江蘇省南京市江寧區(qū)龍都中心小學(xué) 張 勤

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)可以看成是思維的操作活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是兒童學(xué)會(huì)思考的活動(dòng)過(guò)程。對(duì)于一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師而言，我們應(yīng)力爭(zhēng)在數(shù)學(xué)核心知識(shí)的教學(xué)中尋找到學(xué)生數(shù)學(xué)思考力生長(zhǎng)的關(guān)鍵，注重學(xué)生思考的發(fā)散性，優(yōu)化學(xué)生解決問(wèn)題的策略。筆者希冀通過(guò)這些有力的措施能推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)理解力和數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的發(fā)展，助推學(xué)生數(shù)學(xué)思維的碰撞和發(fā)展，從而最大限度地提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、深思熟慮：學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的內(nèi)涵、價(jià)值

本文提到的數(shù)學(xué)思考力特指學(xué)生在其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中展現(xiàn)的思維能力，涉及思考角度是否全面、思考方法是否多樣、思考內(nèi)容是否深刻等。一般來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)思考力與其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力及自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有關(guān)。而小學(xué)生數(shù)學(xué)思考力則是其在此年齡段所特有的一種對(duì)數(shù)學(xué)感知、知識(shí)理解及問(wèn)題思考的能力，兒童數(shù)學(xué)思考力有自己獨(dú)一無(wú)二的、多方面的內(nèi)涵及價(jià)值。

（一）豐富的童真、童趣

小學(xué)生數(shù)學(xué)思考力在其參加活動(dòng)中有所體現(xiàn)，傾向于具體形象，充滿(mǎn)童趣。關(guān)注他們的初始經(jīng)驗(yàn)及其童真思考，有利于了解學(xué)生的已有認(rèn)知能力，預(yù)測(cè)未來(lái)方向，為其今后發(fā)展開(kāi)辟空間。

（二）源于形象又指向抽象

鑒于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和身心發(fā)展規(guī)律，他們?cè)谶M(jìn)行思考時(shí)需依賴(lài)可見(jiàn)的、直觀(guān)的、形象的物體。但具體、形象之后的適度抽象、概括更易觸發(fā)學(xué)生的深度思考，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的提升。

（三）能夠可持續(xù)發(fā)展

小學(xué)生正值學(xué)習(xí)和成長(zhǎng)的關(guān)鍵時(shí)期，其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是在這樣連續(xù)的“平衡—不平衡—平衡”的認(rèn)知沖突中不斷地得以深入。教師只有在教育教學(xué)的過(guò)程中站在學(xué)生的角度考慮他們語(yǔ)言發(fā)展水平、思維生長(zhǎng)能力等，盡可能地創(chuàng)設(shè)能夠發(fā)揮學(xué)生潛能的情境，激發(fā)其不斷拾級(jí)思考，才可能最大限度地發(fā)掘?qū)W生的潛能。

二、架構(gòu)與踐行：學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的持續(xù)發(fā)展

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本是學(xué)生發(fā)展。學(xué)生的學(xué)習(xí)是在與伙伴的對(duì)話(huà)、與自己的對(duì)話(huà)、與客觀(guān)世界的對(duì)話(huà)過(guò)程中進(jìn)行的，他們的數(shù)學(xué)思考力也是在“三位一體”的過(guò)程中激發(fā)和生成的。動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)方式是發(fā)展數(shù)學(xué)思考力的重要方法，數(shù)學(xué)思考力的養(yǎng)成是一個(gè)極具生命力的過(guò)程。

（一）目標(biāo)的構(gòu)建——讓學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的發(fā)展“有本可依”

1.著眼目標(biāo)，明晰：做什么

學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力是在解決問(wèn)題的過(guò)程中逐漸推進(jìn)、緩慢提升的?！熬劢鼓繕?biāo)，明確做什么”是學(xué)生思考的基礎(chǔ)。

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科，從低年級(jí)起教師就應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、尋找目標(biāo)的思考能力。如一年級(jí)就可以通過(guò)融合“說(shuō)算式意義”“看圖列式”等教學(xué)活動(dòng)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)他們的問(wèn)題意識(shí)。學(xué)生有了明確的目標(biāo)，才會(huì)有正確的方向，然后按正確的方向去探究問(wèn)題才更有意義、更具價(jià)值。

2.分解目標(biāo)，思考：怎么做

從學(xué)生解決問(wèn)題步驟的角度分析后，制定方案是最重要的，方案影響最終結(jié)果的呈現(xiàn)。我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)，尋找較為準(zhǔn)確的方法去解決問(wèn)題。學(xué)會(huì)選擇一種最好的方法去解決問(wèn)題，體現(xiàn)其優(yōu)化思維的能力。

3.追溯目標(biāo)，尋求：為什么

美國(guó)心理學(xué)家弗萊維爾認(rèn)為：元認(rèn)知的本質(zhì)是一個(gè)人對(duì)認(rèn)知活動(dòng)及結(jié)果的自我認(rèn)識(shí)、自我批評(píng)、自我控制、自我調(diào)節(jié)、自我體驗(yàn)。教師有必要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常問(wèn)自己“我這樣做對(duì)不對(duì)？”“我為什么要這樣做呢？”“是不是還有其他更好的方法呢？”等問(wèn)題，這種反復(fù)細(xì)致的查看和經(jīng)常性的反思是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)會(huì)思考的重要環(huán)節(jié)。

引導(dǎo)學(xué)生依照“著眼目標(biāo)一分解目標(biāo)一追溯目標(biāo)”這個(gè)步驟分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、回顧反思，能夠培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣，提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)其數(shù)學(xué)思考力。

（二）策略的提領(lǐng)——讓學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的發(fā)展“有章可循”

小學(xué)階段，教師幫助學(xué)生建構(gòu)規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維方式是非常重要的，可以為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。教師在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，既要注重答案，又要注重分析學(xué)生的思考過(guò)程和解決問(wèn)題運(yùn)用的方法策略。

1.傾聽(tīng)點(diǎn)化，牽線(xiàn)搭橋

如蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”一課中有一道解決問(wèn)題的題目是這樣的：小華和小力出同樣多的錢(qián)買(mǎi)一箱蘋(píng)果，結(jié)果小華拿了8千克，小力拿了12千克。這樣，小力就要給小華16元。蘋(píng)果的單價(jià)是多少元？課堂上學(xué)生提出了兩種解題思路：

第一種：12-8=4（千克），16÷（4÷2）=8（元/千克）

第二種：8+12=20（千克），20÷2=10（千克），16÷（12-10）=8（元/千克）

師：這兩種方法算出的答案都是8元/千克，你們認(rèn)為都可行嗎？

生1：我理解第二種方法，對(duì)第一種方法不太理解。

生2：兩種方法雖然不同，但最后一步算的都是16÷2。我在思考，這兩種方法中的“2”分別表示什么意思呢？

生3：我同意第二個(gè)同學(xué)說(shuō)的，我覺(jué)得第一種方法更簡(jiǎn)單。但不是很明白他的“2”表示什么意思。

師：是不是也有同學(xué)和他們有一樣的疑惑？那有沒(méi)有同學(xué)來(lái)幫我們分析一下呢？

生1：我來(lái)解釋第二種方法，小華拿8千克，小力拿12千克，說(shuō)明這箱蘋(píng)果一共有20千克，那么每個(gè)人應(yīng)該拿走10千克。小力多拿了2千克，多付了16元，那蘋(píng)果的單價(jià)就是16÷2=8（元/千克）了。

生2：小力拿12千克，小華拿8千克，小力比小華多拿4千克，那么根據(jù)以前我們做題的經(jīng)驗(yàn)可以知道，小力需要將多拿的4千克分給小華2千克，這樣兩人就一樣多了。小力多付的16元是2千克蘋(píng)果的價(jià)錢(qián)，推算出每千克蘋(píng)果8元。

師：大家用了不同的方法解決了這道題目的問(wèn)題，但多種方法中有相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單的方法，我們要學(xué)會(huì)對(duì)方法進(jìn)行優(yōu)化。

教師在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中只需進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，激發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)傾聽(tīng)和思考，在此過(guò)程中，不同觀(guān)點(diǎn)在不斷碰撞，疑惑也在逐漸消散。因此，教師要做的是：在知識(shí)關(guān)鍵處設(shè)置問(wèn)題、適當(dāng)點(diǎn)化、及時(shí)評(píng)價(jià)，引發(fā)學(xué)生不斷進(jìn)行深度思考。

2.串聯(lián)成線(xiàn)，貫穿融會(huì)

如在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”練習(xí)二中的習(xí)題時(shí)，教師首先給予學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行自主思考，然后組織交流分享：

生：將長(zhǎng)方形拉成平行四邊形，底不變，高變矮了（邊說(shuō)邊操作學(xué)具）

師：有沒(méi)有同學(xué)能夠?qū)⒏叩淖兓磉_(dá)得更清晰一些呢？

生1：我是通過(guò)畫(huà)圖來(lái)了解高的變化的，請(qǐng)大家看我畫(huà)的圖。

生2：我覺(jué)得還可以畫(huà)得更明顯一些。將平行四邊形拉得更夸張一些，這樣高接近0了，那么面積也就接近0了?？墒侵荛L(zhǎng)依舊是38厘米。

（師再組織學(xué)生進(jìn)行想象、推理、操作、驗(yàn)證）

在上述教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生將長(zhǎng)方形、平行四邊形兩個(gè)平面圖形的周長(zhǎng)和面積概念串聯(lián)在一起，把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題和形象、具體的操作串聯(lián)在一起，將學(xué)生們多樣的思維方式串聯(lián)在一起。這樣學(xué)生對(duì)這一課的知識(shí)點(diǎn)就有更深刻的理解和認(rèn)識(shí)。

3.反芻結(jié)網(wǎng)，交織跳動(dòng)

教師在教學(xué)過(guò)程中要勤于、善于組織學(xué)生進(jìn)行“反芻”，讓不同學(xué)生的不同想法相互交織，從而靈性思考，力求使學(xué)生的思考更有深度、更具廣度。在上述兩個(gè)教學(xué)案例中，教師耐心引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題，組織學(xué)生圍繞相關(guān)概念深入展開(kāi)討論，激發(fā)學(xué)生動(dòng)手操作、積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生間相互切磋，收到了較好的教學(xué)效果。

傾聽(tīng)、串聯(lián)和反芻都是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的教學(xué)活動(dòng)內(nèi)容。其中，傾聽(tīng)是基礎(chǔ)、串聯(lián)是關(guān)鍵、反芻是屏障。

（三）路徑的延展——讓學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的發(fā)展“有勁可使”

兒童心理學(xué)家皮亞杰指出：學(xué)習(xí)是新、舊材料和經(jīng)驗(yàn)融合后形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，而學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷重組伴隨著智力發(fā)展、認(rèn)知方式提升、思維生長(zhǎng)，其表現(xiàn)形式則是多種多樣的，包括圖式、同化、順應(yīng)及平衡等。

1.發(fā)現(xiàn)不同自我

自我實(shí)現(xiàn)是每個(gè)人與生俱來(lái)的，自我實(shí)現(xiàn)能促使學(xué)生最大限度地實(shí)現(xiàn)自身的各種潛能。要達(dá)到自我實(shí)現(xiàn)，最為重要的是提高學(xué)生的自我意識(shí)，幫助他們看到自己的內(nèi)在潛能和價(jià)值。

2.認(rèn)同異樣伙伴

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主陣地是課堂，學(xué)習(xí)除了需要建構(gòu)自己與學(xué)習(xí)對(duì)象的聯(lián)系，更需要建構(gòu)學(xué)習(xí)者與學(xué)習(xí)伙伴的聯(lián)系。一般來(lái)說(shuō)，我們?cè)趯W(xué)生合作交流前會(huì)先讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考，因?yàn)榛讵?dú)立思考的交流、互動(dòng)才更具價(jià)值。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種交往互動(dòng)的過(guò)程。在此過(guò)程中，他們會(huì)不斷獲得認(rèn)同感和成就感，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。還能感受到解決問(wèn)題方法的多樣化，能學(xué)會(huì)接納不同的聲音、學(xué)會(huì)互相欣賞，進(jìn)而拓展自己的思路。

3.接納差異個(gè)性

學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者探索從已知世界到未知世界的過(guò)程，是建立在“三位一體”基礎(chǔ)上的，借助多種形式重建其與世界、與他人、與自己的關(guān)系，重構(gòu)事物的意義，簡(jiǎn)而言之，學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)就是這種關(guān)系和意義的重構(gòu)。人們的思考方式是各具特色的，在學(xué)習(xí)過(guò)程中要允許學(xué)生有獨(dú)特思考，盡可能地營(yíng)造較為寬松、具有安全感的學(xué)習(xí)氛圍，引導(dǎo)他們耐心傾聽(tīng)、細(xì)心分辨、真心吸收、及時(shí)改正，讓他們?cè)刚f(shuō)、敢說(shuō)、樂(lè)說(shuō)，不斷完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，不斷主動(dòng)構(gòu)建起新的知識(shí)體系。

數(shù)學(xué)家陳省身說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來(lái)，用自己的見(jiàn)解和別人的見(jiàn)解交換，會(huì)有很好的效果?！毙W(xué)數(shù)學(xué)教師在課堂上要給予學(xué)生充裕的時(shí)間進(jìn)行思考，鼓勵(lì)差異性思考，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)思考力。