劉磊 徐志博 錢(qián)文碩 李文杰 謝芳 鐘志2) 單明廣2)?

1) (哈爾濱工程大學(xué)，信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

2) (哈爾濱工程大學(xué)，先進(jìn)船舶通信與信息技術(shù)工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150001)

雙波長(zhǎng)數(shù)字全息中差分合成波長(zhǎng)可拓展無(wú)相位包裹測(cè)量縱深范圍,但顯著放大相位噪聲;加性合成波長(zhǎng)可抑制相位噪聲,但大幅縮小無(wú)相位包裹測(cè)量范圍.因此,本文利用差分合成波長(zhǎng)無(wú)包裹測(cè)量范圍大與加性合成波長(zhǎng)噪聲低的特性,提出一種雙合成波長(zhǎng)數(shù)字全息低噪聲分級(jí)解包裹方法.該方法利用由差分合成波長(zhǎng)獲得的“相位差”引導(dǎo)單波長(zhǎng)包裹相位進(jìn)行解包裹,然后再利用單波長(zhǎng)的解包裹后的光程差引導(dǎo)加性合成波長(zhǎng)獲得的包裹“相位和”進(jìn)行解包裹,通過(guò)分級(jí)實(shí)現(xiàn)雙波長(zhǎng)低噪聲解包裹.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該方法可以簡(jiǎn)單、快速地實(shí)現(xiàn)雙波長(zhǎng)數(shù)字全息低噪聲解包裹.

1 引言

數(shù)字全息技術(shù)[1?16]基于光的干涉原理,利用相機(jī)記錄由干涉形成的全息圖,并利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)相位恢復(fù)及待測(cè)物體形貌等成像測(cè)量,具有非接觸、高分辨力、全場(chǎng)定量等優(yōu)點(diǎn),并廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)、微細(xì)加工和材料工程等測(cè)試領(lǐng)域.但目前的研究多集中于單波長(zhǎng)照明[3?11],當(dāng)待測(cè)物體引起的光程差大于照明波長(zhǎng)時(shí),由于相位恢復(fù)過(guò)程的反正切函數(shù)的周期作用,恢復(fù)出的物體相位存在著包裹問(wèn)題,使測(cè)量縱深受限,必須利用單波長(zhǎng)解包裹算法進(jìn)行相位解包裹才能獲得待測(cè)物體的真實(shí)相位.但是,目前單波長(zhǎng)解包裹算法普遍計(jì)算量很大、恢復(fù)速度慢,而且當(dāng)待測(cè)物體存在臺(tái)階、溝槽等邊緣銳利結(jié)構(gòu)時(shí),單波長(zhǎng)解包裹算法會(huì)失效.

為了克服單波長(zhǎng)解包裹算法存在的缺陷,有研究提出了一種有效解決方案是采用雙波長(zhǎng)數(shù)字全息技術(shù)[12?16],其利用兩個(gè)不同波長(zhǎng)的光源進(jìn)行照明,獲取每個(gè)波長(zhǎng)的包裹相位圖,再利用簡(jiǎn)單的相減計(jì)算恢復(fù)出差分合成波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的“相位差”,實(shí)現(xiàn)雙波長(zhǎng)解包裹.雙波長(zhǎng)數(shù)字全息形成的差分合成波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于任一單波長(zhǎng),極大地拓展無(wú)相位包裹的測(cè)量縱深,且只要待測(cè)物體引起的最大光程差不大于該差分合成波長(zhǎng),就不需任何復(fù)雜的解包裹算法.但與此同時(shí),差分合成波長(zhǎng)顯著放大相位噪聲,且噪聲隨著差分合成波長(zhǎng)增大而增大,從而限制測(cè)量精度和測(cè)量范圍的提升.為了解決雙波長(zhǎng)數(shù)字全息解包裹噪聲放大問(wèn)題,Gass 等[13]提出了免疫算法,利用“相位差”解算出的光程差,引導(dǎo)單波長(zhǎng)的包裹相位進(jìn)行解包裹;隨后,Khmaladze 等[17]和Asundi等[18]相繼提出了線(xiàn)性規(guī)劃法,利用線(xiàn)性規(guī)劃搜索使兩個(gè)單波長(zhǎng)光程差值最小的整數(shù)對(duì),并利用該整數(shù)對(duì)單波長(zhǎng)包裹相位進(jìn)行相位解包裹,但這些方法噪聲水平仍受限于單波長(zhǎng)照明時(shí)的噪聲水平.因此,趙建林等[19]將兩個(gè)單波長(zhǎng)的包裹相位相加,獲得加性合成波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的“相位和”,從而獲得比單波長(zhǎng)照明時(shí)更低的噪聲水平,但因?yàn)榧有院铣刹ㄩL(zhǎng)比任何單波長(zhǎng)均小,縮減了無(wú)包裹測(cè)量縱深.受其啟發(fā),呂曉旭等[20]利用“相位差”、“相位和”以及免疫算法改進(jìn)了雙波長(zhǎng)解包裹過(guò)程,在獲得差分合成波長(zhǎng)無(wú)包裹測(cè)量縱深的同時(shí),獲得了加性合成波長(zhǎng)的低噪聲水平,但其需要通過(guò)復(fù)雜計(jì)算獲得多個(gè)中間變量,造成解包裹速度慢的問(wèn)題.隨后,單明廣等[21]以及劉乾等[22]基于直接線(xiàn)性規(guī)劃導(dǎo)引法,利用“相位差”和“相位和”直接實(shí)現(xiàn)雙波長(zhǎng)低噪聲解包裹,雖然思路簡(jiǎn)單,但是需要最小二乘法在二維空間搜索約束邊界條件,計(jì)算過(guò)程耗時(shí).

因此,本文結(jié)合利用差分合成波長(zhǎng)與加性合成波長(zhǎng)的優(yōu)勢(shì),提出雙合成波長(zhǎng)數(shù)字全息低噪聲分級(jí)解包裹方法,在實(shí)現(xiàn)雙波長(zhǎng)低噪聲解包裹的同時(shí),避免復(fù)雜中間量計(jì)算,以提升雙波長(zhǎng)解包裹速度.

2 理論方法

假設(shè)雙波長(zhǎng)數(shù)字全息中照明激光的波長(zhǎng)分別為λ1和λ2(λ1<λ2),且均小于待測(cè)物體引起的光程差,但其差分合成波長(zhǎng)λds大于該物體引起的光程差;同時(shí),從雙波長(zhǎng)全息圖中恢復(fù)獲得單波長(zhǎng)包裹相位圖分別為φ1和φ2,則由此獲得“相位差”φds與“相位和”φas分別為

其中,φds為解包裹的相位但噪聲高,對(duì)應(yīng)差分合成波長(zhǎng)λds,λds=λ1λ2/(λ1–λ2);φas為包裹的相位但噪聲低,對(duì)應(yīng)加性合成波長(zhǎng)λas,λas=λ1λ2/(λ1+λ2).

利用光程差與相位之間的物理關(guān)系,可獲取解包裹相位φds對(duì)應(yīng)的光程差hds,即:

雖然由于λds的噪聲放大作用,hds蘊(yùn)含大量噪聲,但hds能夠反映待測(cè)物體的真實(shí)形貌分布.

而兩個(gè)照明波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的光程差可以表示如下:

若不考慮折射率的影響,單波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的光程差與差分合成波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的光程差理論上應(yīng)相等,即hi=hds.因此,可以利用hds引導(dǎo)對(duì)φi進(jìn)行解包裹,這里僅以波長(zhǎng)λ1為例,并由(4)式可得:

其中,round 表示取最近整數(shù)操作.

利用上式計(jì)算的k1,便可直接計(jì)算出單波長(zhǎng)λ1對(duì)應(yīng)的無(wú)包裹光程差h1,即

相對(duì)于hds,h1在反映待測(cè)物體真實(shí)形貌分布的同時(shí),降低了噪聲,但其仍局限于單波長(zhǎng)水平.因此,繼續(xù)以h1為基準(zhǔn)引導(dǎo)低噪聲的“相位和”φas解包裹,即:

在確定kas之后,便可利用該值計(jì)算出加性合成波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的無(wú)包裹光程差,即:

在反射式雙波長(zhǎng)數(shù)字全息中,由于光波照射待測(cè)物體并被反射回來(lái),has等于待測(cè)物體物理高度h 的兩倍,即h=has/2;而在透射式雙波長(zhǎng)數(shù)字全息中,has等于h 與待測(cè)物體折射率(n–1)的乘積,即h=has/(n–1).因?yàn)閔as由低相位噪聲的φas計(jì)算,所以待測(cè)物體的h 測(cè)量精度大大提升.

上述的解包裹過(guò)程可定義為分級(jí)解包裹法,其流程如圖1 所示,按照差分合成波長(zhǎng)-單波長(zhǎng)-加性合成波長(zhǎng)的順序逐級(jí)實(shí)現(xiàn)解包裹,整個(gè)過(guò)程未采用循環(huán)計(jì)算,也無(wú)需像直接線(xiàn)性規(guī)劃導(dǎo)引法采用最小二乘法在二維空間搜索約束邊界條件,因此,整個(gè)解包裹過(guò)程計(jì)算量小,速度快.

圖1 分級(jí)解包裹流程圖Fig.1.Flowchart of Hierarchical phase unwrapping.

3 模擬驗(yàn)證與分析

為了驗(yàn)證所提方法的有效性,利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行一系列的仿真實(shí)驗(yàn),其中采用的計(jì)算機(jī)CPU 為Intel i5-4590,主頻3.30 GHz,內(nèi)存容量16 GB,計(jì)算過(guò)程僅使用CPU 單核處理.實(shí)驗(yàn)使用的照明波長(zhǎng)分別為λ1=632.8 nm 和λ2=532 nm,為了便于仿真過(guò)程描述,仿真實(shí)驗(yàn)中不考慮折射率影響,由此可得加性合成波長(zhǎng)λas=289.0 nm 和差分合成波長(zhǎng)λds=3339.8 nm.首先,利用PEAK函數(shù)生成待測(cè)物體,其分布如圖2(a)所示,尺寸為500 pixel×500 pixel,高度峰谷值為2198.6 nm;由此生成一個(gè)雙波長(zhǎng)復(fù)合全息圖,并在歸一化后的全息圖中添加均值為0,方差為0.001 的高斯白噪聲,如圖2(b)所示;利用除法相位恢復(fù)算法[23]恢復(fù)出兩個(gè)波長(zhǎng)λ1和λ2對(duì)應(yīng)的相位,分別如圖2(c)和圖2(d)所示,從圖中可以看出,兩幅相位圖均產(chǎn)生了明顯的包裹.

圖2 (a)待測(cè)物體高度圖;(b)離軸全息圖;(c) λ1 和(d) λ2 對(duì)應(yīng)的包裹相位Fig.2.(a) Original height map of the simulated sample;(b) simulated multiplexed off-axis hologram;and corresponding wrapped phase maps at (c) λ1 and (d) λ2.

為了展示本文算法的優(yōu)越性,將傳統(tǒng)雙波長(zhǎng)解包裹算法(算法I)、線(xiàn)性規(guī)劃算法(算法Ⅱ)和直接線(xiàn)性規(guī)劃算法(算法Ⅲ),與本文所提算法(算法Ⅳ)進(jìn)行比較.4 種算法的恢復(fù)結(jié)果如圖3(a)—3(d)所示,與原始值的殘差如圖3—3(h)所示.為了定量的比較4 種算法的恢復(fù)質(zhì)量,在殘差圖的右上角標(biāo)注了殘差的標(biāo)準(zhǔn)差(SD)及峰谷值(PV).提取殘差圖中黑色虛線(xiàn)標(biāo)注的數(shù)據(jù),所得4 組一維數(shù)據(jù)如圖4 所示.顯而易見(jiàn),算法Ⅲ和所提算法Ⅳ可獲得更好的恢復(fù)質(zhì)量和更低的噪聲,能達(dá)到加性合成波長(zhǎng)的恢復(fù)質(zhì)量,且優(yōu)于算法I 和Ⅱ的恢復(fù)質(zhì)量;但相對(duì)于算法Ⅲ的1989.5 ms 解包裹時(shí)間,所提的算法Ⅳ解包裹時(shí)間為20.5 ms,從而使解包裹速度提升了97 倍.

圖3 (a)算法I,(b)算法Ⅱ,(c)算法Ⅲ和(d)算法Ⅳ的恢復(fù)結(jié)果;(e)算法I,(f)算法Ⅱ,(g)算法Ⅲ和(h)算法Ⅳ恢復(fù)結(jié)果的殘差圖Fig.3.Reconstructed results by (a) Algorithm I,(b) Algorithm Ⅱ,(c) Algorithm Ⅲ,and (d) Algorithm Ⅳ;and the corresponding residue maps obtained by (e) Algorithm I,(f) Algorithm Ⅱ,(g) Algorithm Ⅲ,(h) Algorithm Ⅳ.

圖4 殘差圖(圖3(e)—3(h))中黑色虛線(xiàn)標(biāo)注數(shù)據(jù)Fig.4.Data marked with the black dashed lines in residue maps shown in Fig.3(e)–3(h).

為了進(jìn)一步展示所提算法的抗噪性能,針對(duì)被不同方差均值為0 的高斯噪聲污染全息圖,使用4 種算法進(jìn)行恢復(fù),得到它們恢復(fù)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差和峰谷值,如圖5 所示.從圖5 可以看出,隨著方差的增大,所有算法恢復(fù)結(jié)果的SD 值和PV 值均隨之增大;由于差分合成波長(zhǎng)的噪聲放大作用,算法Ⅰ恢復(fù)質(zhì)量最差,且隨著噪聲放大恢復(fù)質(zhì)量下降劇烈;雖然算法Ⅱ的表現(xiàn)稍好,但低于算法Ⅲ和Ⅳ;令人驚喜的是,算法Ⅲ和Ⅳ受噪聲的影響和恢復(fù)質(zhì)量基本一致,但相對(duì)于算法Ⅲ,所提算法Ⅳ具有更簡(jiǎn)單的恢復(fù)過(guò)程和更快的恢復(fù)速度.

圖5 殘差圖(圖3(e)—3(h))中(a)標(biāo)準(zhǔn)差和(b)峰谷值Fig.5.Standard deviation and peak-valley value of residue maps shown in Fig.3(e)–3(h).

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的有效性,依據(jù)文獻(xiàn)[24]搭建如圖6 所示的視場(chǎng)翻轉(zhuǎn)雙波長(zhǎng)載波正交數(shù)字全息實(shí)驗(yàn)裝置,其中光源為λ1=632.8 nm的HeNe 激光器和λ2=532 nm 的固體激光器,透鏡L1 和L2 的焦距均為200 mm,CCD 的像素?cái)?shù)為1024×1280,像素大小為4.8 μm×4.8 μm;待測(cè)物體為一個(gè)高度為2000 nm 圓柱形相位物體,因其由熔英玻璃制成,相對(duì)于兩光源的折射率分別為n1=1.457 和n2=1.460.其工作過(guò)程為:偏振正交的雙波長(zhǎng)光束經(jīng)分光棱鏡BS1 合束和準(zhǔn)直擴(kuò)束器BE 準(zhǔn)直擴(kuò)束后,入射至由透鏡L1 和L2 構(gòu)成的共軛4f 系統(tǒng)輸入平面,其中1/4 的光照射物體被調(diào)制成為物光,另外3/4 部分通過(guò)了空白窗口形成參考光;光束經(jīng)透鏡L1 傅里葉變換后被分光棱鏡BS2 分成兩束,一束被平面反射鏡M 直接反射;另一束光經(jīng)偏振分光棱鏡PBS 后分離成雙波長(zhǎng)波束,分別被角反射鏡RR1 和RR2 反射后,再次經(jīng)過(guò)PBS 合束,并經(jīng)過(guò)分光棱鏡BS2 與平面反射鏡反射的光匯和,最后經(jīng)透鏡L2 傅里葉變換共同到達(dá)CCD 的靶面,形成一幅雙波長(zhǎng)正交載波復(fù)合全息圖,并被CCD 一次曝光采集.所采集的復(fù)合全息圖如圖7(a)所示,頻譜圖如圖7(b)所示,恢復(fù)出的兩個(gè)波長(zhǎng)包裹相位分別如圖7(c)和7(d)所示.

圖6 視場(chǎng)翻轉(zhuǎn)雙波長(zhǎng)載波正交數(shù)字全息原理圖Fig.6.Flipping dual-wavelength common-path digital holography with orthogonal carrier.

圖7 (a)復(fù)合全息圖;(b)頻譜圖;(c) λ1 和(d) λ2 對(duì)應(yīng)的包裹相位Fig.7.(a) Multiplexed hologram and its (b) power spectrum;and corresponding wrapped phase maps at (c) λ1 and (d) λ2.

如同仿真一樣,利用4 種解包裹算法實(shí)現(xiàn)雙波長(zhǎng)解包裹,恢復(fù)獲得待測(cè)物體高度分布結(jié)果如圖8 所示,而由圖8 中白色虛線(xiàn)處獲得一維數(shù)據(jù)如圖9 所示.為了定量分析4 種算法,計(jì)算4 個(gè)恢復(fù)高度圖中白色虛線(xiàn)方框包圍區(qū)域的SD 值和PV值,其中SD 值分別為113.34 nm,14.29 nm,8.24 nm和8.24 nm,PV 值分別為253.81 nm,81.81 nm,54.18 nm 和54.18 nm.從圖中和計(jì)算結(jié)果可以看出,如同仿真結(jié)果,算法Ⅰ恢復(fù)結(jié)果波動(dòng)最嚴(yán)重的,表明其噪聲大,而算法Ⅲ和Ⅳ的恢復(fù)結(jié)果最為平穩(wěn),表明它們恢復(fù)質(zhì)量最好.

圖8 圓柱恢復(fù)結(jié)果 (a)算法I;(b)算法Ⅱ;(c)算法Ⅲ;(d)算法ⅣFig.8.Reconstructed results of the step target by (a) Algorithm I;(b) Algorithm Ⅱ;(c) Algorithm Ⅲ;(d) Algorithm Ⅳ.

圖9 恢復(fù)結(jié)果的一維剖面圖(圖8 中白色虛線(xiàn))Fig.9.Reconstructed result of 1 D height profiles(along the white dashed lines in Fig.8).

為了驗(yàn)證本算法在連續(xù)形貌物體測(cè)量上的有效性,在第2 個(gè)實(shí)驗(yàn)中,將一滴酒精滴在載玻片上,觀察酒精的蒸發(fā)的過(guò)程,其中某一時(shí)刻酒精形貌的恢復(fù)結(jié)果如圖10 所示,白色虛線(xiàn)處的一維恢復(fù)結(jié)果如圖11 所示.從恢復(fù)結(jié)果可以看出,本算法可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)形貌高質(zhì)量恢復(fù).

圖10 液滴酒精恢復(fù)結(jié)果 (a)算法I;(b)算法Ⅱ;(c)算法Ⅲ;(d)算法Ⅳ;Fig.10.Reconstructed result of a drop of alcohol:(a) Algorithm I;(b) Algorithm Ⅱ;(c) Algorithm Ⅲ,;(d) Algorithm Ⅳ..

圖11 恢復(fù)結(jié)果的一維剖面圖(圖10 中白色虛線(xiàn))Fig.11.Reconstructed result of 1 D height profiles (along the white dashed lines in Fig.10).

傳統(tǒng)的雙波長(zhǎng)解包裹算法由于噪聲放大問(wèn)題,在造成恢復(fù)質(zhì)量下降的同時(shí),降低了雙波長(zhǎng)共路數(shù)字全息的系統(tǒng)穩(wěn)定性.因此,在評(píng)價(jià)恢復(fù)質(zhì)量的同時(shí),利用所提算法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.在實(shí)驗(yàn)中,在無(wú)樣品的情況下以30 s 為間隔采集100 幅全息圖,任意選擇其中1 點(diǎn),計(jì)算出該點(diǎn)在每個(gè)波長(zhǎng)下的波動(dòng)范圍,并計(jì)算其方差,如圖12 所示.其中,算法Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差分別是31.02 nm,9.32 nm,7.72 nm 和7.72 nm.可見(jiàn),使用本方法不僅可以提升恢復(fù)質(zhì)量,也使系統(tǒng)的穩(wěn)定性顯著提升,從而證明本方法可用于動(dòng)態(tài)測(cè)量的低噪聲解包裹.

圖12 穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)Fig.12.Stability test for the proposed method.

5 結(jié)論

本文充分利用差分合成波長(zhǎng)和加性合成波長(zhǎng)各自的優(yōu)勢(shì),提出一種雙合成波長(zhǎng)數(shù)字全息低噪聲分級(jí)解包裹方法,按照差分合成波長(zhǎng)-單波長(zhǎng)-加性合成波長(zhǎng)的順序,逐級(jí)分布解包裹,達(dá)到加性合成波長(zhǎng)解包裹噪聲水平.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,所提方法不僅成像恢復(fù)質(zhì)量高,而且計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單、速度快,同時(shí)提高了雙波長(zhǎng)共路數(shù)字全息系統(tǒng)穩(wěn)定性,從而為雙波長(zhǎng)數(shù)字全息實(shí)現(xiàn)臺(tái)階、溝槽等邊緣銳利物體高精度成像測(cè)量奠定了理論基礎(chǔ)和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ).