梁 鍇 曹丹平 孫上饒 印興耀

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島 266580)

0 引言

彈性波波動(dòng)方程解耦在彈性波傳播理論和實(shí)際應(yīng)用中具有非常重要的意義。在均勻彈性各向同性介質(zhì)中，對(duì)矢量彈性波動(dòng)方程分別通過求散度和旋度運(yùn)算，使縱波和橫波分離成兩個(gè)獨(dú)立傳播過程，稱為縱波與橫波在矢量場(chǎng)中的解耦現(xiàn)象[1]，即縱波與橫波兩種波動(dòng)獨(dú)立存在，分別滿足各自獨(dú)立傳播的波動(dòng)方程。在大多數(shù)各向異性介質(zhì)中，縱波、橫波是耦合在一起傳播，描述彈性波傳播的方程非常復(fù)雜，通常難以解耦，要采用特殊的方法進(jìn)行處理才能得到各向異性介質(zhì)中獨(dú)立傳播的縱波、橫波波動(dòng)方程。Alkhalifah[2-3]提出了基于聲學(xué)假設(shè)的VTI介質(zhì)和OA介質(zhì)qP波波動(dòng)方程；Grechka等[4]研究了各向異性介質(zhì)中的橫波波動(dòng)方程；Zhou等[5]利用二維TTI介質(zhì)qP波方程進(jìn)行了模擬和偏移；梁鍇等[6]從頻散關(guān)系出發(fā)研究了三維TTI介質(zhì)中波動(dòng)方程的分解；Fowler等[7]對(duì)多個(gè)聲學(xué)假設(shè)的qP波方程進(jìn)行了對(duì)比和分析；Duveneck 等[8]和Zhang等[9]分別提出了TTI介質(zhì)穩(wěn)定的qP波方程；Cheng等[10-11]利用偏振方向投影方法推導(dǎo)了各向異性介質(zhì)純qP波和qSV波方程；郭成鋒等[12]利用改進(jìn)的TTI介質(zhì)純P波方程進(jìn)行了正演模擬和逆時(shí)偏移；慕鑫茹等[13]基于最佳平方逼近方法進(jìn)行了TTI介質(zhì)qP波與qSV波的解耦研究；谷一鵬等[14]利用擴(kuò)展各向異性線性近似研究了VTI介質(zhì)qP波和qSV波解耦的相速度近似表征；孫上饒等[15]基于近似配方法研究了三維TTI介質(zhì)qP波和qSV波解耦的相速度和群速度近似表征。

橫向各向同性(TI)介質(zhì)是常見的各向異性介質(zhì)，是薄互層儲(chǔ)層或裂縫儲(chǔ)層地震資料處理和解釋中常用的模型[16-19]。當(dāng)TI介質(zhì)的Thomsen參數(shù)滿足ε=δ時(shí)，被稱為橢球各向異性(EA)介質(zhì)。EA介質(zhì)的獨(dú)立彈性常數(shù)只有4個(gè)。Bakulin等[20]研究表明含氣裂縫介質(zhì)可以等效為橢球各向異性介質(zhì)，因此開展橢球各向異性介質(zhì)的研究具有重要的應(yīng)用價(jià)值。Byun[21]研究了基于射線理論的橢球各向異性介質(zhì)的地震參數(shù)；Helbig[22]總結(jié)了橢球各向異性介質(zhì)彈性波波前傳播特征和SH波反射透射特征；Thomsen[23]給出了橢球各向異性介質(zhì)的Thomsen參數(shù)表征；李磊等[24]討論了橢球各向異性介質(zhì)的約束條件；梁鍇等[25]分析了傾斜橢球各向異性介質(zhì)(TEA)彈性波傳播特征，發(fā)現(xiàn)在TEA介質(zhì)中qP波和qSV波的相速度是精確解耦的。

本文在梁鍇等[25]的研究基礎(chǔ)上，分析了EA介質(zhì)彈性波的頻散關(guān)系和波動(dòng)方程解耦。從EA介質(zhì)彈性波波動(dòng)方程出發(fā)，將彈性波頻散關(guān)系進(jìn)行因式分解，推導(dǎo)了EA介質(zhì)完全精確解耦的qP波、qSV波和SH波波動(dòng)方程，分別描述三種波的獨(dú)立傳播，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了正演模擬并給出了數(shù)值示例。

1 EA介質(zhì)剛度矩陣

各向異性介質(zhì)中，應(yīng)力與應(yīng)變之間線性關(guān)系的比例系數(shù)由剛度矩陣C確定，而由C表征的彈性波動(dòng)方程系數(shù)的物理意義很不直觀。為方便理論研究和實(shí)際應(yīng)用，Thomsen[23]提出了一套表征TI介質(zhì)彈性性質(zhì)的參數(shù)，與C的關(guān)系可表示為

(1)

式中：VP0、VS0分別為qP波和qS波沿對(duì)稱軸方向的相速度；ρ為密度；ε是度量qP波各向異性強(qiáng)度的參數(shù)；δ近似表征TI介質(zhì)對(duì)稱軸方向qP波相速度對(duì)傳播角度的二階導(dǎo)數(shù)；γ是度量SH波各向異性強(qiáng)度或橫波分裂強(qiáng)度的參數(shù)。

當(dāng)ε=δ或(C13+C44)2=(C11-C44)(C33-C44)時(shí)，TI介質(zhì)退化為EA介質(zhì)，其Thomsen參數(shù)與C的關(guān)系為

在本構(gòu)坐標(biāo)系下，EA介質(zhì)的剛度矩陣為

(3)

2 EA介質(zhì)解耦波動(dòng)方程

波動(dòng)方程的頻散關(guān)系在波動(dòng)方程解耦、單程波方程推導(dǎo)等方面起著非常重要的作用。在各向異性介質(zhì)中，通過求解Christoffel方程不僅可得到彈性波傳播的相速度與群速度，還可求解出EA介質(zhì)彈性波的精確頻散關(guān)系方程。

利用EA介質(zhì)剛度矩陣C，結(jié)合彈性動(dòng)力學(xué)的本構(gòu)方程、運(yùn)動(dòng)平衡微分方程和幾何方程，可得EA介質(zhì)彈性波波動(dòng)方程

(4)

式中：u=(ux，uy，uz)T，為位移矢量；F=(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z)T，為體力項(xiàng)。設(shè)彈性波方程(式(4))的平面波解為

u=pexp[i(kxx+kyy+kzz-ωt)]

(5)

式中：kx、ky、kz分別為x、y、z方向的波數(shù)；p=(px，py，pz)T，為平面波的偏振向量；ω為圓頻率。

將平面波解代入EA介質(zhì)波動(dòng)方程(式(4))，并忽略體力項(xiàng)的影響，可得EA介質(zhì)Kelvin-Christoffel方程

(6)

式中

(7)

要使式(6)有非零解，必須使其行列式為零，即

(8)

整理式(8)，可得EA介質(zhì)彈性波精確頻散關(guān)系

(9)

式(9)可因式分解為三個(gè)獨(dú)立的頻散方程，分別是EA介質(zhì)qP波、qSV波和SH波的解耦頻散方程

(10)

EA介質(zhì)解耦的波動(dòng)方程可由EA介質(zhì)頻散關(guān)系方程通過Fourier反變換得到，即

(11)

(12)

(13)

式(11)～式(13)由EA介質(zhì)精確的頻散關(guān)系解耦導(dǎo)出，沒有利用弱各向異性近似或聲學(xué)假設(shè)近似，因此解耦的方程既適合弱各向異性EA介質(zhì)，也適合強(qiáng)各向異性EA介質(zhì)。解耦的qP波方程(式(11))只與VP0、ε有關(guān)，與VS0、γ無(wú)關(guān)；解耦的qSV波方程(式(12))與各向同性介質(zhì)的橫波方程相同，只與VS0有關(guān)，與VP0、ε、γ無(wú)關(guān)，說(shuō)明在EA介質(zhì)中qSV波的速度或波前面是各向同性的。解耦的SH波方程(式(13))只與VS0、γ有關(guān)，與VP0、ε無(wú)關(guān)。

當(dāng)EA介質(zhì)退化為各向同性介質(zhì)(ε=γ=0)時(shí)，式(11)～式(13)也退化為各向同性介質(zhì)P波和S波的波動(dòng)方程。

3 數(shù)值示例

為了驗(yàn)證EA介質(zhì)彈性波完全解耦波動(dòng)方程的正確性和有效性，設(shè)計(jì)了兩個(gè)均勻EA介質(zhì)模型。兩個(gè)模型的VP0、VS0、ρ相同，分別為3000m/s、1732m/s、2000kg/m3；第一個(gè)模型ε=γ=0.2，為弱各向異性介質(zhì)；第二個(gè)模型ε=γ=1.0，為強(qiáng)各向異性介質(zhì)。采用高階有限差分算法進(jìn)行正演模擬。

圖1為根據(jù)EA介質(zhì)彈性波群速度公式[25]計(jì)算的250ms時(shí)刻理論波前面，可見，在xOz面和yOz面內(nèi)，qP波和SH波波前為橢圓狀，而qSV波為圓形，而在xOy面三種波的波前均為圓形。圖2為弱各向異性EA介質(zhì)彈性波波動(dòng)方程的模擬結(jié)果，可見，在集中力源激發(fā)的彈性波場(chǎng)中包含qP波、qSV波和SH波，qP波和SH波的波前面為橢球狀，qSV波波前面為球狀，即EA介質(zhì)中qSV波的速度是各向同性的。圖3為EA介質(zhì)完全解耦波動(dòng)方程的模擬結(jié)果，由圖可見，解耦的qP波場(chǎng)不含有qSV或SH成分，qSV波場(chǎng)不含有qP或SH波成分，SH波波場(chǎng)不含有qP或qSV成分。對(duì)于EA介質(zhì)解耦方程的波場(chǎng)，qP波和SH波的波前面為橢球狀，qSV波波前面為球狀，說(shuō)明解耦方程的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征與彈性波方程保持一致，數(shù)值模擬結(jié)果與理論曲線完全吻合。

圖1 弱各向異性EA模型彈性波250ms時(shí)刻理論波前面(a)xOz面；(b)yOz面；(c)xOy面。藍(lán)線表示qP波；黑線表示SH波；紅線表示qSV波

圖2 弱各向異性EA模型彈性波方程模擬的250ms時(shí)刻波場(chǎng)快照(a)ux；(b)uy；(c)uz。左為xOz面；中為yOz面；右為xOy面

圖3 弱各向異性EA模型完全解耦方程模擬的250ms時(shí)刻波場(chǎng)快照(a)uP；(b)uSV；(c)uSH。左為xOz面；中為yOz面；右為xOy面

圖4為強(qiáng)各向異性EA模型彈性波250ms時(shí)刻理論波前面，圖5為強(qiáng)各向異性EA介質(zhì)彈性波波動(dòng)方程的模擬結(jié)果，圖6為強(qiáng)各向異性EA介質(zhì)完全解耦波動(dòng)方程的模擬結(jié)果，數(shù)值模擬結(jié)果與理論曲線完全吻合。圖1～圖6說(shuō)明這三個(gè)完全解耦的波動(dòng)方程不僅適用于弱各向異性EA介質(zhì)，也同樣適合強(qiáng)各向異性EA介質(zhì)。同時(shí)，EA介質(zhì)的各向異性越強(qiáng)，qP波和SH波波前面的橢球扁率就越大。

圖4 強(qiáng)各向異性EA模型彈性波250ms時(shí)刻理論波前面(a)xOz面；(b)yOz面；(c)xOy面。藍(lán)線為qP波；黑線為SH波；紅線為qSV波

圖5 強(qiáng)各向異性EA模型彈性波方程模擬的250ms時(shí)刻波場(chǎng)快照(a)ux；(b)uy；(c)uz。左為xOz面；中為yOz面；右為xOy面

圖6 強(qiáng)各向異性EA模型完全解耦方程模擬的250ms時(shí)刻波場(chǎng)快照(a)uP；(b)uSV；(c)uSH。左為xOz面；中為yOz面；右為xOy面

4 結(jié)論與認(rèn)識(shí)

一般來(lái)說(shuō)各向異性介質(zhì)中縱波和橫波是耦合傳播的，但EA各向異性介質(zhì)卻是一個(gè)例外。本文從EA介質(zhì)精確頻散關(guān)系方程出發(fā)，利用因式分解方法將其分解為三個(gè)解耦的頻散方程，然后利用傅里葉反變換得到了EA介質(zhì)完全精確解耦的qP波、qSV波和SH波的波動(dòng)方程。解耦方程表明，在均勻EA介質(zhì)中，qP波、qSV波和SH波可以完全解耦，三種波可以獨(dú)立傳播。理論公式和數(shù)值模擬均表明，這三個(gè)完全解耦方程不僅適用于弱各向異性EA介質(zhì)，也同樣適合強(qiáng)各向異性EA介質(zhì)。另外，均勻EA介質(zhì)中qP波和SH波的波前面為橢球狀，qSV波的波前面為球狀，且qSV波的波前面與各向異性參數(shù)無(wú)關(guān)。

因?yàn)閮A斜含氣裂縫地層可以等效為傾斜橢球各向異性(TEA)介質(zhì)，本文研究的EA介質(zhì)是TEA介質(zhì)對(duì)稱軸垂直時(shí)的特例，因此關(guān)于TEA介質(zhì)彈性波頻散關(guān)系和解耦波動(dòng)方程、地震波在傾斜含氣裂縫地層中的傳播規(guī)律，是今后的研究方向。