江蘇省無錫市新安實驗小學(xué) 朱春雷

小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中加強數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)不但具有重要意義，而且切實可行。從課程目標上看，在小學(xué)除了進行數(shù)學(xué)知識和方法的教學(xué)，也要進行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。其實數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的特殊內(nèi)容，因此從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上來看，數(shù)學(xué)的教學(xué)是思想方法與數(shù)學(xué)知識統(tǒng)一的教學(xué)。而日常的教學(xué)中長期存在重知識輕思想的問題，這種功利性的片面教學(xué)，需要徹底改變，所以小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要旗幟鮮明地提出思想方法的教學(xué)。下面以教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”為例，探討數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識相統(tǒng)一的教學(xué)。

“3的倍數(shù)的特征”的教學(xué)目標是使學(xué)生經(jīng)歷探索3的倍數(shù)的特征的過程，知道3的倍數(shù)的特征，能根據(jù)特征判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)；使學(xué)生在探索3的倍數(shù)的特征的過程中，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，進一步培養(yǎng)觀察、比較、分析和歸納能力，初步學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)思想方法；使學(xué)生在參與學(xué)習(xí)活動的過程中，培養(yǎng)主動與他人合作交流的意識，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的樂趣，增強對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。

要達成上述目標，我們基于數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識相統(tǒng)一的教學(xué)理念，進行了下面的理論思考與教學(xué)實踐。

一、通過數(shù)學(xué)操作理解一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)的和，并體會數(shù)的構(gòu)成的實質(zhì)

師引導(dǎo)學(xué)生在計數(shù)器上撥數(shù)，要求用1個珠子在計數(shù)器上撥數(shù)，最多撥出三位數(shù)，看用1個珠子最多能撥出多少個數(shù)。追問：撥出3個數(shù)，用的珠子怎么樣？（只有1個）分別用2、3、6個珠子呢？（體會各個數(shù)“數(shù)位上的數(shù)之和”）

二、回顧探索倍數(shù)特征的基本思想方法，反思特征背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)

師：我們剛剛研究過2和5的倍數(shù)的特征，誰來說2和5的倍數(shù)的特征分別是什么？

師：(追問)為什么只看個位上的數(shù)字就可以判斷？其他位上的數(shù)字難道真的就不用看？（需要看的，但是整十、整百、整千……都是2和5的倍數(shù)）

這樣做能讓學(xué)生認識到要從整體上觀察一個數(shù)的倍數(shù)。

師：今天這節(jié)課，我們用已經(jīng)學(xué)會的方法并尋找新的方法來學(xué)習(xí)3的倍數(shù)的特征，大家可以先思考一下，想想3的倍數(shù)的特征是什么？

（學(xué)生自由表達自己的想法。）

師：(小結(jié))有的學(xué)生說看個位上數(shù)字是否是3的倍數(shù)，有的學(xué)生認為要看所有數(shù)位上的數(shù)字，這些想法都需要我們?nèi)ネ评眚炞C，那請大家思考一下我們今天該怎樣去探索3的倍數(shù)的特征？

帶著問題師生逐步明確探究方法，先找出一些3的倍數(shù)，再通過觀察比較來驗證此前的猜想，并歸納出3的倍數(shù)的特征。

三、運用化歸和分類的思想整理數(shù)學(xué)知識，通過觀察分析、比較歸納等數(shù)學(xué)方法抽象概括出特征

要歸納3的倍數(shù)的特征，我們先要把3的一些倍數(shù)找出來，然后再觀察研究。學(xué)生在百數(shù)圖上圈出3的倍數(shù)。教師啟發(fā)學(xué)生有序思考：“要找3的倍數(shù)，我們先從3的幾倍開始？”（1倍）“依次找下去，想一想，100以內(nèi)3的倍數(shù)有多少個？”這兩個問題是讓學(xué)生感覺到倍數(shù)問題其實也是除法問題，從而滲透聯(lián)系和互逆的思想，為以后綜合解決倍數(shù)和整除問題孕伏思想方法。找出一些倍數(shù)后，需要擬出研究的思路和具體方法，在研究2和5的倍數(shù)的特征中，大家就如同研究探索一般從簡單的開始，逐步研究復(fù)雜的，最后歸納出一般性的規(guī)律。因此教師提出問題：那么我們可以先研究幾位數(shù)，再研究幾位數(shù)？（一位數(shù)，兩位數(shù)等）

1.研究一位數(shù)中3的倍數(shù)的特征

師：請同學(xué)們在百數(shù)圖第一行中圈出3的倍數(shù)，觀察其特征。（發(fā)現(xiàn)一位數(shù)中，3、6、9是3的倍數(shù)，其余的都不是）

2.研究兩位數(shù)中3的倍數(shù)的特征

啟發(fā)學(xué)生運用分類思想方法把研究內(nèi)容按要求進行分類，確保研究內(nèi)容能有序且不重復(fù)不遺漏。提出問題：依據(jù)“在一位數(shù)中，3、6、9就是3的倍數(shù)”這個特征，我們可以根據(jù)數(shù)位上有沒有3、6、9把兩位數(shù)分成三種情況研究：（1）十位上和個位上都是3、6、9的數(shù)；（2）十位上或個位上有一位上是3、6、9的數(shù)；（3）十位上和個位上都不是3、6、9的數(shù)。

師生談話并提出研究方法：請同學(xué)們從是否是3的倍數(shù)、舉例說明、為什么是3的倍數(shù)三個方面，研究上面三種情況。研究結(jié)果如下：

（1）十位上和個位上數(shù)都是3、6、9的數(shù)。師生討論交流：是3的倍數(shù)，33、36、39……99，每一位上的數(shù)除以3都沒有余數(shù)。

（2）十位上或個位上有一位上數(shù)是3、6、9的數(shù)。不是3的倍數(shù)，13、16、19……，31、61、91，有一位上的數(shù)不是3的倍數(shù)，這個數(shù)除以3有余數(shù)。

（3）十位上和個位上數(shù)都不是3、6、9的數(shù)。情況一：是3的倍數(shù)，12、15、18……，兩位上的數(shù)合起來是3的倍數(shù)；情況二：不是3的倍數(shù)，11、13、14……，兩位數(shù)除以3有余數(shù)。

3.運用猜想驗證的思想方法來探究結(jié)論

（1）初步形成數(shù)學(xué)猜想

對研究情況進行比較篩選，發(fā)現(xiàn)只剩下符合兩種情況的數(shù)是3的倍數(shù)，即十位上和個位上數(shù)字都是3、6、9的數(shù)與十位上和個位上數(shù)字都不是3、6、9的數(shù)但兩位上的數(shù)合起來是3的倍數(shù)的數(shù)。再進一步分析，發(fā)現(xiàn)剩下的這兩種情況還可以合并成一種情況，即兩位上的數(shù)合起來是3的倍數(shù)的數(shù)，因為十位上和個位上數(shù)字都是3、6、9的數(shù)也符合這種情況。

要對猜想（兩位上的數(shù)合起來是3的倍數(shù)的數(shù)）進行數(shù)學(xué)化表述。首先，讓學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)兩位上的數(shù)合起來是3的倍數(shù)的數(shù)，可以簡化成兩個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，通過舉例來理解兩位上的數(shù)合起來。如12=9+3，3=1+2；15=9+6，6=1+5。其次，讓學(xué)生進一步發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。例子1：顛倒12十位上和個位上的數(shù)字得到21（也是3倍數(shù)），讓學(xué)生思考為什么，因為21=18+3， 2+1 =3，數(shù)字之和3是3的倍數(shù)。例子2：根據(jù)12是3的倍數(shù)，要求個位2不變，變十位上的數(shù)，使之仍然是3的倍數(shù)，列舉出42、72。先理解42為什么是3的倍數(shù)：42=30+12，42=36+6，6=4+2，數(shù)字之和6是3的倍數(shù)。再次，完善數(shù)字之和是3的倍數(shù)的認識。追問學(xué)生：若符合上面情況，數(shù)字之和還可能是幾，讓這個數(shù)是3的倍數(shù)？舉出18、81、84、87等得出猜想：數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)是3的倍數(shù)。

（2）驗證數(shù)學(xué)猜想，形成數(shù)學(xué)結(jié)論

通過四個層次來驗證猜想。第一層次，回到課前的撥數(shù)游戲，用計數(shù)器上珠子的個數(shù)來驗證。第二層次，用十位上和個位上數(shù)都是3、6、9的數(shù)來驗證。第三層次，否定式驗證：如果一個數(shù)不是3的倍數(shù)，這個數(shù)各位上數(shù)的和會是3的倍數(shù)嗎？找?guī)讉€這樣的數(shù)算一算。第四層次，知識遷移，歸納概括。思考3的倍數(shù)是三位數(shù)乃至多位數(shù)的數(shù)的特征，并用舉出的數(shù)來驗證猜想。最后歸納概括出結(jié)論：各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)的數(shù)是3的倍數(shù)。

四、在特征的應(yīng)用拓展中培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)系和發(fā)展思想

基本練習(xí)是利用特征判斷一個數(shù)是否是3的倍數(shù)，例如：29、45、67、86、96中，哪些數(shù)是3的倍數(shù)？學(xué)生可以依據(jù)3的倍數(shù)的特征，看各位上數(shù)的和是否是3的倍數(shù)來判斷。在此基礎(chǔ)上，聯(lián)系除法并通過分析除法算式判斷被除數(shù)是否是3的倍數(shù)，讓學(xué)生很快說出哪幾個數(shù)的得數(shù)有余數(shù)，即可判斷被除數(shù)是否是3的倍數(shù)。聯(lián)系的思想是分析解決問題的重要思想。學(xué)生掌握了3的倍數(shù)的特征后，還要進行相關(guān)的發(fā)展性的思維訓(xùn)練。如讓學(xué)生判斷在3、6、12、15、18中，哪些數(shù)是6的倍數(shù)，接著思考問題：是6的倍數(shù)的數(shù)也是3的倍數(shù)嗎？為什么？讓學(xué)生闡述一個結(jié)論：因為6是3的倍數(shù)，所以6的倍數(shù)也是3的倍數(shù)。這時需要進行互逆思維訓(xùn)練，讓學(xué)生思考“反之能否成立”。教師追問：3的倍數(shù)也是6的倍數(shù)嗎？最后還可以讓學(xué)生拓展思考2和4的倍數(shù)等，通過辨析理清存在倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)之間的關(guān)系。

在小學(xué)進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)要求，教師需要高度重視，認真實施。在小學(xué)進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的理論與實踐研究，意義深遠，不僅關(guān)系到課程目標的實現(xiàn)與否，還影響學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升和可持續(xù)發(fā)展能力的培養(yǎng)。實施數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識統(tǒng)一的教學(xué)，可以實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程標準中的課程基本理念：課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點，要符合學(xué)生的認知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法。在小學(xué)階段開展思想方法教學(xué)，既有利于促進學(xué)生掌握正確的思維方法，提高數(shù)學(xué)能力，又有利于學(xué)生為初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。