丁司懿，鄭小虎

東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620

現(xiàn)代航空發(fā)動機(jī)的工作轉(zhuǎn)速極高，中國自主研制的大型客機(jī)發(fā)動機(jī)驗證機(jī)(CJ-1000AX)首臺整機(jī)核心機(jī)轉(zhuǎn)速最高達(dá)到6 600 r/min，國外成熟的民用渦扇發(fā)動機(jī)的工作轉(zhuǎn)速一般在10 000 r/min以上，某些小型發(fā)動機(jī)則具有高達(dá)40 000～50 000 r/min的轉(zhuǎn)速。轉(zhuǎn)子及連接件在這樣的高速運(yùn)轉(zhuǎn)下，同時受到熱載荷、氣動力、慣性力和振動負(fù)荷的影響和沖擊[1]，極易疲勞和斷裂。如果轉(zhuǎn)子的定心方案設(shè)計不妥、裝配不當(dāng)、平衡不好，零件前期制造過程中的傾斜、偏心、跳動等偏差累積將在杠桿效應(yīng)作用下成倍增大，待安裝零件會進(jìn)一步累積已裝好組件的偏心或傾斜誤差，使最后裝配完成的轉(zhuǎn)子部件產(chǎn)生巨大的偏擺和傾斜，最終導(dǎo)致航空發(fā)動機(jī)工作時產(chǎn)生劇烈振動，直接影響整機(jī)安全性和可靠性，造成不可估量的損失[2]。

同心度是眾多測量參數(shù)中能夠較好地反映裝配結(jié)構(gòu)狀態(tài)的參數(shù)指標(biāo)，有助于全面、多角度地反饋轉(zhuǎn)子、機(jī)匣和支承的相對位置及結(jié)構(gòu)狀態(tài)。同心度測量包括轉(zhuǎn)子同心度測量、轉(zhuǎn)靜子同心度測量與支承同心度測量，每一類同心度測量指標(biāo)詮釋的結(jié)構(gòu)狀態(tài)與側(cè)重點都有所不同，需要利用不同的分析、控制技術(shù)加以分析和解決[3]，本文研究的是多級轉(zhuǎn)子組件裝配同心度控制。在轉(zhuǎn)子堆疊過程中產(chǎn)生的不同心量是每一級鼓盤類零件不同心量累積的結(jié)果，當(dāng)轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時，這些不同心量將產(chǎn)生較大的不平衡力和不平衡力矩，二者綜合作用，嚴(yán)重影響發(fā)動機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)安全和效率。為將殘余不平衡力和力矩減至最小，應(yīng)在轉(zhuǎn)子裝配過程中將平衡好的單盤優(yōu)化組合裝配。轉(zhuǎn)子組件的同心度偏差是各零件同心度偏差的矢量累加，而累加的方式受各轉(zhuǎn)子之間周向安裝相位角的影響。轉(zhuǎn)子裝配優(yōu)化技術(shù)就是優(yōu)化各轉(zhuǎn)子之間的周向安裝相位角度，以使轉(zhuǎn)子組件的同心度偏差或不平衡量最小。

目前，中國仍采用傳統(tǒng)的以千分表人工手動測試為主的裝配方法[4]，根據(jù)操作人員的經(jīng)驗對各級轉(zhuǎn)子進(jìn)行反復(fù)試錯調(diào)整。通過設(shè)定某一閾值條件檢測每次零件堆疊后的偏心度，確保其符合閾值范圍后再向上疊加后一級零件。該方法耗時長、效率低，極大增加了返工頻率，甚至無法完成既定的裝配目標(biāo)。一般地，裝配一臺轉(zhuǎn)子部件需要花費(fèi)4～5天，反復(fù)拆裝4～5次，并使零件重復(fù)經(jīng)歷冷、熱循環(huán)加工，極大縮短了發(fā)動機(jī)零部件的使用壽命。

三維裝配偏差分析是一種控制偏差傳遞的有效手段，無論是在實際裝配階段還是產(chǎn)品研發(fā)階段，構(gòu)建一個合理的偏差傳遞模型、提出一種可行的裝配方案是提高產(chǎn)品質(zhì)量、降低設(shè)計風(fēng)險和成本的根本途徑。Hussain團(tuán)隊[5-8]研究了航空發(fā)動機(jī)堆疊優(yōu)化技術(shù)以控制轉(zhuǎn)子部件的整體同心度，主要在二維結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了嘗試，提出了3種優(yōu)化策略；隨后在考慮噪聲干擾、測量精度和可調(diào)方向角的問題上研究了三維狀態(tài)下的直接堆疊過程[9]和平行堆疊過程[10]，并提出了一種概率求解方法[11]。然而上述堆疊方法不能充分考慮零件形位偏差對裝配同心度的影響，而且優(yōu)化目標(biāo)僅局限于單級零件的同心度控制，并非轉(zhuǎn)子組件整體同心度控制目標(biāo)；Alison[12]利用子測試系統(tǒng)得到轉(zhuǎn)子不同位置的應(yīng)力信號，通過分析零件的容損參數(shù)確定了公差與裝配精度的映射規(guī)律，最終改善了轉(zhuǎn)子組件整體的裝配性能。近年來，隨著數(shù)字化裝配技術(shù)的發(fā)展，中國也逐漸引進(jìn)并掌握了一些先進(jìn)的航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子裝配技術(shù)[13]，在數(shù)字化工裝設(shè)計[14-15]、數(shù)字化測量[16-17]、數(shù)字化預(yù)裝配[18-19]等方面均取得了突破。陳雪峰等[20]提出了一種檢測航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子裝配性能的新方法，通過激振各級轉(zhuǎn)子并采集多載波耦合信號獲得航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子的脈沖響應(yīng)，最后針對8個子信號提取轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的平均裝配性能指標(biāo)，該方法為事后檢測方法，無法在裝配前對航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子質(zhì)量進(jìn)行有效評價，亦無法對轉(zhuǎn)子裝配提供有效指導(dǎo)；張子陽等[21]針對航空發(fā)動機(jī)高壓轉(zhuǎn)子拉桿結(jié)構(gòu)提出了基于非線性阻尼的裝配檢測方法，根據(jù)能量方程推導(dǎo)出了基于希爾伯特黃變換(Hilbert-Huang Transform，HHT)的非線性阻尼識別公式，反映了螺栓擰緊力矩對裝配接觸面的影響規(guī)律；曹茂國[22]采用Powell算法對轉(zhuǎn)子各級盤的角向安裝位置進(jìn)行了工藝裝配優(yōu)化設(shè)計，減小了作用在軸頸上的力和力矩。然而，這些方法都無法充分考慮轉(zhuǎn)子的幾何結(jié)構(gòu)和偏差量方面對裝配精度的影響，不能建立有效的同心度偏差控制方法?；谏鲜鰡栴}，本文將著手解決精密回轉(zhuǎn)組件的同心度偏差控制問題，結(jié)合改進(jìn)的雅可比旋量(Jacobian-Torsor，J-T)理論對回轉(zhuǎn)體裝配偏差傳遞規(guī)律進(jìn)行深入探討，并提出有效的裝配工藝新方法。

1 J-T理論及其改進(jìn)算法

1.1 偏差模型概念和區(qū)間定義

基于J-T理論的偏差模型采用了以下概念定義：

1) 功能單元(Function Element，F(xiàn)E)

FE為裝配體中各個零件或零件之間的幾何特征要素，它們可以是實體要素，也可以是虛擬要素。例如圓柱體的柱面、端面特征，就是實體要素；圓柱回轉(zhuǎn)軸線，就是虛擬要素。

2) 內(nèi)部功能單元(Internal Function Element，IFE)

IFE為位于單體零件內(nèi)部的幾何特征要素，它們之間存在彼此約束關(guān)系，兩兩構(gòu)成一個內(nèi)部約束對，簡稱內(nèi)部副。

3) 接觸功能單元(Contact Function Element，CFE)

CFE為位于不同零件連接特征上的幾何要素，它們之間存在直接或間接的接觸關(guān)系，兩兩構(gòu)成一個外部約束對，簡稱接觸副。

4) 功能要求(Functional Requirement，F(xiàn)R)

FR即封閉環(huán)的幾何精度要求，是最終裝配完成后的目標(biāo)測量量和控制量。

“區(qū)間運(yùn)算”用于進(jìn)行帶有不確定性問題的數(shù)學(xué)表征與計算，在J-T理論中，區(qū)間運(yùn)算主要被應(yīng)用到公差域中矢量分量的上、下界與功能要求副之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系之中。區(qū)間運(yùn)算以矢量矩陣的形式描述公差域在6個自由度方向上的邊界范圍，充分考慮了可能的數(shù)值誤差對裝配結(jié)果的影響，使任何可能的結(jié)果都以閉合區(qū)間的形式保證其合理性。任意元素的區(qū)間符號表示為

(1)

表1 區(qū)間運(yùn)算法則Table 1 Operation using the arithmetic by interval

1.2 J-T模型

J-T模型包含雅可比矩陣和旋量模型兩部分，裝配偏差的傳遞類似于機(jī)器人的運(yùn)動誤差傳遞，對于三維裝配偏差尺寸鏈而言，各個功能單元與功能要求的關(guān)系表達(dá)式為

[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE2, …,

[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEn]·

[δqFE1, δqFE2, …, δqFE(n-1), δqFEn]T

(2)

式中：δs為偏差在FR的X、Y和Z坐標(biāo)軸上的移動；δα為偏差繞X、Y和Z坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動；δqFEi為功能單元i的6個自由度方向上的變動量；[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEi為功能單元i的6×6雅可比矩陣。

關(guān)于式(2)中的雅可比矩陣，其列向量為

(3)

式中：C1i、C2i和C3i分別為坐標(biāo)系i的x、y、z軸在坐標(biāo)系0中的方向向量；di和dm為坐標(biāo)系i和m的原點在坐標(biāo)系0中的位置。

(4)

Desrochers等[23]考慮到偏差域發(fā)生傾斜的情況，引入了投影矩陣RPti。RPti是一個含有3組方向轉(zhuǎn)換向量的3×3矩陣，可以實現(xiàn)偏差域變動方向與偏差分析方向的有效轉(zhuǎn)換。

綜合以上分析，最終雅可比矩陣為

(5)

Clément等[24]在Hervé[25]的位移集理論的基礎(chǔ)上提出了工藝拓?fù)潢P(guān)聯(lián)表面(Technologically and Topologically Related Surfaces，TTRS)的概念。根據(jù)TTRS的定義，將特征變動用矢量集合加以描述，即為旋量。因為特征變動量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于裝配體實際尺寸，所以旋量又被稱為小位移旋量(Small Displacement Torsor，SDT)。

一般地，SDT模型包含6個變動矢量：3個移動矢量和3個旋轉(zhuǎn)矢量，以此表征某個特征元素的位置和方向，如圖1所示，圖中TSU和TSL分別為特征的公差上、下極限；下標(biāo)SU和SL分別代表小位移旋量上限和下限；T為公差域；d為回轉(zhuǎn)體直徑；S0為名義特征；S1為變動特征；TPO為位置度公差；TPRA為平行度公差。

圖1 小位移旋量模型Fig.1 Small displacement torsor model

則旋量S1相對S0可表示為

T1-0=[u,v,w,α,β,γ]T

(6)

式中：u、v和w為局部坐標(biāo)系中沿x、y和z軸方向的移動量；α、β和γ為繞x、y和z軸的轉(zhuǎn)動量。

SDT理論用旋量約束及變動方程表征FE在三維公差域中的微小變動，雅可比理論用矩陣變換表征點集在剛體開環(huán)運(yùn)動鏈中的微小位移。J-T 理論將SDT理論和雅克比理論相結(jié)合：

FR=JFE

(7)

式中：FR為功能要求矩陣；FE為功能單元矩陣；J為待求特征的雅可比矩陣，其具體表達(dá)參見式(3)。

將式(7)展開后可得

[[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE1,

[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE2,…,

[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEn]·

(8)

1.3 考慮回轉(zhuǎn)效應(yīng)的雅可比矩陣的構(gòu)造與求解

J-T模型并不能直接應(yīng)用到與旋轉(zhuǎn)優(yōu)化相關(guān)的操作上，也就是說該偏差模型無法對轉(zhuǎn)子各種堆疊方案進(jìn)行評價和優(yōu)化。針對航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子件的回轉(zhuǎn)特性，引入回轉(zhuǎn)副(Revolution Joint，RJ)的概念對零件的回轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)機(jī)制加以表征。如圖2所示，圖中ti為輪廓度公差，Hi加框表示該尺寸為固定值，是理想尺寸，不帶公差從而便于分析。圓柱體底面為零件基準(zhǔn)面，頂面含有輪廓度公差，RJ與基準(zhǔn)面N重合，不含任何公差信息。可以看出，RJ本質(zhì)上屬于一種接觸型功能單元(CFE類型)，可在雅可比矩陣中方便地表達(dá)。

圖2 轉(zhuǎn)子回轉(zhuǎn)副Fig.2 Rotors with revolution joint

圖3(a)描述的是兩級回轉(zhuǎn)體裝配，圖中Di為第i個圓柱體的上端直徑。設(shè)定全局坐標(biāo)系0位于第1級回轉(zhuǎn)體下表面中心，同時在每級零件裝配面中心位置有各自局部坐標(biāo)系1、2、3；每級零件上表面含有一個帶參考基準(zhǔn)的輪廓度公差ti(i=1,2)，待求的FR是全局坐標(biāo)系下圓柱體b上表面中心沿著偏心方向的偏差累計量tf。

圖3 兩級轉(zhuǎn)子裝配Fig.3 Two-stage rotor assembly

(9)

圖4為偏差帶傾斜的情況，需要根據(jù)偏差傳遞方向?qū)E進(jìn)行投影轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)子堆疊過程中，偏差分析方向和FE、FR的偏差域變動方向相同，不存在額外的偏差域投影過程。因此，與RJ雅可比矩陣相關(guān)的投影矩陣RPti是一個單位矩陣。

圖4 旋量投影Fig.4 Torsor projection

(10)

(11)

(12)

式中：H1和H2分別為第1級和第2級轉(zhuǎn)子高度。

對于n級回轉(zhuǎn)體裝配，其總共包括n個IFE和n-1個CFE。其功能要求FRn為頂端零件上表面中心沿著偏心方向在全局坐標(biāo)系0下的偏差累計量。假設(shè)使第i個零件圍繞z軸旋轉(zhuǎn)θi-1角度，則在全局坐標(biāo)系下，RJ所含的局部方向變換矩陣的一般形式可表示為

(13)

通過對零件偏差在特征高度和特征角度上進(jìn)行傳遞修正，可以推出一般形式下修正的雅可比擴(kuò)展矩陣Je，其IFE和CFE的具體形式為

(14)

(15)

式中：Hi為第i級零件的高度；θi為第i+1級零件相對于坐標(biāo)系0的旋轉(zhuǎn)角度。

2 多級轉(zhuǎn)子裝配尺寸鏈建模與偏差控制

2.1 轉(zhuǎn)子尺寸鏈的偏差傳遞模型

如圖5所示，圖中εi為第i級轉(zhuǎn)子偏心距，對于多級回轉(zhuǎn)體堆疊，全局坐標(biāo)系0位于第1級轉(zhuǎn)子的底部回轉(zhuǎn)中心，回轉(zhuǎn)主軸穿過第1級圓柱的基準(zhǔn)面中心并與之垂直，偏差自下而上進(jìn)行傳遞。根據(jù)雅可比矩陣特點，[[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE1, [J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE2,…, [J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEn]表征了偏差從FE1到FEn的傳遞過程。

圖5 多級轉(zhuǎn)子堆疊過程Fig.5 Stacking process of multistage rotors

然而，按照傳統(tǒng)手段堆疊而成的轉(zhuǎn)子組件通常會出現(xiàn)局部同心度超差的情況，如圖5(a)所示。由于傳統(tǒng)裝配方法是一個逐級堆疊調(diào)整的過程，屬于“裝配一級、控制一級、檢驗通過一級”，操作者仍基于經(jīng)驗和試湊法實現(xiàn)該過程，成功率低；更重要的是，該方法過分關(guān)注于單級零件的同心度水平，無法對組件整體的同心性能進(jìn)行評價和控制。導(dǎo)致后端零件很容易出現(xiàn)同心度超差的情況，即使能夠滿足組件整體的裝配精度要求，其整體同心度也并非最優(yōu)解。

為解決局部性能過優(yōu)、整體精度超差的問題，不僅要對安裝級零件的同心度偏差進(jìn)行調(diào)節(jié)和控制，而且要注重各級零件的偏差聯(lián)動效應(yīng)。隨著零件級數(shù)的增多和杠桿效應(yīng)的放大，仍會不可避免地出現(xiàn)頂部同軸度難以控制的局面，這就需要再次微調(diào)下端零件的轉(zhuǎn)角，以適當(dāng)放大下端零件的裝配偏差為代價，補(bǔ)償上端零件的裝配精度，補(bǔ)償效果如圖5(b)所示。

修正的雅可比擴(kuò)展矩陣Je能夠較好地反映零件的回轉(zhuǎn)特性及零件之間的偏差耦合聯(lián)動效應(yīng)。在[[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE1, [J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE2,…, [J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEn]基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮各級零件的旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)過程：偏差將在相鄰兩級轉(zhuǎn)子關(guān)節(jié)處發(fā)生圍繞z軸的方向轉(zhuǎn)變，從而引起偏差傳遞路徑的變化。最后的偏差傳遞矩陣將變?yōu)閇[J1e,J2e,J3e,J4e,J5e,J6e]FE1, [J1e,J2e,J3e,J4e,J5e,J6e]FE2,…, [J1e,J2e,J3e,J4e,J5e,J6e]FEn]。

轉(zhuǎn)子裝配特征為典型的平面特征，如圖1所示。該特征含有3個不變度，意味著每組偏差旋量有且僅有3個有效矢量。Roy和Li[26]已給出平面特征偏差旋量表達(dá)式的詳細(xì)推導(dǎo)，對于單級轉(zhuǎn)子而言，每組表面SDT有效矢量的變化范圍可以表示為

(16)

式中：D為圓柱直徑。

不等式方程組式(16)包含了轉(zhuǎn)子平面特征可能出現(xiàn)的所有的偏差情況，根據(jù)1.1節(jié)中介紹的SDT區(qū)間算法，將其代入J-T模型并結(jié)合雅可比擴(kuò)展矩陣可構(gòu)建出FR和所有FE之間的SDT偏差傳遞關(guān)系。n級轉(zhuǎn)子裝配FR與各FE的偏差傳遞關(guān)系可表示為

[[Je]IFE1, [Je]CFE1, [Je]IFE2, [Je]CFE2, …, [Je]CFE(n-1), [Je]IFEn]·

(17)

式中：tn為第n個零件的輪廓度公差；Dn為第n個圓柱體的上端直徑。

(18)

式中：εn為第n級圓柱體上端面的同心度偏差；un為第n級圓柱體上端面的同心度沿x坐標(biāo)軸的偏差；vn為第n級圓柱體上端面的同心度沿y坐標(biāo)軸的偏差。

式(16)～式(18)分別為n級回轉(zhuǎn)體裝配的一般性偏差傳遞模型、同心度偏差表達(dá)式以及矢量變動約束不等式。如果零件偏差已知，一個確定性的同心度偏差便可以求得，通過優(yōu)化算法能確定最終各級轉(zhuǎn)子最佳安裝角和對應(yīng)的最優(yōu)同心度。

2.2 組合堆疊同心度評價方法

為衡量組件整體的同心性能、考慮各級零件偏差之間的影響關(guān)系，采用多級偏心度(Multistage Eccentricity，ME)概念作為整體評價指標(biāo)。

多級偏心度為

εt=[(ξ2ε2)2+(ξ3ε3)2+…+

(ξiεi)2+…+(ξnεn)2]1/2

(19)

對應(yīng)的目標(biāo)控制量為

εmin=min{εt}

(20)

式中：εmin為εt的最小值；ξi為第i級零件偏心度加權(quán)系數(shù)，表示第i級零件的重要程度，i=2,3,…,n；εi為第i級零件偏心度。視所有零件同等重要，因此ξi=1，下標(biāo)從i=2開始是因為偏心度是從第2級零件開始計算。

2.3 組合堆疊同心度控制方程

根據(jù)式(19)和式(20)的定義，結(jié)合n級轉(zhuǎn)子裝配偏差方程式(17)，可以確定轉(zhuǎn)子裝配同心度控制函數(shù)的一般形式：

t=2,3,…,n

(21)

式中：ti為第i個零件的輪廓度公差。

根據(jù)控制函數(shù)式(21)，利用一般優(yōu)化算法可求解轉(zhuǎn)子最佳控制角度及最優(yōu)同心度。采用遺傳優(yōu)化算法對組合堆疊下的同心度控制進(jìn)行分析和計算。

3 高壓渦輪轉(zhuǎn)子裝配案例分析與討論

3.1 建模及求解

3.1.1 零件精度與控制要求

圖6為某型航空發(fā)動機(jī)高壓渦輪轉(zhuǎn)子(High Pressure Turbine Rotor，HPTR)組件，該組件主要由① HPT后軸、② HPT盤、③ HPT前封嚴(yán)盤、④ HPT前軸組成。研究以轉(zhuǎn)子1～轉(zhuǎn)子4為代表的4級HPTR組件裝配同心度控制問題，需要控制HPTR整體同心度在0.038 mm范圍內(nèi)，各級零件的結(jié)構(gòu)和公差信息如表2所示。

圖6 HPTR同心度控制要求Fig.6 Concentricity control requirement of HPT rotors

表2 HPT轉(zhuǎn)子零件圖Table 2 Drawings of parts of HPT rotors

3.1.2 偏差控制方法

在本例中，全局坐標(biāo)系0位于零件1的底面中心，局部坐標(biāo)系1～7位于各級零件接觸功能單元表面偏差帶的中心位置。裝配連接關(guān)系如圖7所示。可以看出，偏差傳遞路徑為IFE1-CFE1-IFE2-CFE2-IFE3-CFE3-IFE4-FR?；剞D(zhuǎn)副RJ位于相鄰轉(zhuǎn)子接觸功能單元上，與CFE重合，可使各級轉(zhuǎn)子位姿旋轉(zhuǎn)變動。

圖7 HPTR連接關(guān)系圖Fig.7 Connection diagram of HPTRs

利用Leitz P MM-Xi三坐標(biāo)測量儀對零件特征面進(jìn)行測量和數(shù)據(jù)采集，如圖8所示。每個面均勻選取5個點，以表征旋量坐標(biāo)，具體測得的旋量偏差信息如表3所示。

圖8 測量和數(shù)據(jù)采集Fig.8 Measurement and data acquisition

表3 特征偏差旋量Table 3 Deviation torsos of points

根據(jù)Je的求解方法式(14)和式(15)可以確定各級轉(zhuǎn)子FE對應(yīng)的雅可比擴(kuò)展矩陣，如表4所示。

表4 雅可比擴(kuò)展矩陣Table 4 Jacobian extended matrixes

根據(jù)Je和已測得的偏差旋量，可以推出最終的4級HPTR裝配偏差傳遞函數(shù)：

(22)

式中：δFRtotal為功能要求總偏差；δutotal、δvtotal和δwtotal分別為沿x、y和z軸方向的總移動偏差量；δαtotal、δβtotal和δγtotal分別為繞x、y和z軸方向的總轉(zhuǎn)動偏差量；因從第2級零件開始進(jìn)行旋轉(zhuǎn)調(diào)姿,i≥ 2。

根據(jù)同心度偏差方程式(18)，可以求出第4級轉(zhuǎn)子的偏心度表達(dá)式：

(23)

式中：[δutotal]4=0.011 8 cosθ3-0.002 67 cosθ2-0.010 8 cosθ4+0.000 321 sinθ2-0.014 0× sinθ3-0.014 3 sinθ4-0.002 30，[δvtotal]4=0.014 0 cosθ3-0.000 321 cosθ2+0.014 3 cosθ4-0.002 67 sinθ2+0.011 8 sinθ3-0.010 8 sinθ4+0.003 10。

同樣地，可以求出[δutotal]i和[δvtotal]i，并得到第i級轉(zhuǎn)子的偏心度表達(dá)式εi(i=2,3,4)。

為了使HPTR整體同心度最佳，需要控制并優(yōu)化多級偏心度εt，根據(jù)式(19)和式(20)尋找最佳θi使εt最小。針對式(22)，可確定該4級HPTR堆疊的目標(biāo)控制方程為

(24)

式中：δFRn為第m級轉(zhuǎn)子的第n個功能要求偏差值。

3.2 結(jié)果與討論

3.2.1 結(jié)果優(yōu)化

針對式(24)，采用遺傳優(yōu)化算法(Genetic Algorithm，GA)尋找使得HPTR整體同心度(用多級偏心度εt表征)最佳的各級轉(zhuǎn)子安裝角θi組合。設(shè)定種群數(shù)目為50，交配比率Pc=0.80，變異率Pm=0.05[27-28]，所求結(jié)果如表5所示。

表5 GA優(yōu)化結(jié)果Table 5 GA optimized results

由表5可知，當(dāng)交配比率和變異率分別為0.80 和0.05時，平均進(jìn)化代數(shù)將近達(dá)到18.3代，可見采用GA可使結(jié)果較快地收斂到最優(yōu)值。圖9 顯示了該4級HPTR裝配時的安裝角度與多級偏心度εt之間的關(guān)系。如圖9所示，圖中θcomponent2、θcomponent3和θcomponent4分別為第2、3和4級零件的安裝角，第2、3、4級零件的安裝角度分別由3個互相垂直的平面表示，而3個平面的交點即為經(jīng)遺傳優(yōu)化后所求的多級偏心度εt。當(dāng)3級零件的安裝角度分別為3.513、5.206、0.953 rad時，可獲得最小的多級偏心度結(jié)果，其值為0.042 mm。

圖9 多級偏心度與4級零件安裝角度關(guān)系Fig.9 Relationship between multistage eccentricity and installation angles of four-stage parts

可看出利用提出的改進(jìn)J-T模型所求結(jié)果(0.042 mm)超出目標(biāo)控制量(0.038 mm)10.53%，但在一定誤差范圍內(nèi)及剛體假設(shè)條件下，該結(jié)果在一定程度上是可接受的，并可付諸指導(dǎo)實際裝配。該方法具備一定實用性和可操作性。

3.2.2 實驗對比

為驗證本文方法的有效性，采用徑向跳動千分表對HPTR零件的止口柱面進(jìn)行測量，以及軸向跳動千分表對轉(zhuǎn)子零件安裝邊的端面進(jìn)行圓跳動測量。前者用于表征轉(zhuǎn)子偏心度，而后者主要用來調(diào)節(jié)傾斜量。如圖10所示，采用直接裝配手段對HPTR組件進(jìn)行安裝：完成一級零件堆疊后對其進(jìn)行同心度測量，如果同心度超差，則拆卸零件并旋轉(zhuǎn)一定角度重新安裝，以確保每次增加零件后都能滿足同心度閾值條件，然后再向上安裝下一級轉(zhuǎn)子。

圖10 HPTR實際裝配過程Fig.10 Actual assembly process of HPTRs

按照此過程對該4級組件重復(fù)進(jìn)行了10次安裝和測量，每次測得的各級零件徑向跳動量以及多級偏心度εt如表6所示，表6的最后一行同時列舉了采用改進(jìn)的J-T模型進(jìn)行安裝的同心度偏差計算值和實際值。

表6 裝配結(jié)果對比Table 6 Comparison of assembly results

可看出采用手動調(diào)整法進(jìn)行裝配時，組件整體徑向跳動量(用多級偏心度εt衡量)在0.050～0.095 mm之間波動，且僅僅通過手動調(diào)整很難一次性達(dá)到目標(biāo)精度要求；整個裝配過程需要反復(fù)調(diào)整，時間耗費(fèi)至少5.5 h。而采用基于J-T多級控制理論的組合堆疊法進(jìn)行計算和安裝，總共花費(fèi)3.0 h便可獲得接近0.038 mm的徑向跳動結(jié)果，其中最佳安裝結(jié)果為0.037 mm。

對比計算結(jié)果和最佳實測結(jié)果可以看出，二者相對誤差為13.56%，這是由于理論計算模型認(rèn)為零件是純剛體，忽略了接觸變形、過盈壓緊、形貌匹配等因素影響；但在誤差允許范圍內(nèi)，理論計算結(jié)果仍然具備指導(dǎo)意義。在θ2=3.513 rad、θ3= 5.206 rad、θ4=0.953 rad的安裝角指導(dǎo)下，實際裝配結(jié)果較好地滿足了組件同心度要求。上述結(jié)果表明，改進(jìn)的J-T多級裝配理論有利于精密回轉(zhuǎn)組件裝配偏差控制，具有較高的實用性，該模型可與計算機(jī)輔助設(shè)計(Computer Aided Design，CAD)/計算機(jī)輔助公差設(shè)計(Computer Aided Tolerancing，CAT)系統(tǒng)相集成，給實際操作者提供指導(dǎo)和幫助。

4 結(jié) 論

1) 針對傳統(tǒng)的J-T模型不能直接應(yīng)用于與旋轉(zhuǎn)優(yōu)化相關(guān)的操作這一問題，引入了RJ以表征航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子件的回轉(zhuǎn)特性，并由此推導(dǎo)出雅可比擴(kuò)展矩陣，從而完成對傳統(tǒng)J-T模型的修正。

2) 結(jié)合航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)和裝配特點分析了轉(zhuǎn)子偏差的傳遞規(guī)律和偏差聯(lián)動效應(yīng)，結(jié)合裝配特征的旋量模型推導(dǎo)出多級轉(zhuǎn)子堆疊的同心度偏差傳遞函數(shù)和控制方程。

3) 結(jié)合修正的J-T模型對某4級渦輪轉(zhuǎn)子裝配體進(jìn)行驗證，當(dāng)各級安裝角度分別為3.513、5.206、0.953 rad時，可獲得最高同心度0.042 mm。結(jié)果表明該模型可以有效預(yù)測組件整體精度并確定最佳裝配方案，具有較強(qiáng)現(xiàn)實指導(dǎo)意義。