饒晨陽 徐靈敏 陳巧紅

(1.浙江理工大學機械與自動控制學院， 杭州 310018； 2.浙江理工大學信息學院， 杭州 310018)

0 引言

相比于串聯(lián)機構，并聯(lián)機構具有精度高、載荷能力強、動態(tài)性能好等優(yōu)點，作為骨架已廣泛應用于各種先進制造裝備中[1-3]?？紤]末端執(zhí)行器的輸出特性，三自由度兩轉一移(Two rotations and one translation, 2R1T)并聯(lián)機機構適用于復雜曲面加工的場合[2-7]。通過結合兩個串聯(lián)式移動導軌或在末端安裝二自由度串聯(lián)擺頭，整機可實現(xiàn)五自由度運動，用于大型航空結構件加工打磨等[8-9]。

對用于高速高精度加工場合的2R1T并聯(lián)機構，在設計階段進行靜剛度建模必不可少，既是機構靜剛度性能分析的基礎，同時也為實際樣機設計和提高控制精度提供重要參考依據(jù)。靜剛度建模主要研究在系統(tǒng)靜力平衡的情況下，機構末端執(zhí)行器的變形情況和外部載荷間的映射關系[10]?，F(xiàn)有的并聯(lián)機構剛度建模方法主要有[11-22]：有限元分析法[11-14]、矩陣結構分析法[15-18]和虛擬關節(jié)建模法[19-22]。有限元分析法通過借助有限元分析軟件對模型進行網格劃分，計算外部載荷作用下機構在某一位型下的變形情況，具有較高的精度。但由于機構在不同位型時需重新建模和劃分網格，過程較為繁瑣且耗時，不適用于參數(shù)優(yōu)化。矩陣結構分析法則通過矩陣運算直接得到機構剛度矩陣，無需網格劃分。但該方法涉及到高維矩陣運算，不適用于解析靜剛度建模。虛擬關節(jié)建模法則通過考慮關節(jié)柔性，建立機構末端變形和外部載荷的關系，精度較高。但對于一些結構復雜的并聯(lián)機構，該方法需進行大量的逆矩陣運算，計算效率不高。

基于并聯(lián)機構剛度矩陣的特性，現(xiàn)已提出一些剛度指標用于性能評估及參數(shù)優(yōu)化[11, 23-25]，如最大/最小特征值[24]、特征值平均數(shù)[11]、行列式[25]等。然而由于剛度矩陣中的元素量綱不統(tǒng)一，會導致基于剛度矩陣的指標物理意義不明確和解釋錯誤[23]。

本文將對2-UPR-PRU三自由度2R1T并聯(lián)機構[3-4]進行靜剛度建模和性能評估。通過螺旋理論和應變能方法[26-28]得到各分支和整體剛度矩陣。借助ANSYS有限元軟件，對2-UPR-PRU并聯(lián)機構的理論變形結果和整體柔度矩陣進行數(shù)值仿真驗證。利用虛功剛度指標(Virtual-work stiffness index, VSI)[28]評價2-UPR-PRU并聯(lián)機構抵抗外部載荷的能力。通過改變2-UPR-PRU并聯(lián)機構的操作高度分析討論機構在姿態(tài)空間中的剛度性能分布圖譜。

1 機構描述與位置逆解

1.1 機構描述

圖1為2-UPR-PRU并聯(lián)機構的三維模型，其中定平臺和動平臺由2條對稱分布的UPR分支(B1A1/B2A2)和1條PRU分支(B3A3)連接，通過驅動3個P副可實現(xiàn)動平臺的2個轉動和1個移動。各分支中的關節(jié)轉軸定義如下：2條UPR分支中U副的第1個轉軸共線，且方向和PRU分支中U副的第1個轉軸和固接在定平臺上的R副轉軸平行；2個UPR分支中U副的第2個轉軸相互平行，且同時平行于和動平臺固接的R副轉軸和PRU分支中U副的第2個轉軸。

如圖1所示，2-UPR-PRU并聯(lián)機構定/動坐標系定義為：定坐標系Oxyz的原點O為B1B2的中心點，x軸與B3O重合，y軸指向點B1，z軸根據(jù)右手定則垂直向下。動坐標系ouvw的原點o為A1A2的中心點，u軸沿著A3o方向，v軸沿著oA1方向，w軸垂直于動平臺向下。2-UPR-PRU并聯(lián)機構的桿件參數(shù)定義如下：oA1、oA2為l1，OB1、OB2為l2，oA3為l3，B3A3為l。

1.2 位置逆解

根據(jù)2-UPR-PRU并聯(lián)機構的旋轉特點[3-4]，動坐標系ouvw相對于定坐標系Oxyz的旋轉矩陣ORo可表示為

(1)

式中Ry,β、Ru,γ——繞y軸和u軸的旋轉矩陣

s、c——正弦函數(shù)和余弦函數(shù)

由于2-UPR-PRU并聯(lián)機構的結構特征，動平臺末端點o的運動限制在y=0平面內，這一特點大大降低了機構反解推導的復雜性。如圖1所示，ci表示BiAi(i=1,2,3)位置矢量。另外，機構中的oAi和OBi位置矢量可分別表示為

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)，代入到閉環(huán)矢量鏈ci=p+ai-bi中，可得到2-UPR-PRU并聯(lián)機構的逆解表達式為

(3)

2 靜剛度建模

結合螺旋理論和應變能方法，對2-UPR-PRU并聯(lián)機構進行各分支和整機的靜剛度建模分析，用于評估外部載荷對末端位姿輸出的影響。在構建靜剛度模型前，需進行如下假設：①本研究考慮桿件的柔性，包括彎曲、剪切、拉伸/壓縮和扭轉變形。②機構中的定平臺、動平臺和所有運動關節(jié)均被認為是剛體。③忽略機構中各部件的重力和摩擦力。

2.1 分支剛度矩陣

選用第1條UPR分支和PRU分支作為研究對象。在構建分支剛度矩陣前，需確定分支的驅動力螺旋和約束力螺旋[29]。參照文獻[3]，在定坐標系下，第1條UPR分支的驅動/約束力螺旋可表示為

(4)

如圖2a所示，驅動/約束力螺旋的幅值分別定義為f11、f12和m11。為方便進行投影，在UPR分支中建立分支坐標系A1x1y1z1，其中y1軸沿著R副的軸線方向，z1軸沿著B1A1方向，x1軸可通過右手定則得到，如圖2b所示。根據(jù)力學知識，作用于點B1的約束力f12等效于作用于點A1的約束力f12加上沿著x1軸的約束力矩m12，其可表示為

m12=-q1z1×f12y1=q1f12x1=m12x1

(5)

根據(jù)圖2b中驅動/約束力的投影結果，UPR分支中任意橫截面處的內力/內力矩可表示為

(6)

式中n1——約束力矩m11的方向矢量

v1——選定橫截面到點A1的距離

因此，UPR分支應變能可表示為

(7)

式中Eq1——UPR分支彈性模量

Gq1——UPR分支剪切模量

Aq1——分支橫截面面積

Aq1y——分支橫截面沿著y1軸的有效面積

Iq1x——關于x1軸的橫截面慣性矩

Jq1——橫截面極慣性矩

(8)

將式(8)表示為矩陣形式

(9)

其中

(10)

式中C1——3×3的對稱分支柔度矩陣

因此，根據(jù)式(10)可得到第1條UPR分支的剛度矩陣K1為

(11)

PRU分支的剛度矩陣構建過程類似于UPR分支。在定坐標系下，該分支的驅動/約束力螺旋可表示為

(12)

PRU分支上的3個驅動/約束力如圖3a所示，其幅值分別定義為f31、f32和m31。同樣地，在PRU分支中建立分支坐標系A3x3y3z3，其中x3軸沿著R副的軸線方向，z3軸沿著B3A3方向，y3軸可通過右手定則得到，如圖3b所示。PRU分支中任意橫截面處的內力/內力矩可表示為

(13)

式中n3——約束力矩m31的方向矢量

v3——選定橫截面到點A3的距離

(14)

其中

(15)

式中El——PRU分支彈性模量

Gl——PRU分支剪切模量

Al——分支橫截面的面積

Alx——分支橫截面沿著x3軸的有效面積

Ily——關于y3軸的橫截面慣性矩

Jl——橫截面極慣性矩

同理，PRU分支的剛度矩陣K3為

(16)

2.2 整體剛度矩陣

動平臺的力/力矩平衡方程可表示為

(17)

其中

式中JW1——分支1中維度為6×3的力矩陣

JW2——分支2中維度為6×3的力矩陣

JW3——分支3中維度為6×3的力矩陣

JW——6×9的力矩陣

f1——分支1中3×1的力幅值矢量

f2——分支2中3×1的力幅值矢量

f3——分支3中3×1的力幅值矢量

f——9×1的力幅值矢量

根據(jù)虛功原理，各分支變形矢量和動平臺原點的變形矢量D滿足如下關系

(18)

式中 δx、δy、δz——機構沿著x軸、y軸和z軸的線性變形

δθ、δφ、δψ——機構繞著x軸、y軸和z軸的角度變形

結合式(17)、(18)，δi(i=1,2,3)和D的變形協(xié)調方程可表示為

(19)

將式(9)、(14)、(19)代入式(17)可得

(20)

從式(20)可得2-UPR-PRU并聯(lián)機構的整體剛度矩陣為

(21)

通過式(19)～(21)得到機構中各分支的力幅值矢量表示為

(22)

2.3 理論剛度模型和有限元模型對比

在分析機構剛度性能前，需驗證2-UPR-PRU并聯(lián)機構理論剛度模型的正確性。通過在ANSYS軟件中建立有限元模型進行對比驗證。在有限元模型中，定平臺、動平臺和所有運動關節(jié)均設為剛性。2-UPR-PRU并聯(lián)機構中的桿件長度和材料參數(shù)如表1所示，需要注意的是此處3個運動分支的橫截面均設為相同大小的圓截面，且各分支的彈性模量和剪切模量相同。

表1 2-UPR-PRU并聯(lián)機構的長度及材料參數(shù)Tab.1 Length and material parameters of 2-UPR-PRU parallel manipulator

由于使用有限元模型計算2-UPR-PRU并聯(lián)機構工作空間中所有點的剛度是一個耗時且困難的過程，因此選取位型和外載不同的3個示例進行結果驗證，如表2所示。通過建模分析，可得到ANSYS軟件中3個示例的變形結果，包括線性變形和角度變形，如圖5所示。另外，表3為2-UPR-PRU并聯(lián)機構動平臺原點o的理論模型變形結果和有限元仿真變形結果，可以發(fā)現(xiàn)兩個模型的結果基本一致，3個示例中所有的變形相對誤差均不超過0.78%。

表2 2-UPR-PRU并聯(lián)機構的3個選擇示例Tab.2 Three selected cases of 2-UPR-PRU parallel manipulator

表3 2-UPR-PRU并聯(lián)機構理論結果和仿真結果的變形對比Tab.3 Deformation comparison between theoretical and simulation results of 2-UPR-PRU parallel manipulator

除了對比變形結果，也可通過對比兩種模型的整體柔度矩陣來驗證理論模型的正確性。以示例3為例，其整體理論柔度矩陣和仿真柔度矩陣分別為

(23)

(24)

兩個柔度矩陣中各個元素的相對誤差為

(25)

從式(25)可以發(fā)現(xiàn)，所有相對誤差均不超過0.60%，是可接受的。上述兩個對比結果均證明了2-UPR-PRU并聯(lián)機構理論靜剛度模型的正確性，其可替代ANSYS軟件的分析結果，為后續(xù)的靜剛度性能分析提供保障。

3 靜剛度性能分析

利用VSI[28]評估2-UPR-PRU并聯(lián)機構靜剛度性能。不同于其他基于剛度矩陣代數(shù)特性的剛度指標，VSI可通過能量來描述機構的剛度性能，且其與外部載荷的大小和方向直接相關，避免了剛度矩陣內元素量綱不同所帶來的問題。在外載W作用下，并聯(lián)機構的虛功WV可表示為

WV=WTD

(26)

將式(20)代入式(26)中，虛功WV可表示為

WV=WTK-1W

(27)

根據(jù)式(27)虛功剛度指標VSI可定義為

κ=1/(WTK-1W)

(28)

盡管剛度矩陣K中的元素具有不同的量綱，但VSI將其混合的單位轉換成了J-1，可用于直接測量機構抵抗變形的能力。顯而易見，κ越大，機構在該位型下的剛度性能越好。

4 結論

(1)基于螺旋理論和應變能方法建立了2-UPR-PRU并聯(lián)機構的分支和整體靜剛度模型，建模簡單，表達直接且含意清晰。

(2)以機構動平臺的變形和整體柔度矩陣為驗證對象，和有限元模型的仿真結果進行對比，結果表明理論剛度模型變形和柔度矩陣元素的相對誤差分別不超過0.78%和0.60%，驗證了2-UPR-PRU并聯(lián)機構理論靜剛度模型的正確性，可用于替代ANSYS軟件進行機構的剛度分析。

(3)以VSI對2-UPR-PRU并聯(lián)機構進行靜剛度性能分析，確定了操作高度以及外載大小和方向對2-UPR-PRU并聯(lián)機構剛度性能的影響，為樣機設計提供參考。