吳功躍，周香花

(南昌大學科學技術(shù)學院，江西南昌330047)

1 引言

自從多目標規(guī)劃問題被提出，就普遍存在并廣泛應(yīng)用于交通運輸、資產(chǎn)負債管理、金融投資、軍事科學等眾多領(lǐng)域中，這些領(lǐng)域均在經(jīng)濟、軍事以及日常生活中起著重大的決策作用，且占據(jù)著舉足輕重的地位[1]，因此，各類多目標規(guī)劃模型應(yīng)運而生。該模型憑借對當中層次關(guān)系的恰當描述、對決策者意愿的全方位展示以及將社會生產(chǎn)實際問題作為規(guī)劃根本等諸多優(yōu)勢，不斷拓寬應(yīng)用前景，提升應(yīng)用價值。針對多目標規(guī)劃模型的實際應(yīng)用背景，許多相關(guān)學者與研究人員都對其展開了深入探索。

例如，謝仕煒等人[2]以通信領(lǐng)域主動配電網(wǎng)為研究對象，設(shè)計出一種不確定隨機網(wǎng)絡(luò)理論的多目標規(guī)劃模型，經(jīng)架構(gòu)不確定隨機主動配電網(wǎng)，完成經(jīng)濟最小化與最小生成樹搜尋的目標設(shè)定，采用三維不確定機會空間解得多目標規(guī)劃問題；文獻[3]提出的PSO-GRA耦合決策下排水溝系統(tǒng)多目標規(guī)劃模型中，利用粒子群算法獲取非劣解集，結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)投影法選擇最終決策；文獻[4]以運輸行業(yè)為研究背景，將模糊變量設(shè)定為供應(yīng)鏈的風險與績效，構(gòu)建出一種模糊動態(tài)非線性多目標規(guī)劃模型，設(shè)立成本、風險最小化與績效最大化目標后，綜合考慮供應(yīng)商、訂單分配、風險以及績效等因素，得到模糊動態(tài)非線性多目標規(guī)劃模型，利用模糊評價法實現(xiàn)模型的處理與計算。

因上述各文獻模型中未考慮到數(shù)據(jù)缺失情況，導(dǎo)致規(guī)劃結(jié)果存在一定的偏差，為此，本文以協(xié)變量缺失為前提條件，提出一種集值映射多目標規(guī)劃模型。通常在采集數(shù)據(jù)過程中，因某些因素造成只有部分數(shù)據(jù)得到觀測(比如問卷調(diào)查階段，被調(diào)查者由于問題涉及個人隱私而未給出答案)，由此便產(chǎn)生了數(shù)據(jù)缺失現(xiàn)象。為解決數(shù)據(jù)缺失帶來的誤差與錯誤推斷，引入示性隨機變量，令協(xié)變量為隨機缺失，根據(jù)協(xié)變量缺失情況，實現(xiàn)參數(shù)與非參數(shù)的經(jīng)驗似然推斷，減小規(guī)劃誤差，增強模型魯棒性。

2 協(xié)變量缺失下集值映射多目標規(guī)劃模型構(gòu)建

2.1 模型建立及約束條件確定

利用一個上層決策者(即領(lǐng)導(dǎo)者)與多個獨立且平行的下層決策者(即跟隨者)，構(gòu)建集值映射多目標規(guī)劃問題的數(shù)學模型。跟隨者在領(lǐng)導(dǎo)者做出決策后，根據(jù)領(lǐng)導(dǎo)者的決策知識來最小化其目標函數(shù)，領(lǐng)導(dǎo)者再制定出對其目標函數(shù)具有優(yōu)化作用的決策。值得指出的是，該多目標規(guī)劃模型的決策過程存在一定的交互性[5]。

設(shè)定下層決策者數(shù)量是n個，領(lǐng)導(dǎo)者在給出決策之前有充分考慮到跟隨者的反應(yīng)，且選擇的決策結(jié)果是以跟隨者決策為基礎(chǔ)，其表達式如下所示

(BLMOP)1=minQ(x，y1，…，yn)

(1)

下列方程組為對應(yīng)約束條件

(2)

通過上式可以看出，領(lǐng)導(dǎo)者最優(yōu)決策的制定復(fù)雜程度隨著跟隨者提供決策范圍的不斷縮小而降低，且有可能等同于下層問題中部分有效解相對應(yīng)的目標函數(shù)值。綜上所述，用目標函數(shù)值集Ti(x)代替最優(yōu)反應(yīng)集Ei(x)是可行的，因此，由(BLMOP)1表達式推導(dǎo)出的下列多目標規(guī)劃模型

(BLMOP)2=minG(x，z1，…，zn)

(3)

對應(yīng)約束條件式如下所示

(4)

基于該多目標規(guī)劃模型，領(lǐng)導(dǎo)者目標函數(shù)用G:A*T1(x)*…*Tn(x)→Y表示?；诟黝悓?dǎo)數(shù)概念與集值優(yōu)化問題[6]的關(guān)聯(lián)結(jié)果，令下列方程式成立

F(x)={G(x，z1，…，zn):zi∈Ti(x)，i=1，2，…，n}

(5)

其中，集值映射是F:A→2Y，并基于此將(BLMOP)2改寫為下列表達式

(BLMOP)3=minF(x)

(6)

此多目標規(guī)劃模型的約束條件方程組如下所示

(7)

此時，令x0∈A、yi0∈Si(x0)、zi0=fi(x0，yi0)、z0=G(x0，z10，…，zn0)成立。

當滿足(F(x)-z0)∩{-intC}=?與yi0∈Ei(x0)時，(BLMOP)3的弱有效解[7]為(x0，y10，…，yn0)。其中，?x∈A。

2.2 模型參數(shù)經(jīng)驗似然推斷

設(shè)定規(guī)劃模型的隨機樣本為{Yi，Xi，Ui，Zi}，可完全觀測到的樣本是(Yi，Xi，Ui)，而缺失的協(xié)變量則是Zi。利用示性函數(shù)技術(shù)[8]，引入隨機變量δi，令協(xié)變量為隨機缺失，且滿足下列條件式，推導(dǎo)出式(9)

(8)

P(δi=1|Yi，Ui，Xi，Zi)=P(δi=1|Yi，Ui，Xi)

=π(Yi，Ui，Xi)

(9)

上式表明，已知Yi，Ui，Xi時，δi與Zi均具有獨立性，選擇概率函數(shù)為π(Yi，Ui，Xi)。

基于協(xié)變量Zi缺失情況與逆概率加權(quán)方法[9]，利用下列逆概率加權(quán)目標函數(shù)，實現(xiàn)分量參數(shù)β的最小化估計

(10)

綜上得出分量參數(shù)β的輔助隨機向量表達式，如下所示

(11)

(12)

采用拉格朗日乘子法[11]計算分量參數(shù)的經(jīng)驗似然比函數(shù)，得到下列解方程表達式

(13)

式中，拉格朗日乘子為λ，界定公式如下所示

(14)

2.3 模型非參數(shù)經(jīng)驗似然推斷

若已知隨機樣本Ui的密度函數(shù)是f(u)與分量參數(shù)β，且滿足下列表達式

E{X[Y-g(Z，β)-XTθ(u)]}=0

(15)

假設(shè)核函數(shù)K1h1的帶寬是h1，則非參數(shù)θ(u)的輔助隨機矢量與經(jīng)驗對數(shù)似然比表達式分別如下所示

(16)

由于此函數(shù)不屬于標準的卡方分布[12]，故構(gòu)建下列殘差調(diào)整下輔助隨機矢量表達式

(17)

因此，采用下列表達式界定非參數(shù)θ(u)的殘差修正經(jīng)驗對數(shù)似然比

(18)

3 集值映射多目標規(guī)劃模型仿真分析

協(xié)變量缺失下集值映射多目標規(guī)劃模型的仿真結(jié)果通過C#編程軟件獲得，實驗環(huán)境主要采用因特爾I5 3516型號4.2GHz處理器，內(nèi)存為8GB。為驗證模型有效性，降低隨機性對模型結(jié)果產(chǎn)生的影響，分別采用文獻[2]、文獻[3]、文獻[4]方法以及文本所建模型展開以下仿真。

3.1 協(xié)變量缺失下模型經(jīng)驗似然檢驗效果

圖1所示為樣本函數(shù)取不同數(shù)值(100、150、200)、顯著性水平是0.05時的經(jīng)驗似然比檢驗結(jié)果。

圖1 不同缺失概率下經(jīng)驗似然檢驗結(jié)果

根據(jù)圖1中的經(jīng)驗似然檢驗仿真結(jié)果可以看出：關(guān)于不同樣本函數(shù)取值，數(shù)值越高，經(jīng)驗似然檢驗越趨近于1，說明經(jīng)驗似然檢驗效果與樣本函數(shù)值之間呈正相關(guān)關(guān)系，檢驗功效隨樣本函數(shù)值的增加而更優(yōu)，這是因為本文引用逆概率加權(quán)方法，最小化估計了分量參數(shù)，構(gòu)建出對應(yīng)的經(jīng)驗似然比函數(shù)，并采用拉格朗日乘子法求取解值；針對缺失概率與經(jīng)驗似然檢驗結(jié)果關(guān)系，一般情況下，顯著性水平將隨著協(xié)變量缺失概率的不斷上升而逐漸偏離預(yù)設(shè)值，而本文方法因利用示性隨機變量，進一步假設(shè)了協(xié)變量為隨機缺失，經(jīng)結(jié)合協(xié)變量缺失情況，使上表中數(shù)據(jù)與預(yù)設(shè)值較為擬合，大幅提升了經(jīng)驗似然檢驗性能。綜上所述，本文提出的經(jīng)驗似然推斷方法能夠?qū)f(xié)變量缺失下集值映射多目標規(guī)劃模型的經(jīng)驗似然做出有效驗證，具有較好的合理性與可靠性。

3.2 集值映射多目標規(guī)劃模型性能評估

設(shè)定模型決策變量分別是5維與10維，驗證模型的有效性。通過運行各模型10次，對比運行結(jié)果相關(guān)性能，得到的性能指標結(jié)果為各層函數(shù)的最優(yōu)、最差以及中等函數(shù)評估次數(shù)，還有由目標函數(shù)取得的精準度、下層被執(zhí)行次數(shù)以及執(zhí)行時的下層函數(shù)評估次數(shù)均值，具體數(shù)值如列各表所示。

通過表1中10次運行評估指標數(shù)據(jù)可以看出：文獻提及的各類多目標規(guī)劃模型下層最優(yōu)函數(shù)評估次數(shù)分別是本文模型的5.48倍、7.72倍、6.88倍，上層分別是本文模型的8.53倍、7.3倍、7.98倍；針對下層中等函數(shù)評估次數(shù)，分別是本文模型的6.08倍、7.19倍、7.01倍，上層分別是本文模型的4.6倍、4.11倍、4.24倍；而下層最差函數(shù)評估次數(shù)則分別是本文模型的7.23倍、7.32倍、6.99倍，上層分別是本文模型的6.17倍、6.86倍、6.43倍。這是因為上層決策者將下層決策者的反應(yīng)作為考慮因素，且下層決策者提供決策范圍的不斷縮小大幅降低了上層決策者的最優(yōu)決策制定復(fù)雜程度，使得本文模型不必參與過多的函數(shù)評估，在一定程度上減少了評估次數(shù)。

表1 5維多目標規(guī)劃模型各層函數(shù)評估次數(shù)統(tǒng)計表

由表2數(shù)據(jù)可知：盡管本文模型與文獻方法的上層中值目標函數(shù)精度差異較小，但下層精度對比文獻模型更理想，且其中值下層被執(zhí)行次數(shù)也僅有各文獻模型的0.27～0.28倍，由于對協(xié)變量缺失下模型經(jīng)驗似然做了推斷，加快了模型的收斂速度，所以，在一定程度上降低了下層函數(shù)評估次數(shù)。

表2 5維多目標規(guī)劃模型各層目標函數(shù)相關(guān)指標統(tǒng)計表

從整理得到的表3評估次數(shù)發(fā)現(xiàn)：各層函數(shù)評估次數(shù)均隨著決策變量的增加而大幅上升，與此同時，文獻各模型出現(xiàn)了不同程度的失效現(xiàn)象，比如文獻[3]幾乎完全失效，文獻[4]在執(zhí)行最差函數(shù)評估時失效，只有文獻[2]模型與本文模型完成了所有評估，但經(jīng)過對比可知，本文模型的各級函數(shù)評估次數(shù)因持續(xù)縮小跟隨者決策范圍而具有較大優(yōu)勢，僅是文獻[2]模型各層評估次數(shù)均值的0.12倍與0.28倍。

表3 10維多目標規(guī)劃模型各層函數(shù)評估次數(shù)統(tǒng)計表

從表4各層目標函數(shù)相關(guān)指標數(shù)據(jù)可以看出：本文模型的各層中值目標函數(shù)精度均優(yōu)于文獻方法，其平均調(diào)用下層問題次數(shù)也因經(jīng)驗似然推斷階段，極大程度小于各文獻模型。

表4 10維多目標規(guī)劃模型目標函數(shù)相關(guān)指標統(tǒng)計表

4 結(jié)論

本文針對實際數(shù)據(jù)收集過程中存在的數(shù)據(jù)缺失問題，構(gòu)建出一種基于協(xié)變量缺失的集值映射多目標規(guī)劃模型。盡管目前已經(jīng)取得了一定的研究成果，但仍需在以下幾個方面做出改進：關(guān)于多目標規(guī)劃模型的異方差檢驗與序列相關(guān)檢驗等問題，應(yīng)繼續(xù)進行進一步的探討；逆概率加權(quán)方法穩(wěn)健度不足，在今后的工作中，應(yīng)嘗試結(jié)合線性加權(quán)、降維等更優(yōu)越的算法與策略，獲取協(xié)變量缺失下更穩(wěn)健的估計值，并在一定程度上降低運算復(fù)雜度；因時間關(guān)系，實例應(yīng)用研究的實驗對象較為單一，應(yīng)將模型應(yīng)用于多個實際問題中，通過發(fā)現(xiàn)更多問題，完善模型性能，提升模型實用性與通用性；將多目標規(guī)劃模型的最優(yōu)性條件研究作為下一階段的研究重點，以最優(yōu)性條件作為基礎(chǔ)，進一步提升運算效率與收斂速度。本文成果為多目標規(guī)劃模型理論與方法的發(fā)展指明了方向，為優(yōu)化與決策等問題的處理奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。