連楚琪，胡福良

（1.浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)1701 班，浙江 杭州 310058；2.浙江大學(xué)動(dòng)物科學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 310058）

1 從“蜂窩猜想” 談起

蜜蜂通常被譽(yù)為“天才的建筑師”“天才的數(shù)學(xué)家”。早在公元4 世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家貝波司就提出 “蜂窩猜想”，即人們所見(jiàn)到的截面呈六邊形的蜂窩，是蜜蜂采用最少量的蜂蠟建造成的?！胺涓C猜想” 在不考慮生物與環(huán)境統(tǒng)一性的情況下，可以簡(jiǎn)單地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為：蜂巢結(jié)構(gòu)是在容積相同的情況下，建筑用材面積最小的結(jié)構(gòu)；或者說(shuō)在建筑用材面積最小的情況下，容積最大的結(jié)構(gòu)。

在追尋“蜂窩猜想” 的后續(xù)發(fā)展之前，我們需要先對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)有具體的了解。在平時(shí)的學(xué)習(xí)和生活中，我們更多看到的是蜂窩的平面圖，對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)也停留在緊密結(jié)合的等六邊形，如圖1 和圖2 所示。的確，除去蜂窩與六棱柱相同的柱身，蜂窩的外端是廣為人知的等六邊形平面；而蜂窩的里端則是由3 個(gè)菱形拼接而成的立體圖形，如圖3 所示。

圖1 蜂巢俯視圖

圖2 蜂巢側(cè)視圖

圖3 蜂房立體結(jié)構(gòu)

由蜂窩結(jié)構(gòu)的里端和外端，衍生出 “蜂窩猜想” 后續(xù)發(fā)展的2 個(gè)方向。

對(duì)于外端等六邊形的 “蜂窩猜想” 探索，歷史悠久。亞歷山大時(shí)期的Pappus 在他的第五本書(shū)中，簡(jiǎn)單地將鋪陳平面的等六邊形與三角形和正方形進(jìn)行比較，得出如果用同樣數(shù)量的材料建造這些圖形，六邊形將容納更多的蜂蜜。1943 年，L. Fejes T’oth 擴(kuò)展了Pappus 的結(jié)果，在細(xì)胞凸性假設(shè)下證明了 “蜂巢猜想”；并且預(yù)測(cè)在沒(méi)有細(xì)胞凸性假設(shè)的前提下，“‘蜂窩猜想’的證明將涉及相當(dāng)大的困難”。50 多年后，在1999 年美國(guó)數(shù)學(xué)家黑爾，結(jié)合實(shí)變函數(shù)、微分幾何等方面的知識(shí)，給出 “蜂窩猜想” 不需要凸性假設(shè)的證明。至此，經(jīng)過(guò)1 600 多年的努力，外端的“蜂窩猜想”，平面的任何等面積分割都至少有正六邊形蜂窩的周長(zhǎng)，得到完整證明。

相較于對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)的外端，蜂窩結(jié)構(gòu)內(nèi)端的 “蜂窩猜想” 證明顯得較為簡(jiǎn)單。18 世紀(jì)初，法國(guó)學(xué)者馬拉爾奇測(cè)量蜂窩的尺寸，得到一個(gè)有趣的發(fā)現(xiàn)，那就是六角形窩洞的6 個(gè)角， 都滿足鈍角等于109° 28'， 銳角等于70°32'。1712 年瑞士數(shù)學(xué)家克尼格給出相關(guān)證明：證實(shí)在給定正六棱柱中，蜂窩的里端結(jié)構(gòu)為表面積最小的結(jié)構(gòu)，即最省材料的結(jié)構(gòu)。而華羅庚的《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》 一書(shū)，正是將“蜂窩結(jié)構(gòu)” 的這一部分證明，轉(zhuǎn)化為中學(xué)生能夠解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并給出了多樣的解決方法。

2 從特殊到一般

如何證明在給定正六棱柱的條件下，3 個(gè)鈍角為109°28'，銳角為70°32' 的全等菱形相拼接是最省材料的結(jié)構(gòu)？一般人拿到這個(gè)問(wèn)題，可能會(huì)無(wú)從入手：世界上的立體圖形太多了，挨個(gè)去進(jìn)行驗(yàn)證顯然是不現(xiàn)實(shí)的。在《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》 中，華羅庚用到的是從特殊到一般的方法。通俗來(lái)說(shuō)，就是往原有的證明上加更多的限制，使問(wèn)題口徑更小，證明也更容易，再?gòu)奶厥獾慕Y(jié)論一步步推廣到更普遍的結(jié)論。

在原本的“蜂窩猜想” 中，只設(shè)定蜂窩的柱身必須為正六棱柱結(jié)構(gòu)。在最開(kāi)始的證明中，華羅庚將條件限定在柱身為正六棱柱，且由3 個(gè)菱形拼成，證明在這樣的條件下，最小表面積應(yīng)滿足菱形鈍角為109°28'，銳角為70°32'。在這樣嚴(yán)苛的條件下，通過(guò)蜂窩的對(duì)稱性，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)很純粹的最小值問(wèn)題，如，求的最小值。在《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》 中，華羅庚與南京師范學(xué)院附中的師生一起，提供了7種不通過(guò)微積分，單純用中學(xué)知識(shí)解決的方法。7 種方法均有效證明，在鈍角為109°28'，銳角為70°32' 的條件下，3 個(gè)菱形圍成的表面積最小，最節(jié)省用材。

蜂窩里端結(jié)構(gòu)除去3 個(gè)菱形相拼接，另外一個(gè)醒目特征就是錐形。于是，在《談?wù)勁c蜂房架構(gòu)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》 中，下一步證明自然從3個(gè)菱形的形狀過(guò)渡到錐形形狀，為什么是尖頂六棱柱而不是屋脊六棱柱？蜂窩結(jié)構(gòu)里端，除了想象成3 個(gè)菱形相拼接，也可以想象成將一個(gè)正六棱柱的底面切3 刀。而其他的尖頂六棱柱和屋脊六棱柱結(jié)構(gòu)也可以想象成對(duì)正六棱柱底面進(jìn)行切割而形成的，由此可以很自然地衍生出2 種切法：切角和切邊。在《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》 的第七節(jié)切方中，華羅庚以四方柱出發(fā)，將尖頂四方柱與屋脊四方柱進(jìn)行比較和擴(kuò)展，肯定了蜂窩結(jié)構(gòu)的尖頂六棱柱結(jié)構(gòu)相較于屋脊六棱柱是更省表面積的做法。

3 數(shù)學(xué)問(wèn)題與生物問(wèn)題相統(tǒng)一

顯而易見(jiàn)的，“蜂窩猜想” 并不是一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，單純將它理解為在容積相同的情況下，建筑用材面積最小的結(jié)構(gòu)有些將問(wèn)題大而化之。蜂窩結(jié)構(gòu)的最終目的，是容納更多的蜜蜂，而不是容納更多的空氣（僅僅考慮容積）。

在《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》 的后續(xù)闡述中，華羅庚也將蜜蜂的體態(tài)納入考慮范圍之內(nèi)。具體而言，是將蜜蜂的身材和腰圍納入考慮范圍，再來(lái)考察尖頂六棱柱相較于尖頂四方柱與屋脊四方柱的用料[5]。這是一個(gè)很有趣的過(guò)程，在《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》 一書(shū)中，先是將“蜂窩猜想” 轉(zhuǎn)化為一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，得出結(jié)論后再將生物學(xué)納入考量范疇，最后實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題與生物問(wèn)題的相統(tǒng)一。