徐勁力，郎錦峰，徐 維，劉佳俊

(武漢理工大學機電工程學院，湖北武漢 430070)

電池荷電狀態(tài)(SOC)估算能夠實時顯示電池剩余電量的狀況，是保障電池正常工作的基礎[1]。

離線和在線辨識是等效電路模型參數辨識的主要方法，前者得到的模型參數無法反映電池實時的動態(tài)特性，后者通過實時采集可測變量，模型參數辨識結果更為準確。遞推最小二乘法具有計算簡單、容易實現等特點，是在線辨識中應用較多的方法之一[2-4]，然而由于遞推關系和數據量的增加，舊數據也一直影響著新輸入數據的遞推結果。

在電池SOC估算方面，初值準確與否對安時積分法估算SOC影響很大，容易造成誤差累積[5]；需要長時間的靜置使得開路電壓法在線估算變得不方便[6]；內阻法則受電池種類和數量等的影響，在實際中應用很少[7]。后來智能算法也被用來進行SOC估算，通過對大量的測量數據進行訓練和學習從而進行預測，典型的有支持向量機[8]、神經網絡[9]等，這類算法不依賴數學模型，但對數據集的質量和完整度有較高的要求。目前基于模型的估算方法中卡爾曼濾波(KF)算法最為常見，無跡卡爾曼濾波(UKF)算法使用無損變換，且避免求解雅可比矩陣，減小了非線性誤差[10]，精度比擴展卡爾曼濾波(EKF)更高，但容易帶來協方差矩陣非正定的情況。

為了解決最小二乘法在參數辨識過程中出現“數據飽和”的情況，以及無跡卡爾曼濾波易出現協方差矩陣非正定的情況，本文在Thevenin 模型的基礎上，參數采用限定記憶最小二乘法辨識，電池SOC采用自適應平方根無跡卡爾曼濾波算法(ASRUKF)進行估算。

1 電池模型的建立

等效電路模型通過電路元件的組合來模擬電池特性，利用數學方法來建立不同參數之間的關系。圖1 為一階RC 電路模型，即Thevenin 等效電路模型，內部動態(tài)特性通過阻容網絡來模擬。歐姆電阻用R0表示；開路電壓為UOCV；用R1和C1分別表示極化電阻和電容；端電壓為Ut；U1為RC 回路的極化電壓；I為電流，充電時電流為正，放電時電流為負。

圖1 一階RC 電路模型

根據所建模型和電壓定律，可建立如下電路方程：

式中：SOC0為初始SOC值；η1為充放電效率，通常取1；容量用Cn表示；t0和t分別代表初始時刻和t時刻。

離散化處理之后，狀態(tài)空間方程如下：

式中：T為采樣時間；w為過程噪聲；v為測量噪聲，是用來模擬不確定性的高斯白噪聲，狀態(tài)變量為xk=[SOCk，U1,k]，控制變量為uk=Ik,，觀測變量為yk=Ut,k。

2 實驗平臺建立

本次實驗采用如圖2 所示的電池測試平臺，主要包括測試系統(tǒng)、恒溫箱、電池、數據采集設備等，三元鋰電池具體參數為：溫度為25 ℃，標稱容量2.5 Ah，充電截止電壓4.2 V，放電截止電壓2.75 V。

圖2 電池測試平臺

通過對電池的充放電測試，得到電池開路電壓的測試數據。為了能夠更好地反映電池OCV和SOC的關系，本文通過九階多項式來擬合OCV和SOC的關系曲線。由于遲滯效應，同一SOC值情況下，充電曲線和放電曲線之間存在電壓差值，因此采用取平均值的方法來進行曲線擬合，曲線如圖3 所示。

圖3 OCV-SOC擬合曲線

擬合曲線的評價參數RMSE為0.002 128，表明該曲線有較好的擬合效果。

3 參數辨識

3.1 限定記憶最小二乘法

針對等效電路模型的參數辨識，最常用的是遞推最小二乘法，但在遞推算法的過程中，隨著遞推次數和數據量的增加，在增加新數據的同時，舊數據一直影響著新數據的遞推結果。因此，針對上述存在的問題，提出了限定記憶最小二乘法來進行參數辨識。

這種方法在增加新數據的同時，剔除舊數據，依賴有限個最新數據來進行參數估計，記憶長度L始終保持不變，這樣能夠有效解決“數據飽和”帶來的問題[11]。

下面是限定記憶最小二乘法的遞推原理：

式中：h(k)為數據向量；z(k)為輸出量；θ 為參數向量。遞推公式如下：

在遞推初始時刻，需要對部分參數賦予初始值，通過遞推更新來對參數進行預測，其基本思想可用圖4 來表示。

圖4 限定記憶最小二乘法遞推示意圖

假設當前時刻為k，則根據上一時刻的參數值協方差、參數估計值以及增益可以遞推得到當前時刻的估算值，此時，需對記憶區(qū)間內的數據進行增刪更新，從而計算得到k+1 時刻的參數值。

結合模型辨識的精度以及辨識所用時間，參數辨識所選取的記憶長度為200。

3.2 電池模型參數辨識

根據所建立的等效電路模型可得到如下所示的函數：

將z(k+1)=hT(k)θ(k+1)+ν(k)以及h(k)和θ(k)代入限定記憶最小二乘法中進行參數辨識，進而可以求得電池模型對應參數的值。

3.3 辨識模型的驗證

為了驗證模型參數辨識的準確性，將辨識的模型參數帶入端電壓的求解公式中，可以得到端電壓的仿真值，將仿真值與實測值進行對比。通過上述實驗平臺模擬城市道路循環(huán)工況(UDDS)，得到電壓和電流數據。將模型的參數辨識結果代入，模型的端電壓仿真值和實測值結果如圖5 所示。圖6為模型端電壓的誤差。

圖5 端電壓仿真值與實測值

圖6 模型端電壓誤差

從圖中可以看到，所建立模型參數辨識的整體精度較好，采用限定記憶最小二乘法LMRLS 辨識的模型端電壓仿真值和實測值的誤差大部分保持在0.02 V 以內，在15 300 s 左右，電池SOC降至10%，此時，模型的非線性增大導致端電壓誤差開始增大，最大為0.07 V；而最小二乘法RLS 辨識的模型端電壓仿真值和實測值誤差保持在0.04 V 以內，最大誤差達到0.08 V，前者的模型端電壓的均方根誤差RMSE為0.014 5，后者為0.0176，因此LMRLS 比RLS有更高的參數辨識精度。

4 SOC 估算

4.1 算法的建立

無跡卡爾曼濾波(UKF)采用無損變換，其原理是利用概率密度分布近似的方法來處理非線性函數，其精度可達泰勒展開式的第三階。針對在誤差協方差迭代過程中易出現矩陣非正定問題，本文將協方差用協方差陣的平方根進行迭代，并結合自適應濾波器來進行SOC的估算。

平方根通過QR 分解和Cholesky 一階更新來獲得[12]，自適應濾波器對迭代過程中的噪聲更新，避免噪聲不準確對估算結果的影響。

ASRUKF 的估算過程如下[13]：

(1)狀態(tài)函數初始化：

(2)構建Sigma 點：

(3)時間更新，對構建的Sigma 點進行狀態(tài)方程的處理，預測系統(tǒng)狀態(tài)量和誤差方差矩陣：

(4)對Sigma 點進行重采樣：

式中：dk=(1-b)/(1-bk+1)，遺忘因子b介于0 到1 之間，這里取0.95。

對方差矩陣和誤差協方差進行更新：

(5)計算增益矩陣，并對估計量和方差進行更新：

根據限定記憶最小二乘法辨識的結果，代入公式(3)和(4)，可完成SOC的估算。

4.2 估算結果的分析

為了驗證上述算法的準確性，將UDDS 工況的電流作為輸入，初始SOC值均設置為0.7。圖7 為UKF 和ASRUKF 估計結果與參考值的對比圖。圖8 為兩種算法的估算結果與參考值的誤差曲線。

圖7 UDDS工況下的SOC估算結果

圖8 UDDS 工況下的估算誤差曲線

從圖7 和圖8 可以看出，UKF 和ASRUKF 兩種算法都能夠比較快速地收斂到真實值附近，但是ASRUKF 相比UKF 有更好的估算結果。UKF 算法估算誤差大部分都在2%以下，最大誤差為4%，出現在SOC低于10%的時候，這是由于放電末段非線性增強導致；在SOC大于10%的時候，ASRUKF 的估算誤差均小于1%，在SOC小于10%的時候誤差增大，但是最大誤差也小于2%，不同算法的估計誤差如表1 所示。

表1 不同算法的估計誤差 %

與UKF 算法相比，ASRUKF 算法確保估算結果收斂，避免因干擾和計算誤差而導致協方差矩陣非正定，也減少了計算量，同時加入自適應算法使得狀態(tài)估計過程中能夠實時進行噪聲更新，提升了估算結果的準確性。

5 結論

在Thevenin 等效電路模型的基礎上，針對最小二乘法在參數辨識過程中存在“數據飽和”的問題，模型參數采用限定記憶最小二乘法進行辨識，利用固定記憶長度的數據來減小舊數據累積對結果的影響，并通過工況端電壓來驗證模型辨識結果的準確性。采用自適應平方根無跡卡爾曼濾波來進行SOC估算，并與UKF 結果的對比分析，證明該方法有更高的估計精度。