徐東輝

(1.南昌師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，江西南昌 330032；2.長(zhǎng)沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410076)

電動(dòng)汽車由于具有節(jié)能環(huán)保效應(yīng)，世界各國(guó)正出臺(tái)各項(xiàng)政策促進(jìn)電動(dòng)汽推廣使用。鋰離子電池由于具有無(wú)記憶效應(yīng)、能量密度高、循環(huán)壽命長(zhǎng)和對(duì)環(huán)境無(wú)污染等優(yōu)點(diǎn)，目前廣泛地使用在航空、航海、電動(dòng)汽車等領(lǐng)域[1-3]。世界各國(guó)學(xué)者對(duì)鋰離子電池開展了各項(xiàng)深入研究，如：張?jiān)平萚4]從機(jī)理方面分析了鋰離子電池電芯在不同工況下的產(chǎn)熱效應(yīng)及其與電化學(xué)性能的關(guān)聯(lián)性，并設(shè)計(jì)了與之相應(yīng)的機(jī)械電子結(jié)構(gòu)和電池?zé)峁芾聿牧霞胺桨?。歐陽(yáng)明高、鄭岳久等[5-6]對(duì)電池組的一致性問(wèn)題開展了一系列研究，并提出了電池組一致性辨識(shí)及相應(yīng)的均衡算法和故障診斷方法。近期有許多學(xué)者針對(duì)鋰離子電池的荷電狀態(tài)及健康狀態(tài)等方面開展許多相關(guān)的研究，如：顏湘武等[7]應(yīng)用適應(yīng)無(wú)跡卡爾曼濾波算法對(duì)鋰離子動(dòng)力電池的SOH進(jìn)行在線實(shí)時(shí)估算，并依據(jù)實(shí)時(shí)估算結(jié)果確定鋰離子動(dòng)力電池組的梯次利用方案。何志剛等[8]采用遞推最小二乘法對(duì)電池的二階RC 等效電路模型參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)辨識(shí)，并將自適應(yīng)迭代引入無(wú)跡卡爾曼濾波，構(gòu)成自適應(yīng)迭代無(wú)跡卡爾曼濾波，結(jié)果顯示提高了SOC的估算精度。文獻(xiàn)[9]采用基于狀態(tài)評(píng)估的邊緣計(jì)算深度學(xué)習(xí)對(duì)電池剩余使用壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將預(yù)測(cè)結(jié)果傳輸?shù)交谠频姆?wù)器上進(jìn)行監(jiān)控和維護(hù)。

以上都是針對(duì)鋰離子動(dòng)力電池某一方面特性開展研究，未對(duì)電池整體的非線性混沌特性進(jìn)行分析研究，并且相關(guān)報(bào)道也甚少。因此，本文將荷控憶阻器、電阻及電感作為一階RC 等效電路的負(fù)載構(gòu)成一個(gè)四階混沌動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用四階變步長(zhǎng)Runge-Kutta 法詳細(xì)分析該動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型隨一階RC 等效電路中歐姆內(nèi)阻變化過(guò)程中的Lyapunov 指數(shù)計(jì)算、時(shí)頻特征分布、相軌圖等一系列動(dòng)力學(xué)特性，研究系統(tǒng)隨一階RC 等效電路歐姆內(nèi)阻變化的混沌特性演變過(guò)程，以此實(shí)時(shí)獲取一階RC 等效電路歐姆內(nèi)阻值。

1 荷控憶阻器模型

憶阻器是繼電阻、電容和電感之外的第四種基本雙端電路元件，由蔡少棠在1971 年根據(jù)電路變量的完備性提出。它代表的是電荷和磁鏈之間的關(guān)系，當(dāng)時(shí)沒(méi)有現(xiàn)實(shí)可行的物理模型。2008 年，惠普公司的Williams 團(tuán)隊(duì)成功制作出了基于金屬和金屬氧化物的憶阻器，證實(shí)了憶阻器的存在，也即HP憶阻器，它由摻雜部分TiO2和非摻雜部分TiO2組成。因此，憶阻器可以看成摻雜與非摻雜兩個(gè)部分互相耦合而構(gòu)成的可變電阻，其憶阻值可以表示為：

式中：M(t)為憶阻值，與電阻具有同一量綱；D為憶阻器總長(zhǎng)度；ROFF為憶阻器未摻雜時(shí)的最大電阻值導(dǎo)通阻抗；RON為全部摻雜時(shí)的最小電阻值；w(t)表示憶阻器摻雜部分隨時(shí)間變化的長(zhǎng)度。

當(dāng)HP 憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量的變化率為電流i的函數(shù)，即HP 憶阻器成為荷控憶阻器：

常用的憶阻器特性曲線為三次光滑連續(xù)的單調(diào)上升的曲線，表示如下：

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)基于憶阻器的一階RC 等效電路，本文將采用上述三次光滑連續(xù)的單調(diào)上升的曲線描述荷控憶阻器的本構(gòu)關(guān)系，則其增益憶阻M(q)可表示為：

式中：φ為磁通量；q為電荷量；a、d為常數(shù)，且a＜0，d＞0。

2 一階RC 等效電路模型的建立

一階RC 模型如圖1 所示。其中UOC(SOC)為電池開路電壓，R0為歐姆內(nèi)阻，i為放電電流,圖中方向?yàn)檎琔L為端電壓，C1為極化電容，R1為極化電阻，R1與C1構(gòu)成表示電池極化現(xiàn)象的并聯(lián)R1C1網(wǎng)絡(luò)。

圖1 一階RC等效電路模型

當(dāng)電池放電時(shí)，根據(jù)基爾霍夫電壓電流定律可得：

一階RC 模型考慮了電池的瞬態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，該模型的精度和計(jì)算復(fù)雜度都比較適中，是模擬電池特性較好的一個(gè)選擇。因此，本文選擇一階RC 模型作為研究鋰離子電池動(dòng)力學(xué)特性的等效電路模型。

3 基于憶阻器的一階RC 等效電路的混沌判別

由于鋰離子電池系統(tǒng)具有高度復(fù)雜的非線性特性，難于用準(zhǔn)確的方程對(duì)其各種狀態(tài)進(jìn)行在線精確計(jì)算?；煦缡欠蔷€性系統(tǒng)中由于其非線性變量改變而產(chǎn)生的一系列貌似隨機(jī)性現(xiàn)象，并且系統(tǒng)參數(shù)的改變會(huì)引起系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性隨之變化，因此適合于對(duì)鋰離子電池動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行研究。為此本文將荷控憶阻器、電感及電阻作為負(fù)載引入一階RC 模等效電路模型(圖2)中，并建立四階混沌動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型。分析該四階混沌動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型隨一階RC 等效電路參數(shù)變化過(guò)程中相軌圖、時(shí)序圖和Lyapunov指數(shù)計(jì)算等一系列動(dòng)力學(xué)特性。

圖2 基于憶阻器的RC 等效電路模型

圖中，uOC為開路電壓；R0為歐姆內(nèi)阻；R1、C1分別為極化電阻和極化電容；L1、L2為電感；R為電阻；M(q)為荷控憶阻器。

由圖2 所示建立基于憶阻器的一階RC 等效電路，假設(shè)i1、i2、i3的方向?yàn)殡娏鲄⒖挤较?，根?jù)基爾霍夫電流及電壓定律可以得到電路方程組為：

根據(jù)電阻、電容、電感及憶阻器等元器件的伏安特性，可得上述電路方程組的微分方程組如下：

上式即為由荷控憶阻器、電阻及電感及一階RC 等效電路構(gòu)成一個(gè)四階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，當(dāng)該混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型的參數(shù)取為：α=8.6，β=1.1，γ=14.29，R=1.14，R0=0.2，R1=142.48，a=－1.34，d=0.4，且系統(tǒng)的初始值設(shè)置為[0,0.01,0,0]，可得系統(tǒng)的相軌圖如圖3 所示，時(shí)域波形如圖4 所示。由圖3 和圖4 可知該四階混沌系統(tǒng)生成了雙渦卷混沌吸引子。

圖3 系統(tǒng)的相軌圖

圖4 系統(tǒng)的時(shí)序圖

計(jì)算該四階混沌動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型的Lyapunov 指數(shù)為L(zhǎng)E1=0.208，LE2=0.014，LE3=－1.212，LE4=－3.238，Lyapunov 維數(shù)d=2.043。由此可知該四階混沌動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型在上述參數(shù)設(shè)置下處于混沌狀態(tài)。

4 混沌動(dòng)力學(xué)特性分析

4.1 系統(tǒng)的耗散性和吸引子存在性分析

4.2 電路歐姆內(nèi)阻對(duì)混沌系統(tǒng)的影響

由于R0為鋰離子電池歐姆內(nèi)阻，由式(13)可知，通過(guò)R0的變化可以掌握鋰離子電池的健康狀態(tài)(SOH)變化情況。

式中：REOL為電池壽命結(jié)束時(shí)的內(nèi)阻；R0為當(dāng)前電池的內(nèi)阻；RNEW為新電池的內(nèi)阻。

本文考慮當(dāng)α=8.5，β=1，γ=14.29，R=1.14，R1=142.48，a=－1.34，d=0.4，q=0.2 固定時(shí)，由式(12)可知，改變R0歐姆內(nèi)阻大小，系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)特性也發(fā)生相應(yīng)改變，如系統(tǒng)的相軌圖及時(shí)序圖都發(fā)生改變，因此可以通過(guò)改變一階RC 等效電路中R0參數(shù)分析數(shù)學(xué)模型中的動(dòng)力學(xué)變化情況，反之可以通過(guò)分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)變化情況進(jìn)一步掌握R0參數(shù)變化情況。

當(dāng)R0取值范圍為[0.125，0.25)，即SOH為100%～85%時(shí)系統(tǒng)的李氏指數(shù)形式為(+，+，－，－)，表明系統(tǒng)處于超混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，系統(tǒng)生成了雙渦卷混沌吸引子；當(dāng)R0取值范圍為[0.25，0.30)，也即SOH為85%～80%時(shí)，系統(tǒng)的李氏指數(shù)形式為(+，0，－，－)，表明系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)生成了單渦卷混沌吸引子；當(dāng)R0取值范圍為[0.30，1]，也即SOH為80%～0%時(shí)，系統(tǒng)的李氏指數(shù)形式為(0，－，－，－)，表明系統(tǒng)以周期軌道運(yùn)行。圖5 為由荷控憶阻器、電阻及電感及一階RC 等效電路構(gòu)成一個(gè)四階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型在初始值取q=0.2 及R0=0.125，SOH=100%時(shí)的相軌圖和時(shí)序圖。圖6 為該四階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型在初始值取q=0.2 及R0=0.28，SOH=82.3%時(shí)的相軌圖和時(shí)序圖。圖7 為該四階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型在初始值取q=0.2 及R0=0.42，SOH=66.3%時(shí)的相軌圖和時(shí)序圖。圖8 為該四階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型在初始值取q=0.2 及R0=0.8，SOH=22.9%時(shí)的相軌圖和時(shí)序圖。通過(guò)圖5～圖8可知該四階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型隨鋰離子電池的一階RC 等效電路歐姆內(nèi)阻參數(shù)的變化具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。隨一階RC 等效電路模型的歐姆內(nèi)阻增大，該四階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型通常由雙渦卷混沌經(jīng)單渦卷混沌進(jìn)入倍周期分岔序列，且歐姆內(nèi)阻越小，則該四階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型的混沌現(xiàn)象越明顯。當(dāng)用荷控憶阻器、電阻及電感及一階RC 等效電路建立一個(gè)四階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型后，通過(guò)對(duì)該四階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型的動(dòng)力學(xué)特性分析，可掌握一階RC 等效電路模型的歐姆內(nèi)阻變化情況，同時(shí)可進(jìn)一步監(jiān)測(cè)鋰離子電池的健康狀態(tài)。

圖5 初始值q=0.2及R0=0.125，SOH=100%時(shí)的相軌圖和時(shí)序圖

圖6 初始值q=0.2及R0=0.28，SOH=82.3%時(shí)的相軌圖和時(shí)序圖

圖7 初始值q=0.2及R0=0.42，SOH=66.3%時(shí)的相軌圖和時(shí)序圖

圖8 初始值q=0.2及R0=0.8，SOH=22.9%時(shí)的相軌圖和時(shí)序圖

5 結(jié)論

(1)將荷控憶阻器、電阻及電感作為一階RC 等效電路的負(fù)載構(gòu)成了一個(gè)四階混沌系統(tǒng)，并根據(jù)基爾霍夫電流及電壓定律建立了該四階混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型。通過(guò)相軌圖、時(shí)序圖和Lyapunov 指數(shù)的計(jì)算，表明該四階混沌系統(tǒng)在參數(shù)及初始值確定的情況下具有混沌特性。

(2) 運(yùn)用四階變步長(zhǎng)Runge-Kutta 法所建立的四階混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真求解，從系統(tǒng)的耗散性和吸引子存在性、電路參數(shù)的改變等方面對(duì)系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析。

(3) 結(jié)果表明，該混沌系統(tǒng)隨一階RC 等效電路歐姆內(nèi)阻參數(shù)的變化具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，隨歐姆內(nèi)阻增大，系統(tǒng)通常經(jīng)混沌進(jìn)入倍周期分岔序列，且歐姆內(nèi)阻越小，則系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象越明顯。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析，可以在線獲取歐姆內(nèi)阻值，為鋰離子動(dòng)力電池壽命的在線監(jiān)測(cè)提供一種全新的方法。