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        回收錐與回收函數(shù)的若干性質(zhì)

        2021-12-07 09:26:26史小波徐茂楊
        關(guān)鍵詞:刻畫廣義性質(zhì)

        史小波,徐茂楊

        (重慶師范大學 數(shù)學科學學院,重慶 401331)

        回收錐和回收函數(shù)作為凸分析中的重要研究對象,在最優(yōu)化理論中有廣泛的應用。其中,回收錐可以用來刻畫集合的有界性,而回收函數(shù)作為一種特殊的上凸近似,可以刻畫最優(yōu)化問題解集非空性等。文獻[1-2]給出了凸集和凸函數(shù)回收錐、回收函數(shù)的概念,并給出了簡單的基本性質(zhì)及其應用。1990 年,黃學祥[3]針對非凸集合和非凸函數(shù)給出了廣義回收錐和廣義回收函數(shù),推廣了已有的性質(zhì)。近年來,一些學者進一步研究回收錐和回收函數(shù)的等價刻畫及其性質(zhì),并將結(jié)果應用到最優(yōu)化問題中,刻畫了最優(yōu)解集的非空性。本文以文獻[1-2]中回收錐和回收函數(shù)的性質(zhì)作為理論基礎(chǔ),在文獻[4-5]回收錐和回收函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)下,針對回收錐和回收函數(shù)作了進一步的研究。

        1 預備知識

        設(shè)Rn為n 維歐幾里得空間,d∈Rn,C?Rn,若對于任意的x∈C,d≥0,有

        則稱d 為C 的一個回收方向。所有回收方向的全體稱為C 的回收錐,記為Rc,即

        設(shè)f:Rn→R∪{+∞},且dom f=?,epi f={(x,α)∈Rn×R,f(x)≤α}為凸集。若(y,v)∈O+(epi f),則由回收錐定義有

        若存在一個函數(shù)g 滿足

        稱g 為f 的回收函數(shù),記作rf。

        由定義,文獻[1]又給出了回收函數(shù)如下的等價定義,即

        為了研究回收錐和回收函數(shù)的性質(zhì),引進如下概念。

        定義1[1]設(shè)函數(shù)f:Rn→R∪{+∞},如果對于任意的x,有:

        (i)f(λx)=λ(fx),則稱函數(shù)f 具有正齊次性;

        (ii)f(x+y)≤f(x)+f(y),則稱函數(shù)f 具有次可加性。

        定義2[6]函數(shù)f:Rn→R∪{+∞},如果對于任意的λ∈(0,1],有:

        (i)f(λx)≤λf(x),則f 稱為radiant 函數(shù)(一類特殊的抽象凸函數(shù));

        (ii)f(λx)≥λf(x),則f 稱為co-radiant函數(shù)(一類特殊的抽象凹函數(shù))。

        定義3[7]一個集合E?Rn被稱為是近似凸的,如果存在一個集合C?Rn,使得

        文獻[1,8]給出了回收錐的如下性質(zhì)。

        引理1[1]設(shè)線性變換A:Rn→Rm以及Rm中的閉凸集C,且滿足A-1C≠?,則

        引理2[8]設(shè)C?Rn為一非空凸集,則

        實際上,對于任意給定的x∈riC,有

        2 回收錐和回收函數(shù)的性質(zhì)

        首先,我們考慮回收函數(shù)和廣義回收函數(shù)的正齊次性、次可加性和抽象凸性。

        定理1設(shè)f:Rn→R∪{+∞}為線性泛函,則對于任意的λ>0,有

        即rf為正齊次函數(shù)。

        證明任取λ>0,則

        由于f 為線性泛函,故f(λx+λy)-f(λy)=λf(x+y)-λf(y),則有

        從而結(jié)論成立。

        定理2設(shè)f:Rn→R∪{+∞}為線性泛函,則對于任意的y∈dom f,有

        證明任取x,y∈dom f,則由等價定義可知,rf(x+y)=sup{f(z+x+y)-f(z),z∈dom f},由于f 為線性泛函,故f(2z+x+y)=f(z+x)+f(z+y),則有

        從而結(jié)論成立。

        文獻[3]給出如下廣義回收函數(shù)的概念。

        定義4[3]設(shè)函數(shù)f:Rn→R∪{+∞}為有限函數(shù),f 的廣義回收函數(shù)fO+是由f 的上圖epi f 的廣義回收錐產(chǎn)生的函數(shù),即

        與定理1 和定理2 的證明類似可建立如下性質(zhì)。

        定理3設(shè)函數(shù)f:Rn→R∪{+∞}為有限函數(shù),則

        證明對于任意x∈Rn,(x,v)∈

        定理1中線性條件必不可少。

        例如:f 為radiant 函數(shù),不能得出rf(λx)≤λrf(x)。即存在y∈R,使得

        例1 y=x2。

        證明任取λ∈(0,1],f(λx)=(λx)2=λ2x2≤λx2=λf(x),則f(x)為radiant 函數(shù)。

        例如:f 為co-radiant 函數(shù),即存在y∈R,使得

        定理4凸集C?Rn,線性變換A:Rn→Rm,有

        證明對于任意y∈A(O+C),存在z∈O+C,使得y=Az,而z∈O+C,說明對于任意x∈C 和λ>0,x+λz∈C。于是有Ax+λAz=Ax+λy∈AC,得出y∈O+(AC)。

        反包含不一定成立,因為線性變換不一定可逆,所以Ax+λAz∈AC 不能得出x+λz∈C。

        例3

        即O+(AC)?A(O+C)。

        定理5設(shè)C?Rn為一非空近似凸集,則

        證明C 為近似凸集,則riC,clC 為凸集,對任意給定的x∈riC,有

        則結(jié)論成立。

        例如:當

        即O+(riC)=O+(clC)。

        3 結(jié)語

        本文研究了回收錐和回收函數(shù)的一些性質(zhì),在文獻[5]回收錐和文獻[4]回收函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)下,針對回收錐和回收函數(shù)作了進一步的研究,首先,得出了在線性條件下回收函數(shù)滿足正齊次性和次可加性,并通過例子說明若函數(shù)不具備線性條件,函數(shù)的回收函數(shù)是不滿足正齊次性的;其次,得出了回收錐在線性變換中,不存在相互包含的關(guān)系,并通過例子說明了其合理性;最后,得出若將定理中的凸性條件弱化為近似凸,其相對內(nèi)部的回收錐和閉包的回收錐仍然相等的性質(zhì)。

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