流具有較大的波動振幅，此時SOC下降較快，同時外部溫度和內(nèi)核溫度都有一個較大的躍升，表面溫度和內(nèi)核溫度的差值最大時達到5 ℃，可見在劇烈工況下，電池的內(nèi)外溫差較大，此時用表面溫度來代表電池溫度會產(chǎn)生較大的誤差，必須對內(nèi)核溫度進行可靠的估計。隨著電流振蕩幅度的減小，單位時間產(chǎn)熱量減少，電池內(nèi)外溫度逐漸下降。

用FFRLS 辨識電池的熱阻容參數(shù)和時變內(nèi)阻，Ru、Rc和Re的辨識結(jié)果如圖7 和圖8 所示。

圖7 電池傳導(dǎo)熱阻Ru和對流熱阻Rc的辨識結(jié)果

圖8 電池內(nèi)阻Re的辨識值和擬合值

由圖7 可知，對流熱阻Ru和傳導(dǎo)熱阻Rc經(jīng)過短暫振蕩后穩(wěn)定，Ru約為3.25 Ω，Rc約為1.16 Ω。對于內(nèi)阻Re，總體表現(xiàn)為先減后增的趨勢，當(dāng)SOC較高和較低時由于極化反應(yīng)強烈，阻值較高。將內(nèi)阻的辨識值用式(2)擬合，以確定待定系數(shù)Rre、Tre、a、b和c，得到圖8 中紅色曲線，式(2)中待定系數(shù)見表1。

表1 內(nèi)阻模型系數(shù)辨識結(jié)果

將所辨識的參數(shù)代入式(1)擬合溫度的真實值，進行模型驗證，得到圖9 和圖10。

圖9 內(nèi)核溫度的擬合值和真實值

圖10 表面溫度的擬合值和真實值

由圖9 和圖10 可知，電池內(nèi)核溫度和表面溫度的擬合效果較好，表明所辨識參數(shù)的準(zhǔn)確性和雙態(tài)熱子模型在刻畫電池?zé)嵝袨榉矫娴暮侠硇浴?/p>

2 基于無跡卡爾曼濾波算法的內(nèi)核溫度在線估計方法

2.1 UKF 算法

在電池的實際工作中，遇到大電流或者劇烈變化的工況時，電池的內(nèi)核溫度變化較大，會遠高于表面溫度，此時容易發(fā)生熱失控，所以必須實時估計和監(jiān)測電池的內(nèi)核溫度，這也是電池?zé)峁芾淼闹匾獌?nèi)容。內(nèi)核溫度不易在實際工況中獲取，而表面溫度較容易獲取，可以借助式(1)或其差分形式(3)來通過表面溫度推算內(nèi)核溫度。然而，由于內(nèi)核溫度的初始值未知，且受到測量噪聲的影響，隨著時間的推移，這種誤差會不斷增大，最終造成較大的估計誤差。

卡爾曼濾波算法是狀態(tài)估計的有力工具，無跡卡爾曼濾波算法[10]向其引入無跡變換，通過計算Sigma 點來估計下一時刻的狀態(tài)變量和觀測變量，消除了偶然誤差，使算法更加適合非線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)估計，具有更好的穩(wěn)定性和精確度。

由1.1 的討論可知，電池雙態(tài)熱子模型的狀態(tài)方程和觀測方程可以寫成如下形式：

UKF 算法主要包括預(yù)測和更新階段，詳細數(shù)學(xué)推導(dǎo)參見文獻[10]，式(9)中涉及到的電熱參數(shù)由1.2 節(jié)中的FFRLS 算法實時辨識得到，并形成k時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A 和系統(tǒng)輸入矩陣B，代入到這一時刻的UKF 迭代遞推過程中?；赨KF 算法的電池內(nèi)核溫度估計算法的框圖見圖11。

圖11 FFRLS-UKF算法流程圖

2.2 實驗驗證

將電池的內(nèi)核溫度初始估計值設(shè)為34 ℃(真實值為26 ℃，等同于恒溫箱溫度)，啟動FFRLS-UKF 算法來估計內(nèi)核溫度，得到圖12。

圖12 內(nèi)核溫度的估計值和真實值比較

由圖12 可知，最大誤差在1 ℃以內(nèi)，估計值的整體趨勢與真實值一致，除了在計算初期有一個短暫的過沖，隨即很快跟隨到真值附近。說明UKF 算法能夠很好地消除初始溫度的不確定性，跟隨真值的能力較強，顯示出較好的魯棒性。

3 充放電循環(huán)下的仿真實驗

根據(jù)1.2 中辨識的電熱參數(shù)，在MATLAB/simulink 仿真平臺搭建電池模型，模擬了150 次FUDS 的充放電循環(huán)工況，來驗證在電池的全生命周期內(nèi)，UKF 算法對于電池內(nèi)核溫度的追蹤能力。隨著電池充放電循環(huán)次數(shù)的增多，電池的內(nèi)阻呈現(xiàn)增大的趨勢[11]，是刻畫其健康狀態(tài)[12]的重要指標(biāo)。故電池的內(nèi)阻模型需要在式(2)的基礎(chǔ)上，添加隨循環(huán)次數(shù)的增長項：式中：N為循環(huán)次數(shù)；μ 為內(nèi)阻隨循環(huán)次數(shù)的增長率，為了簡單起見設(shè)為常數(shù)，μ=0.001 5，即在一個充放電循環(huán)內(nèi)，電池內(nèi)阻增長0.15%。仿真結(jié)果如圖13 所示。

圖13 150次FUDS循環(huán)工況下的仿真結(jié)果

由圖13 可知，電池的表面溫度和內(nèi)核溫度在每個充放電循環(huán)作周期性波動，同時波動的幅度隨循環(huán)次數(shù)的增加逐漸升高，原因是內(nèi)阻不斷變大，單位時間的產(chǎn)熱量增加。溫度的仿真值和估計值的擬合效果較好，表明基于FFRLS-UKF的電池內(nèi)核溫度估計方法在鋰離子電池的全生命周期內(nèi)均能較好地追蹤內(nèi)核溫度的變化,顯示出該算法良好的魯棒性和穩(wěn)定性。

圖14 為這一過程中瞬時內(nèi)阻的模擬值和辨識值。內(nèi)阻在每周期內(nèi)隨著SOC和溫度的變化呈現(xiàn)先減后增的趨勢。在全周期看，內(nèi)阻的波動振幅不斷增加，且FFRLS 算法能夠較好地追蹤內(nèi)阻隨循環(huán)周期的變化情況。相比于瞬時內(nèi)阻，在一個周期的平均內(nèi)阻更具有實際意義，計算每個周期平均內(nèi)阻的模擬值和辨識值如圖15 所示，誤差約為1.3%，顯示了FFRLS-UKF 算法能夠監(jiān)測內(nèi)阻在循環(huán)工況下的增長情況，由于鋰離子電池的健康狀態(tài)也可以用內(nèi)阻的增長來表征，所以該方法可以通過跟蹤內(nèi)阻的變化來估計當(dāng)前循環(huán)次數(shù)下電池的健康狀態(tài)。

圖14 循環(huán)工況下的瞬時內(nèi)阻辨識結(jié)果

圖15 循環(huán)工況下的平均內(nèi)阻辨識結(jié)果

4 總結(jié)與展望

本文研究了鋰離子電池的集總參數(shù)模型—雙態(tài)熱子模型，模型中內(nèi)阻的建模考慮內(nèi)核溫度、SOC以及循環(huán)次數(shù)的影響，更能反映真實情況。通過FFRLS 算法辨識熱阻容參數(shù)和內(nèi)阻的時變值，并進行模型驗證，表面溫度和內(nèi)核溫度的擬合值較好，反映了雙態(tài)模型在刻畫電池溫度變化方面的合理性。進而提出基于FFRLS-UKF 的鋰離子電池內(nèi)核溫度在線估計方法，該方法在一個周期的FUDS 工況下進行實驗驗證，觀察到能夠較好地刻畫內(nèi)核溫度的變化情況。

對該算法進行150 次FFRLS 充放電循環(huán)仿真測試，結(jié)果表明該算法能夠較好地跟隨表面溫度和內(nèi)核溫度的變化情況，估計誤差不會隨著時間的推移明顯增大，穩(wěn)定性和魯棒性較好。每個周期中內(nèi)阻平均值的辨識效果較好，可以據(jù)此來監(jiān)測電池健康狀態(tài)隨循環(huán)次數(shù)的變化。在實際工況下的適用性需要實驗來進一步驗證。