王艷 李祿

1) (山西大學(xué)物理工程學(xué)院,太原 030006)

2) (山西大學(xué)理論物理研究所,太原 030006)

本文基于非線性薛定諤方程的Peregrine 怪波解,討論有理分式的脈沖動(dòng)力學(xué),基于其特性并利用譜過濾方法,提出一種光脈沖串的放大方法.連續(xù)波泵浦與頻譜過濾器相結(jié)合,能夠?qū)崿F(xiàn)光放大器作用.這一思路被應(yīng)用到光脈沖串的長(zhǎng)距離傳輸,以4 級(jí)放大為例,實(shí)現(xiàn)了光脈沖串的級(jí)聯(lián)放大,并且通過矩形脈沖截?cái)?能夠?qū)崿F(xiàn)有限個(gè)數(shù)脈沖的放大.其次,以實(shí)驗(yàn)上可控的周期調(diào)制的平面波作為初始輸入,能夠產(chǎn)生放大脈沖串,且最大放大脈沖串產(chǎn)生的位置與調(diào)制強(qiáng)度有關(guān).改變調(diào)制強(qiáng)度的大小,能夠影響最大放大脈沖串所產(chǎn)生的位置.研究結(jié)果表明,對(duì)于不同頻率的輸入脈沖串,利用此方法可以實(shí)現(xiàn)放大,并且通過改變調(diào)制強(qiáng)度的大小,能夠?qū)崿F(xiàn)兩路不同頻率信號(hào)的同時(shí)放大.

1 引言

怪波,也稱為畸形波或巨型波,是源于海洋中的一種奇特的自然現(xiàn)象,來無影去無蹤,是混沌系統(tǒng)中非線性和色散相結(jié)合的產(chǎn)物[1,2].在過去20 年中,人們對(duì)怪波展開了廣泛的研究,到目前為此,普遍認(rèn)為怪波產(chǎn)生的主要原因之一是波與波之間的非線性疊加,其物理機(jī)制是調(diào)制不穩(wěn)定性.非線性效應(yīng)可以導(dǎo)致出現(xiàn)Peregrine 孤子,其中Peregrine孤子是非線性薛定諤方程的一個(gè)解[3],其描述的波具有時(shí)間和空間的局域化結(jié)構(gòu),同時(shí)展現(xiàn)出強(qiáng)的時(shí)間壓縮和峰值功率的增加,被認(rèn)為是怪波的原型.怪波特有的性質(zhì)引起了人們的廣泛關(guān)注,對(duì)怪波從理論、數(shù)值到實(shí)驗(yàn)展開了廣泛的研究[4?14].研究發(fā)現(xiàn)怪波是在光學(xué)[15?16]、經(jīng)濟(jì)學(xué)[17]、毛細(xì)波[18]、水波[19?20]、等離子體[21]、彈性管[22]以及鐵磁納米線[23]等領(lǐng)域中普遍存在.特別由于怪波在光學(xué)中的潛在應(yīng)用,例如不同系統(tǒng)中怪波的產(chǎn)生[24?30],高階怪波的激發(fā)與形成機(jī)制[31?34],高功率脈沖(串)的產(chǎn)生及傳輸[35?41],光脈沖的全光放大[42?43]等,其在非線性光纖中得到了廣泛的研究.

全光信號(hào)處理比電信號(hào)處理具有更高的速度、更低的延遲以及更大的帶寬.現(xiàn)代非線性光學(xué)的其中一個(gè)目標(biāo)是超快全光設(shè)備的發(fā)展,全光放大器是其中一個(gè)重要的部分.摻鉺放大器、喇曼放大器、參數(shù)放大器和半導(dǎo)體放大器可以實(shí)現(xiàn)光脈沖的放大.

文獻(xiàn)[42]基于調(diào)制不穩(wěn)定性提出了光脈沖放大的新方法.調(diào)制不穩(wěn)定性是怪波產(chǎn)生的決定性因素,而調(diào)制不穩(wěn)定性產(chǎn)生的主要原因是平面波的不穩(wěn)定.也就是說,一個(gè)小的擾動(dòng)加在平面波上,隨著傳輸距離的演化,脈寬逐漸變窄、峰值功率逐漸增大,在某個(gè)位置形成最大壓縮脈沖.很明顯,此過程具有放大和壓縮性質(zhì).但是由于平面波的存在,放大脈沖是不穩(wěn)定的,需要去掉此背景波.文獻(xiàn)[42,44]采用頻譜過濾的方法實(shí)現(xiàn)了單脈沖背景的消除.而對(duì)于脈沖串,文獻(xiàn)[38]采用延遲線干涉儀的方法消除背景,獲得了高質(zhì)量的脈沖串.延遲線干涉儀的方法是將脈沖串反向并且延遲π 相位,與原來的脈沖串相疊加,從而去除平面波背景,但合成的脈沖串頻率發(fā)生了改變.文獻(xiàn)[45]基于Akhmediev 呼吸子的譜特性實(shí)現(xiàn)了多孤子的放大和傳輸,但需要在光纖中實(shí)現(xiàn)兩次中心譜的調(diào)制.并且以上關(guān)于脈沖串放大方法的研究中都沒有涉及到對(duì)不同頻率脈沖串的放大問題.

本文采用連續(xù)波泵浦與頻譜過濾相結(jié)合的方法,實(shí)現(xiàn)對(duì)光脈沖串的放大及長(zhǎng)距離傳輸.并且通過矩形脈沖的截?cái)?能夠?qū)崿F(xiàn)有限個(gè)數(shù)脈沖的放大,這是采用延遲線干涉儀的方法無法實(shí)現(xiàn)的.特別對(duì)于不同頻率的光脈沖串,通過調(diào)制強(qiáng)度的改變,能夠?qū)崿F(xiàn)兩路信號(hào)的同時(shí)放大.

2 理論模型

皮秒光脈沖在單模光纖中的傳輸可以由如下非線性薛定諤方程(NLS)來描述[46]:

式中,A=A(z,T) 是 電磁 場(chǎng)慢變包絡(luò),z 是傳輸距離,T 是隨脈沖以群速度 vg移動(dòng)的參考系中的時(shí)間量度(T=t?z/vg).系數(shù) β2和 γ 分別為二階群速度色散GVD 和克爾非線性參數(shù),α>0 是光纖損耗.

不考慮光纖損耗,在反常色散條件下,即β2<0且 α=0,方程(1)具有如下形式的解[24]:

其 中 ξ=(z?z0)/LNL,τ=T/T0.非線性長(zhǎng)度LNL=(γP0)?1,時(shí)間尺度T0=|β2|/(γP0)?1,P0是入射脈沖的總功率,z0是任一實(shí)數(shù).b=a為調(diào)制不穩(wěn)定增益.當(dāng)a=1/2時(shí),有如下形式的解:

該解在初始時(shí)刻開始于強(qiáng)度為 |A(0,T)|2=P0的平面波,隨著傳輸距離的演化,這個(gè)平面波被局域化,峰值功率逐漸增大,在 z=z0處形成最大壓縮脈沖,脈沖被放大.但是由于調(diào)制不穩(wěn)定性,形成的最大壓縮脈沖不能穩(wěn)定傳輸,需要去除背景.

3 光脈沖串的放大

對(duì)于非線性薛定諤方程的周期解(2),其傅里葉級(jí)數(shù)展開具有如下形式:

忽略常數(shù)和相位因子,得到泵浦波和邊帶振幅的演化形式為[47]

研究表明,在頻域中濾除不隨時(shí)間變化的A0(z),即可得到零背景的脈沖串[41],形式如下:

首先來演示零背景脈沖串(5)的演化.這里采用單模SMF-28 光纖,其參數(shù)為β2=–21.4 ps2/km,γ=1.2 (W·km)–1,光纖損耗α=0.19 dB/km,中心波長(zhǎng)1550 nm.入射功率P0=0.7 W.如果不考慮損耗,(5)式表示的零背景脈沖串能夠穩(wěn)定傳輸,如圖1 所示.

圖1 光脈沖串穩(wěn)定傳輸圖(a) 零背景脈沖串;(b) 零背景脈沖串穩(wěn)定傳輸,其中 a=0.4,P0 =0.7 WFig.1.Stable transmission of the pulse trains:(a) Zero background pulse trains;(b) stable transmission of the pulse trains,where a=0.4,P0 =0.7 W.

圖1 給出了峰值功率P=8.96 W 的零背景脈沖串傳輸 zA=95.2381 km的傳輸圖.從圖1(a)可以得到,零背景脈沖串中心脈沖的半高全寬Δτ=3.4045 ps,可以計(jì)算出中心脈沖的孤子階數(shù)為[48]

根據(jù)孤子理論,當(dāng)孤子數(shù)在 0.5

然而,在實(shí)際傳輸過程中,由于損耗的影響,脈沖串的振幅隨著傳輸距離的增大而逐漸減小,因此必須對(duì)脈沖串進(jìn)行放大.研究結(jié)果表明,在光纖中適當(dāng)?shù)奈恢梅胖眠B續(xù)波泵浦激光器和譜過濾器起著光放大器的作用,能夠?qū)崿F(xiàn)光脈沖串的放大,如圖2 所示.圖2(a)是(5)式表示的初始脈沖串的分布,傳輸 zA=33.33 km 后,由于損耗的存在,脈沖串的峰值功率下降到0.7041 W,如圖2(b)所示.為了放大衰減的脈沖串,在 zA處注入功率為 P0的平面波,與衰減的脈沖串構(gòu)成混合形式|A(zA,T)|+此時(shí),由于平面波的注入,衰減的脈沖串會(huì)被放大,在 LA=0.8821 km 處衰減的脈沖被放大到與初始入射脈沖具有相同功率的脈沖串.但是由于平面波的存在,放大脈沖串不能穩(wěn)定傳輸.所以需要在 LA位置處放置頻譜過濾器來濾除平面波背景.根據(jù)本文所取參數(shù),將頻譜強(qiáng)度衰減到原來的1%,過濾掉中心頻譜附近大約0.2 nm 頻譜,可以獲得穩(wěn)定傳輸?shù)牧惚尘胺糯竺}沖串,如圖2(c)所示,其中紅色實(shí)線為初始脈沖串,藍(lán)色虛線為被放大的零背景脈沖串.zA是初始脈沖串衰減到小振幅脈沖串的傳輸距離,也是連續(xù)波泵浦放置的位置.LA為注入平面波后傳輸?shù)拈L(zhǎng)度,也是頻譜過濾器放置的位置.zA處注入平面波,傳輸 LA的距離后衰減的脈沖串被放大到初始脈沖串的功率,此時(shí)通過頻譜過濾器獲得穩(wěn)定傳輸?shù)拿}沖串.以上數(shù)值結(jié)果表明,通過入射一連續(xù)波并隨后再過濾掉該連續(xù)波可以實(shí)現(xiàn)光脈沖串的放大.

圖2 光脈沖串的放大 (a) 初始入射脈沖串;(b) 衰減脈沖串;(c) 放大脈沖串與初始脈沖串的比較,其中 a=0.45,P0 =0.7 W.Fig.2.Amplification of the pulse trains:(a) Initial input pulse trains;(b) attenuated pulse trains;(c) comparison of the amplified and the initial pulse trains,where a=0.4,P0 =0.7 W.

作為一個(gè)例子,演示了光脈沖串的4 級(jí)級(jí)聯(lián)放大過程,如圖3 所示.第一級(jí)放大過程如圖3(a1),3(b1)和3(c1).圖3(a1)為峰值功率為 10.08 W 的初始入射脈沖串,傳輸 zA=23.8095 km 后衰減成為峰值功率為 1.7179 W 的脈沖串,如圖3(b1) 所示.在 zA處注入平面波,傳輸 LA=0.4310 km 后并通過譜過濾得到與初始入射脈沖串同功率的零背景脈沖串,如圖3(c1)所示,其中紅色實(shí)線表示初始入射脈沖串,藍(lán)色虛線表示放大并過濾后的零背景脈沖串.第2—4 級(jí)的初始脈沖串為前一級(jí)的放大脈沖,如圖3(a2),3(a3)和3(a4)所示,其余過程與第一級(jí)放大過程完全相同.在這4 級(jí)級(jí)聯(lián)放大過程中,zA=23.8095 km,注入平面波后的傳輸長(zhǎng)度 LA分別是0.4310 km,0.3905 km,0.3845 km和 1.0119 km.以上結(jié)果表明,平面波泵浦與頻譜過濾器相結(jié)合,可以實(shí)現(xiàn)脈沖串的級(jí)聯(lián)放大,從而實(shí)現(xiàn)脈沖信號(hào)的長(zhǎng)距離傳輸.

圖3 光脈沖串4 級(jí)放大,其中a=0.45,P0=0.7 WFig.3.4-cascade amplification of optical pulse trains,where a=0.45,P0 =0.7 W.

4 有限個(gè)數(shù)脈沖的放大

數(shù)字通信系統(tǒng)中,為了實(shí)現(xiàn)多進(jìn)制調(diào)制,需要以有限個(gè)數(shù)的脈沖為單位進(jìn)行傳輸,此時(shí)需要對(duì)無限的脈沖串進(jìn)行截?cái)?文獻(xiàn)[38]中指出,使用延遲線干涉儀的方法能夠產(chǎn)生零背景的脈沖串.采用延遲線干涉儀的方法,由于兩個(gè)相位相反的脈沖串相疊加,新的脈沖串頻率發(fā)生了改變,并且兩個(gè)脈沖串之間存在 π 相位的相互作用,因此使用這種方法得到的零背景脈沖串不能進(jìn)行截?cái)?采用頻譜過濾的方法,得到的零背景脈沖串通過矩形截?cái)?能夠?qū)崿F(xiàn)有限個(gè)數(shù)脈沖的穩(wěn)定傳輸,并且通過改變矩形脈沖的參數(shù),能夠改變截?cái)嗝}沖的個(gè)數(shù).

(5)式所表示的零背景脈沖串在 z=0 通過矩形脈沖截?cái)?其表示為

其中 m(kτ) 是矩形函數(shù),用以截?cái)嗝}沖串,其形式如下:

k為截?cái)嗝}沖的個(gè)數(shù).以3 個(gè)有限脈沖為例,展示其放大過程,如圖4 所示.圖4(a)為(6)式所表示的有限個(gè)數(shù)的脈沖,在傳輸 zA=23.8095 km 后,峰值功率下降為1.7402 W,如圖4(b)所示.此處注入平面波,經(jīng)過 LA=0.4179 km 后,結(jié)合頻譜過濾器,有限個(gè)數(shù)脈沖被放大到初始脈沖的功率,如圖4(c)所示,其中紅色實(shí)線為(6)式表示的截?cái)嗪蟮拿}沖串,藍(lán)色虛線為放大零背景脈沖.矩形參數(shù)的改變,能夠?qū)崿F(xiàn)任意有限個(gè)脈沖的放大.

圖4 有限個(gè)數(shù)脈沖的放大,其中 k=3,P0 =0.7 W a=0.4Fig.4.Amplification for limited number of pulses,where k=3,P0 =0.7 W a=0.4..

5 不同頻率脈沖串的放大

以上結(jié)果主要基于由 (5)式給出的零背景脈沖串作為初始輸入來討論的,這樣的零背景脈沖串在實(shí)驗(yàn)上是很難實(shí)現(xiàn)的.有研究表明,以周期調(diào)制的平面波作為初始輸入,能夠產(chǎn)生放大脈沖串[39].因此考慮如下形式的初始輸入:

其中 q(T) 為小振幅脈沖串,A 為調(diào)制強(qiáng)度,Ω 為調(diào)制頻率.數(shù)值結(jié)果表明,當(dāng)脈沖串取不同頻率時(shí),在平面波的作用下,小振幅脈沖串被放大.并且,調(diào)制強(qiáng)度A 的大小能夠影響最大放大脈沖串所產(chǎn)生的位置Lmax,結(jié)果如圖5 所示.

圖5 調(diào)制強(qiáng)度A 與最大放大脈沖串位置的關(guān)系Fig.5.Location relationship between modulation intensity A and the maximum amplified pulse trains.

從圖5 可以看到,對(duì)于不同頻率的輸入脈沖串,改變調(diào)制強(qiáng)度A 的大小,能夠改變最大放大脈沖串所產(chǎn)生的位置Lmax.因此,適當(dāng)調(diào)整A 的大小,能夠?qū)崿F(xiàn)兩路不同頻率信號(hào)在同一位置被放大到最大功率.

以 Ω 分別等于0.3 與0.6 來展示其放大過程,結(jié)果如圖6 所示.圖6(a)為(7)式所表示的初始輸入,圖中黑色和紅色實(shí)線分別表示頻率為Ω1=0.3,Ω2=0.6的脈沖串.當(dāng)Ω1=0.3,A1=0.2,在Lmax1=5.8702 km處產(chǎn)生最大放大脈沖串.當(dāng)Ω2=0.6,A2=0.07,在 Lmax2=5.8405 km 處產(chǎn)生最大放大脈沖串,其放大結(jié)果如圖6(b)所示.此處通過頻譜過濾后得到零背景脈沖串,脈沖串峰值功率分別為9.5943 W和 6.0122 W.

圖6 不同頻率脈沖串的放大 (a) 初始輸入;(b)零背景的放大脈沖串,其中Ω1=0.3,Ω2=0.6,A1=0.2,A2=0.07Fig.6.Amplification for different frequencies of the pulse trains:(a) Initial input pulse trains;(b) amplified pulse trains of zero background,where Ω1=0.3,Ω2=0.6,A1=0.2,A2=0.07.

以上數(shù)值模擬結(jié)果顯示,兩路最大放大脈沖串產(chǎn)生的位置Lmax1與Lmax2很接近,但并不完全相等,為解決該問題,研究了在以上參數(shù)下,Lmax1與Lmax2之間脈沖串被放大后的功率情況,結(jié)果如圖7 所示.

從圖7 可以看出,在Lmax1與Lmax2之間,兩個(gè)頻率下脈沖串放大后的功率變化不大.此結(jié)果表明,在Lmax1與Lmax2之間,可以選取任意位置來實(shí)現(xiàn)兩路不同頻率脈沖信號(hào)的同時(shí)放大.這里取Lmax=(Lmax1+Lmax2)/2,即Lmax=5.8553 km 作為兩路信號(hào)最大放大脈沖所產(chǎn)生的位置,其放大結(jié)果如圖8 所示.

圖7 Lmax1 與Lmax2 之間放大脈沖的功率Fig.7.Power of the amplified pulse trains between Lmax1 and Lmax2.

圖8 不同頻率脈沖串的同時(shí)放大 (a)初始輸入;(b)零背景的放大脈沖串,其中Ω1=0.3,Ω2=0.6,A1=0.2,A2=0.07Fig.8.Simultaneous amplification for different frequencies of the pulse trains:(a) Initial input pulse trains;(b) amplified pulse trains of zero background,where Ω1=0.3,Ω2=0.6,A1=0.2,A2=0.07.

在以上參數(shù)下,零背景放大脈沖串 Ω1=0.3 的峰值功率是9.686 W,Ω2=0.6 的峰值功率是5.999 W,與圖6(b)所示結(jié)果差別不大.因此可以得出結(jié)論,對(duì)于不同頻率的兩路脈沖串,通過調(diào)整調(diào)制強(qiáng)度的大小,能夠?qū)崿F(xiàn)兩路信號(hào)的同時(shí)放大.

6 結(jié)論

怪波的概念首先來源于海洋學(xué),其巨大的振幅對(duì)海洋上行駛的船只具有摧毀性的破壞作用,但其時(shí)間、空間的局域化以及高振幅的結(jié)構(gòu)特性在其它非線性研究領(lǐng)域內(nèi)可能有潛在的應(yīng)用,尤其是在光學(xué)方面.本文基于非線性薛定諤方程的Peregrine怪波解,討論了有理分式的脈沖動(dòng)力學(xué),基于其特性并利用譜過濾方法,提出了一種光脈沖串的放大方法.首先從理論上闡述了光脈沖串的放大過程,研究結(jié)果表明,連續(xù)波泵浦與頻譜過濾器相結(jié)合,能夠?qū)崿F(xiàn)光放大器作用.并且以4 級(jí)放大為例,實(shí)現(xiàn)了光脈沖串的級(jí)聯(lián)放大以實(shí)現(xiàn)其長(zhǎng)距離傳輸.特別地,采用矩形脈沖截?cái)?能夠?qū)崿F(xiàn)有限個(gè)數(shù)脈沖的放大,這是采用延遲線干涉儀的方法所不能實(shí)現(xiàn)的.通過改變矩形脈沖的周期,能夠方便的調(diào)整有限脈沖的個(gè)數(shù).其次,采用實(shí)驗(yàn)上可控的周期調(diào)制的平面波作為初始入射脈沖串,采用連續(xù)波泵浦與頻譜過濾相結(jié)合的方法,能夠產(chǎn)生零背景放大脈沖串,實(shí)現(xiàn)脈沖串的穩(wěn)定傳輸.調(diào)制強(qiáng)度的大小,影響放大脈沖串所產(chǎn)生的位置.目前的文獻(xiàn)中對(duì)不同頻率脈沖串的放大問題鮮有報(bào)道.本研究結(jié)果表明,利用本文提出的方法,對(duì)于不同頻率的兩路信號(hào),通過調(diào)整調(diào)制強(qiáng)度的大小,能夠?qū)崿F(xiàn)兩路信號(hào)的同時(shí)放大.本文的研究結(jié)果為光脈沖串的放大以及在光纖中傳輸提供了一定的理論依據(jù)與指導(dǎo)意義.