程思渺，田 威，李 波，廖文和

（1.南京航空航天大學，南京 210016；2.南京理工大學，南京 210094）

隨著“中國制造2025”戰(zhàn)略的提出與推進，智能制造已經(jīng)成為我國當前航空制造業(yè)發(fā)展的必然趨勢[1-3]。隨著工業(yè)機器人技術的發(fā)展，航空航天等領域逐漸出現(xiàn)機器人取代人工作業(yè)的趨勢[4]，然而工業(yè)機器人絕對定位精度低已經(jīng)成為制約其在高精度領域應用的首要因素。因此提升工業(yè)機器人的絕對定位精度對推動航空制造技術及發(fā)展有著重要意義和實用價值。

機器人精度補償分為閉環(huán)補償和離線補償兩種，閉環(huán)補償在眾多應用中都能獲得出色的精度提升效果，但增加閉環(huán)補償技術可能會造成閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定[5-7]。此外，在實際應用中，閉環(huán)反饋補償技術需要通過激光跟蹤儀等設備實時采集機器人誤差，這就要求機器人的工作環(huán)境不會阻礙誤差數(shù)據(jù)的采集。因此，該補償技術的應用場景相對有限[5-7]。離線補償技術無法達到在線閉環(huán)反饋補償?shù)母呔人健Ｈ欢?，它相對來說更穩(wěn)定，更可靠，更容易實現(xiàn)。其所能達到的精度水平也能滿足機器人的大部分應用要求[7-8]。

傳統(tǒng)的離線精度補償方法主要是運動學標定[9-11]，通過標定相關參數(shù)，得到修正后的機器人運動學模型替代理論模型。然而運動學標定僅考慮幾何參數(shù)引起的誤差，因而精度補償效果有限。為解決上述問題，許多研究人員建立了包含非幾何誤差源的模型。

基于誤差相似度的建模方法是近年來機器人精度補償?shù)难芯繜狳c。周煒等[12]發(fā)現(xiàn)距離較近的兩點具有空間相似性，劃分空間網(wǎng)格后通過網(wǎng)格頂點誤差對內(nèi)部點實現(xiàn)了內(nèi)部點位誤差插值。石章虎等[13]利用空間相似性補償移動制孔機器人的絕對定位誤差。Zeng等[14-15]沿用這一思想將笛卡爾空間的相似度轉換到關節(jié)空間，同時構建了誤差相似度模型。何曉煦等[16]通過試驗驗證了機器人殘差的誤差相關性，并對殘差構建誤差相似度模型。Tian 等[17]通過在機器人關節(jié)安裝光柵尺消除關節(jié)誤差，同時對剩余誤差用誤差相似度模型進行補償。Cai 等[18]在誤差相似度模型的基礎上設計了偏移變量對算法進行改進，使用普通克里格法取得了較好的補償效果。Chen 等[19]將誤差相似度與徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡相結合，進一步提高了機器人精度。上述方法均取得了較好的補償效果，證明相似度模型能夠在機器人精度補償上有著較好的應用。然而上述方法忽略了相關性模型的選取對機器人定位精度的影響，本文對此展開研究。

本研究提出了一種優(yōu)化相關性模型的機器人精度補償方法，并通過KUKA KR500-3 機器人對該方法進行驗證。

1 工業(yè)機器人誤差相似度模型

假設n自由度旋轉關節(jié)機器人的m個樣本，其中，位置誤差集合ε=[e1，…，em]T，其中。對于一組確定的關節(jié)輸入，第l個方向的位置誤差el（θ）可以由回歸模型F和隨機過程z組成：

其中，F(xiàn)（β:,l，θ）是關于θ的函數(shù)：

其中，β:,l是待擬合的參數(shù)，隨機過程zl（θ）均值為零，方差為：

其中，E為數(shù)學期望；是第l個方向的過程方差；R（ξ，w，x）是關于參數(shù)ξ的相關性模型，該模型將在第2 節(jié)介紹。

通過已知樣本集合建立誤差預測模型：

其中，F(xiàn)為f擴充得到的矩陣。

則預測誤差和實際誤差的差值可表示為：

其中，Z=[z1，…，zm]T，為了保證預測誤差無偏性，有：

在此條件下，均方差為：

為獲取目標點位的最優(yōu)估計，應保證預測方差最小，式（9）作為已知條件，使得式（10）數(shù)值最小，由此建立拉格朗日方程：

其中，λ是拉格朗日乘數(shù)，方程對c的偏導數(shù)為：

式（12）為0 時，式（11）取值最小，將方程的解代入式（4）可得：

其中，β*=（FTR-1F）-1FTR-1ε為Fβ≈ε的最大似然估計值，其對應預測誤差的方差的最大似然估計為：

R、β*和σ2取決于參數(shù)ξ，設ξ*是ξ的最大似然估計值，ξ*的選取應使下式最大化：

|R|是矩陣R的行列式，根據(jù)式（3）中ξ優(yōu)化獲得ξ*[20]，代入到式（13）中，并由式（13）對機器人誤差進行預測。

2 相關性模型選取

2.1 機器人定位誤差的相關性分析

機器人定位誤差的相關性可以用半方差函數(shù)定量分析，位置誤差的半方差函數(shù)是工作空間內(nèi)兩個關節(jié)位置誤差增量方差的一半，半方差函數(shù)通常是由一組樣本的位置誤差的經(jīng)驗半方差函數(shù)得到：

通過精度補償試驗測得的機器人定位誤差數(shù)據(jù)得到圖1所示的半方差函數(shù)圖，可以看出，定位誤差在x、y和z3 個方向存在各向異性，且變化趨勢接近線性，為衡量定位誤差與關節(jié)轉角間的相關性程度，引入Person相關系數(shù)計算公式如下：

圖1 機器人定位誤差的半方差函數(shù)Fig.1 Semi-variance function of robot positioning error

計算可以得到3 個方向的Person 相關系數(shù)分別為0.9838，0.9918 和0.9543。可見3 個方向上定位誤差與機器人關節(jié)所處位置有極強的線性關系。

2.2 各類相關性模型

在第1 節(jié)中構建了機器人的誤差相似度模型，然而，對于式（3）中的誤差相似度模型文獻[10-15]均選取gauss 模型：

相關性模型的選取對工業(yè)機器人的誤差相似度模型的擬合精度有著很重要的作用，為證明這一點，本節(jié)就不同的相關性模型對補償后的機器人定位精度的影響展開研究，除gauss 模型外，常見的相關性模型如下。

exp 模型：

expg 模型：

lin 模型：

spherical 模型：

cubic 模型：

spline 模型：

式中

2.3 仿真試驗

為證明選取不同相關性模型，機器人補償效果不同，本節(jié)建立仿真環(huán)境。通過精度補償試驗中采集到的500 個點的實際位置和關節(jié)角度進行機器人校準[21]，得到的D-H參數(shù)表如表1所示。

表1 修正后的D- H 參數(shù)表Table 1 Revised D- H parameters

以修正后的D-H參數(shù)為仿真環(huán)境下的真實參數(shù)，以理論的D-H參數(shù)為仿真環(huán)境下的理論參數(shù)。對于仿真環(huán)境中的點位，其誤差為實際到達位置與理論到達位置的差值。以精度補償試驗采樣的500 個點作為仿真環(huán)境下的采樣點，并得到這些點的實際誤差，同時在測量空間內(nèi)隨機生成5000 個點作為驗證點，通過選取不同的相關性模型構建不同的誤差相似度模型，分別對這5000 個點為進行精度補償，補償后機器人誤差分布如圖2所示。

圖2 為補償后5000 個點中>0.05mm 的點位誤差分布圖，可以看出在仿真環(huán)境下，各類相關性模型均能使工業(yè)機器人精度有較大的提升，且spline 模型補償效果最高，體現(xiàn)在該模型補償后的5000 個點誤差均在0.05mm 內(nèi)；同時cubic 模型補償效果最差，體現(xiàn)在誤差>0.05mm 的分布點位最多，各類相關性模型補償后的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表2所示。

圖2 不同模型補償后>0.05mm 的綜合誤差Fig.2 comprehensive error >0.05mm after compensation of different models

從表2 中可以看出，在仿真環(huán)境中，spline 模型表現(xiàn)最優(yōu)，體現(xiàn)在補償后最大值為0.0411mm，遠小于其他各類相關性模型。而cubic 模型效果最差，體現(xiàn)在補償后標準差為0.0203mm，遠大于其他模型的標準差，因而誤差分布較為分散，同時其補償后最大值0.2865mm 為幾組模型中誤差最大值。

表2 仿真環(huán)境下補償后誤差樣本統(tǒng)計Table 2 Error sample statistics after compensation in simulation environment mm

從仿真試驗中可以得出，不同相關性模型在補償僅由運動學幾何參數(shù)引起的誤差時差異性較大。多項研究表明，由幾何誤差引起的位置誤差約占整個機器人位置誤差的80% ～ 90%[22-24]。僅靠仿真環(huán)境中建立的幾何誤差模型并不能完全證明在實際情況中能選取spline 模型作為最優(yōu)模型，因此在下文對7 種模型進行試驗驗證。

3 試驗驗證與分析

3.1 試驗平臺建立

搭建圖3所示的試驗平臺對機器人定位誤差補償方法進行試驗驗證。試驗驗證載體為KUKA KR500- 3 型號機器人，其法蘭盤上裝有制孔裝置，測量設備為API Radian 激光跟蹤儀，激光跟蹤儀靶球安置在刀柄的靶標座上。機器人的重復定位精度為± 0.06mm，激光跟蹤儀的絕對測距精度為15μm+0.7μm/m。

試驗前需構建各類坐標系轉換關系，由于基坐標系不可以直接測量，因此通過旋轉軸線法得到，通過單獨轉動A1軸和A2軸分別得到圓O1和O2，由此建立基坐標系。建立基坐標系需要得知基坐標系的原點，x軸上一點和z軸方向。

z軸方向：轉動A1軸，擬合得到圓O1，該圓周法向即為z軸方向。

原點：圓O1所在平面平移至圓O2圓心，再向下平移1045mm 得到基坐標系xoy平面，將圓O1圓心向基坐標系xoy平面投影，得到原點。

x軸上一點：圓O2所在平面平移至圓O1圓心位置，得到基坐標系yoz平面，圓O2圓心向該平面投影后再向基坐標系xoy平面投影，得到x軸上一點。

根據(jù)機器人示教器面板確定法蘭坐標系位姿，構建法蘭盤坐標系。設工具坐標系的原點為靶球中心點，姿態(tài)為基坐標系姿態(tài)，得到TCP 相對于法蘭的轉換關系，各坐標系統(tǒng)一關系由此確立。

3.2 精度補償試驗

在機器人的工作空間中規(guī)劃了一個尺寸為550 mm×1000mm×1100mm 的長方體區(qū)域作為本次試驗驗證的測量區(qū)域，通過拉丁超立方[25]采樣方法隨機生成500 個點作為采樣點位，采樣點位置（x，y，z）在該長方體區(qū)域內(nèi)隨機選取，3 個姿態(tài)角（a，b，c）在[-5°，5°]、[-3°，3°]、[-3°，3°]內(nèi)隨機選取。以理論位姿為NC 指令控制機器人運動至上述隨機采樣點的位置，并用激光跟蹤儀測量各采樣點的實際位置。選取第2 節(jié)中不同的相關性模型進行精度補償，補償結果如圖4所示。

圖4 KUKA KR500-3 補償后綜合誤差Fig.4 Comprehensive error after KUKA KR500-3 compensation

從圖4 可以看出，7 種相關性模型均能有效地補償工業(yè)機器人的絕對定位誤差。gauss 模型和cubic 模型誤差分布較為分散，峰值較低，補償效果相對較差。expg 模型誤差較大的個數(shù)最少，效果相對較好。相應的統(tǒng)計學參數(shù)記錄在表3 中，可以得出以下結論。

表3 機器人精度補償后樣本統(tǒng)計Table 3 Sample statistics after robot accuracy compensation mm

（1）7 種相關性模型均能有效地提高機器人的絕對定位精度。體現(xiàn)在未校準的機器人誤差最大值為1.8057mm，而7 種模型均能使其最大值降低至0.35mm以內(nèi)，定位精度能夠滿足航空航天中制孔裝配等需求；且補償后的均值均由1.1759mm 降低到0.13mm 內(nèi)，標準差均由0.2743mm 降低到0.07mm 內(nèi)，表明誤差補償后定位誤差集中的位置更小，集中度更高。

（2）expg 模型在本次試驗中較其他的相關性模型補償效果更好。體現(xiàn)在補償后的最大值為0.2902 mm，為7 種模型中補償后最大值的最低值。且補償后各點位的誤差均值在0.1066mm，標準差在0.0502mm，均為幾組數(shù)據(jù)中最小的，體現(xiàn)出expg 模型能使補償后的定位誤差集中的位置最小，集中度最高。

（3）cubic 模型和文獻[14-19]采用的gauss 模型較其他的相關性模型補償效果較差。體現(xiàn)在gauss 模型和cubic 模型補償后誤差最大值分別為0.3448mm 和0.3476mm，超過0.34mm，平均值均超過0.12mm，標準差超過0.06mm，而其他相關性模型均在該數(shù)值數(shù)據(jù)之內(nèi)，可以證明這兩種方法數(shù)據(jù)樣本的集中位置和集中度均不如其他集中模型。

通過將仿真試驗和試驗對比可以發(fā)現(xiàn)，最差的模型在兩組環(huán)境中表現(xiàn)出一致性，cubic 模型無論是在仿真環(huán)境還是試驗環(huán)境中較其他模型均有較差的表現(xiàn)，對于cubic 模型是否在其他種類機器人中有著較優(yōu)的表現(xiàn)有待驗證。另外，兩種環(huán)境下的最優(yōu)模型不同。這是因為在仿真環(huán)境中，僅補償運動學幾何參數(shù)引起的誤差，所以spline 模型有著較好的擬合效果，而在實際環(huán)境中，除幾何參數(shù)引起的誤差外還有非幾何參數(shù)引起的誤差，而對于該部分誤差，expg 模型有著較好的補償效果。

以上研究結果證明了KUKA KR500-3 選取優(yōu)化后的相關性模型可以取得更好的補償效果，但由于不同的工業(yè)機器人自由度不同，幾何構型不同等原因可能會導致相關性模型選取上存在差異，因此實際工作中還需要針對具體的機器人進行具體的分析和檢驗，其具體流程如圖5所示。

圖5 相關性模型選取流程Fig.5 Correlation model selection process

4 結論

（1）通過在仿真及試驗中構建不同的誤差相似度模型對機器人精度進行補償，證明了相關性模型的選取對會對機器人精度補償效果有顯著影響。

（2）在仿真環(huán)境中通過選取不同相關性模型對機器人運動學誤差補償，證明了spline 模型對機器人運動學誤差的補償效果最優(yōu)，補償后剩余誤差僅有0.04mm。

（3）在機器人精度補償試驗中通過選取不同相關性模型對機器人進行實際誤差補償，證明了expg 模型對機器人運動學誤差的補償效果最優(yōu)，可以使機器人精度從1.8057mm 達到0.2902mm。

（4）與傳統(tǒng)gauss 模型相比，本研究選取的expg 模型精度在試驗環(huán)境中的精度補償效果可從0.3448mm提升到0.2905mm，精度提升15.75%。