董 超，王 彪，黃鵬程，唐超穎，魏東輝

(1.南京航空航天大學 自動化學院，南京 211106；2.復雜系統(tǒng)控制與智能協(xié)同技術重點實驗室，北京 100074)

0 引言

軍用飛行器常常需要貼地起伏飛行以利用地形躲避防空系統(tǒng)的探測，這種飛行方式稱為“地形跟隨”。地形跟隨技術大致可以分為兩類[1]，一類是角指令法，另一類為參考航跡法。早期地形跟隨系統(tǒng)多采用角指令法[2]，利用飛行器與地形的相對位置關系生成航跡控制指令。參考航跡法基于數(shù)字地圖生成飛行參考航跡，再通過航跡跟蹤實現(xiàn)地形跟隨，航跡跟蹤是該地形跟隨方案的關鍵部分，控制系統(tǒng)需要具備較高的跟蹤精度以保證地形跟隨的安全性。在低空高速狀態(tài)下，PID難以提供良好的跟蹤性能，也很難處理實際系統(tǒng)的物理限制[3]。L1[4]、矢量場[5]等非線性導引律對變曲率航跡的跟蹤效果較差。針對這些問題，滾動時域控制(RHC)在航跡跟蹤領域正受到越來越多的關注。RHC又稱“模型預測控制(MPC)”，作為一種基于模型的控制策略，它可以顯著提高控制性能，其控制目標是使跟蹤誤差最小化[6]，從而使航跡控制成為有約束系統(tǒng)的輸出跟蹤問題。文獻[7]采用基于狀態(tài)擴展的雙反饋MPC設計固定翼無人機航跡跟蹤控制器，取得了比較精確的跟蹤效果。文獻[8-9]則使用非線性MPC作為控制策略，為了減小計算量，對模型進行了簡化以確保實時性。文獻[10]所設計的線性MPC可將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在單位圓內(nèi)，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。目前多數(shù)文獻在設計跟蹤控制器時均使用直線或圓弧航跡作為參考輸入，雖然這種做法簡單便于應用，但航跡在航跡點處是不光滑的，跟蹤誤差會發(fā)生突變，從而使舵角容易產(chǎn)生飽和。文獻[11]針對變曲率曲線航跡設計了一個MPC控制器，但簡單的運動學模型并不適合高速飛行器，為了提高飛行器在高速飛行時的可靠性，控制策略必須考慮飛行動力學的影響，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定運行的同時，充分發(fā)揮飛行器的潛力。

本文針對亞音速飛行器地形跟隨問題，首先基于數(shù)字地圖進行最優(yōu)航跡規(guī)劃，再將滾動時域優(yōu)化策略用于航跡跟蹤控制器設計，提高高速飛行器對復雜航跡的跟蹤能力。在真實山區(qū)地形數(shù)據(jù)上進行仿真驗證，通過與基于適應角導引的地形跟隨方法對比，驗證本文地形跟隨方法的有效性。圖1為本文地形跟隨系統(tǒng)框圖。

圖1 地形跟隨系統(tǒng)結構圖

1 問題建立

1.1 飛行器模型與參考航跡

使用六自由度非線性動力學方程描述飛行器的運動，忽略機體y軸所受的力以及滾轉、偏航力矩，其縱向運動方程為[12-13]：

(1)

(2)

(3)

式中，u,w分別是飛行器速度沿機體x,z軸的分量；θ為俯仰角，q為機體俯仰角速度；T,X,Z分別為推力、機體x軸和z軸的氣動力，推力沿機體縱軸，M為俯仰力矩。有關飛行器的參數(shù)詳見[14]。

由圖1可知，需要根據(jù)數(shù)字地圖生成參考航跡。本文參考文獻[15]，采用最優(yōu)航跡規(guī)劃算法生成參考航跡，參考航跡由分段三次樣條表示，優(yōu)化目標為航跡與地形的貼合程度。與[15]不同的是，本文在目標函數(shù)中添加了法向加速度平方項，從而減少飛行器大幅度機動的次數(shù)，使飛行更加平穩(wěn)。圖2顯示了這兩種不同規(guī)劃方法的區(qū)別。

圖2 最優(yōu)航跡規(guī)劃結果

1.2 航跡跟蹤控制問題描述

如圖3所示，航跡跟蹤控制的目的是選擇合適的控制輸入，使位置誤差向量ep漸進收斂至0：

圖3 航跡跟蹤示意圖

ep=(d-p)×Td

(4)

式中,Td為參考航跡點d處的單位切線矢量，p為飛行器當前位置，同時速度方向與航跡的方向Td一致，使:

eγ=γd-γ

(5)

式(4)和式(5)表明，只要根據(jù)飛行器當前位置選擇一個參考點，并求出沿航跡切線方向的向量，就可以使用此目標公式設計滾動時域控制的目標函數(shù)，因此它適合于任何航跡，而不局限于直線或圓弧等特定形式的航跡。

2 航跡跟蹤控制器設計

2.1 控制目標

根據(jù)1.2節(jié)的討論，航跡控制的目標是最小化控制輸入與跟蹤誤差：

(6)

由圖3可知，為了達到控制目標，正確選取預測時域內(nèi)的參考航跡點d是提高控制器性能的關鍵，本文根據(jù)當前位置p(k)和速度矢量V(k)，使用歐拉法對未來的位置p(k+i)進行預測，并在慣性系下定義未來有限時域內(nèi)的參考航跡點，如圖4所示。這種方法的思想來源于駕駛員對車輛的操縱：駕駛員總是相對于車輛縱軸來預判未來的位置[16]。

圖4 預測時域內(nèi)參考航跡點的選取

2.2 滾動時域控制

RHC航跡控制器是系統(tǒng)穩(wěn)定、快速跟蹤參考航跡的關鍵，在進行控制器設計時，首先將飛行器方程(1)～(3)在平衡點處進行線性化，再按一定采樣周期進行離散化處理，得離散狀態(tài)方程：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

y(k)=Cx(k)

(7)

式中,狀態(tài)量、被控量和控制量依次為：

x= [V,α,q,θ,pow,h]T

y=[V,γ,h]T

u=[δt,δe]T

(8)

式中,γ=θ-α為航跡傾斜角，pow為發(fā)動機功率水平。V為飛行器總速度，δe、δt分別表示升降舵偏轉角和油門開度。為了對控制增量進行限制，避免控制量突變，需要將式(7)轉換成以控制增量Δu(k)為輸入的形式，定義狀態(tài)增量與控制增量：

Δx(k)=x(k)-x(k-1)

Δu(k)=u(k)-u(k-1)

(9)

增廣狀態(tài)向量：

(10)

建立以ξ(k)為狀態(tài)量、Δu(k)為控制輸入的積分增廣狀態(tài)空間表達式[17]：

(11)

Y(k)=Fξ(k)+ΦΔU(k)

(12)

飛行器的控制量在控制時域內(nèi)定義為：

umin(k+j)≤u(k+j)≤umax(k+j)

Δumin(k+j)≤Δu(k+j)≤Δumax(k+j)

j=0,1,…,Nc-1

(13)

類似地，狀態(tài)約束在預測時域內(nèi)定義為：

xmin(k+j)≤x(k+j)≤xmax(k+j)

j=0,1,…,Np-1

(14)

定義了目標函數(shù)(6)和約束(13)～(14)后，可使用二次規(guī)劃算法求解該優(yōu)化問題，生成最優(yōu)控制指令序列后使用其中第一個作為最優(yōu)控制輸入，而下一時刻的控制量則根據(jù)下一時刻的狀態(tài)反饋重新計算。

3 仿真結果與分析

3.1 撞地概率計算

使用撞地概率指標對地形跟隨系統(tǒng)進行評價。假設t時刻飛行器的海拔高度為h(t)，地形海拔高度為T(t)，飛行器與地形之間的凈高度差為he(t)=h(t)-T(t)，預設的安全高度為H0，定義高度誤差為Δh(t)=H0-he(t)，將飛行器看作一個質(zhì)點，則撞地事件可以用如下公式表示[18]：

Δh(ti)≥H0

(15)

滿足式(15)的所有時刻ti均視為撞地。統(tǒng)計全過程中所有的ti，得到每次撞地事件所經(jīng)歷的時間tpi，最后根據(jù)總仿真時間ttotal，得到本文使用的撞地概率計算公式：

(16)

除了計算相對實際地形的撞地概率，本文還考慮了離地Hsafe處“虛擬地形”的撞地概率，即選取不同的離地高度Hsafe，當飛行器滿足:

Δh(ti)≥H0-Hsafe

(17)

時表示飛行器撞上了離地Hsafe處的“地形”，其撞地概率同樣用公式(16)計算。

3.2 仿真結果

本文的地形數(shù)據(jù)從地理空間數(shù)據(jù)云平臺上得到，如圖5所示，該地形在起伏度分級上屬于“高山起伏”[19]。飛行器初始速度V=200 m/s，初始高度h=80 m，RHC采樣周期Ts=0.1 s，預測時域Np=20，控制時域Nc=20，RHC控制器的權矩陣設置為：

圖5 50 km地形剖面

Q= diag[0.01,200,0.01]

R= diag[2000,15]

(18)

升降舵以一階慣性環(huán)節(jié)表示其動態(tài)，增益為1/0.049 5，偏轉幅度為±25°，偏轉速率限制為±60°/s。

仿真1:圖6顯示了50 km的地形上進行地形跟隨的結果，可以看出，飛行器的實際飛行航跡與參考航跡貼合十分緊密，顯示了較高的跟蹤精度，即使在某些坡度較大的地方也不會有撞地的危險，這是因為RHC可以根據(jù)前方航跡的變化提前動作以減小過峰谷時的過沖。圖7為飛行器的各個狀態(tài)隨時間的變化曲線，包括航跡傾斜角γ、迎角α和速度V，可以看到迎角處于約束范圍[-10°,45°]內(nèi)，速度保持在200 m/s附近。圖8為高度、航跡角誤差曲線及執(zhí)行器輸入，高度誤差最大5.80 m，平均值0.10 m，標準差1.26 m，結果表明航跡控制方法有效完成了地形跟隨任務。

圖6 地形跟隨結果

圖7 狀態(tài)曲線

仿真2:為了驗證系統(tǒng)在存在導航誤差時的跟蹤效果，在水平與高度方向均存在導航誤差的情況下進行了多次仿真。導航誤差來自GPS，呈高斯分布，方差為1，誤差水平(均值)有不同等級。一般GPS的導航誤差最大為10 m，本文增設了20 m與30 m的誤差水平。RHC參數(shù)設置保持不變，每個誤差水平下進行50次仿真，記錄其跟蹤誤差數(shù)據(jù)及撞地概率。除了計算相對實際地形的撞地概率，還計算離地10 m、20 m處“虛擬地形”的撞地概率，取所記錄數(shù)據(jù)的平均值作為最終結果，將不同誤差水平下的平均誤差及撞地概率數(shù)據(jù)記錄在表1中。圖9為某一次仿真的結果。

從表1中可以看出，隨著導航誤差增大，跟蹤誤差也隨之增大，但在誤差水平達到30 m時才有可能出現(xiàn)撞地事故，這意味著飛行器實際飛行過程中的某些位置離地面不到10 m，但對于實際地形，撞地概率依舊為0，從圖9中也可以看出這一點。

表1 水平與高度方向均存在導航誤差的地形跟隨結果

圖9 30 m導航誤差水平下的地形跟隨結果(29～35 km)

表2為只有水平方向的導航誤差時的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在30 m誤差范圍內(nèi)均不存在撞地危險，顯然只有水平導航誤差時的系統(tǒng)性能要比存在高度導航誤差的情況好得多。從表1與表2的數(shù)據(jù)可以看出，高度方向的導航誤差對地形跟隨撞地概率的影響遠遠大于水平方向，因此從地形跟隨的安全角度來說，應盡量減小高度測量誤差，除了使用GPS外，最好添加氣壓計或無線高度表等額外傳感器作為輔助。

表2 只有水平方向存在導航誤差的撞地概率統(tǒng)計

仿真3:與基于適應角導引的地形跟隨系統(tǒng)進行對比實驗。適應角法是傳統(tǒng)地形跟隨中使用最廣泛的方法，在利用前視傳感器獲得前方地形信息后，通過適應角可以得到航跡傾斜角的指令。角指令由如下公式給出[20]：

(19)

式中,Kθ為增益，F(xiàn)s為抑制函數(shù)。本文的抑制函數(shù)分為三段，分別對應飛行器在地形跟隨中的3個階段，以飛行器與障礙物/地形的相對位置劃分為：末段沖刺、中程拉起和遠程下滑。斜距在3個階段有著不同的值，分別為3 500 m、3 900 m、4 627 m，雷達對前方地形的探測角度為±8°，參數(shù)Kθ為1.12。

圖10顯示了適應角法地形跟隨的結果，可以發(fā)現(xiàn)，與本文基于數(shù)字地圖的地形跟隨系統(tǒng)相比，該方法的貼地效果較差，在過峰后的過沖較大，增加了飛行器暴露的時間，而在某些地方飛行器離地面非常近，增加了撞地概率。在實際應用中，基于適應角導引的地形跟隨系統(tǒng)通常會犧牲貼地性能以保證安全性，這是其缺陷所在。對比仿真表明，本文所使用的地形跟隨方法具有更優(yōu)異的貼地性能以及更好的安全性。

圖10 地形跟隨結果比較

4 結束語

本文設計了亞音速飛行器地形跟隨控制系統(tǒng)。使用最優(yōu)航跡規(guī)劃算法生成參考航跡，該航跡能夠在貼近地形的同時減少不必要的飛行機動。針對精確航跡跟蹤問題，基于RHC設計了一個航跡跟蹤控制器，即使存在導航誤差時該控制器也具有良好的跟蹤性能。討論了目標函數(shù)的設計，以及預測時域內(nèi)參考航跡點的選取，提高飛行器對復雜曲線航跡的跟蹤性能。最后，與使用適應角法的地形跟隨系統(tǒng)進行對比仿真，結果表明，本文所設計的系統(tǒng)具有良好的安全性和優(yōu)異的貼地性能，非常適合在高山地形上執(zhí)行地形跟隨任務。