馮金寶 王永成

動(dòng)態(tài)平衡是指物體所受的力一部分是變力，力的大小和方向均要發(fā)生變化，但變化過程中物體的每一個(gè)狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài).一般是三個(gè)力的共點(diǎn)力平衡問題，其中重力肯定不變.為滿足平衡狀態(tài)，另外兩個(gè)力的關(guān)系是由一個(gè)力的變化引起另一個(gè)力的變化，這個(gè)力的變化有三種情況：方向不變大小變、大小不變方向變、大小和方向都變.常用正交分解、矢量三角形以及圖示法解決動(dòng)態(tài)平衡問題，但是在教學(xué)中，動(dòng)態(tài)平衡的“動(dòng)”往往變成了“靜”，因?yàn)樵诎鍟^程中難以做到實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)展示，而GeoGebra（后文簡稱GGb）軟件最大優(yōu)勢就是能動(dòng)態(tài)展示.

一、GeoGebra軟件的特點(diǎn)

GGb軟件是一款程序思路清晰、幾何對象屬性較多、支持中文指令輸入的數(shù)學(xué)軟件.它功能強(qiáng)大，繪圖工具齊全，使用簡單，交互性強(qiáng)，同時(shí)具備很多軟件沒有的字母運(yùn)算、微積分和統(tǒng)計(jì)概率等功能.GGb雖然是一款數(shù)學(xué)軟件，但是應(yīng)用于物理教學(xué)研究也十分便利，與常用的物理教學(xué)軟件相比有很大優(yōu)勢.與“幾何畫板”相比易于實(shí)現(xiàn)3D顯示;與“NOBOOK虛擬仿真實(shí)驗(yàn)”相比學(xué)生能夠清楚看到動(dòng)畫顯示的底層邏輯;與“MATLAB”相比不需要使用者掌握編程語言，在滿足教學(xué)需求的基礎(chǔ)上，GGb軟件最大的特點(diǎn)就是免費(fèi)開源.

一般的物理模型可以抽象成幾何對象，物理學(xué)中力、速度、加速度等矢量可以利用向量功能來表示;代數(shù)區(qū)可以與繪圖區(qū)和指令欄動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)響應(yīng)，所以GGb的交互性極強(qiáng)，可以制作相應(yīng)的動(dòng)畫，在解決力學(xué)中動(dòng)態(tài)平衡問題更加得心應(yīng)手.因此不論是物理模型的構(gòu)建還是動(dòng)畫的制作，GGb軟件在物理教學(xué)過程中有很強(qiáng)的適應(yīng)性，目前致力于應(yīng)用GGb軟件進(jìn)行物理課件開發(fā)的人越來越多.

二、GeoGebra課件制作及解題過程

1.“方向不變大小變”型

（2016全國Ⅱ.14）如圖1，質(zhì)量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上.用水平向左的力F緩慢拉動(dòng)繩的中點(diǎn)O，如圖1所示.用T表示繩OA段拉力的大小，在O點(diǎn)向左移動(dòng)的過程中（? ）.圖1

A.F逐漸變大，T逐漸變大

B.F逐漸變大，T逐漸變小

C.F逐漸變小，T逐漸變大

D.F逐漸變小，T逐漸變小

本題主要考察受力分析、受力平衡，是“方向不變大小變”類型.以節(jié)點(diǎn)O為研究對象進(jìn)行受力分析，點(diǎn)O處受到拉力F、OA繩拉力T和OB繩拉力，OB繩拉力大小為mg.首先畫出一固定點(diǎn)A，利用“圓心和半徑工具”以A點(diǎn)為圓心，一定長度為半徑畫圓c，在圓c上選取一點(diǎn)O，連接線段OA代表繩OA段.利用“圓心和半徑工具”以O(shè)點(diǎn)為圓心，一定長度為半徑畫圓d，利用垂線工具過O點(diǎn)做出x和y軸的垂線，圓d交x軸垂線于B、H點(diǎn)，連接線段OB.利用平行線工具，過H點(diǎn)做OA、y軸垂線的平行線，分別交于F和E點(diǎn)，連接線段OF和OE.利用向量工具連接OB、OF、OE，表示力的大小并設(shè)置顯示條件為標(biāo)題和數(shù)值，隱藏輔助線和不需要顯示的對象與標(biāo)簽，完成課件制作.如圖2所示，O點(diǎn)向左移動(dòng)的過程中可以直觀看出F逐漸變大，T逐漸變大.

2.“大小不變方向變”型

（2020全國卷Ⅲ題17）如圖3，懸掛甲物體的細(xì)線拴牢在一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩上O點(diǎn)處;繩的一端固定在墻上，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連，甲、乙兩物體質(zhì)量相等.系統(tǒng)平衡時(shí)，O點(diǎn)兩側(cè)繩與豎直方向的夾角分別為α和β.若α=70°，則β等于（? ）.

A.45° B.55° C.60° D.70°

本題主要考察受力分析、受力平衡、相似三角形，是“大小不變方向變”類型.以O(shè)點(diǎn)為研究對象進(jìn)行受力分析，點(diǎn)O處受到分別靠近甲物體、乙物體、墻一側(cè)三股繩的拉力，因?yàn)榧滓覂晌矬w質(zhì)量相等，所以這兩段繩的拉力大小相等.任意畫出一點(diǎn)P，過P點(diǎn)做y軸平行線，以P為圓心將該線旋轉(zhuǎn)70°（α=70°）得到直線m.任選取一點(diǎn)O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，一定長度為半徑畫圓d，過O點(diǎn)做x軸垂線，交圓d于B、H點(diǎn).過O點(diǎn)做直線m平行線，交圓d于C點(diǎn)，連接線段OB、OC，過C點(diǎn)做OB平行線、B點(diǎn)做OC平行線，交于D點(diǎn).做直線OD，在直線上任取一點(diǎn)A則為墻上固定點(diǎn).∠β則為∠AOH，利用“角”工具可以直接度量出∠β=55°.

本題利用相似三角形法得到∠α+2∠β=180°的關(guān)系，通過計(jì)算求出∠β=55°，若將題目難度加大可進(jìn)行以下改動(dòng)：懸掛甲物體的細(xì)線拴牢在一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩上O點(diǎn)處;繩的一端固定在墻上，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連.甲、乙兩物體質(zhì)量相等.為使節(jié)點(diǎn)O緩慢向上移動(dòng)，則定滑輪應(yīng)（? ）移動(dòng).

A.豎直向上? B.豎直向下

C.水平向左D.水平向右

題目改編后，由于節(jié)點(diǎn)O與定滑輪都將運(yùn)動(dòng)，使得整個(gè)平衡過程更加復(fù)雜，學(xué)生因?yàn)檫^程復(fù)雜找不到問題的切入點(diǎn)，如果教師通過GeoGebra軟件演示效果會(huì)更加直觀.如圖4所示，J點(diǎn)為定滑輪初始位置，使節(jié)點(diǎn)O緩慢向上移動(dòng)，可以明顯觀察到定滑輪應(yīng)豎直向上或水平向左移動(dòng).

3.“大小和方向都變”型

（2021湖南題5）質(zhì)量為M的凹槽靜止在水平地面上，內(nèi)壁為半圓柱面，截面如圖5所示，A為半圓的最低點(diǎn)，B為半圓水平直徑的端點(diǎn).凹槽恰好與豎直墻面接觸，內(nèi)有一質(zhì)量為m的小滑塊.用推力F推動(dòng)小滑塊由A點(diǎn)向B點(diǎn)緩慢移動(dòng)，力F的方向始終沿圓弧的切線方向，在此過程中所有摩擦均可忽略，下列說法正確的是（? ）.

A.推力F先增大后減小

B.凹槽對滑塊的支持力先減小后增大

C.墻面對凹槽的壓力先增大后減小

D.水平地面對凹槽的支持力先減小后增大

本題主要考察受力分析、受力平衡、牛頓第三定律與整體法和隔離法等知識點(diǎn)，是“大小和方向都變”的類型.解題時(shí)需要學(xué)生有很好的三角函數(shù)基礎(chǔ)，掌握三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，C選項(xiàng)會(huì)利用到三角函數(shù)的倍角公式，學(xué)生可能無法判斷出在弧AB中點(diǎn)處墻面對凹槽的壓力有最大值.將小滑塊抽象為質(zhì)點(diǎn)用點(diǎn)M表示，地面用直線表示，墻面用矩形表示，凹槽簡化成半圓環(huán).選取固定點(diǎn)O（0，0），利用“定長線段”工具畫出線段BD，利用“半圓工具”以O(shè)為圓心BD為半徑畫出半圓d，利用“交點(diǎn)工具”畫出d與x和y軸交點(diǎn)A、B;利用“垂線工具”分別過B和D點(diǎn)作x軸垂線，在其中一條垂線上任取一個(gè)點(diǎn)，過該點(diǎn)做x軸平行線得到“地面”所在直線.左面的墻壁可以利用“多邊形工具”制作一個(gè)合適大小的矩形，對四邊形進(jìn)行顏色填充，小滑塊m則為半圓d上的一個(gè)附著點(diǎn).

小滑塊受重力G、推力F和凹槽支持力FN三個(gè)力作用，緩慢運(yùn)動(dòng)（始終保持平衡狀態(tài)），只有重力為恒力.在過M點(diǎn)與x軸垂線上畫出定長線段HM表示所受重力G;凹槽支持力FN受力方向始終指向圓心O，即在直線MO方向;推力F方向?yàn)榘雸Ad在M點(diǎn)處的切線，過線段MH上H點(diǎn)做OM平行線交于J點(diǎn).最后連接線段JM、MH、HJ，顯示條件為“名稱與數(shù)值”，利用向量工具表示對應(yīng)的力.墻面對凹槽的壓力為N=Fcosθ，在墻面與凹槽接觸面任意選取一點(diǎn)L，利用直線工具做出與F力大小相等且平行的力F'.水平地面對凹槽的支持力N地，為滑塊和凹槽重力與推力F豎直方向分力的合力，在水平直線上任意選取一點(diǎn)S，構(gòu)造出各個(gè)線段之間代數(shù)和的動(dòng)態(tài)數(shù)字g，在S點(diǎn)處以數(shù)字g為固定長度構(gòu)造定長線段，將所得線段旋轉(zhuǎn)到豎直向上方向得到新線段表示N地，最后隱藏輔助線，調(diào)整幾何對象顯示樣式.如圖6所示，小滑塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過程各個(gè)力的變化情況，整個(gè)過程推力F一直增大;凹槽對滑塊的支持力FN一直減小;墻面對凹槽的壓力F′x先增大后減小;水平地面對凹槽的支持力N地一直增大.

通過以上三個(gè)實(shí)例可以證明，GGb軟件在處理動(dòng)態(tài)平衡問題時(shí)的直觀性.當(dāng)前課程改革以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)，高考也在強(qiáng)化對知識與能力的考察.課件的動(dòng)態(tài)顯示與常規(guī)解題方法相結(jié)合的教學(xué)模式，可以增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識，降低學(xué)生理解難度，解決學(xué)生在動(dòng)態(tài)分析過程中困惑，突破教學(xué)難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維.新時(shí)代教師也應(yīng)該掌握更多元的信息化教學(xué)手段，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，在課堂上增加信息技術(shù)手段的使用頻率，利用其形象豐富的表現(xiàn)形式，吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，突出學(xué)生的主體學(xué)習(xí)地位，使學(xué)生學(xué)習(xí)觀念完成從“要我學(xué)”到“我要學(xué)”的蛻變.

（收稿日期：2021-07-30）