郭 亮，梁 狀，楊 陽(yáng)，(浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，浙江 杭州 310018)

1 前言

永磁同步直線電機(jī)(Permanent Magnet Linear Synchronous Motor，PMLSM)具有推力強(qiáng)、加減速度大、靈敏度高、速度快、隨動(dòng)性好等優(yōu)點(diǎn)，在高精度數(shù)控機(jī)床加工領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用[1-2]。直線電機(jī)采用的是直線驅(qū)動(dòng)技術(shù)，即所謂的零傳動(dòng)[3]，導(dǎo)致系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)、負(fù)載擾動(dòng)等不確定因素的影響將直接反映到直線電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)控制中，而沒(méi)有任何中間緩沖過(guò)程，因此給高精度控制要求增添了的困難。對(duì)于控制策略，系統(tǒng)通常采用的是PI反饋控制、矢量d-q軸解耦控制。而在矢量d-q軸解耦控制中，電流環(huán)控制則直接影響系統(tǒng)的控制性能和控制精度。

傳統(tǒng)的PI控制憑借其魯棒性強(qiáng)，算法簡(jiǎn)單，被廣泛應(yīng)用于PMLSM轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)中。但在實(shí)際運(yùn)用中，控制系統(tǒng)不可避免的面臨由參數(shù)變化[4]，非結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)反應(yīng)導(dǎo)致的模型不確定性，導(dǎo)致PI無(wú)法滿足一些要求快速響應(yīng)，和高精度要求的領(lǐng)域。因此國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者又提出了許多先進(jìn)的控制方法：滑?？刂芠5-9]、魯棒控制[10-11]、自適應(yīng)控制[12-15]、預(yù)測(cè)控制[16-19]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[20-23]等。其中以滑?？刂?Sliding Mode Control，SMC)中的變結(jié)構(gòu)控制為代表的非線性控制因其強(qiáng)大的魯棒性及其對(duì)外部擾動(dòng)的不敏感性而成為研究的熱點(diǎn)。

但在滑模變結(jié)構(gòu)控制電流控制器的設(shè)計(jì)中，為了保證電機(jī)實(shí)際電流能夠準(zhǔn)確跟蹤電流指令，輸出平滑的電壓控制量，應(yīng)該選擇一個(gè)合適的切換增益。但當(dāng)電流環(huán)參數(shù)變化較大時(shí)，滑模控制器中的切換增益應(yīng)該選擇相對(duì)較大的來(lái)確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗干擾性。但較大的切換增益會(huì)導(dǎo)致較大的非連續(xù)信號(hào)和嚴(yán)重的高頻抖振。因此參數(shù)變化和模型不確定性等不可直接測(cè)量的因素嚴(yán)重影響系統(tǒng)的控制性能。為了解決上述的問(wèn)題，自適應(yīng)律控制策略被提出。文獻(xiàn)[24]中提出的自適應(yīng)律則是為了提供一個(gè)不確定函數(shù)高帶寬的估計(jì)噪聲免疫，來(lái)解決系統(tǒng)的不確定性。文獻(xiàn)[25]基于自適應(yīng)律的控制方法，則用于是在線估計(jì)電阻和速度，來(lái)提供控制性能。文獻(xiàn)[26]自適應(yīng)律(Adaptive Law)則是用來(lái)估計(jì)由參數(shù)變化導(dǎo)致的未知模型的不確定性和根據(jù)估測(cè)值減小抖振的。

但自適應(yīng)律針對(duì)的是對(duì)于內(nèi)部參數(shù)變化，模型不確定性帶來(lái)的系統(tǒng)控制性能問(wèn)題。外部負(fù)載帶來(lái)的抖振還是會(huì)嚴(yán)重影響其控制性能。為了去解決此問(wèn)題，文獻(xiàn)[27-28]提出了擾動(dòng)觀測(cè)器來(lái)提高其控制性能，但由于觀測(cè)器中的符號(hào)函數(shù)導(dǎo)致抖振，影響控制性能，[29]將擴(kuò)張觀測(cè)器引入電流環(huán)預(yù)測(cè)控制，極大削弱非線性因素給滑?？刂茙?lái)的影響，有效減小抖振。但其fal函數(shù)的不光滑性，也導(dǎo)致局部抖振。

基于上述問(wèn)題，本文提出基于擴(kuò)張觀測(cè)器(Extended State Observer ，ESO)的自適應(yīng)電流環(huán)控制方法?？紤]系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)，和外部負(fù)載，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律來(lái)估計(jì)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)導(dǎo)致模型不確定性擾動(dòng)由于常規(guī)的sign函數(shù)導(dǎo)致控制中的抖振和不穩(wěn)定性，本文將正弦飽和函數(shù)代替sign函數(shù)，來(lái)提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。并利用提出新sigfal函數(shù)的擴(kuò)張觀測(cè)器對(duì)外部負(fù)載擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)，并前饋補(bǔ)償?shù)诫娏鳝h(huán)控制器中，提高電流環(huán)響應(yīng)速度的同時(shí)，減小滑模控制切換增益，減小抖振，提高系統(tǒng)魯棒性。

2 自適應(yīng)電流控制器設(shè)計(jì)

2.1 PMLSM數(shù)學(xué)模型

PMLSM滑?？刂葡到y(tǒng)由速度外環(huán)和電流內(nèi)環(huán)構(gòu)成，速度外環(huán)采用傳統(tǒng)PI控制，電流內(nèi)環(huán)采用自適應(yīng)律控制，則dq軸坐標(biāo)系下的永磁同步直線電機(jī)數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為：

(2)

式中：其中Rs—電樞繞組電阻(Ω)，id、iq——d、q軸電樞電流(A)；Ld、Lq——軸繞組自感(H)，Lq=Ld；ud、uq——d、q軸電樞電壓(V)；ωe——電機(jī)電角速度(rad/s)，ωe=πv/τ；ψf——轉(zhuǎn)子磁鏈(Wb)；M——?jiǎng)幼雍拓?fù)載質(zhì)量；B粘滯摩擦系數(shù)；Fe——電磁推力；FL——負(fù)載阻力。

電磁推力表達(dá)式為：

(3)

其中，kf為電磁推力系數(shù)，是個(gè)常量。

2.2 電流環(huán)內(nèi)參數(shù)擾動(dòng)分析

考慮系統(tǒng)參數(shù)在復(fù)雜環(huán)境下的變化，電樞繞組電阻隨著溫度增加而增加等，故原等式做如下定義：

(4)

其中:fq，fd分別代表的是由參數(shù)變化導(dǎo)致的不確定性擾動(dòng)。fq，fd為：

(5)

其中Rs=Rso+ΔRs，Ls=Lso+ΔLs，ψf=ψfo+Δψf，Rso，Lso，ψfo為參數(shù)額定值，ΔR，ΔL，Δψf表示的是Rs，Ls，ψf的參數(shù)攝動(dòng)，且假設(shè)Rs，Ls，ψf的參數(shù)攝動(dòng)是有界的，即|ΔRs|≤b1，|ΔLs|≤b2，|Δψf|≤b3。

2.3 電流控制器設(shè)計(jì)

自適應(yīng)電流控制器的主要作用是在擾動(dòng)存在的情況下保證精確追蹤到參考電流值，實(shí)現(xiàn)電流快速精確的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，定義dq軸電流跟蹤誤差如下：

(6)

其中的iqref，idref代表的是dq軸電流的參考值，eq，ed代表的是dq軸電流的追蹤誤差。

將追蹤誤差eq和ed作為狀態(tài)變量，dq軸電壓ud和uq作為控制輸入，則dq軸電流狀態(tài)空間方程為：

(7)

式中：x=[eqed]T，u=[uqud]T，C=[C1C2]T

在滑模電流控制器的設(shè)計(jì)中，為了保證確保追蹤的精度消除穩(wěn)態(tài)誤差，選用積分滑模面。

(8)

其中，c1>0，c2>0為積分系數(shù)，保證誤差收斂的速率。

對(duì)滑模面進(jìn)行求導(dǎo)可得：

(9)

在滑模運(yùn)動(dòng)中，系統(tǒng)分為兩階段的運(yùn)動(dòng)，第一階段是趨近滑模面運(yùn)動(dòng)，第二階段就是在控制律控制下，保持滑模穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，為了改善滑模趨近運(yùn)動(dòng)階段的動(dòng)態(tài)品質(zhì)與滑模抖振抑制效果，采用趨近律算法，設(shè)計(jì)趨近律如下：

(10)

式中：xq=eq，xd=ed，cq1>0，cd1>0，代表的是切換增益，cq2>0，cd2>0代表的是趨近系數(shù)。

其中sign(s)代表的是符號(hào)函數(shù)，定義如下：

(11)

又因?yàn)閟ign函數(shù)為非連續(xù)函數(shù)，這是導(dǎo)致抖振的主要原因，增益越大抖振越大，張曉光[30]提出了邊界層來(lái)消除抖振，即采用飽和函數(shù)sat(s)來(lái)代替sign(s)函數(shù)，飽和函數(shù)如下：

(12)

ρ代表邊界層厚度，邊界層厚度越大，抖振抑制越明顯但邊界層厚度過(guò)大時(shí)，高增益的開(kāi)關(guān)函數(shù)作用區(qū)域減小，將影響響應(yīng)速度，降低系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化和外部擾動(dòng)的魯棒性。函數(shù)對(duì)比圖像如下圖所示：

由上圖可知靠滑模面較近的，收斂速度也快，故本文采用正弦飽和函數(shù)，如下

(13)

式中:k1=π/2ρ。

因此趨近律可以從新定義為：

(14)

結(jié)合(7)、(9)、(14)可得滑模電流控制器的控制律為：

(15)

從公式(15)中，滑模電流控制器控制律中含有模型不確定性擾動(dòng)。且參數(shù)變化在系統(tǒng)內(nèi)部是很難準(zhǔn)確測(cè)量的，這就導(dǎo)致滑模控制來(lái)選擇較大的控制增益來(lái)保證系統(tǒng)魯棒性來(lái)減小參數(shù)變化的影響，但選擇較大的增益的同時(shí)會(huì)導(dǎo)致較大的抖振和影響響應(yīng)速度。故設(shè)計(jì)自適應(yīng)律在線估計(jì)由參數(shù)變化導(dǎo)致的不確定性擾動(dòng)。自適應(yīng)律如下：

(16)

式中β1>0，β2>0是自適應(yīng)估計(jì)增益，q，d代表的是fq，fd的自適應(yīng)估測(cè)值，因此等式(15)可以從新定義為：

(17)

2.4 穩(wěn)定性分析

定義估測(cè)誤差為：efq=q-fq，efd=d-fd，定義李雅普諾夫函數(shù)為：

(18)

(19)

將公式(18)代入(20)可得：

(20)

又因邊界層穩(wěn)定性相似，故可以分析開(kāi)關(guān)函數(shù)，來(lái)確定(20)穩(wěn)定性條件。故等式該滿足：

(21)

3 二階擴(kuò)張觀測(cè)器(ESO)設(shè)計(jì)

系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，加入外部負(fù)載后，為了保持系統(tǒng)穩(wěn)定，相應(yīng)的切換增益也應(yīng)隨之增大，大的增益導(dǎo)致不連續(xù)信號(hào)以及嚴(yán)重抖振。為了解決此問(wèn)題提高自適應(yīng)滑?？刂葡到y(tǒng)(adpative slding mode control ，ASMC)的魯棒性，提高其抗干擾性，加入了二階擴(kuò)張觀測(cè)器，對(duì)外部負(fù)載擾動(dòng)進(jìn)行估測(cè)，然后前饋補(bǔ)償?shù)诫娏鳝h(huán)來(lái)減小抖振。

3.1 新型sigfal函數(shù)的設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的非線性函數(shù)為fal函數(shù)，其表達(dá)式為：

(22)

其中：ε為偏差，α為非線性因子，δ為濾波因子。

對(duì)傳統(tǒng)fal函數(shù)分別在δ=0.01、α取不同值時(shí)和α=0.125、δ取不同值時(shí)的特性曲線如圖2(a)和圖2(b)所示。由圖2可知，fal函數(shù)在α<1時(shí)，其特性曲線存在拐點(diǎn)且平滑較差。導(dǎo)致fal函數(shù)產(chǎn)生斗振，影響狀態(tài)觀測(cè)器穩(wěn)定性。

圖1 邊界層厚度為[-0.03，0.03]的不同飽和函數(shù)曲線對(duì)比圖

圖2 函數(shù)fal曲線圖

為了解決傳統(tǒng)函數(shù)的曲線不平滑問(wèn)題，提出了一種新型非線性函數(shù)Sigfal函數(shù)，其方程為：

(23)

(24)

其中：ε為偏差，α為非線性因子，δ為濾波因子，k1控制Sig函數(shù)的形狀，k2>0。

且當(dāng)δ=|ε|時(shí)，Sigfal(數(shù)滿足連續(xù)的條件，即：

(25)

結(jié)合式(23)、式(24)和式(25)，可得k2=δα。經(jīng)分析后得到，當(dāng)k1=1/δ時(shí)，Sigfal函數(shù)表現(xiàn)出較好的平滑性，則此時(shí)的狀態(tài)方程可以表述為：

(26)

故新型sigfal函數(shù)，其表達(dá)式為：

(27)

3.2 二階擴(kuò)張觀測(cè)器設(shè)計(jì)

由公式(3)得一階狀態(tài)狀態(tài)方程為

令

x1=ωm，y1=x1

(28)

(29)

式中y1和Fe分別作為系統(tǒng)的輸出和輸入。

由公式(29)可知，PMLSM在運(yùn)行中受到負(fù)載轉(zhuǎn)矩的干擾。因此將負(fù)載干擾用f(t)表示：

(30)

并將f(t)擴(kuò)張為一個(gè)新的狀態(tài)變量x2，即x2=f(t)．

(31)

則式(31)的擴(kuò)張為下面的二階狀態(tài)空間方程：

(32)

可知式(32)是能觀的，因此其二階ESO構(gòu)造如下：

(33)

式中：β1>0，β2>0，0≤ai≤1，δi>0，i=1，2。

合適的β1，β2，ai，δi能使式(33)快速逼近系統(tǒng)(32)中的狀態(tài)x1和外部負(fù)載f(t)。

二階擴(kuò)張觀測(cè)器設(shè)計(jì)框圖如圖3所示，通過(guò)在線估計(jì)負(fù)載擾動(dòng)的值，然后將值反饋給dq軸的電流控制器中對(duì)其進(jìn)行擾動(dòng)補(bǔ)償，來(lái)提高系統(tǒng)的抗干擾性?？紤]到擾動(dòng)補(bǔ)償方面，公式(17)可以從新定義為：

圖3 二階擴(kuò)張觀測(cè)器(ESO)

式中kq1，kd1分別為dq軸電流控制器中的補(bǔ)償系數(shù)。

4 仿真驗(yàn)證分析

為了驗(yàn)證所提出的ASMC+ESO算法的有效性，通過(guò) MATLAB-Simulink 搭建了基于 id=0 的永磁同步直線電機(jī)空間矢量控制仿真模型，通過(guò)ASMC，ASMC+ESO和傳統(tǒng)的PI控制策略進(jìn)行仿真對(duì)比，來(lái)驗(yàn)證其有效性，為對(duì)比結(jié)果直接性，三種控制算法，速度控制器中均采用PI控制器?；贏SMC+ESO控制策略的永磁同步直線電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)如圖4所示，其中速度控制器是傳統(tǒng)PI控制，電流環(huán)采用提出的ASMC+ESO控制器。永磁同步直線電機(jī)參數(shù)如表1所示。

圖4 基于ASMC+ESO的滑?？刂葡到y(tǒng)框圖

表1 永磁同步直線電機(jī)參數(shù)

本文分別從直線電機(jī)角速度和電流控制結(jié)果入手，通過(guò)將ASMC，ASMC+ESO的控制效果與傳統(tǒng)的PI控制進(jìn)行對(duì)比，來(lái)驗(yàn)證新型控制策略的響應(yīng)性和穩(wěn)定性的有效性。在對(duì)比過(guò)程中要保證速度環(huán)用的是PI調(diào)節(jié)器，且參數(shù)一致，自適應(yīng)電流控制器(ASMC)控制器的參數(shù)中，c1=c2=5，cq1=cd1=20，cd2=cd2=5000，β1=β2=0.002，a1=a2=1.2在PI控制仿真參數(shù)為：速度控制器kp=0.25，ki=0.8，電流控制器dq軸相同，kp=150，ki=50。

對(duì)PMLSM進(jìn)行空載啟動(dòng)，啟動(dòng)至額定速度300rad/s，速度響應(yīng)曲線，三相電流響應(yīng)曲線的仿真結(jié)果如圖5、圖6、圖7所示。由圖5(a)，圖6(a)，圖7(a)可看出，速度在空載的情況下，ASMC+ESO，ASMC，和PI相比，ASMC+ESO控制策略的響應(yīng)速度明顯提高，且抖振明顯減小，系統(tǒng)無(wú)超調(diào)，在0.01s達(dá)到系統(tǒng)穩(wěn)定，穩(wěn)定性好。圖5(b)，圖6(b)，圖7(b)顯示出ASMC+ESO，電流響應(yīng)最快，具由優(yōu)越的控制響應(yīng)性能。

圖5 PI控制起初空載速度響應(yīng)曲線

圖6 ASMC控制起初空載速度響應(yīng)曲線

圖7 ASMC+ESO控制起初空載速度響應(yīng)曲線

電機(jī)在空載到額定300(rad·s)后，在0.06s突加負(fù)載150N負(fù)載，速度和三相電流響應(yīng)仿真結(jié)果如圖8，圖9，圖10所示。由圖8(a)，圖9(a)，圖10(a)可以看出，控制算法系統(tǒng)在加入負(fù)載擾動(dòng)后，ASMC+ESO具有最快的恢復(fù)能力和抗干擾性，僅需要0.005s就回到穩(wěn)定狀態(tài)，而ASMC，PI需要的回復(fù)時(shí)間均超過(guò)0.1s，且回復(fù)速度與原速度存在偏差，由圖8(b)，圖9(b)，圖10(b)顯示當(dāng)系統(tǒng)加入負(fù)載擾動(dòng)后，ASMC+ESO控制方法響應(yīng)電流最快，電流曲線更平滑，諧波含量低于ASMC，PI。

圖8 傳統(tǒng)PI控制突加負(fù)載速度響應(yīng)曲線

圖9 ASMC控制突加負(fù)載速度響應(yīng)曲線

圖10 ASMC+ESO控制突加負(fù)載速度響應(yīng)曲線

5 結(jié)論

針對(duì)PMLSM高精度轉(zhuǎn)速控制要求，本文對(duì)現(xiàn)有滑?？刂扑惴ㄖ械挠捎趦?nèi)部參數(shù)變化以導(dǎo)致模型不確定性問(wèn)題和抖振問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了一種自適應(yīng)加擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ASMC+ESO)算法，構(gòu)建了自適應(yīng)電流控制器(ASMC)及擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。空載啟動(dòng)和突加負(fù)載仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)，與傳統(tǒng)PI控制相比。

該算法(ASMC+ESO)可明顯提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，削弱系統(tǒng)抖振，提高系統(tǒng)的抗干擾性能，在高精度控制領(lǐng)域有較大前景應(yīng)用。