馬云鵬

如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)研究領(lǐng)域普遍關(guān)注的問題，但高階思維的培養(yǎng)似乎是一個(gè)涉及不多也不太容易說清楚的問題。這是一個(gè)既熟悉又陌生的話題，一個(gè)非常重要又容易被忽視的話題，一個(gè)大家都在做又總覺得沒有做好的話題，一個(gè)有許多理論支撐和研究成果又很難給出明確答案的話題。下文，筆者嘗試對這個(gè)話題提出幾點(diǎn)想法。

一、怎樣理解高階思維

思維能力是人類由原始人進(jìn)化成智人的最重要的標(biāo)志。思維是“人腦對客觀事物的本質(zhì)和事物內(nèi)在的規(guī)律性關(guān)系的概括與間接的反映”。思維不是對現(xiàn)象的直接反映，思維過程具有概括性和間接性。人類借助思維更深刻地認(rèn)識(shí)自然，認(rèn)識(shí)社會(huì)，認(rèn)識(shí)自我。

1.認(rèn)知心理學(xué)視角下的高階思維。

20世紀(jì)以來，心理學(xué)領(lǐng)域有影響的理論出自桑代克、斯金納、加涅、皮亞杰、布魯納、維果斯基等的研究。進(jìn)入21世紀(jì)，隨著腦科學(xué)和人工智能的發(fā)展，思維研究不斷有新的發(fā)現(xiàn)和進(jìn)展。這些研究幫助我們理解思維的本質(zhì)，特別是思維的層次和水平。

桑代克的“刺激反應(yīng)”和斯金納的“嘗試錯(cuò)誤”，更多是對現(xiàn)象的直接反映，重點(diǎn)是對知識(shí)的記憶和理解。加涅把人的學(xué)習(xí)分成不同層次的八類：信號學(xué)習(xí)、刺激-反應(yīng)學(xué)習(xí)、連鎖學(xué)習(xí)、言語聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)、辨別學(xué)習(xí)、概念學(xué)習(xí)、規(guī)則或原理學(xué)習(xí)、解決問題學(xué)習(xí)。前三類是人類和動(dòng)物共有的，后五類是人所特有的，在后五類學(xué)習(xí)中包含人類特有的思維。這五類學(xué)習(xí)從言語開始到概念的建立、規(guī)則的理解和問題的解決，可以看作是包括了不同層次的思維。如果再細(xì)分的話，語言表達(dá)和對現(xiàn)象的辨別學(xué)習(xí)屬于較低層次的思維，后三者與概念、原理和問題解決相關(guān)的屬于高層次的思維。

皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識(shí)論將兒童心理發(fā)展分為感知?jiǎng)幼麟A段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段、形式運(yùn)算階段。每一個(gè)階段都體現(xiàn)出主要的心理活動(dòng)特征，感知運(yùn)動(dòng)階段是在語言發(fā)展以前，主要通過感覺動(dòng)作實(shí)現(xiàn)的；前運(yùn)算階段有了語言的參與；具體運(yùn)算階段出現(xiàn)守恒和可逆，體現(xiàn)事物的聯(lián)系性和概括性，但仍然離不開具體事物的支持；形式運(yùn)算階段是命題運(yùn)算思維，可以進(jìn)行邏輯推演。這種由低到高的思維發(fā)展的水平，以兒童語言的參與和抽象的命題推演為標(biāo)志。

維果斯基提出的“最近發(fā)展區(qū)”的概念，與兒童思維發(fā)展的不同水平有密切關(guān)系。維果斯基區(qū)分出低級心理機(jī)能和高級心理機(jī)能。低級心理機(jī)能包括感覺、知覺、不隨意注意、形象記憶、情緒、沖動(dòng)性意志、直觀的動(dòng)作思維。高級心理機(jī)能是指觀察力、隨意注意、詞的邏輯記憶、抽象思維、高級情感、預(yù)見性意志等。高級心理機(jī)能具有一系列根本不同于低級心理機(jī)能的共同特征，包括主動(dòng)性、概括的抽象的反映水平、以符號或詞為中介等。

從認(rèn)知心理學(xué)有關(guān)思維的層次或水平的研究可以總結(jié)這樣幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：第一，思維是人類所特有，人與其他動(dòng)物共有的一些特征不屬于思維。第二，思維的基本特征是概括性和間接性，概括性主要表現(xiàn)為不是對具體的事物和現(xiàn)象的直接的反映，而是對事物的本質(zhì)的抽象與概括；間接性是通過一定的中介，主要是語言對概括化了的事物建立聯(lián)系，這種聯(lián)系以語言為媒介，以邏輯為依據(jù)，就是對事物建立符合邏輯規(guī)范的聯(lián)系。第三，思維有不同的水平，觀察力、詞的記憶、語言表達(dá)、辯論力等屬于較低層次的；抽象思維、規(guī)則與原理的建立、問題解決等屬于較高層次的。

2.教育學(xué)視角下的高階思維。

從教育學(xué)視角研究學(xué)生的學(xué)習(xí)和思維水平，有影響的是布盧姆的教育目標(biāo)分類理論和比格斯的SOLO模型。布盧姆將學(xué)生的學(xué)習(xí)分為六種水平，即知識(shí)、理解、應(yīng)用、分析、綜合、評價(jià)。一般認(rèn)為前三類屬于低階思維，后三類屬于高階思維。比格斯的SOLO模型也反映了思維的低階與高階。模型中包含前結(jié)構(gòu)、單一結(jié)構(gòu)、多元結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)、拓展抽象五個(gè)水平，描述了學(xué)生對某個(gè)對象理解的層層遞進(jìn)和復(fù)雜化。其中，前結(jié)構(gòu)水平表示學(xué)生完全不理解對象。單一結(jié)構(gòu)表示學(xué)生關(guān)注到了對象的一個(gè)方面，多元結(jié)構(gòu)表示學(xué)生關(guān)注到了對象的多個(gè)方面，但沒有建立起這些方面的聯(lián)系。因此，這三種水平屬于低階思維水平。關(guān)聯(lián)水平表示學(xué)生不僅關(guān)注到了對象的多個(gè)方面，而且建立起了這些方面的聯(lián)系。拓展抽象水平表示學(xué)生對對象的理解達(dá)到了概念化和抽象的水平，因此，這兩種水平屬于高階思維能力。

近年來，一些有關(guān)學(xué)生發(fā)展和教學(xué)改革的研究都與學(xué)生高階思維的培養(yǎng)有關(guān)。主要包括深度學(xué)習(xí)和有關(guān)核心素養(yǎng)的研究。

“深度學(xué)習(xí)”（Deep Learning）最早由瑞典學(xué)者馬頓（Marton）等在20世紀(jì)70年代，從認(rèn)識(shí)心理學(xué)的視角，針對單純的記憶和一般性的接受知識(shí)的淺層學(xué)習(xí)（Surface Learning）提出。從2011年開始，美國研究學(xué)會(huì)（America Institutes for Research，AIR）發(fā)起由19所學(xué)校參加的“深度學(xué)習(xí)”研究項(xiàng)目，將深度學(xué)習(xí)闡釋為重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生核心學(xué)業(yè)內(nèi)容知識(shí)的掌握、批判性思維與問題解決、有效溝通、協(xié)作能力、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)術(shù)心志這六項(xiàng)能力的發(fā)展。從思維的角度理解，深度學(xué)習(xí)更強(qiáng)調(diào)批判性思維與解決問題能力的培養(yǎng)。教育部基礎(chǔ)教育課程教材研究中心主持的“深度學(xué)習(xí)”教學(xué)改進(jìn)項(xiàng)目提出，深度學(xué)習(xí)是“在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識(shí)，理解學(xué)習(xí)的過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、高級的社會(huì)性情感、積極的態(tài)度、正確的價(jià)值觀，成為既有獨(dú)立性、批判性、創(chuàng)造性，又有合作精神、基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)秀學(xué)習(xí)者，成為未來社會(huì)歷史實(shí)踐的主人”。核心的目標(biāo)指向?qū)W生的核心素養(yǎng)發(fā)展。深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維和問題解決能力，都可以理解為高階思維。

核心素養(yǎng)是近年來受到普遍關(guān)注的話題，許多國際組織和國家提出核心素養(yǎng)是面向21世紀(jì)公民應(yīng)當(dāng)具備的綜合能力。如歐盟和OECD等國際組織都有對核心素養(yǎng)的明確表述。這些表述都將創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)素養(yǎng)、批判性思維、解決問題能力、學(xué)習(xí)能力、社會(huì)與公民素養(yǎng)、交流與合作能力（包括跨文化、跨國界交流與合作能力）、自我發(fā)展與自我管理、信息素養(yǎng)等作為重要的要素?！爸挥芯邆淞诉@些核心素養(yǎng)，個(gè)體才能夠具有足夠的靈活性、適應(yīng)性和競爭力，才能夠更好地應(yīng)對21世紀(jì)的挑戰(zhàn)。”2016年9月公布的《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》確定了3個(gè)方面6個(gè)要素18個(gè)基本點(diǎn)的核心素養(yǎng)框架，為核心素養(yǎng)的研究提供了很好的參照。在這些核心素養(yǎng)的論述中，與思維發(fā)展相關(guān)的要素存在許多共同之處，主要包括理性思維、批判性思維、解決問題能力等，這些都與高階思維密切相關(guān)。可見，核心素養(yǎng)的相關(guān)要素與高階思維的一致性很高。

從認(rèn)知心理的基本學(xué)習(xí)原理出發(fā)，結(jié)合教育學(xué)有關(guān)學(xué)生學(xué)習(xí)層次和學(xué)習(xí)水平的觀點(diǎn)，借助核心素養(yǎng)和深度學(xué)習(xí)等有關(guān)學(xué)生思維發(fā)展的框架，可以嘗試對高階思維做這樣的描述：高階思維是以語言為工具，對事物的本質(zhì)進(jìn)行抽象和概括，以及建立合乎邏輯的關(guān)系、規(guī)則和原理的過程。主要包括抽象概括、邏輯推理、批判性思維、創(chuàng)造性思維和問題解決等。

3.數(shù)學(xué)教育視角下的高階思維。

許多有關(guān)高階思維能力培養(yǎng)的研究，都把教育學(xué)和心理學(xué)關(guān)于高階思維的分類用于學(xué)科教學(xué)之中，這固然是一種研究的思路，但對于不同的學(xué)科來說，高階思維的培養(yǎng)可能有其特殊的含義。我們有理由相信，除了適用于一般的教學(xué)應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)的上述諸如批判性思維、創(chuàng)造性思維、邏輯思維、解決問題能力等之外，對于某一個(gè)具體的學(xué)科應(yīng)當(dāng)考慮這個(gè)學(xué)科對學(xué)生發(fā)展的特殊性，包括培養(yǎng)學(xué)生高階思維的特殊意義。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，應(yīng)當(dāng)考慮除了具有普遍意義的諸如問題解決、批判性思維、創(chuàng)造性思維等這些一般意義的高階思維外，對反映數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的高階思維是什么，也應(yīng)當(dāng)給出回答。

高階思維與核心素養(yǎng)的相關(guān)要素具有很強(qiáng)的一致性，不妨從與數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的核心素養(yǎng)的研究入手來分析。在OECD教育2030的學(xué)習(xí)框架中，能力的概念不僅僅意味著獲得知識(shí)和技能，它包括調(diào)動(dòng)知識(shí)、技能、態(tài)度和價(jià)值觀來滿足復(fù)雜的需求。學(xué)生將需要在未知的和不斷變化的環(huán)境中應(yīng)用他們的知識(shí)。為此，他們需要廣泛的技能，包括認(rèn)知和元認(rèn)知技能（如批判性思維、創(chuàng)造性思維、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和自我調(diào)節(jié)），社交和情感技能（如同理心、自我效能感和協(xié)作能力），實(shí)用和物理的技能（如使用新的信息和通信技術(shù)設(shè)備）?；贠ECD教育2030設(shè)計(jì)的PISA2021對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的理解是，“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指個(gè)體在真實(shí)世界的不同情境下進(jìn)行數(shù)學(xué)推理并表達(dá)、應(yīng)用和闡釋數(shù)學(xué)以解決問題的能力。它包括使用數(shù)學(xué)概念、過程、事實(shí)和工具來描述、解釋和預(yù)測現(xiàn)象的能力。它有助于個(gè)體作為一個(gè)關(guān)心社會(huì)、善于思考的21世紀(jì)建設(shè)性公民，了解數(shù)學(xué)在世界中所起的作用以及做出有根據(jù)的數(shù)學(xué)判斷和決定”。在這個(gè)框架中特別提出了“21世紀(jì)技能”，這包括“辯證性思維、創(chuàng)造性、研究與探索、自我引導(dǎo)、發(fā)起與堅(jiān)持、信息使用、系統(tǒng)性思維、交流、反思等技能”。

OECD教育2030和PISA2021中與思維相關(guān)的一般能力包括：批判性思維、創(chuàng)造性思維、系統(tǒng)性思維等；與數(shù)學(xué)學(xué)科直接相關(guān)的包括：數(shù)學(xué)推理、表達(dá)、應(yīng)用和闡釋數(shù)學(xué)以解決問題的能力等。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中提出6大核心素養(yǎng)，史寧中教授認(rèn)為：“最為重要的有三個(gè)，是抽象、推理和模型……這三個(gè)要素是構(gòu)成數(shù)學(xué)三個(gè)基本特征的思維基礎(chǔ)。”所以，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)建?？梢岳斫鉃閿?shù)學(xué)的高階思維?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的10個(gè)核心概念（用關(guān)鍵能力可能更好），與高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)具有一致性。其中數(shù)感、符號意識(shí)和空間觀念與數(shù)學(xué)抽象密切相關(guān)，推理能力主要是邏輯推理，模型思想就是初步的數(shù)學(xué)建模。

綜合認(rèn)知心理學(xué)、教育學(xué)和數(shù)學(xué)教育有關(guān)思維的論述，我們對數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)關(guān)注的高階思維有了一個(gè)基本的認(rèn)識(shí)。可以從兩條線索來梳理，一是與數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的具有共性的高階思維，包括：批判性思維、創(chuàng)造性思維、抽象思維、邏輯思維和問題解決。二是數(shù)學(xué)學(xué)科本身特有的高階思維，包括：抽象思維、邏輯思維和數(shù)學(xué)建模（或問題解決）。顯然，兩者之間有一定的交叉，一方面說明數(shù)學(xué)學(xué)科對于學(xué)生核心素養(yǎng)和高階思維的培養(yǎng)有重要的作用，另一方面也表明數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)或高階思維對共同的核心素養(yǎng)和高階思維的貢獻(xiàn)度很大。

取上述二者的并集，數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)應(yīng)關(guān)注的高階思維包括：批判性思維、創(chuàng)造性思維、抽象思維、邏輯思維、數(shù)學(xué)建模和問題解決。其中，批判性思維和創(chuàng)造性思維是共同的，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)特有，而抽象思維、邏輯思維和問題解決是二者共有，但在數(shù)學(xué)學(xué)科中有特殊的意義和價(jià)值。小學(xué)階段的高階思維是這些思維能力的初步形成，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)觀照兩條線索，結(jié)合具體內(nèi)容的特征設(shè)計(jì)和組織指向?qū)W生高階思維發(fā)展的教學(xué)活動(dòng)。

二、怎樣在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的高階思維

在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的高階思維需要處理好以下四個(gè)方面的問題。下面以“11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“平行四邊形的面積”為例，具體闡述這四個(gè)方面的問題。

1.確定學(xué)習(xí)內(nèi)容蘊(yùn)含的高階思維。

課堂教學(xué)總是以某一個(gè)具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容為載體，這些內(nèi)容大多是以數(shù)學(xué)的知識(shí)技能的形式出現(xiàn)，其中所涉及的思維方法，特別是高階思維一般是隱含的，需要通過分析具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)來挖掘特定內(nèi)容蘊(yùn)含的高階思維。“11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”是學(xué)生最早接觸數(shù)的進(jìn)位制，是學(xué)生理解數(shù)的符號表達(dá)體系的開始。學(xué)生在知道從1到9這九個(gè)符號所表達(dá)的數(shù)量后，還要知道同樣的1、2放在不同的位置上所表達(dá)數(shù)量是不同的。這個(gè)過程需要學(xué)生抽象思維的參與，通過這個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生抽象思維的發(fā)展?！捌叫兴倪呅蔚拿娣e”要解決的問題是確定一種圖形的大小。確定一個(gè)圖形的面積是多少，有效的思路就是說明這個(gè)圖形包含多少個(gè)面積單位，可以用數(shù)面積單位的方法，也可以用平行四邊形和長方形之間的關(guān)系來說明。這里用“說明”而不是證明，是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的特點(diǎn)所限。證明是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，這里的“說明”會(huì)用到歸納的方法，也是一種推理的過程。因此，求平行四邊形面積的過程體現(xiàn)的高階思維主要是推理，或者具體地說是歸納推理。當(dāng)然這兩個(gè)內(nèi)容所蘊(yùn)含的高階思維可能不只是抽象和推理，在具體的教學(xué)過程中還會(huì)有其他的諸如批判性思維、創(chuàng)造性思維、問題解決等的參與，這里僅是從特定內(nèi)容的分析中尋找與其直接相關(guān)的高階思維。

2.尋找高階思維與學(xué)生先在經(jīng)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)。

無論是學(xué)習(xí)心理學(xué)理論還是課堂教學(xué)改革模式，一個(gè)共同的要點(diǎn)就是使教學(xué)適合學(xué)生的發(fā)展。皮亞杰提出的同化與順應(yīng)，維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”，教學(xué)過程中“腳手架”等都是主張把學(xué)習(xí)的目標(biāo)與學(xué)生的現(xiàn)有水平建立起聯(lián)系。學(xué)生現(xiàn)有水平的確定叫作學(xué)情分析。為實(shí)現(xiàn)高階思維培養(yǎng)，學(xué)情分析的重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生現(xiàn)有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，特別是與特定的高階思維相關(guān)的思維水平的狀況。由此確定學(xué)生學(xué)習(xí)新內(nèi)容的“前概念”，找到學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。這不僅需要分析學(xué)生的知識(shí)技能的準(zhǔn)備，更要分析學(xué)生的思維與方法的準(zhǔn)備，這樣才有可能在教學(xué)中進(jìn)行有針對性的引導(dǎo)和探索?！?1～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)，學(xué)生在此之前認(rèn)識(shí)了1～9，用這9個(gè)數(shù)字分別表示1～9個(gè)物體的個(gè)數(shù)（數(shù)量）。學(xué)生初步感受數(shù)是數(shù)量的抽象，但只是用一個(gè)數(shù)字代表一個(gè)數(shù)量，是單一的對應(yīng)關(guān)系。而對于11～20，同樣一個(gè)數(shù)字，在不同的位置上代表不同的數(shù)量，這種抽象的數(shù)的表示發(fā)生的變化，這對于學(xué)生來說是更高一點(diǎn)的抽象。所以，在學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容時(shí)的“前概念”就是“1”表示1個(gè)物體的個(gè)數(shù)，“2”表示2個(gè)物體的個(gè)數(shù)……這對于學(xué)習(xí)新內(nèi)容是有幫助的，同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生一定的障礙。學(xué)生要進(jìn)一步理解“1”不僅可以表示1個(gè)物體的個(gè)數(shù)，還可以用來代表10個(gè)物體的個(gè)數(shù)，把1放在不同的位置上，代表的數(shù)量會(huì)不同。這對于學(xué)生來說，思維方式要有一個(gè)提高才可以。對于“平行四邊形面積”，重點(diǎn)是解決“這個(gè)圖形包含多少個(gè)面積單位”或“這個(gè)圖形的面積與已知的長方形的面積有什么關(guān)系”。前一個(gè)是最基本的，是從平面圖形面積這個(gè)初始的概念出發(fā)說明面積。后一個(gè)是間接的，是用已知圖形的面積推導(dǎo)新的圖形面積。每一種方法都需要學(xué)生用到“先在經(jīng)驗(yàn)”，即圖形的面積、面積單位及長方形面積公式。

3.設(shè)計(jì)組織發(fā)展高階思維的路徑與方法。

有效的設(shè)計(jì)和組織旨在培養(yǎng)高階思維的課堂教學(xué)，基本的思路是基于特定內(nèi)容所蘊(yùn)含的高階思維，利用學(xué)生相關(guān)的先在經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)有針對性的策略與方法。常用的教學(xué)策略包括問題情境的設(shè)計(jì)、關(guān)鍵問題的提出、圍繞具體內(nèi)容展開的指向高階思維的探究活動(dòng)以及課堂的充分參與交流和評價(jià)等。重要的是把問題情境中各種不同的觀點(diǎn)展示出來，學(xué)生在討論甚至是爭論這些觀點(diǎn)的過程中理解概念和方法，相關(guān)的高階思維也獲得發(fā)展。以下就“11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“平行四邊形的面積”兩個(gè)主題的教學(xué)，借鑒相關(guān)的經(jīng)典案例闡述教學(xué)中核心的策略與方法。

在北京倪芳老師“11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，有幾個(gè)核心環(huán)節(jié)對我們有啟發(fā)，特別是“辨11”的環(huán)節(jié)。教師向?qū)W生展示古人記錄物體數(shù)量的方法，請學(xué)生用自己的方法很快地表示12根小棒。學(xué)生在理解可以用一捆小棒表示10，用一根小棒表示1的基礎(chǔ)上，引出“辨11”的環(huán)節(jié)。就是讓學(xué)生思考“能不能用同樣的兩個(gè)珠子表示11”時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)的兩種觀點(diǎn)：一種認(rèn)為不能，因?yàn)橐粯拥膬蓚€(gè)珠子要么表示2，要么表示20，不能表示11；另一種認(rèn)為能，可以用一個(gè)表示1，另一個(gè)表示10。兩種觀點(diǎn)爭持不下。最后說能的一方說：“可以在一個(gè)珠子上寫上十位，另一個(gè)珠子上寫個(gè)位，就可以了?！边@個(gè)過程持續(xù)了6分多鐘，顯然在該過程中，無論是參與辯論的學(xué)生，還是聽他們辯論的學(xué)生都會(huì)對數(shù)的抽象表達(dá)，特別是十進(jìn)位的“數(shù)位”和“位值”這兩個(gè)抽象的概念有了新的理解。這個(gè)環(huán)節(jié)直接指向該內(nèi)容所蘊(yùn)含的抽象這一高階思維，學(xué)生的思維水平得到提升。

在上海潘小明老師的“平行四邊形的面積”教學(xué)案例中，老師出示了一個(gè)平行四邊形，直接提問：“知道這個(gè)平行四邊形的面積是多少嗎？”學(xué)生量出這個(gè)平行四邊形相鄰兩個(gè)邊的長度是5厘米和7厘米，很快出現(xiàn)了兩種不同的答案：35平方厘米和28平方厘米。顯然其中只有一個(gè)是正確的。第一種答案是參照長方形面積是“長×寬”這個(gè)“先在經(jīng)驗(yàn)”，后一個(gè)又是用什么方法呢？接下來的過程就是驗(yàn)證或者說明哪一個(gè)答案是正確的。具體的方法會(huì)有把平行四邊形壓扁，說明用長方形面積的計(jì)算方法（鄰邊相乘）是不對的。驗(yàn)證第二種答案的正確性可以通過操作、割補(bǔ)等方法實(shí)現(xiàn)。所用的方法和過程都需要推理，學(xué)生在這個(gè)過程中發(fā)展了這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)蘊(yùn)含的“推理能力”這一高階思維。

4.及時(shí)反思教學(xué)過程與結(jié)果。

一節(jié)課或一個(gè)單元的教學(xué)不是教學(xué)的終結(jié)，是教學(xué)的階段性的完成。及時(shí)反思和回顧是必須的。教師經(jīng)常提出這樣的問題：“我們的任務(wù)完成了嗎？”“還有什么新的問題嗎？”“對于今天學(xué)的內(nèi)容還有什么思考嗎？”這一方面促使學(xué)生回顧與反思學(xué)習(xí)的歷程，更重要的是監(jiān)控和調(diào)試學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，這是元認(rèn)知的過程，也是發(fā)展學(xué)生批判性思維的需要。提出需要反思的問題，既是針對一節(jié)課或一個(gè)單元涉及的與學(xué)科本質(zhì)有關(guān)的高階思維，也是發(fā)展學(xué)生諸如批判性思維等共同性的高階思維的需要。

我們弄清什么是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的高階思維，怎樣的教學(xué)才有助于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，就會(huì)在數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐中不斷探索和發(fā)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生高階思維的路徑，以及從典型的案例中提煉和尋找有效的方法。