王榮忠 高秋英,2 王得軍

1. 青島海爾洗衣機(jī)有限公司，山東省青島市 266100；2. 數(shù)字化家電國家重點實驗室，山東省青島市 266100

0 前言

在控制器的研發(fā)過程中，經(jīng)常需要對實驗獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合處理，以便找到變量之間的關(guān)系，目前較為常用的方法是最小二乘法，而其中多項式擬合應(yīng)用最為廣泛。在實際計算中，通過對偏差的平方和對每個系數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，使偏導(dǎo)數(shù)為零來建立方程組，經(jīng)過一系列推導(dǎo)，得到系數(shù)公式，然后求得系數(shù)[1]。在多項式的系數(shù)求解計算中會有大量的運(yùn)算，而控制器通常會使用單片機(jī)作為采集和運(yùn)算單元，其運(yùn)算能力不足，所以對運(yùn)算過程進(jìn)行簡化是非常有必要的[2]。本文結(jié)合最小二乘法多項式擬合的算法原理，在自變量為自然數(shù)序列時，對應(yīng)用較為廣泛的多項式曲線擬合進(jìn)行了公式推導(dǎo)，得出一種簡化算法，并舉出實例說明了其應(yīng)用方法。

1 最小二乘法擬合原理

設(shè)有一組實驗數(shù)據(jù)為(xi,yi)i=1, 2,…,n，其擬合函數(shù)為下式：

其中，a0,a1, …,an是n+1個待定參數(shù)，y是與x有一定依賴關(guān)系的變量，根據(jù)最小二乘法原理，則應(yīng)使

對函數(shù)S求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，即可得：

若對于任意函數(shù)h(x)，g(x)引入記號：即：

其中，f為yi與xi依賴關(guān)系式，寫成矩陣形式為[3]：

上式稱為正規(guī)方程組。當(dāng)φ0(x),φ1(x),…,φn(x)線性無關(guān)時，方程組有唯一解。取φ0(x)=1,φ1(x)=x,…,φn(x)=xn，相應(yīng)的方程組為[4-5]：

從中可以解出a0,a1,…,an。

2 簡化算法公式推導(dǎo)

設(shè)有一組實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1, 2,…,n，其中，x為一組自然數(shù)序列，取值從1到n，y為實測值，設(shè)該組數(shù)據(jù)的一次曲線擬合函數(shù)為[4]：

由上述式（6）可得出其擬合公式為：

其中，a0，a1——要求解的系數(shù)；

n——采集數(shù)據(jù)的個數(shù)；

xi——數(shù)據(jù)的序號；

yi——測得的數(shù)據(jù)。

由式（8）可得a0表達(dá)式為：

將a0代入式（8）可得a1的表達(dá)式為：

使用式（10）進(jìn)行計算，可以不用將每個變量的值都進(jìn)行存儲，只需累加計算，便可進(jìn)行曲線擬合的計算。

根據(jù)等差數(shù)列平方和公式，可得：

將公式（12）、（13）代入式（10），則有：

分子分母同時消掉n：

進(jìn)一步進(jìn)行簡化：

可見，公式（16）已得到很大簡化，且b、d的計算已被省略掉。在單片機(jī)中計算時，為了減少計算步驟，可簡化為如下形式：

得到a1的表達(dá)式之后，將式（17）代入式（9）可得到a0的計算公式：

至此，擬合公式中的兩個系數(shù)求解都得到了簡化后的計算公式，計算公式中僅與和數(shù)據(jù)采集的個數(shù)n有關(guān)，省去了兩個復(fù)雜變量的計算。

3 應(yīng)用實例

以一個溫度傳感器的數(shù)據(jù)擬合為例，表1給出實際采集到的一組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)從1到60，即n=60。

將c、e、n及a1的值代入式（18），可計算出a0=30.1472，至此，我們可以得到該組溫度數(shù)據(jù)的擬合曲線公式為：

利用Excel表格中的曲線擬合工具，對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，得到的公式如下，可以看出，與我們的計算結(jié)果是一致的。

表1 溫度傳感器數(shù)據(jù)

4 結(jié)束語

綜上所述，在使用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合時，可以使用自然數(shù)序列作為自變量，或經(jīng)過變換將自變量變?yōu)樽匀粩?shù)序列，從而可以使用本文推導(dǎo)后的簡化算法，省掉多個中間變量以及復(fù)雜的運(yùn)算環(huán)節(jié)，有效節(jié)省運(yùn)算資源，且不影響最終的計算結(jié)果。本文提出的簡化后的系數(shù)計算方法非常適用于一些計算能力不足的應(yīng)用場合，對于實用場景中的非線性關(guān)系，可以進(jìn)行分段線性化或者一些變量關(guān)系的轉(zhuǎn)換變?yōu)榫€性關(guān)系，從而可以應(yīng)用本簡化方法。另外，按照本文提出的簡化方法，可以很方便地推廣到曲線擬合的其他應(yīng)用場合。