福建省福清市南嶺中心小學(xué) 陳存祥

一、數(shù)形結(jié)合思想的基本含義

“數(shù)形結(jié)合”是什么？“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)知識和概念的兩種表現(xiàn)形式。“數(shù)形結(jié)合”實際上是一種教學(xué)概念的轉(zhuǎn)換方式。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，教師如果能適時巧妙地將“數(shù)”與“形”相結(jié)合，既可以將數(shù)學(xué)知識和概念通過形象的表現(xiàn)形式生動地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，也可以幫助學(xué)生用簡單的形象思維更好地理解抽象的數(shù)學(xué)知識，從而真正愛上數(shù)學(xué)。

小學(xué)生普遍認(rèn)為數(shù)的概念抽象，難以理解。所以，教學(xué)中需要教師合理地以“形”化“數(shù)”，通過形象直觀的“形”，來幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念，從而獲得“數(shù)”的認(rèn)識。當(dāng)學(xué)生對某個算式把握不準(zhǔn)時，可以用“形”來表述算式，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解算式；當(dāng)學(xué)生不能有效地解決數(shù)學(xué)問題時，使用“數(shù)形結(jié)合”可以可視化抽象問題，簡化復(fù)雜問題。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極分析課堂教學(xué)中的問題，有意識地將“數(shù)形結(jié)合”思想在解決實際問題中加以運(yùn)用。

二、數(shù)形結(jié)合思想在課堂中的運(yùn)用

（一）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)，打好學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

小學(xué)生接觸數(shù)學(xué)，是從他們熟悉的生活圖像中認(rèn)識數(shù)、認(rèn)識方位開始的，他們往往能通過觀察圖像獲取有效的信息，所以從圖像中抽象出來的數(shù)學(xué)知識，更容易讓學(xué)生接受。小學(xué)生的思維更傾向于形象思維，而數(shù)學(xué)的知識，更多的是邏輯抽象的表達(dá)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，都是從具體形象慢慢向抽象邏輯思維過渡的過程。

例如：在學(xué)生認(rèn)數(shù)的教學(xué)中，教師除了讓他們通過數(shù)小棒、撥計數(shù)器等實物的操作以外，還應(yīng)該借助“圖形”來幫助學(xué)生建立數(shù)的概念，培養(yǎng)他們的數(shù)感。這方面的例子還有很多，如一二年級開始學(xué)習(xí)識數(shù)、嘗試找規(guī)律，學(xué)會加減乘除，到三四年級初步認(rèn)識小數(shù)，五六年級認(rèn)識負(fù)數(shù)等，都是學(xué)生根據(jù)已有的生活經(jīng)驗在具體的表象中抽象出來。在教學(xué)中，教師要心存數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的妙用。

要使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)，必須具備較強(qiáng)的基礎(chǔ)知識和熟練的基本技能。如果教師只講解幾個典型練習(xí)，學(xué)生能夠解決問題了，就認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)理解數(shù)形結(jié)合思想了，這是片面的觀點(diǎn)。在進(jìn)行解決問題的教學(xué)時，教師應(yīng)根據(jù)問題的具體情況，利用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀了解“數(shù)”的計算，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方面觀察和理解問題，揭示問題的本質(zhì)關(guān)系。為了解決問題，我們要牢牢把握數(shù)形變換的策略，多渠道協(xié)調(diào)知識之間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，及時總結(jié)數(shù)與形在解決問題中的規(guī)律性，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。

（二）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，提高學(xué)習(xí)效率

小學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的啟蒙時期，這一時期應(yīng)特別注重滲透學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思想。在小學(xué)高年級的解決問題教學(xué)中，數(shù)量關(guān)系的分析往往是教學(xué)的難點(diǎn)。教學(xué)中，我們可以利用直觀的線段圖來幫助學(xué)生理解題意，分析梳理。更重要的是能讓學(xué)生在動手畫線段圖的過程中，經(jīng)歷、體驗“數(shù)形結(jié)合”的過程，使題目中的數(shù)量關(guān)系清晰地展現(xiàn)在學(xué)生眼前，使抽象的問題變得具體，復(fù)雜的問題變得簡單，降低解題的難度。“數(shù)形結(jié)合”可以促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，通過簡單的圖形（如統(tǒng)計圖）、符號和文字等發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯其最本質(zhì)的特征，它是提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)效率的有效方法。

例如：六年級“百分?jǐn)?shù)”中，有這樣一個知識點(diǎn)，“求一個數(shù)比另一個數(shù)增加（或減少）了百分之幾”，大部分學(xué)生對“增加了百分之幾”或“減少百分之幾”的意思存在較大的理解困難。為了突破這個難點(diǎn)，教師可利用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生分析和厘清數(shù)量關(guān)系。

我們可以這樣設(shè)計，○有10個，△有5個，△比○少了百分之幾？

○○○○○○○○○○

△△△△△

從圖形中我們不難看出，○比△多了5個，所以可得出算式：（10-5）÷10×100%＝50%

借助圖形，化數(shù)為形，使得學(xué)生對于題意的理解更顯簡單，思維上也更加活躍。數(shù)與形的巧妙結(jié)合，不僅能開闊學(xué)生解決問題的視野，也能促進(jìn)學(xué)生形象思維和邏輯思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識和創(chuàng)新意識，提高學(xué)習(xí)效率。

（三）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合幫助幾何形象表征，發(fā)展空間觀念

學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律一般是從直接感知到表象再到科學(xué)概念的形成。只有抓住中間環(huán)節(jié)，才能在幾何初步知識的教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的初步邏輯思維能力。

例如：我在“長方形和正方形的認(rèn)識”教學(xué)中，設(shè)計了這樣一個操作環(huán)節(jié)，“準(zhǔn)備幾組長短不一的小棒，分組讓學(xué)生根據(jù)長方形的長、寬特征，自由選擇用小棒來圍長方形，并且想象它與生活中的什么物體很相似”。有的學(xué)生圍了一個長20cm，寬15cm的長方形，觀察想象后說出：“這個長方形與我們數(shù)學(xué)書的形狀很相似”；有的學(xué)生圍了一個長3cm，寬2cm的一個長方形，在他們既有的生活經(jīng)驗中，會想象出與一塊橡皮相似……

又如：在“三角形面積計算”的教學(xué)中，我提示學(xué)生能不能將未知的圖形轉(zhuǎn)換成已學(xué)過的圖形來進(jìn)行探究，并提供了完全相同的直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形各兩個，讓學(xué)生在小組中合作，拼一拼，擺一擺，看一看，議一議，使學(xué)生進(jìn)一步理解和深化轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展空間觀念。接著利用多媒體課件展示標(biāo)有數(shù)據(jù)的等底等高的平行四邊形和三角形，讓學(xué)生觀察后回答問題：

1.平行四邊形不變，將三角形的高拉大到原來的3倍。

問學(xué)生：“這時，兩個圖形的面積有怎樣的關(guān)系？”

2.還原三角形的高，再把平行四邊形的高拉大到原來的3倍。

再問學(xué)生：“這時，它們的面積關(guān)系怎樣？”

3.保持平行四邊形的樣子，再把三角形的高拉大到原來的3倍。

“現(xiàn)在它們的面積又有怎樣的關(guān)系？”

此時，同學(xué)們都很活躍，想象力豐富，回答同樣的問題，會有各種各樣的想法。有的學(xué)生將變高的平行四邊形看成三個平行四邊形，每個平行四邊形面積是三角形面積的2倍，三個平行四邊形面積共是三角形面積的6倍。學(xué)生從多個方向進(jìn)行思考，大膽猜想，逐步加深對知識的理解。讓學(xué)生在這種活動中牢記平行四邊形和三角形的面積公式，并讓學(xué)生及時找出它們之間的規(guī)律，通過想象和推斷得出結(jié)論。這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力，還發(fā)展了他們的空間觀念。

（四）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解函數(shù)思想，發(fā)揮功能作用

小學(xué)數(shù)學(xué)雖然還沒有開始接觸函數(shù)，但是教材中有許多內(nèi)容都在慢慢地滲透函數(shù)思想。如小學(xué)五年級學(xué)習(xí)的“位置”，用數(shù)對表示平面圖形上的點(diǎn)，點(diǎn)的平移引起數(shù)對的變化，數(shù)對的變化對應(yīng)不同的點(diǎn)，此時的點(diǎn)和數(shù)對的關(guān)系類似于中學(xué)函數(shù)中自變量和函數(shù)值的關(guān)系。此外，在六年級學(xué)習(xí)的“正比例和反比例”中，先讓學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)，在坐標(biāo)圖中畫出對應(yīng)數(shù)據(jù)的點(diǎn)，再將所有的點(diǎn)依次連接，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像，發(fā)現(xiàn)所連接的點(diǎn)形成了一條直線。

接著提出質(zhì)疑：“是不是所有的正比例關(guān)系的圖像，都會是一條直線呢？”再讓學(xué)生自行研究所收集到的正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)，并在坐標(biāo)圖中描點(diǎn)連線，最后交流反饋。上述的圖形在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，足以使小學(xué)數(shù)學(xué)教師更加注重“數(shù)形結(jié)合”和“輔助數(shù)字”的結(jié)合。充分引入圖形，充分發(fā)揮它們在教學(xué)中的作用。

在我看來，雖然小學(xué)是學(xué)習(xí)函數(shù)的初始階段，但打好基礎(chǔ)尤為重要。要讓學(xué)生了解什么是函數(shù)，不僅要知道函數(shù)的本質(zhì)特征，而且要讓學(xué)生潛移默化地滲透函數(shù)思想。它既有利于學(xué)生形象思維和邏輯思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，又能相互促進(jìn)，提高學(xué)生的思維能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新能力。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，教師要想掌握好數(shù)形結(jié)合的思想方法并能靈活運(yùn)用，必須深入鉆研教材，挖掘教材中可將數(shù)形結(jié)合思想融入的教學(xué)點(diǎn)，熟悉數(shù)字知識中隱藏的幾何意義，建立“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換思考問題的習(xí)慣，不斷探索和積累經(jīng)驗，加深和加強(qiáng)對數(shù)形結(jié)合思想方法的理解和運(yùn)用，巧妙地將數(shù)形結(jié)合思想與課堂教學(xué)有機(jī)結(jié)合。這是提高數(shù)學(xué)教學(xué)能力的必由之路，也是促進(jìn)學(xué)生對學(xué)習(xí)方法的掌握、數(shù)學(xué)思想的形成的有效途徑，只有這樣才能真正讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，使其終生受益。