王艷 李祿

1) (山西大學(xué)物理工程學(xué)院,太原 030006)

2) (山西大學(xué)理論物理研究所,太原 030006)

本文基于非線性薛定諤方程的Peregrine 怪波解,討論有理分式的脈沖動力學(xué),基于其特性并利用譜過濾方法,提出一種光脈沖串的放大方法.連續(xù)波泵浦與頻譜過濾器相結(jié)合,能夠?qū)崿F(xiàn)光放大器作用.這一思路被應(yīng)用到光脈沖串的長距離傳輸,以4 級放大為例,實現(xiàn)了光脈沖串的級聯(lián)放大,并且通過矩形脈沖截斷,能夠?qū)崿F(xiàn)有限個數(shù)脈沖的放大.其次,以實驗上可控的周期調(diào)制的平面波作為初始輸入,能夠產(chǎn)生放大脈沖串,且最大放大脈沖串產(chǎn)生的位置與調(diào)制強度有關(guān).改變調(diào)制強度的大小,能夠影響最大放大脈沖串所產(chǎn)生的位置.研究結(jié)果表明,對于不同頻率的輸入脈沖串,利用此方法可以實現(xiàn)放大,并且通過改變調(diào)制強度的大小,能夠?qū)崿F(xiàn)兩路不同頻率信號的同時放大.

1 引言

怪波,也稱為畸形波或巨型波,是源于海洋中的一種奇特的自然現(xiàn)象,來無影去無蹤,是混沌系統(tǒng)中非線性和色散相結(jié)合的產(chǎn)物[1,2].在過去20 年中,人們對怪波展開了廣泛的研究,到目前為此,普遍認(rèn)為怪波產(chǎn)生的主要原因之一是波與波之間的非線性疊加,其物理機制是調(diào)制不穩(wěn)定性.非線性效應(yīng)可以導(dǎo)致出現(xiàn)Peregrine 孤子,其中Peregrine孤子是非線性薛定諤方程的一個解[3],其描述的波具有時間和空間的局域化結(jié)構(gòu),同時展現(xiàn)出強的時間壓縮和峰值功率的增加,被認(rèn)為是怪波的原型.怪波特有的性質(zhì)引起了人們的廣泛關(guān)注,對怪波從理論、數(shù)值到實驗展開了廣泛的研究[4?14].研究發(fā)現(xiàn)怪波是在光學(xué)[15?16]、經(jīng)濟學(xué)[17]、毛細(xì)波[18]、水波[19?20]、等離子體[21]、彈性管[22]以及鐵磁納米線[23]等領(lǐng)域中普遍存在.特別由于怪波在光學(xué)中的潛在應(yīng)用,例如不同系統(tǒng)中怪波的產(chǎn)生[24?30],高階怪波的激發(fā)與形成機制[31?34],高功率脈沖(串)的產(chǎn)生及傳輸[35?41],光脈沖的全光放大[42?43]等,其在非線性光纖中得到了廣泛的研究.

全光信號處理比電信號處理具有更高的速度、更低的延遲以及更大的帶寬.現(xiàn)代非線性光學(xué)的其中一個目標(biāo)是超快全光設(shè)備的發(fā)展,全光放大器是其中一個重要的部分.摻鉺放大器、喇曼放大器、參數(shù)放大器和半導(dǎo)體放大器可以實現(xiàn)光脈沖的放大.

文獻[42]基于調(diào)制不穩(wěn)定性提出了光脈沖放大的新方法.調(diào)制不穩(wěn)定性是怪波產(chǎn)生的決定性因素,而調(diào)制不穩(wěn)定性產(chǎn)生的主要原因是平面波的不穩(wěn)定.也就是說,一個小的擾動加在平面波上,隨著傳輸距離的演化,脈寬逐漸變窄、峰值功率逐漸增大,在某個位置形成最大壓縮脈沖.很明顯,此過程具有放大和壓縮性質(zhì).但是由于平面波的存在,放大脈沖是不穩(wěn)定的,需要去掉此背景波.文獻[42,44]采用頻譜過濾的方法實現(xiàn)了單脈沖背景的消除.而對于脈沖串,文獻[38]采用延遲線干涉儀的方法消除背景,獲得了高質(zhì)量的脈沖串.延遲線干涉儀的方法是將脈沖串反向并且延遲π 相位,與原來的脈沖串相疊加,從而去除平面波背景,但合成的脈沖串頻率發(fā)生了改變.文獻[45]基于Akhmediev 呼吸子的譜特性實現(xiàn)了多孤子的放大和傳輸,但需要在光纖中實現(xiàn)兩次中心譜的調(diào)制.并且以上關(guān)于脈沖串放大方法的研究中都沒有涉及到對不同頻率脈沖串的放大問題.

本文采用連續(xù)波泵浦與頻譜過濾相結(jié)合的方法,實現(xiàn)對光脈沖串的放大及長距離傳輸.并且通過矩形脈沖的截斷,能夠?qū)崿F(xiàn)有限個數(shù)脈沖的放大,這是采用延遲線干涉儀的方法無法實現(xiàn)的.特別對于不同頻率的光脈沖串,通過調(diào)制強度的改變,能夠?qū)崿F(xiàn)兩路信號的同時放大.

2 理論模型

皮秒光脈沖在單模光纖中的傳輸可以由如下非線性薛定諤方程(NLS)來描述[46]:

式中,A=A(z,T) 是 電磁 場慢變包絡(luò),z 是傳輸距離,T 是隨脈沖以群速度 vg移動的參考系中的時間量度(T=t?z/vg).系數(shù) β2和 γ 分別為二階群速度色散GVD 和克爾非線性參數(shù),α>0 是光纖損耗.

不考慮光纖損耗,在反常色散條件下,即β2<0且 α=0,方程(1)具有如下形式的解[24]:

其 中 ξ=(z?z0)/LNL,τ=T/T0.非線性長度LNL=(γP0)?1,時間尺度T0=|β2|/(γP0)?1,P0是入射脈沖的總功率,z0是任一實數(shù).b=a為調(diào)制不穩(wěn)定增益.當(dāng)a=1/2時,有如下形式的解:

該解在初始時刻開始于強度為 |A(0,T)|2=P0的平面波,隨著傳輸距離的演化,這個平面波被局域化,峰值功率逐漸增大,在 z=z0處形成最大壓縮脈沖,脈沖被放大.但是由于調(diào)制不穩(wěn)定性,形成的最大壓縮脈沖不能穩(wěn)定傳輸,需要去除背景.

3 光脈沖串的放大

對于非線性薛定諤方程的周期解(2),其傅里葉級數(shù)展開具有如下形式:

忽略常數(shù)和相位因子,得到泵浦波和邊帶振幅的演化形式為[47]

研究表明,在頻域中濾除不隨時間變化的A0(z),即可得到零背景的脈沖串[41],形式如下:

首先來演示零背景脈沖串(5)的演化.這里采用單模SMF-28 光纖,其參數(shù)為β2=–21.4 ps2/km,γ=1.2 (W·km)–1,光纖損耗α=0.19 dB/km,中心波長1550 nm.入射功率P0=0.7 W.如果不考慮損耗,(5)式表示的零背景脈沖串能夠穩(wěn)定傳輸,如圖1 所示.

圖1 光脈沖串穩(wěn)定傳輸圖(a) 零背景脈沖串;(b) 零背景脈沖串穩(wěn)定傳輸,其中 a=0.4,P0 =0.7 WFig.1.Stable transmission of the pulse trains:(a) Zero background pulse trains;(b) stable transmission of the pulse trains,where a=0.4,P0 =0.7 W.

圖1 給出了峰值功率P=8.96 W 的零背景脈沖串傳輸 zA=95.2381 km的傳輸圖.從圖1(a)可以得到,零背景脈沖串中心脈沖的半高全寬Δτ=3.4045 ps,可以計算出中心脈沖的孤子階數(shù)為[48]

根據(jù)孤子理論,當(dāng)孤子數(shù)在 0.5

然而,在實際傳輸過程中,由于損耗的影響,脈沖串的振幅隨著傳輸距離的增大而逐漸減小,因此必須對脈沖串進行放大.研究結(jié)果表明,在光纖中適當(dāng)?shù)奈恢梅胖眠B續(xù)波泵浦激光器和譜過濾器起著光放大器的作用,能夠?qū)崿F(xiàn)光脈沖串的放大,如圖2 所示.圖2(a)是(5)式表示的初始脈沖串的分布,傳輸 zA=33.33 km 后,由于損耗的存在,脈沖串的峰值功率下降到0.7041 W,如圖2(b)所示.為了放大衰減的脈沖串,在 zA處注入功率為 P0的平面波,與衰減的脈沖串構(gòu)成混合形式|A(zA,T)|+此時,由于平面波的注入,衰減的脈沖串會被放大,在 LA=0.8821 km 處衰減的脈沖被放大到與初始入射脈沖具有相同功率的脈沖串.但是由于平面波的存在,放大脈沖串不能穩(wěn)定傳輸.所以需要在 LA位置處放置頻譜過濾器來濾除平面波背景.根據(jù)本文所取參數(shù),將頻譜強度衰減到原來的1%,過濾掉中心頻譜附近大約0.2 nm 頻譜,可以獲得穩(wěn)定傳輸?shù)牧惚尘胺糯竺}沖串,如圖2(c)所示,其中紅色實線為初始脈沖串,藍色虛線為被放大的零背景脈沖串.zA是初始脈沖串衰減到小振幅脈沖串的傳輸距離,也是連續(xù)波泵浦放置的位置.LA為注入平面波后傳輸?shù)拈L度,也是頻譜過濾器放置的位置.zA處注入平面波,傳輸 LA的距離后衰減的脈沖串被放大到初始脈沖串的功率,此時通過頻譜過濾器獲得穩(wěn)定傳輸?shù)拿}沖串.以上數(shù)值結(jié)果表明,通過入射一連續(xù)波并隨后再過濾掉該連續(xù)波可以實現(xiàn)光脈沖串的放大.

圖2 光脈沖串的放大 (a) 初始入射脈沖串;(b) 衰減脈沖串;(c) 放大脈沖串與初始脈沖串的比較,其中 a=0.45,P0 =0.7 W.Fig.2.Amplification of the pulse trains:(a) Initial input pulse trains;(b) attenuated pulse trains;(c) comparison of the amplified and the initial pulse trains,where a=0.4,P0 =0.7 W.

作為一個例子,演示了光脈沖串的4 級級聯(lián)放大過程,如圖3 所示.第一級放大過程如圖3(a1),3(b1)和3(c1).圖3(a1)為峰值功率為 10.08 W 的初始入射脈沖串,傳輸 zA=23.8095 km 后衰減成為峰值功率為 1.7179 W 的脈沖串,如圖3(b1) 所示.在 zA處注入平面波,傳輸 LA=0.4310 km 后并通過譜過濾得到與初始入射脈沖串同功率的零背景脈沖串,如圖3(c1)所示,其中紅色實線表示初始入射脈沖串,藍色虛線表示放大并過濾后的零背景脈沖串.第2—4 級的初始脈沖串為前一級的放大脈沖,如圖3(a2),3(a3)和3(a4)所示,其余過程與第一級放大過程完全相同.在這4 級級聯(lián)放大過程中,zA=23.8095 km,注入平面波后的傳輸長度 LA分別是0.4310 km,0.3905 km,0.3845 km和 1.0119 km.以上結(jié)果表明,平面波泵浦與頻譜過濾器相結(jié)合,可以實現(xiàn)脈沖串的級聯(lián)放大,從而實現(xiàn)脈沖信號的長距離傳輸.

圖3 光脈沖串4 級放大,其中a=0.45,P0=0.7 WFig.3.4-cascade amplification of optical pulse trains,where a=0.45,P0 =0.7 W.

4 有限個數(shù)脈沖的放大

數(shù)字通信系統(tǒng)中,為了實現(xiàn)多進制調(diào)制,需要以有限個數(shù)的脈沖為單位進行傳輸,此時需要對無限的脈沖串進行截斷.文獻[38]中指出,使用延遲線干涉儀的方法能夠產(chǎn)生零背景的脈沖串.采用延遲線干涉儀的方法,由于兩個相位相反的脈沖串相疊加,新的脈沖串頻率發(fā)生了改變,并且兩個脈沖串之間存在 π 相位的相互作用,因此使用這種方法得到的零背景脈沖串不能進行截斷.采用頻譜過濾的方法,得到的零背景脈沖串通過矩形截斷,能夠?qū)崿F(xiàn)有限個數(shù)脈沖的穩(wěn)定傳輸,并且通過改變矩形脈沖的參數(shù),能夠改變截斷脈沖的個數(shù).

(5)式所表示的零背景脈沖串在 z=0 通過矩形脈沖截斷,其表示為

其中 m(kτ) 是矩形函數(shù),用以截斷脈沖串,其形式如下:

k為截斷脈沖的個數(shù).以3 個有限脈沖為例,展示其放大過程,如圖4 所示.圖4(a)為(6)式所表示的有限個數(shù)的脈沖,在傳輸 zA=23.8095 km 后,峰值功率下降為1.7402 W,如圖4(b)所示.此處注入平面波,經(jīng)過 LA=0.4179 km 后,結(jié)合頻譜過濾器,有限個數(shù)脈沖被放大到初始脈沖的功率,如圖4(c)所示,其中紅色實線為(6)式表示的截斷后的脈沖串,藍色虛線為放大零背景脈沖.矩形參數(shù)的改變,能夠?qū)崿F(xiàn)任意有限個脈沖的放大.

圖4 有限個數(shù)脈沖的放大,其中 k=3,P0 =0.7 W a=0.4Fig.4.Amplification for limited number of pulses,where k=3,P0 =0.7 W a=0.4..

5 不同頻率脈沖串的放大

以上結(jié)果主要基于由 (5)式給出的零背景脈沖串作為初始輸入來討論的,這樣的零背景脈沖串在實驗上是很難實現(xiàn)的.有研究表明,以周期調(diào)制的平面波作為初始輸入,能夠產(chǎn)生放大脈沖串[39].因此考慮如下形式的初始輸入:

其中 q(T) 為小振幅脈沖串,A 為調(diào)制強度,Ω 為調(diào)制頻率.數(shù)值結(jié)果表明,當(dāng)脈沖串取不同頻率時,在平面波的作用下,小振幅脈沖串被放大.并且,調(diào)制強度A 的大小能夠影響最大放大脈沖串所產(chǎn)生的位置Lmax,結(jié)果如圖5 所示.

圖5 調(diào)制強度A 與最大放大脈沖串位置的關(guān)系Fig.5.Location relationship between modulation intensity A and the maximum amplified pulse trains.

從圖5 可以看到,對于不同頻率的輸入脈沖串,改變調(diào)制強度A 的大小,能夠改變最大放大脈沖串所產(chǎn)生的位置Lmax.因此,適當(dāng)調(diào)整A 的大小,能夠?qū)崿F(xiàn)兩路不同頻率信號在同一位置被放大到最大功率.

以 Ω 分別等于0.3 與0.6 來展示其放大過程,結(jié)果如圖6 所示.圖6(a)為(7)式所表示的初始輸入,圖中黑色和紅色實線分別表示頻率為Ω1=0.3,Ω2=0.6的脈沖串.當(dāng)Ω1=0.3,A1=0.2,在Lmax1=5.8702 km處產(chǎn)生最大放大脈沖串.當(dāng)Ω2=0.6,A2=0.07,在 Lmax2=5.8405 km 處產(chǎn)生最大放大脈沖串,其放大結(jié)果如圖6(b)所示.此處通過頻譜過濾后得到零背景脈沖串,脈沖串峰值功率分別為9.5943 W和 6.0122 W.

圖6 不同頻率脈沖串的放大 (a) 初始輸入;(b)零背景的放大脈沖串,其中Ω1=0.3,Ω2=0.6,A1=0.2,A2=0.07Fig.6.Amplification for different frequencies of the pulse trains:(a) Initial input pulse trains;(b) amplified pulse trains of zero background,where Ω1=0.3,Ω2=0.6,A1=0.2,A2=0.07.

以上數(shù)值模擬結(jié)果顯示,兩路最大放大脈沖串產(chǎn)生的位置Lmax1與Lmax2很接近,但并不完全相等,為解決該問題,研究了在以上參數(shù)下,Lmax1與Lmax2之間脈沖串被放大后的功率情況,結(jié)果如圖7 所示.

從圖7 可以看出,在Lmax1與Lmax2之間,兩個頻率下脈沖串放大后的功率變化不大.此結(jié)果表明,在Lmax1與Lmax2之間,可以選取任意位置來實現(xiàn)兩路不同頻率脈沖信號的同時放大.這里取Lmax=(Lmax1+Lmax2)/2,即Lmax=5.8553 km 作為兩路信號最大放大脈沖所產(chǎn)生的位置,其放大結(jié)果如圖8 所示.

圖7 Lmax1 與Lmax2 之間放大脈沖的功率Fig.7.Power of the amplified pulse trains between Lmax1 and Lmax2.

圖8 不同頻率脈沖串的同時放大 (a)初始輸入;(b)零背景的放大脈沖串,其中Ω1=0.3,Ω2=0.6,A1=0.2,A2=0.07Fig.8.Simultaneous amplification for different frequencies of the pulse trains:(a) Initial input pulse trains;(b) amplified pulse trains of zero background,where Ω1=0.3,Ω2=0.6,A1=0.2,A2=0.07.

在以上參數(shù)下,零背景放大脈沖串 Ω1=0.3 的峰值功率是9.686 W,Ω2=0.6 的峰值功率是5.999 W,與圖6(b)所示結(jié)果差別不大.因此可以得出結(jié)論,對于不同頻率的兩路脈沖串,通過調(diào)整調(diào)制強度的大小,能夠?qū)崿F(xiàn)兩路信號的同時放大.

6 結(jié)論

怪波的概念首先來源于海洋學(xué),其巨大的振幅對海洋上行駛的船只具有摧毀性的破壞作用,但其時間、空間的局域化以及高振幅的結(jié)構(gòu)特性在其它非線性研究領(lǐng)域內(nèi)可能有潛在的應(yīng)用,尤其是在光學(xué)方面.本文基于非線性薛定諤方程的Peregrine怪波解,討論了有理分式的脈沖動力學(xué),基于其特性并利用譜過濾方法,提出了一種光脈沖串的放大方法.首先從理論上闡述了光脈沖串的放大過程,研究結(jié)果表明,連續(xù)波泵浦與頻譜過濾器相結(jié)合,能夠?qū)崿F(xiàn)光放大器作用.并且以4 級放大為例,實現(xiàn)了光脈沖串的級聯(lián)放大以實現(xiàn)其長距離傳輸.特別地,采用矩形脈沖截斷,能夠?qū)崿F(xiàn)有限個數(shù)脈沖的放大,這是采用延遲線干涉儀的方法所不能實現(xiàn)的.通過改變矩形脈沖的周期,能夠方便的調(diào)整有限脈沖的個數(shù).其次,采用實驗上可控的周期調(diào)制的平面波作為初始入射脈沖串,采用連續(xù)波泵浦與頻譜過濾相結(jié)合的方法,能夠產(chǎn)生零背景放大脈沖串,實現(xiàn)脈沖串的穩(wěn)定傳輸.調(diào)制強度的大小,影響放大脈沖串所產(chǎn)生的位置.目前的文獻中對不同頻率脈沖串的放大問題鮮有報道.本研究結(jié)果表明,利用本文提出的方法,對于不同頻率的兩路信號,通過調(diào)整調(diào)制強度的大小,能夠?qū)崿F(xiàn)兩路信號的同時放大.本文的研究結(jié)果為光脈沖串的放大以及在光纖中傳輸提供了一定的理論依據(jù)與指導(dǎo)意義.