房春梅

(集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000)

非線性微分方程在非線性科學(xué)中的作用越來越明顯,特別是解析解的構(gòu)造.目前,在幾代專家的不斷努力下,發(fā)展了大量構(gòu)造微分方程解析解的有效方法[1-5].Nakamura利用黎曼 theta函數(shù)的擬周期性和Hirota直接法提出了一種求非線性微分方程擬周期波解的簡單方法[6].范恩貴和田守富等人將此方法進行改進并求得了很多微分方程的周期波解[7-10].此外,近期人們得到了(3+1)維爆破孤子方程[11]、Boussinesq方程[12]、耦合雙線性方程[13]、Toda-型方程[14]等的N周期波解.

(2+1)維Sawada-Kotera方程(SK)方程[15]為如下所示:

它是著名的劉維爾場論的守恒流方程,廣泛應(yīng)用于亞臨界弦,二維量子引力規(guī)范場論,共形場論和非線性科學(xué)等物理分支.對于SK方程,文獻[16]利用τ函數(shù)獲得了貝克隆變換和Lax對,其行波解[17]、呼吸波解[18]、lump解和共振條狀孤子解[19]、Painleve性質(zhì)[20]、新的雙線性貝克隆變換[21]、多孤子解[22]、初邊值問題與darboux-levi型變換[23]以及一些其它孤波解被成功地獲得[24-27].但其黎曼theta函數(shù)周期波解還沒有得到.該文構(gòu)造了SK方程的雙線性表示,孤子解和黎曼theta函數(shù)周期波解,并給出了周期波解和孤子解之間的關(guān)系.

1 (2+1)維SK方程的雙線性形式和孤子解

這一節(jié),構(gòu)造了SK方程的雙線性形式和孤子解,下面簡要介紹如何利用Bell多項式得到方程(1)的雙線性表示式.為了找到式(1)的雙線性表示式,引入以下變換:

u=c(t)qxx,

(2)

其中c(t)是一個待定函數(shù).將變換式(2)代入式(1),得到：

對式(3)關(guān)于x積分一次變成：

5c(t)2q2xq4x-5c(t)2q2xqx,y+5c(t)q2y-δ=0,

(4)

其中δ是一個積分常數(shù).假設(shè)c(t)=1則方程(4)變?yōu)?/p>

利用P-多項式,等式(5)可以表示為

E(q)=Px,t(q)-P6x(q)+5P2y(q)-5P3x,y(q)-δ=0.

(6)

根據(jù)貝爾多項式的相關(guān)性質(zhì),并進行如下變換：

q=2(lnf)?u=c(t)q2x=2(lnf)xx.

(7)

可得到SK方程的雙線性表示式為如下所示：

接下來,將利用SK方程(1)的雙線性表示式構(gòu)造它的N階孤子解.在式(8)中令δ=0,并假設(shè)f可以按參數(shù)ε展開成級數(shù)為

根據(jù)Hirota直接法,結(jié)合雙線性表示式(8)和式(9),通過計算很容易得到式(1)式的N階孤子解為

其中：

當(dāng)N=1時,得到SK方程的一階孤子解為

u=2[ln(1+eη)]xx.

(12)

其中:

η=px+qy+ωt+η(0),ω=p5+5p2q-5q2p-1.

當(dāng)N=2時,二階孤子解為

u=2[ln(1+eη1+eη2+eη1+η2+A12)]xx.

(13)

其中:

(2+1)維SK方程的一階和二階孤立波解的空間傳播圖如圖1和圖2所示.

2 (2+1)-維 SK方程的周期波解

在文獻[8]的基礎(chǔ)上,獲得SK方程的黎曼theta函數(shù)周期波解.黎曼theta函數(shù)定義為

其中n=(n1,n2,…,nN)T∈ZN是N階整數(shù)值向量，ξ=(ξ1,ξ2,…,ξN)T∈CN是N階復(fù)相位變量.特別地,令N=1時,黎曼theta函數(shù)為

其中相位變量ξ=kx1+lx2+…+ρxN+ωt+ε,且Im(τ)>0.

當(dāng)N=2時,黎曼theta函數(shù)表示為

其中變量ξi=kix1+lix2+…+ρixN+ωit+εi,i=1,2,n=(n1,n2)T∈Z2,ξ=(ξ1,ξ2)∈C2,且-iτ是一個實值正定對稱2×2矩陣，表示為

定理1設(shè)?(ξ,τ)是N=1,ξ=kx+ly+ωt+ε時的黎曼theta函數(shù),則SK方程的一階周期波解為

(18)

其中:

且

其中k,ε,τ為自由參數(shù).

結(jié)合式(21)和式(8),可以得到以下結(jié)果:

20(2n-1)2π2l2,+δ)eπi(2n2-2n+1)τ=0.

(22)

根據(jù)表達式(20)、等式(22)可以重寫為如下形式:

解上述方程組,可得到方程(1)的周期波解為

(24)

其中?(ξ,τ)由式(15)給出，k,ε,τ是自由參數(shù).

類似于上述求一階周期波解的過程,可以得到關(guān)于二階周期波解的如下定理.

在原有通信實訓(xùn)室基礎(chǔ)之上，新建移動無線網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中心。以移動無線網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化為主要建設(shè)內(nèi)容。學(xué)員可通過各種網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化工具進行系統(tǒng)采集移動無線網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)、定點路測數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)分析及優(yōu)化等實訓(xùn)，實訓(xùn)場地及設(shè)備按照企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營要求設(shè)置，形成真實的職業(yè)環(huán)境。

定理2設(shè)?(ξ,τ)是N=2,ξi=kix+liy+ωit+εi,i=1,2,時的黎曼theta函數(shù),則SK方程的二階周期波解為

(25)

其中參數(shù)ω1,ω2,u0,δ滿足下面關(guān)系式：

H(ω1,ω2,u0,δ)T=b,

(26)

而且

H=(hij)4×4,b=(b1,b2,b3,b4)T,

(27)

證明根據(jù)文獻[8]中的定理2,參數(shù)ki,li,ωi和εi滿足下面的方程組:

下面引入以下變換來構(gòu)造SK方程的更一般的雙線性形式,設(shè):

將上式代入式(1)中并關(guān)于x積分一次,可以很容易地得到SK方程更廣義的雙線性表示式為

此外,根據(jù)式(28)以及廣義雙線性形式,可以得到下面的4個等式:

80π4〈2n-θi,k〉3〈2n-θi,l〉-20π2〈2n-θi,l〉2+δ)×eπi[〈τ(n-θi),(n-θi)+(τn,n)〉]=0,

(30)

根據(jù)表達式(27),上面的方程組可以改寫為

解式(31),可以得到方程(1)的以下二階周期波解:

(32)

其中?(ξ1,ξ2)由式(16)給出,ki,li,εi和τij是任意參數(shù).

(2+1)維SK方程的一階周期波解在參數(shù)k=0.2,l=0.3,τ=2i,ε=0以及二階周期波解在參數(shù)k1=0.01,k2=0.3,l1=0.1,l2=-2,τ11=i,τ22=2i,ε1=ε2=0下的空間傳播圖如圖3和圖4所示.

3 漸近分析

下面將給出關(guān)于一階周期波解漸近性質(zhì)的定理及其詳細證明.

定理3假設(shè)(ω,δ)是方程組(23)的解,在一階周期波解式(18)中令

(34)

(35)

再利用文獻[8]中的公式(4.10)和(4.12),可以得到:

由文獻[8]中的命題3,進一步可以得到:

再根據(jù)文獻[8]中的(4.11)式,能得出:

(38)

δ→0,2πiω→p5+5p2q-5q2p-1.

(39)

為給出漸近關(guān)系,將周期函數(shù)?(ξ)展開成如下形式:

(40)

(41)

?(ξ,τ)→1+eη.

(43)

4 結(jié)論

該文得到了SK方程(1)的兩類解,即N階孤子解(10)和黎曼theta函數(shù)解(18)、(25).從文中可以看出,非線性微分方程一旦寫成雙線性形式,就可以分別用Hirota直接法和Hirota-黎曼theta函數(shù)相結(jié)合得到其孤子解和黎曼theta函數(shù)周期波解.孤子解和黎曼theta函數(shù)解之間似乎沒有什么聯(lián)系,但是從定理3可以看出,黎曼theta函數(shù)周期波解在某些極限條件下趨向于對應(yīng)的孤子解.