楊夢(mèng)媛，李迎光，許可

南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，南京 210016

飛機(jī)機(jī)體的梁、框、肋、壁板等復(fù)雜結(jié)構(gòu)件是現(xiàn)代飛機(jī)的關(guān)鍵零件。如圖1所示，在結(jié)構(gòu)件內(nèi)部常設(shè)計(jì)大量型腔特征，型腔是指具有封閉邊界輪廓的平底或者曲底凹槽，其內(nèi)部可能存在一個(gè)或多個(gè)島嶼。型腔特征可以在保證構(gòu)件整體力學(xué)性能的同時(shí)去除多余材料，實(shí)現(xiàn)飛機(jī)輕量化[1]。

圖1 飛機(jī)結(jié)構(gòu)件Fig.1 Aircraft parts

型腔類工件在粗加工過(guò)程中常采用層切法[2]，即刀具按照分層銑削的方式將多余的材料從毛坯上去除。在對(duì)型腔進(jìn)行分層銑削過(guò)程中，刀具軌跡的質(zhì)量直接影響加工質(zhì)量、加工效率以及刀具壽命。

近年來(lái)高速加工技術(shù)[3]不斷發(fā)展，在實(shí)際生產(chǎn)中也逐漸得到應(yīng)用。為了在保證加工質(zhì)量的同時(shí)提高加工效率，高速加工中主軸轉(zhuǎn)速和進(jìn)給速度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)加工。為了適應(yīng)高速加工的特性，充分發(fā)揮高端機(jī)床的性能，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量高效率加工，對(duì)刀具軌跡提出了新的要求：① 刀具軌跡應(yīng)盡可能平滑[4]，避免急劇拐角，保持穩(wěn)定的進(jìn)給率。基于此要求，傳統(tǒng)以減小刀具軌跡總長(zhǎng)度為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化策略已不適用，總長(zhǎng)度雖短但平滑性更差的刀具軌跡往往存在更多的急劇拐角，在拐角處刀具運(yùn)動(dòng)方向突變，需要機(jī)床的伺服系統(tǒng)先減速改變運(yùn)動(dòng)方向，再加速到指定進(jìn)給速度。平滑性差的刀具軌跡在加工過(guò)程中難以保證穩(wěn)定進(jìn)給，降低加工效率，因此高速加工中刀具軌跡應(yīng)當(dāng)盡可能保證平滑，避免拐角。② 刀具軌跡的步距在一定范圍內(nèi)平穩(wěn)變化。變化大的切削載荷不僅會(huì)引發(fā)加工顫振，影響加工表面質(zhì)量，還會(huì)加速刀具磨損，因此高性能加工要求在加工過(guò)程中盡可能保持步距穩(wěn)定以減小切削載荷的變化。但一味滿足加工軌跡等步距約束雖然能夠保證穩(wěn)定的切削載荷，提高加工質(zhì)量，但會(huì)導(dǎo)致刀具軌跡總長(zhǎng)度增加，降低加工效率。因此在實(shí)際加工中，為了兼顧加工效率和加工質(zhì)量，一般只要求步距在一定范圍內(nèi)變化，且沿著刀具軌跡方法步距變化平緩，即步距變化率要小，在保證加工無(wú)殘余的前提下，步距變化平緩的刀具軌跡能夠保證穩(wěn)定的材料去除率和切削載荷，減小切削力的變化和刀具振動(dòng)，提高工件表面質(zhì)量。

在先進(jìn)制造技術(shù)如飛機(jī)蒙皮的加工中，刀具軌跡需要滿足更為嚴(yán)苛的約束。為了保證蒙皮加工質(zhì)量，國(guó)內(nèi)外制造商采用蒙皮鏡像銑設(shè)備[5]實(shí)現(xiàn)蒙皮銑削。如圖2所示，該設(shè)備對(duì)飛機(jī)蒙皮銑削的刀具軌跡提出更加嚴(yán)苛的要求[6]。為了提高蒙皮剛性，需要保證頂撐裝置與刀具關(guān)于蒙皮時(shí)刻保持中心對(duì)稱，刀具軌跡應(yīng)當(dāng)滿足無(wú)抬刀約束；為了保證蒙皮厚度，要求刀具軌跡間的距離即步距w滿足

R+r≤w≤2R

(1)

式中：R為刀具半徑；r為測(cè)厚傳感器半徑。

圖2 蒙皮鏡像銑設(shè)備示意圖Fig.2 Schematic diagram for skin mirror milling

圖3展示了蒙皮鏡像銑步距約束，左右兩側(cè)圖分別表示步距上下限，如果步距過(guò)小將導(dǎo)致測(cè)厚傳感器信號(hào)紊亂，影響后續(xù)工藝調(diào)整，難以保證蒙皮厚度；如果步距過(guò)大將導(dǎo)致相鄰刀具軌跡間產(chǎn)生加工殘留，不滿足加工形狀要求。因此，在蒙皮加工中，刀具軌跡應(yīng)當(dāng)滿足無(wú)抬刀且步距在一定范圍內(nèi)變化的約束。

圖3 蒙皮鏡像銑刀具軌跡的步距約束Fig.3 Stepover constraint of tool path for skin mirror milling

高速加工和蒙皮鏡像銑等先進(jìn)制造技術(shù)對(duì)刀具軌跡提出平滑、無(wú)抬刀、步距在一定范圍內(nèi)平緩變化等嚴(yán)苛的約束，將這些約束組合在一起，概括為型腔高速銑削刀具軌跡生成過(guò)程中的工藝約束。為了滿足先進(jìn)制造的加工要求，有必要優(yōu)化刀具軌跡生成方法，使其滿足型腔加工過(guò)程中的多工藝約束，從而提高加工質(zhì)量和加工效率，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量、高效率加工。

刀具軌跡的主要區(qū)別表現(xiàn)在走刀方式的不同，選用不同的走刀方式進(jìn)行加工，加工效率和加工表面質(zhì)量都有很大的差異，因此選用合適的走刀方式對(duì)于實(shí)現(xiàn)高性能制造是非常重要的，其中行切法和環(huán)切法是型腔銑削兩種常用的刀軌。

行切法進(jìn)一步可以細(xì)分成Zigzag和Oneway2種[7]，圖4(a)是Zigzag類型的刀具軌跡，又稱雙向行切，如果在加工過(guò)程中采用這種類型的刀軌，順銑和逆銑將交替發(fā)生，容易引起刀具顫振，降低加工表面質(zhì)量以刀具壽命；Oneway又稱為單向行切，如圖4(b)所示。采用這種類型的刀具軌跡，刀具運(yùn)動(dòng)方向雖然始終不變，與Zigzag相比工件表面質(zhì)量好，但是在加工過(guò)程中需要頻繁抬刀，有效銑削時(shí)間短，加工效率低。

圖4 常用型腔刀具軌跡類型Fig.4 Common types of pocket tool path

與行切法不同，環(huán)切刀軌的連續(xù)性更好，可以減少刀具在抬刀、定位、下刀過(guò)程中刀具空轉(zhuǎn)時(shí)間，且在加工過(guò)程中能夠保持順銑或逆銑一種加工模式，因此可以保證良好的加工表面質(zhì)量。除此之外，環(huán)切刀軌大都由型腔邊界由外向內(nèi)偏置而得，相比于行切法生成的軌跡更為平滑。如圖4(c)所示，和行切刀軌相比，環(huán)切刀軌具有平滑、有效行程長(zhǎng)、加工表面質(zhì)量和邊界質(zhì)量好等優(yōu)點(diǎn)。因此，綜合考慮加工效率和加工質(zhì)量，環(huán)切法在型腔銑削軌跡規(guī)劃中更為常用[8-14]。

近幾十年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)于環(huán)切刀軌生成方法做了眾多研究，研究成果主要分為2類：基于幾何方法和基于像素方法。

基于幾何方法可以細(xì)分為直接偏置法和基于Vornoi圖法。直接偏置法通過(guò)沿邊界曲線垂直方向不斷向內(nèi)偏置型腔邊界曲線得到覆蓋整個(gè)加工區(qū)域的刀具軌跡，得到偏置線后需要檢測(cè)偏置線是否自相交，去除局部無(wú)效環(huán)，最后將非干涉的偏置曲線用圓弧連接成一系列封閉環(huán)生成環(huán)切刀軌。這種算法的難點(diǎn)在于確定各偏置線的非干涉部分，計(jì)算過(guò)程中存在大量的交點(diǎn)運(yùn)算問(wèn)題，計(jì)算成本高且魯棒性差，不利于高效穩(wěn)定的數(shù)控刀軌生成。因此，Choi和Kim[15]提出成對(duì)偏移算法，以解決傳統(tǒng)偏移算法的數(shù)值不穩(wěn)定性和時(shí)間效率低的問(wèn)題，該方法進(jìn)一步優(yōu)化應(yīng)用于包含島嶼的型腔[16-17]。

Vornoi圖是避免檢測(cè)偏置曲線自相交這一復(fù)雜步驟最常用的方法[18-19]。多邊形的Voronoi圖由線段或拋物線段組成，生成多邊形的Voronoi圖后，就可以在Voronoi圖上提取等距偏移曲線，這些偏置曲線相互正確連接且不存在交叉，也就不需要等距線間的求交處理，避免復(fù)雜的檢測(cè)并去除無(wú)效環(huán)操作。Persson[20]首先引入了Voronoi圖的概念，為曲線多邊形生成環(huán)切刀軌。Held[21-22]進(jìn)一步提出波陣面?zhèn)鞑ニ惴ǎ糜谟?jì)算帶有島嶼型腔的Voronoi圖。雖然Vornoi圖對(duì)于生成等距環(huán)切刀軌是有效的，但由于Voronoi圖的生成過(guò)程比較復(fù)雜，但當(dāng)型腔邊界較為復(fù)雜時(shí)，常存在數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定的缺陷，所以其遠(yuǎn)不如直接偏置法應(yīng)用廣泛。

同樣為了避免直接偏置中檢測(cè)和去除自相交環(huán)的步驟，有學(xué)者提出基于像素的方法生成環(huán)切刀軌。Choi和Kim[15]將刀具看做是一個(gè)圓盤(pán)，生成型腔銑削的刀具軌跡就可以看作是在二維平面中尋找一條軌跡，圓盤(pán)沿該軌跡掃過(guò)的面積可以覆蓋型腔邊界。將加工區(qū)域分解為離散的像素點(diǎn)，通過(guò)改變像素點(diǎn)的值來(lái)模擬材料去除過(guò)程，從而生成環(huán)切刀軌。Saeed等[23]利用基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)操作如腐蝕、膨脹等模擬曲線偏置過(guò)程，生成粗加工刀具軌跡。該方法進(jìn)一步優(yōu)化適用于所有形狀的型腔[24]，從根本上避免了傳統(tǒng)幾何方法生成環(huán)切刀軌通用性差、自相交以及不連續(xù)等問(wèn)題。對(duì)平面曲線，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和圖像處理中骨架的提取、歐氏距離圖的計(jì)算能夠簡(jiǎn)化曲線偏置的計(jì)算過(guò)程。然而，基于像素法生成的刀具軌跡常存在急劇拐角且加工殘余率較高，不能直接應(yīng)用于實(shí)際加工，還需要后續(xù)優(yōu)化算法。

在粗加工過(guò)程中，為了提高加工效率，通常設(shè)置刀具軌跡步距大于刀具半徑，偏置距離為w，如果原始曲線局部最大曲率k滿足1/k

圖5 環(huán)切刀軌存在加工殘余以及退化問(wèn)題Fig.5 Uncut region and degeneration problems existing in contour-parallel path

在目前的研究中，主要有3種方法來(lái)解決這些問(wèn)題。第1種是最直接的方法，在有缺陷的刀軌處直接優(yōu)化。Lin等[25]識(shí)別整個(gè)加工區(qū)域內(nèi)的加工殘余并用一條刀軌將型腔內(nèi)所有加工殘余去除。Park和Choi[17]將加工殘余的邊界嵌入到刀具軌跡中以消除加工殘余，但是仍存在刀具軌跡平滑度差的缺陷。為了提高刀具軌跡平滑度，在偏置得到的刀軌拐角處附加單圓環(huán)或者雙圓環(huán)來(lái)過(guò)渡[15]，Zhao等[26]在刀具軌跡局部附加雙弧過(guò)渡段，在去除加工殘余的同時(shí)平滑刀具在拐角的運(yùn)動(dòng)。Pateloup等[3]通過(guò)圓弧平滑刀具軌跡，從而達(dá)到更高的進(jìn)給率。他們進(jìn)一步提出基于B樣條擬合刀具軌跡的方法，保證刀具軌跡滿足C2連續(xù)性[27]。

上述大多數(shù)刀具軌跡生成方法不能從本質(zhì)上避免加工殘余和平滑度差的問(wèn)題，所以需要使用復(fù)雜的優(yōu)化方法來(lái)修正，而這些方法高度依賴型腔輪廓形狀，因此刀具軌跡的局部?jī)?yōu)化對(duì)于形狀多變的型腔來(lái)說(shuō)不是一種通用的方法，有學(xué)者提出第2種方法，即生成類環(huán)切刀軌如螺旋刀軌、擺線刀軌等，在實(shí)現(xiàn)加工無(wú)殘留的同時(shí)保證了刀軌的平滑性[28-29]。Bieterman和Sandstrom[30]在加工區(qū)域內(nèi)定義橢圓偏微分方程，將刀具軌跡生成問(wèn)題視作邊界值求解問(wèn)題，生成滿足加工形狀要求且平滑低曲率的螺旋刀軌。除此之外，由于中軸線在一定程度上能夠反映邊界曲線的形狀和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[31-32]， Elber等[33]首次將中軸變換應(yīng)用于平面銑削刀軌生成，提出基于中軸線擺線刀軌的生成方法，從原理上避免加工殘余和急劇轉(zhuǎn)角等缺陷，刀軌軌跡更滿足刀具動(dòng)力學(xué)特性，適應(yīng)高速銑削要求。Yao和Joneja[34-35]提取型腔中軸，基于阿基米德螺旋和回旋曲線圍繞中軸生成平滑的刀具軌跡。雖然此類刀具軌跡加工無(wú)殘余且平滑度高，但是存在步距過(guò)小甚至刀軌自相交的缺陷，不滿足步距約束。針對(duì)此問(wèn)題，Patel和Lalwani[36]提出將型腔分解為子區(qū)域，在子區(qū)域內(nèi)生成螺旋刀軌。Held和Spielberger[37]以用戶給定的最大步距為約束，基于型腔的中軸生成螺旋刀軌。Huang等[38-39]圍繞中軸生成包絡(luò)曲線作為刀具軌跡，相比于傳統(tǒng)螺旋刀軌有效提高步距下限。上述方法在一定程度上能夠緩解步距過(guò)小的缺陷，但仍然不能將步距控制在一定范圍內(nèi)平緩變化，有可能導(dǎo)致切削載荷劇烈變化，破壞銑削過(guò)程的穩(wěn)定性。其根本原因在于，現(xiàn)有的基于中軸變換的刀軌生成方法大多采用幾何圖形進(jìn)行表征，難以精確刻畫(huà)中軸上任一點(diǎn)到型腔邊界的距離，因此難以對(duì)中軸進(jìn)行局部修正以滿足步距要求。

第3種方法是基于圖像處理優(yōu)化刀具軌跡。Xu等[13]提出基于數(shù)字圖像的刀具軌跡生成方法，將型腔邊界分解成離散點(diǎn)，計(jì)算內(nèi)部像素與型腔邊界的最短歐氏距離生成距離灰度圖，基于Z-map 生成環(huán)切刀軌，實(shí)現(xiàn)曲面加工。在此基礎(chǔ)上，Xu和Li[14]進(jìn)一步提出了基于圖像濾波技術(shù)環(huán)切刀軌的優(yōu)化方法，通過(guò)對(duì)距離灰度圖進(jìn)行高斯模糊和非銳化掩膜等圖像處理，同時(shí)實(shí)現(xiàn)刀具軌跡平滑和去除加工殘余2個(gè)目標(biāo)，但圖像濾波技術(shù)歸根到底仍屬于局部鄰域內(nèi)的優(yōu)化。

型腔銑削在航空制造領(lǐng)域中處于重要地位，隨著先進(jìn)制造技術(shù)的發(fā)展，對(duì)刀具軌跡提出更高的要求，刀具軌跡的生成面臨更大的挑戰(zhàn)。雖然目前環(huán)切刀軌的生成及優(yōu)化方法對(duì)于解決加工殘余和急劇拐角這2個(gè)問(wèn)題有很大的效果，但是很少有研究將上述所有工藝約束尤其是步距約束考慮在內(nèi)，提出多工藝約束下型腔銑削刀具軌跡的生成方法。其根本原因在于無(wú)論是基于幾何方法還是基于圖像方法生成的刀具軌跡都基于局部?jī)?yōu)化來(lái)滿足工藝約束，不能從全局角度，實(shí)現(xiàn)加工區(qū)域內(nèi)刀具軌跡的均勻分布，自然無(wú)法保證步距在一定范圍內(nèi)平緩變化，因此如何在多工藝約束下生成刀具軌跡，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量高效率加工，成為亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題。

為了生成滿足多工藝約束的型腔刀具軌跡，滿足先進(jìn)制造要求，本文提出基于中軸變換的型腔銑削刀具軌跡的生成方法。該方法將刀軌生成問(wèn)題從傳統(tǒng)的幾何優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖像優(yōu)化問(wèn)題，基于中軸變換提取加工區(qū)域骨架線，并基于步距約束修正骨架線作為刀軌偏置基準(zhǔn)，向外等步距偏置生成初始環(huán)切刀軌。為了保證刀具軌跡在滿足型腔輪廓形狀的同時(shí)滿足多工藝約束，提出基于圖像變形刀具軌跡的整體優(yōu)化方法，通過(guò)選取合理的變形控制點(diǎn)迭代變形刀具軌跡圖像，最終生成不僅滿足型腔加工形狀要求，且滿足平滑無(wú)抬刀、步距在給定范圍內(nèi)平穩(wěn)變化的刀具軌跡，保證加工質(zhì)量,實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量、高效率加工。

1 方法概括

為了實(shí)現(xiàn)型腔高質(zhì)量、高效率的加工目標(biāo)，要求刀具軌跡滿足平滑、無(wú)抬刀、步距在給定范圍內(nèi)平穩(wěn)變化等多工藝約束。針對(duì)此需求，提出基于中軸變換的型腔銑削刀具軌跡的生成方法，實(shí)現(xiàn)多工藝約束下環(huán)切刀軌的生成和整體優(yōu)化。

刀具軌跡生成過(guò)程主要分為3個(gè)步驟，首先是基于中軸變換生成初始環(huán)切刀軌，其次是基于圖像變形算法迭代優(yōu)化刀軌，最終生成滿足加工形狀要求且滿足多工藝約束的環(huán)切刀軌。具體流程如圖6所示，對(duì)于給定的型腔邊界:① 將其從幾何域轉(zhuǎn)化為圖像域，生成一張二值圖像。其中型腔邊界經(jīng)過(guò)的像素點(diǎn)值為1，其余像素點(diǎn)值為0。② 基于中軸變換提取該圖像的骨架線，并根據(jù)步距約束對(duì)骨架線進(jìn)行修正，生成刀軌偏置基準(zhǔn)。③ 沿刀軌偏置基準(zhǔn)向外等距偏置生成初始環(huán)切刀軌。該刀軌雖然滿足等步距、平滑、無(wú)抬刀等約束，但是不滿足型腔的加工形狀要求，不能直接用于實(shí)際生產(chǎn)，還需進(jìn)一步的優(yōu)化。④ 基于圖像變形算法對(duì)刀軌圖像進(jìn)行整體迭代優(yōu)化，使其滿足加工形狀要求和多工藝約束。最終將刀軌轉(zhuǎn)換回幾何坐標(biāo)系，生成滿足平滑、無(wú)抬刀、步距在給定范圍內(nèi)平緩變化的型腔銑削環(huán)切刀軌。

圖6 多工藝約束下刀具軌跡生成及優(yōu)化流程圖Fig.6 Flowchart of tool path generation and optimization under multiple process constraints

2 基于中軸變換生成初始環(huán)切刀軌

傳統(tǒng)刀軌生成方法大多以型腔邊界為刀軌偏置基準(zhǔn)pathbase，向內(nèi)等距偏置生成環(huán)切刀軌。在偏置過(guò)程中由于幾何退化，圓角逐漸退化成尖角，刀具軌跡不可避免會(huì)存在急劇拐角和加工殘余等缺陷。但如果改變偏置方向，由內(nèi)向外偏置生成環(huán)切刀軌，那么就可以從根本上避免這些問(wèn)題。如圖7所示，與傳統(tǒng)向內(nèi)偏置生成的刀軌相比，向外偏置生成的刀軌從原理上不會(huì)出現(xiàn)退化，因此更平滑，且不存在加工殘余。除此之外，如果pathbase連續(xù)，向外偏置生成的刀軌將不會(huì)出現(xiàn)抬刀現(xiàn)象，滿足多工藝約束。因此改變刀軌生成方向，基于pathbase向內(nèi)而外生成刀具軌跡能夠保證后續(xù)生成滿足多工藝約束的環(huán)切刀軌。

圖7 生成環(huán)切刀軌的兩種偏置方向Fig.7 Two offset directions of contour-parallel path generation

如圖8所示，黑色曲線為型腔邊界，紅色曲線為選取的pathbase，而綠色曲線為基于pathbase向外等步距偏置生成的刀具軌跡，可以看出不同的pathbase生成的刀具軌跡也各不相同，一個(gè)合理的pathbase能夠保證生成的刀具軌跡與型腔邊界盡可能相似，且在后續(xù)刀軌優(yōu)化中保證滿足工藝約束尤其是步距約束，因此應(yīng)當(dāng)選取能夠正確反映型腔加工區(qū)域的結(jié)構(gòu)形狀的曲線作為pathbase。

圖8 基于不同刀軌偏置基準(zhǔn)生成的刀具軌跡Fig.8 Tool path generated by different path offset bases

基于此，本文采用由內(nèi)向外偏置的方法生成滿足多工藝約束的環(huán)切刀軌，關(guān)鍵在于確定pathbase，保證最終生成的刀具軌跡滿足多工藝約束。

2.1 基于中軸變換生成加工區(qū)域骨架線

表示平面區(qū)域內(nèi)結(jié)構(gòu)形狀的一種最直觀、最有效的方法就是將其簡(jiǎn)化為圖形，一般可以通過(guò)區(qū)域骨架化實(shí)現(xiàn)。骨架線位于區(qū)域內(nèi)部但可以有效體現(xiàn)區(qū)域形狀，因此可以用來(lái)描述型腔邊界的幾何特性。骨架線的求解方法主要有細(xì)化和中軸變換，細(xì)化是指在滿足拓?fù)洳蛔兒蛶缀渭s束下通過(guò)重復(fù)刪除邊界點(diǎn)直至得到一個(gè)連通點(diǎn)集作為骨架，它能夠很好地保證骨架的連續(xù)性，但位置不準(zhǔn)確，在歐氏空間中只是骨架的一個(gè)近似。而中軸變換除了能將區(qū)域骨架化，還能獲得骨架線到區(qū)域邊界的最短距離，即同時(shí)獲得區(qū)域的形狀和大小。因此本文采用中軸變換的方法實(shí)現(xiàn)區(qū)域骨架化，不僅可以得到骨架線，還能得到骨架線上像素點(diǎn)到特征點(diǎn)的距離，這是生成滿足步距約束刀軌偏置基準(zhǔn)的依據(jù)。

基于Vornoi圖[34]或基于距離變換[40]是實(shí)現(xiàn)中軸變換的常用方法。為了生成滿足約束的刀軌偏置基準(zhǔn)，需要對(duì)骨架線進(jìn)行修正，保留局部滿足約束的骨架線?；赩ornoi圖提取的骨架線由樹(shù)狀數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)，而在圖像域下，基于距離變換提取的骨架線可以由灰度圖表示，其中像素灰度值為該點(diǎn)與邊界曲線的最短距離，可以直接基于像素灰度值對(duì)骨架線進(jìn)行修正，生成滿足約束的刀軌偏置基準(zhǔn)，因此本文采用基于距離場(chǎng)的方法提取骨架線。該方法主要分為2個(gè)步驟，首先對(duì)圖像進(jìn)行距離變換生成距離場(chǎng)，其次提取距離場(chǎng)的脊線作為骨架線。該方法以形狀的邊界點(diǎn)為特征點(diǎn)，區(qū)域內(nèi)部點(diǎn)到這些特征點(diǎn)的最短距離形成了一個(gè)距離場(chǎng)，將此看做為一個(gè)距離曲面，那么該曲面的脊線就是所求的骨架線。

如圖9 (a)所示，在對(duì)加工區(qū)域進(jìn)行距離變換之前，型腔邊界需要向內(nèi)偏置一個(gè)刀具半徑的距離生成曲線C，為了保證型腔的加工形狀，曲線C是型腔最外層刀具軌跡。本文以C上的像素點(diǎn)為特征點(diǎn)生成距離灰度圖，使用不同的距離定義如棋盤(pán)距離、歐氏距離可以生成不同的距離分布。在實(shí)際加工中刀位點(diǎn)間的距離為歐氏距離，因此本文選用歐氏距離生成加工區(qū)域內(nèi)的距離場(chǎng)，每個(gè)像素點(diǎn)的灰度值表示該點(diǎn)與最近特征點(diǎn)之間的最短歐氏距離(Shortest Euclidean Distance, SED)。圖9 (a)中像素點(diǎn)的顏色代表灰度值的大小，顏色越暗表示灰度值越小，與特征點(diǎn)之間的SED越小，反之，顏色越亮的像素點(diǎn)灰度值越大，SED越大。

如圖9 (b)所示，得到加工區(qū)域的SED場(chǎng)后，提取距離場(chǎng)的脊線，即局部SED極值點(diǎn)即可形成骨架線SK，區(qū)域骨架化結(jié)果如圖9 (c)中紅色線段所示。

圖9 基于距離變換生成區(qū)域骨架線Fig.9 Generation of region skeleton based distance transformation

2.2 基于步距約束生成刀軌偏置基準(zhǔn)

由于SK能夠正確反映加工區(qū)域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因此本文以SK為基礎(chǔ)生成pathbase。無(wú)抬刀約束要求在加工區(qū)域內(nèi)所有刀具軌跡都由同一個(gè)偏置基準(zhǔn)偏置生成，因此pathbase應(yīng)當(dāng)保證連續(xù)。而步距約束表明骨架線上像素點(diǎn)與C之間的距離應(yīng)當(dāng)滿足一定條件，不是骨架線上所有的像素點(diǎn)都會(huì)作為pathbase的元素。假設(shè)任意一點(diǎn)pi∈pathbase，pi到qi∈C的歐氏距離最小，則pi和qi作為一對(duì)特征點(diǎn)。步距約束要求pi和qi間的距離，即pi的SED需要在一定范圍內(nèi)，從而保證生成的刀具軌跡滿足步距約束。綜上所述，為了保證最終生成的刀具軌跡滿足多工藝約束，對(duì)pathbase提出2點(diǎn)要求：① pathbase?SK，且pathbase連續(xù)。② pathbase上每一個(gè)像素點(diǎn)的SED滿足一定距離約束。

根據(jù)蒙皮鏡像銑等先進(jìn)制造技術(shù)的加工要求，刀軌間的步距需要滿足

0

(2)

式中：wu和wl分別為用戶定義的步距上下限。若w<0表明刀具軌跡存在交叉，w>2R則表明軌跡間距離過(guò)大，存在加工殘余，這2種情況都不滿足工藝約束，在加工中應(yīng)當(dāng)避免出現(xiàn)。

由于刀具軌跡是基于pathbase向外偏置生成的，為了保證最終生成的刀具軌跡滿足步距約束，需要根據(jù)骨架線上像素點(diǎn)的SED值修正骨架線生成合適的pathbase?；赟K生成pathbase就是以SK上最大值為pathbase上最大值，根據(jù)工藝約束計(jì)算pathbase上的最小值，即Lmax是SK也是pathbase上像素點(diǎn)SED的最大值，Lmin是pathbase上像素點(diǎn)SED的最小值，則

pathbase=

{pi|pi∈SK,Lmin≤SED(pi)≤Lmax}

如圖10 (a)所示，為了保證型腔內(nèi)部沒(méi)有加工殘余，令最內(nèi)層刀軌與pathbase間的距離為步距的一半。為了滿足無(wú)抬刀和步距約束，pathbase上像素點(diǎn)的SED應(yīng)當(dāng)滿足

Lmin≤(n-0.5)w≤Lmax

(3)

式中：n為刀軌數(shù)量，根據(jù)w所滿足的步距約束可推出：

(n-0.5)wu≥Lmax

(4)

(n-0.5)wl≤Lmin

(5)

由于n是正整數(shù)，可得

(6)

由于Lmin≤Lmax，且根據(jù)中軸變換Lmax值已知，因此可以確定

(7)

(8)

其中：nmax和nmin分別為n的上下限，對(duì)于滿足式(9)的正整數(shù)t:

nmin≤t≤nmax

(9)

Lmin需要滿足

(10)

即

(t-0.5)wl≤Lmin≤(t+0.5)wl

(11)

對(duì)于滿足式(11)的Lmin，以Lmin為SED下限對(duì)SK進(jìn)行修正，生成pathbase。刀具軌跡以pathbase為基準(zhǔn)向外偏置而成，因此為了滿足無(wú)抬刀約束，Lmin不僅需要滿足不等式，還需要保證生成的pathbase的連續(xù)性。如圖10(b)所示，藍(lán)色像素點(diǎn)的SED值不滿足要求，需要?jiǎng)h除，修正后的骨架線即圖10(b)中紅色部分作為pathbase。以pathbase為基準(zhǔn)向外偏置n次，偏置值為offset，可以生成如圖10 (c)綠色曲線所示的初始環(huán)切刀軌pathinitial，其中offset計(jì)算方法為

(12)

圖10 刀軌偏置基準(zhǔn)的生成Fig.10 Generation of tool path offset base

圖11系統(tǒng)地展示了基于中軸變換生成初始環(huán)切刀軌的步驟(R為曲率半徑)，從圖中可以看出，基于pathbase向外偏置生成的pathinitial非常好地滿足所有工藝約束：首先，刀具軌跡非常平滑且無(wú)抬刀；其次，刀軌間等步距。然而，如圖11(e)所示，pathinitial與所需加工形狀有一定的差異，而滿足加工形狀要求是刀具軌跡的基本要求，因此生成的刀具軌跡還需要進(jìn)一步的優(yōu)化才能用于實(shí)際加工中，基于中軸變換生成初始環(huán)切刀軌算法偽代碼如算法1所示。

圖11 基于中軸變換生成初始環(huán)切刀軌Fig.11 Generation of initial contour-parallel path based on medial axis transformation

3 基于圖像變形的刀軌迭代優(yōu)化

基于pathbase生成的pathinitial往往與型腔形狀差異較大，因此如何優(yōu)化初始刀軌使其在滿足加工形狀要求的同時(shí)滿足工藝約束尤其是步距約束成為關(guān)鍵問(wèn)題。如果對(duì)刀具軌跡進(jìn)行局部調(diào)整會(huì)導(dǎo)致它與其相鄰軌跡間的步距發(fā)生變化，進(jìn)而影響其他刀軌。如果基于幾何法對(duì)刀具軌跡進(jìn)行局部?jī)?yōu)化，這種連鎖效應(yīng)很難解決。因此本文將刀具軌跡視作二值圖像，利用基于移動(dòng)最小二乘(Moving Least Square, MLS)的圖像變形方法對(duì)刀軌圖像進(jìn)行剛性變形，使其達(dá)到理想的形狀的同時(shí)滿足多工藝約束。

3.1 基于MLS的圖像變形法

基于MLS的圖像變形[41]是一種基于控制點(diǎn)或控制線，簡(jiǎn)單高效地計(jì)算圖像實(shí)時(shí)變形的方法。根據(jù)MLS中使用線性函數(shù)的類型，變形可以分為三類:仿射變形、相似變形和剛性變形。與仿射變形和相似變形相比，剛性變形可以在很大程度上緩解原始圖像的縮放和剪切效應(yīng)，從而最好地保留局部特征。如圖12所示，雖然圓球變成橢球，但是球內(nèi)部元素即線條的相對(duì)位置沒(méi)有發(fā)生畸變，其局部特征得以保留，這與我們要解決的問(wèn)題類似，在優(yōu)化刀具軌跡是其滿足加工形狀的同時(shí)，保證軌跡間的相對(duì)位置關(guān)系盡可能不變。因此，本文采用將基于MLS的剛性變形應(yīng)用于刀具軌跡圖像，從整體優(yōu)化刀具軌跡的方法，使其在滿足加工形狀要求的同時(shí)，最大限度地保持內(nèi)部相對(duì)位置關(guān)系，即步距不發(fā)生較大變化。

圖12 基于MLS的圖像變形Fig.12 Image deformation based on MLS

如圖12 (b)所示，原始圖像I上每一個(gè)點(diǎn)v都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的權(quán)重wi滿足：

(13)

式中：pi為I上的變形控制點(diǎn)，記qi是pi的變形對(duì)應(yīng)點(diǎn)，可以分別計(jì)算出加權(quán)質(zhì)心p*與q*：

(14)

(15)

因此剛性變形方程可表示為

(16)

(17)

其中：fr(v)是v-p*旋轉(zhuǎn)和縮放后的形式，r表示剛性變形。為了計(jì)算點(diǎn)v在控制點(diǎn)約束下剛性變形后的坐標(biāo)，需要將fr(v)標(biāo)準(zhǔn)化并進(jìn)行縮放和平移。

3.2 基于圖像變形的刀軌優(yōu)化

如圖13 (a)所示，環(huán)切刀軌的初次變形需要將初始環(huán)切刀軌的最外層刀軌pathinitial{n}變形成C的形狀，因此在pathinitial{n}上均勻采樣像素點(diǎn)作為變形控制點(diǎn)pi，對(duì)應(yīng)的qi就是C上離pi最近的像素點(diǎn)。如圖13 (b)所示，以pi為圓心作圓，不斷增大圓的半徑，直至圓與C有交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)qi。

圖13 環(huán)切刀軌初次變形Fig.13 First deformation of contour-parallel path

圖14 迭代變形目標(biāo)區(qū)域Fig.14 Target region of iterative deformation

圖15 迭代變形中控制點(diǎn)的生成方法Fig.15 Method of control point generation in iterative deformation

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

基于MATLAB R2019a平臺(tái)實(shí)現(xiàn)了本文提出的基于中軸變換的型腔銑環(huán)切刀軌生成方法，為了驗(yàn)證該方法的性能，本文選擇了在實(shí)際生產(chǎn)中常用的、具有代表性的型腔形狀作為案例研究。圖16展示了5個(gè)不同形狀型腔的刀具軌跡，其中黑色虛線為型腔邊界，黑色實(shí)線為生成的環(huán)形刀軌，而藍(lán)色實(shí)線為基于樣條曲線生成的連接刀軌，用于連接環(huán)形刀軌實(shí)現(xiàn)刀軌間平滑過(guò)渡，保證在整個(gè)加工過(guò)程中刀具無(wú)抬刀且加工平穩(wěn)。

圖16 常見(jiàn)型腔的刀具軌跡Fig.16 Tool path of common pockets

此外，為了檢驗(yàn)刀具軌跡的平滑度和步距變化程度，本文以使用局部卷積技術(shù)生成環(huán)切刀軌的方法[13]為基準(zhǔn)，與本文所提出的方法形成對(duì)照。為了計(jì)算軌跡間步距變化程度，這里只考慮環(huán)切刀軌而不考慮連接刀軌。

圖17的第1列展示了型腔的環(huán)形刀軌，其中(a)表示采用本文提出的方法生成刀具軌跡，(b)表示采用局部卷積優(yōu)化的方法生成刀具軌跡。為了衡量刀具軌跡的平滑性，分別計(jì)算刀具軌跡的曲率，繪制沿著刀具軌跡曲率變化折線圖，如圖17第2列所示。從曲率折線圖中可以看出，相比于對(duì)照組的刀具軌跡，基于本文提出的算法生成的刀具軌跡曲率更小，說(shuō)明加工軌跡更為平滑。對(duì)照組的刀具軌跡曲率最值大，變化更為劇烈，這說(shuō)明在加工過(guò)程中存在更多的拐角，加工效率低，這在高速加工中應(yīng)盡可能避免。

圖17 型腔刀具軌跡曲率變化案例Fig.17 Cases studies of curvature variation

為了進(jìn)一步評(píng)估刀具軌跡質(zhì)量，本文檢驗(yàn)刀具軌跡是否滿足步距約束，即步距是否在給定范圍內(nèi)變化且變化率盡可能的小。這里令步距上限為刀具直徑wu=16 mm，以防止出現(xiàn)加工殘余，步距下限wl=10 mm，wl大于刀具半徑，這樣不僅可以提高粗加工中的加工效率，還可以保證在蒙皮鏡像銑過(guò)程中超聲測(cè)厚傳感器正常工作，不影響厚度測(cè)量的質(zhì)量，有效保證蒙皮厚度滿足加工要求。圖18的第1列展示了不同刀具軌跡的步距色圖，以便更好地展示沿著刀具軌跡步距分布情況，其中刀位點(diǎn)的顏色代表該點(diǎn)的步距，黃色表示大步距，而藍(lán)色表示小步距。從圖中可以看出基于本文所提出的方法生成的刀具軌跡步距都在給定的范圍內(nèi)變化，而對(duì)照組的刀具軌跡仍存在局部步距小于wl的現(xiàn)象，即刀位點(diǎn)的顏色是深藍(lán)色，這種缺陷在蒙皮鏡像銑等先進(jìn)制造中是應(yīng)當(dāng)避免的。

圖18 步距色圖和步距變化率案例Fig.18 Case studies of stepover colormap and stepover variation rate

為了更直觀地展示沿著刀具軌跡步距變化的程度，分別計(jì)算刀具軌跡步距變化率，如圖18的第2列所示。步距變化率折線圖直觀顯示本文所提出方法的優(yōu)越性，在拐角處步距變化更為平緩，不會(huì)出現(xiàn)急劇波動(dòng)，且整體步距變化率更小，更能夠保證加工過(guò)程中切削載荷的穩(wěn)定，提高加工質(zhì)量并延長(zhǎng)刀具壽命，滿足高性能加工的要求。而基于局部卷積方法生成的刀具軌跡步距變化率更大，說(shuō)明在加工過(guò)程中刀具切削載荷變化大，容易導(dǎo)致刀具振動(dòng)從而降低加工質(zhì)量。

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，本文提出的基于中軸變換的型腔銑削刀具軌跡生成方法能夠生成平滑、無(wú)抬刀、步距在一定范圍內(nèi)平緩變化的刀具軌跡，保證其滿足加工形狀要求和多工藝約束，提高加工質(zhì)量，穩(wěn)定切削載荷，延長(zhǎng)刀具壽命，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量高效率加工。

5 總 結(jié)

針對(duì)高速銑削和蒙皮鏡像銑的加工特點(diǎn)，本文結(jié)合刀具軌跡生成過(guò)程中的平滑無(wú)抬刀、步距等工藝約束，提出一種基于中軸變換的型腔刀具軌跡生成方法。將型腔幾何邊界轉(zhuǎn)化為二值圖像，基于中軸變換提取加工區(qū)域骨架線，并以用戶給定步距范圍為約束，修正骨架線作為刀軌偏置基準(zhǔn)，向外等距偏置生成初始環(huán)切刀軌。將刀具軌跡轉(zhuǎn)化為二值圖像，基于圖像變形算法，從整體出發(fā)，變形優(yōu)化刀具軌跡，使其最終滿足平滑、無(wú)抬刀、步距在一定范圍內(nèi)平穩(wěn)變化的環(huán)切刀軌，減小因切削載荷急劇變化引起的刀具振動(dòng)，提高加工質(zhì)量和加工效率，滿足高性能加工要求。

然而本文提出的方法仍然存在一定的局限性，沒(méi)有考慮高虧格度型腔，即內(nèi)部帶島嶼的情況，因此多工藝約束下帶島嶼型腔刀具軌跡的生成問(wèn)題將是后續(xù)的研究?jī)?nèi)容。除此之外，本文采用對(duì)骨架線進(jìn)行修正生成刀軌偏置基準(zhǔn)的方法，該方法要求骨架線上像素點(diǎn)的SED值變化盡可能連續(xù)，只有這樣在基于步距約束對(duì)骨架線修正時(shí)，才能生成連續(xù)的刀軌偏置基準(zhǔn)，從而滿足無(wú)抬刀的工藝約束。因此，如何生成更通用的刀軌偏置基準(zhǔn)，適用于更多類型的復(fù)雜型腔也是今后研究的重點(diǎn)。