基于T-S模糊雙線性模型的事件觸發(fā)滑?？刂?/h1>
2021-12-01 07:55:28陳漢,陳珺
計算機(jī)測量與控制 2021年11期
陳 漢,陳 珺
(江南大學(xué) 輕工過程與先進(jìn)控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122)
0 引言
近二十年來，復(fù)雜非線性系統(tǒng)的模糊模型及其控制方法受到了廣泛的關(guān)注，而T-S模糊模型的后件部分為函數(shù)，可由表示非線性系統(tǒng)局部輸入輸出關(guān)系的模糊規(guī)則(IF-THEN)表述，具有良好的描述非線性系統(tǒng)的能力，因此被廣泛采用[1]。T-S模糊模型通過用線性系統(tǒng)模型[2]表示每個模糊規(guī)則的局部動態(tài)特征，并對線性系統(tǒng)模型利用模糊規(guī)則進(jìn)行模糊推理，得到系統(tǒng)的整體模糊模型。此外，并行分布補(bǔ)償(PDC)技術(shù)提供了一種可使模糊系統(tǒng)穩(wěn)定的模糊控制器設(shè)計方法。在設(shè)計模糊控制器時，每個控制規(guī)則與T-S模糊模型[3]的模糊規(guī)則相對應(yīng)，最終得到的整體模糊控制器是每個獨立線性控制器的模糊整合[2-4]。
現(xiàn)有的研究成果大多是基于局部線性模型的T-S模糊模型的穩(wěn)定性分析與建模上，然而，基于局部線性模型的模糊模型只能描述部分非線性系統(tǒng)，相較而言，基于局部雙線性模型的模糊模型可以更精準(zhǔn)地逼近非線性系統(tǒng)。雙線系統(tǒng)涉及狀態(tài)和控制量的乘積，可以描述許多物理和生物過程，能更明顯地表征非線性系統(tǒng)的動力學(xué)特性[5-7]。因此，模糊雙線性模型引起了廣大學(xué)者的研究興趣：文獻(xiàn)[8]給出了T-S模糊雙線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計方法；文獻(xiàn)[9]研究了帶擾動的連續(xù)模糊雙線性系統(tǒng)的非脆弱魯棒鎮(zhèn)定問題，之后研究結(jié)果又被推廣到狀態(tài)帶有時滯的連續(xù)時間模糊雙線性系統(tǒng)[5]；對于離散系統(tǒng)，文獻(xiàn)[10]研究了一類不確定離散模糊雙線性系統(tǒng)的魯棒H∞控制，之后結(jié)果被推廣到離散時滯模糊雙線性系統(tǒng)[11]；文獻(xiàn)[6]給出了帶有擾動的連續(xù)模糊雙線性系統(tǒng)魯棒自適應(yīng)觀測器設(shè)計方法。
然而，這些控制方法都是基于狀態(tài)反饋或觀測器得到的，關(guān)于模糊雙線性系統(tǒng)的滑模控制方法依然較少。文獻(xiàn)[12]研究了齊次模糊雙線性系統(tǒng)的滑模控制方法，并給出了滑模面最優(yōu)參數(shù)的求解算法。對帶有雙線性白噪聲的離散模糊雙線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[13]研究了滑?？刂茖ο到y(tǒng)復(fù)雜性能的影響。文獻(xiàn)[14]則針對單輸入單輸出且?guī)в醒舆t的模糊雙線性系統(tǒng)，給出了一種魯棒滑?？刂破鞯脑O(shè)計方法。可是，在這些研究成果中，由于雙線性系統(tǒng)的特殊性，滑模控制器難以避免地被設(shè)計為分?jǐn)?shù)形式，且分母中包含狀態(tài)變量。這樣一來，在系統(tǒng)運行時，就可能存在控制器的奇異問題。
為此，本文考慮對滑?？刂埔胧录|發(fā)機(jī)制。傳統(tǒng)的滑?？刂品椒ㄊ腔跁r間觸發(fā)的，這需要執(zhí)行器不考慮狀態(tài)的變化，定期執(zhí)行和更新控制任務(wù)。在系統(tǒng)狀態(tài)變化不大的情況下，基于時間觸發(fā)的滑?？刂茣黾油ㄐ诺男畔⒔粨Q負(fù)擔(dān)。而前人所提出的事件觸發(fā)機(jī)制[15-16]，只有當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不滿足某些條件或事件時，控件才會更新。這意味著事件觸發(fā)機(jī)制可以減少通信中的信息交換負(fù)擔(dān)[17-19]。與此同時，這種非周期控制策略也為滑?？刂频难芯刻峁┝艘环N新的方法。通過使用基于事件觸發(fā)的滑?？刂疲侠淼脑O(shè)計觸發(fā)參數(shù)，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡也可以保持在預(yù)先設(shè)計的滑模面上。迄今為止，事件觸發(fā)滑?？刂圃陔x散系統(tǒng)[20]、交換系統(tǒng)[21]、T-S模糊系統(tǒng)[22]等各個領(lǐng)域都取得了較好的研究成果。因此，受以上成果啟發(fā)，針對模糊雙線性系統(tǒng)滑?？刂破髌娈悊栴}，構(gòu)造了事件觸發(fā)滑模控制器。
1 滑模控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及原理
考慮一類由T-S模糊雙線性模型描述的非線性系統(tǒng)，其規(guī)則如下：
Plant Rule i: IF ?1(t) isMi1and … and ?p(t) isMip,
THEN
(1)
其中:x(t)∈Rn為狀態(tài)向量，u(t)∈Rm為控制輸入，w(t)∈Rl為平方可積的干擾輸入向量，且滿足|w(t)|≤d；?1(t),…，?p(t)為模糊規(guī)則的前件變量，Mij(j=1,2,…,p)為模糊集合，r為模糊規(guī)則推理數(shù)。Ai,Ni,Bi,Fi,Ci為具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣。
采用單點模糊化、乘積推理以及加權(quán)平均反模糊化的方法，可得模糊雙線性系統(tǒng)的整體方程為：
(2)
滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的設(shè)計主要可以分為兩個步驟：(1)根據(jù)實際需要，設(shè)計關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)x的滑模面S(x)，需滿足性能期望，比如快速性、抗干擾性等，保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上可以有效到達(dá)預(yù)設(shè)值或者穩(wěn)定值。(2)根據(jù)滑模面設(shè)計滑模控制律，滑模控制器又可以分為等效控制律ueq和切換控制率us兩個部分。
圖1展示了滑模運動狀態(tài)，其中S就是設(shè)計的滑模面，當(dāng)狀態(tài)x處于坐標(biāo)原點時系統(tǒng)必然穩(wěn)定。切換控制律us的作用就是使?fàn)顟B(tài)x從游離態(tài)到達(dá)滑模面S，由于切換控制的強(qiáng)制性，在一定程度上會導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面兩側(cè)多次穿越，引發(fā)系統(tǒng)抖振。而等效控制律ueq的作用是保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面穩(wěn)定地到達(dá)原點，同時兼?zhèn)淞己玫膭討B(tài)品質(zhì)。
圖1 滑?？刂平Y(jié)構(gòu)原理
2 控制器設(shè)計
以上介紹滑?？刂破饔蓛刹糠纸M成：等效控制ueq和切換控制us，現(xiàn)在增加一個待設(shè)計的輔助控制量ua，則總控制律表達(dá)式為:
u=ueq+us+ua
(3)
各個控制量的表達(dá)式先列于下方，后面小節(jié)說明這種設(shè)計方式的原因以及證明。
其中:L∈R1×n為滑模面待設(shè)計參數(shù)矩陣，
(7)
Gi=Di-LNix
(8)
K>LFid
(9)
α=(LAi+dL)x，ρ>0，δ>0，Q為正定對稱矩陣。φ為奇異平面，ψ為其鄰域(示例圖如圖2所示)，其中λ即為事件觸發(fā)參數(shù)：
圖2 奇異平面φ及其鄰域ψ
φ={x(t)∈Rn|L1(Bi+Nix(t))=0}
(10)
(11)
控制器的設(shè)計主要考慮兩大類情況：1)狀態(tài)軌跡不在奇點域內(nèi)，即x?ψ，此時不用考慮奇點域?qū)刂破鞯挠绊憽Ｒ虼?，此時主要由式(4b)、(5b)、(6b)負(fù)責(zé)將系統(tǒng)狀態(tài)引導(dǎo)至滑模面S=0并保證在滑模面上運行至穩(wěn)定狀態(tài)。2)狀態(tài)軌跡處于奇點域，即x∈ψ，此時，又分兩種情況：(1)還未到達(dá)滑模面，此時(4a)、(5a)均為0，由輔助控制器(6a)將系統(tǒng)狀態(tài)引導(dǎo)至滑模面；(2)已經(jīng)處于滑模面S=0，此時切換控制量(5a)與(5b)均為0，(4b)與(6b)將系統(tǒng)狀態(tài)維系在滑模面上并保持漸近穩(wěn)定。
在這兩大類情況下，由于Di通過等式(7)定義，避免了分母為0的情況，從而可以規(guī)避滑?？刂破娈愋?。
2.1 等效控制量
首先，定義如下積分滑模面:
(12)
其中:L需滿足如下條件:
當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面時，即S=0時，為保持系統(tǒng)狀態(tài)處于滑模面，有:
(13)
將式(2)和(3)帶入得:
LAix+LNixua+L(Bi+Nix)uieq=0
(14)
(15)
結(jié)合PDC算法，整體的等效控制量為:
(16)
顯然，當(dāng)L(Bi+Nix)=0時，控制器存在奇異問題。為克服此問題，將奇異區(qū)域進(jìn)行劃分(如式(10)和圖2所示)，并將式(16)替換為(4a)和(4b)。根據(jù)式(7)，此時L(Bi+Nix)由微小正數(shù)δ代替，避免奇異性。
2.2 切換控制量
當(dāng)滿足如下條件，則滑模面的可達(dá)性可以保證：
(17)
為此，設(shè)計切換控制器形式為:
(18)
此時在等效控制量和切換控制量的共同作用下，系統(tǒng)可達(dá)性可以保證，下一節(jié)給出證明。結(jié)合PDC算法，整體的等效控制量為:
(19)
顯然，當(dāng)L(Bi+Nix)=0時，控制器存在奇異問題。因此，將式(19)替換為(5a)和(5b)。此時L(Bi+Nix)由微小正數(shù)δ代替，避免奇異性。
3 可達(dá)性和穩(wěn)定性分析
本節(jié)證明系統(tǒng)在控制器(3)到(7)的作用下，可以讓系統(tǒng)狀態(tài)軌跡到達(dá)設(shè)計好的滑模面(12)，并在滑模面上穩(wěn)定運行。
3.1 可達(dá)性分析
定理1:模糊雙線性系統(tǒng)在控制律(3)到(7)的作用下，將在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面(12)。
(20)
此時，根據(jù)兩種情況進(jìn)行討論。第一種情況：x?ψ。將式(20)中uieq和uis分別用表達(dá)式(4b)和(5b)以及式(7)代入得:
(21)
根據(jù)式(9)，K的取值大于擾動上界，化簡式(21)得:
(22)
因此系統(tǒng)狀態(tài)在x?ψ的情況下可以到達(dá)滑模面。
第二種情況：x∈ψ。由式(4a)和(5a)可知此時uieq=uis=0，將式(6a)代入可直接得式(22)。
證畢。
3.2 穩(wěn)定性分析
當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，有S=0，us=0，ueq采用式(4b)，此時的閉環(huán)動力學(xué)系統(tǒng)將大大簡化。在控制律(3)的作用下，不考慮擾動影響，系統(tǒng)方程為:
通過設(shè)計輔助控制律ua的表達(dá)式(6b)可大大簡化上式的復(fù)雜性，將式(6b)代入，可將上式寫成如下形式:
(23)
簡化后的閉環(huán)系統(tǒng)更加有利于穩(wěn)定性分析，下面給出穩(wěn)定性定理以及證明過程。
定理2:若存在矩陣L滿足如下不等式(24)，存在對稱正定矩陣Q滿足如下線性矩陣不等式(25)，則模糊雙線性系統(tǒng)(2)在控制器(3)到(7)的作用下是漸近穩(wěn)定的。
(24)
(25)
(26)
取李雅普諾夫函數(shù)V2=xTQx，對V2的時間t進(jìn)行求導(dǎo)并將系統(tǒng)方程(26)代入得:
2xTQ(Nix+Bi)T(Nix+Bi)Qx]
(27)
若有不等式(25)成立，且易知式(27)第二項為負(fù)定項，則模糊雙線性系統(tǒng)(2)在控制器(3)到(7)的作用下是漸近穩(wěn)定的。
證畢。
4 數(shù)值仿真
圖3為系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)圖，由圖可知，系統(tǒng)在初始狀態(tài)伴隨擾動的情況下，最終漸近穩(wěn)定，經(jīng)過大約7 s趨于0。在約0.2 s時有短暫的超調(diào)，隨機(jī)趨于穩(wěn)定狀態(tài)；在約1 s時，狀態(tài)有明顯的偏離穩(wěn)定狀態(tài)的現(xiàn)象，這是因為此時系統(tǒng)狀態(tài)經(jīng)過奇點域，事件觸發(fā)條件得以滿足，控制器結(jié)構(gòu)切換?？梢灶A(yù)測，若使用傳統(tǒng)的滑模控制器，則控制量瞬間趨于無窮，系統(tǒng)狀態(tài)必然發(fā)散，但在本章所提出的控制器作用下，狀態(tài)雖有波動，但并未大范圍發(fā)散，最終較為平穩(wěn)度過奇點域。
圖3 狀態(tài)軌跡圖
圖4為系統(tǒng)狀態(tài)相位圖，從圖中可以看出兩個狀態(tài)從初始狀態(tài)趨于0的過程。結(jié)合圖3，在0.1 s處的超調(diào)對應(yīng)圖4狀態(tài)曲線的轉(zhuǎn)折。約1 s處的發(fā)散對應(yīng)圖4中狀態(tài)穿過藍(lán)色實直線所劃出的奇點域，在穿越過程中，狀態(tài)走向有了明顯的變化，但在穿過之后，仍正常趨向穩(wěn)定狀態(tài)。
圖4 系統(tǒng)狀態(tài)相位圖
圖5為滑模面隨時間變化曲線，圖6為控制量變化曲線。由圖5可知，系統(tǒng)在極短時間內(nèi)就到達(dá)滑模面，但結(jié)合圖3系統(tǒng)仍在較長時間才真正到達(dá)平穩(wěn)狀態(tài)，這是因為滑模面的結(jié)構(gòu)中對于狀態(tài)沒有積分項，導(dǎo)致x1和x2與平穩(wěn)狀態(tài)之間的誤差成比例存在，從而出現(xiàn)這種情況，這也是有待改進(jìn)的地方。結(jié)合圖4，從圖6可知，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近奇點域的時候，由于控制量分母趨于0，導(dǎo)致控制量逐漸增大，若沒有事件觸發(fā)所劃出的奇點域以及構(gòu)造相應(yīng)的控制器，控制量將會趨于無窮，從而導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散不穩(wěn)定。當(dāng)系統(tǒng)穿越奇點域，控制量又逐漸減小，最終與系統(tǒng)狀態(tài)都趨于0。
圖5 滑模面隨時間變化曲線
圖6 控制量隨時間變化曲線
5 結(jié)束語
本文主要設(shè)計了一種事件觸發(fā)滑?？刂破鱽矸€(wěn)定一類模糊雙線性系統(tǒng)。該設(shè)計的關(guān)鍵步驟是在幾個滑?？刂屏康那袚Q之間構(gòu)造事件觸發(fā)機(jī)制，同時增加一個變結(jié)構(gòu)輔助控制量，該控制量有兩個作用。首先，當(dāng)系統(tǒng)軌跡需穿過奇點域時，它有助于確保到達(dá)滑模面；其次，該控制量可以保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上漸近穩(wěn)定。
雙線性結(jié)構(gòu)本身具有更好的描述非線性現(xiàn)象的能力，被廣泛應(yīng)用于各類領(lǐng)域，使用滑?？刂瓶梢杂行П苊鉅顟B(tài)反饋控制增益選擇的隨意性問題。而通過引入事件觸發(fā)機(jī)制，又可以解決滑模控制器固有的奇異性問題。結(jié)合這一思想，未來可以嘗試使用更加高級的滑模面以及趨近律，大大提高滑?？刂茖τ谀：p線性系統(tǒng)的控制性能，擴(kuò)大滑?？刂瓶梢詰?yīng)用的對象。
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然而，這些控制方法都是基于狀態(tài)反饋或觀測器得到的，關(guān)于模糊雙線性系統(tǒng)的滑模控制方法依然較少。文獻(xiàn)[12]研究了齊次模糊雙線性系統(tǒng)的滑模控制方法，并給出了滑模面最優(yōu)參數(shù)的求解算法。對帶有雙線性白噪聲的離散模糊雙線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[13]研究了滑?？刂茖ο到y(tǒng)復(fù)雜性能的影響。文獻(xiàn)[14]則針對單輸入單輸出且?guī)в醒舆t的模糊雙線性系統(tǒng)，給出了一種魯棒滑?？刂破鞯脑O(shè)計方法。可是，在這些研究成果中，由于雙線性系統(tǒng)的特殊性，滑模控制器難以避免地被設(shè)計為分?jǐn)?shù)形式，且分母中包含狀態(tài)變量。這樣一來，在系統(tǒng)運行時，就可能存在控制器的奇異問題。
為此，本文考慮對滑?？刂埔胧录|發(fā)機(jī)制。傳統(tǒng)的滑?？刂品椒ㄊ腔跁r間觸發(fā)的，這需要執(zhí)行器不考慮狀態(tài)的變化，定期執(zhí)行和更新控制任務(wù)。在系統(tǒng)狀態(tài)變化不大的情況下，基于時間觸發(fā)的滑?？刂茣黾油ㄐ诺男畔⒔粨Q負(fù)擔(dān)。而前人所提出的事件觸發(fā)機(jī)制[15-16]，只有當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不滿足某些條件或事件時，控件才會更新。這意味著事件觸發(fā)機(jī)制可以減少通信中的信息交換負(fù)擔(dān)[17-19]。與此同時，這種非周期控制策略也為滑?？刂频难芯刻峁┝艘环N新的方法。通過使用基于事件觸發(fā)的滑?？刂疲侠淼脑O(shè)計觸發(fā)參數(shù)，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡也可以保持在預(yù)先設(shè)計的滑模面上。迄今為止，事件觸發(fā)滑?？刂圃陔x散系統(tǒng)[20]、交換系統(tǒng)[21]、T-S模糊系統(tǒng)[22]等各個領(lǐng)域都取得了較好的研究成果。因此，受以上成果啟發(fā)，針對模糊雙線性系統(tǒng)滑?？刂破髌娈悊栴}，構(gòu)造了事件觸發(fā)滑模控制器。
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考慮一類由T-S模糊雙線性模型描述的非線性系統(tǒng)，其規(guī)則如下：
Plant Rule i: IF ?1(t) isMi1and … and ?p(t) isMip,
THEN
(1)
其中:x(t)∈Rn為狀態(tài)向量，u(t)∈Rm為控制輸入，w(t)∈Rl為平方可積的干擾輸入向量，且滿足|w(t)|≤d；?1(t),…，?p(t)為模糊規(guī)則的前件變量，Mij(j=1,2,…,p)為模糊集合，r為模糊規(guī)則推理數(shù)。Ai,Ni,Bi,Fi,Ci為具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣。
采用單點模糊化、乘積推理以及加權(quán)平均反模糊化的方法，可得模糊雙線性系統(tǒng)的整體方程為：
(2)
滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的設(shè)計主要可以分為兩個步驟：(1)根據(jù)實際需要，設(shè)計關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)x的滑模面S(x)，需滿足性能期望，比如快速性、抗干擾性等，保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上可以有效到達(dá)預(yù)設(shè)值或者穩(wěn)定值。(2)根據(jù)滑模面設(shè)計滑模控制律，滑模控制器又可以分為等效控制律ueq和切換控制率us兩個部分。
圖1展示了滑模運動狀態(tài)，其中S就是設(shè)計的滑模面，當(dāng)狀態(tài)x處于坐標(biāo)原點時系統(tǒng)必然穩(wěn)定。切換控制律us的作用就是使?fàn)顟B(tài)x從游離態(tài)到達(dá)滑模面S，由于切換控制的強(qiáng)制性，在一定程度上會導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面兩側(cè)多次穿越，引發(fā)系統(tǒng)抖振。而等效控制律ueq的作用是保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面穩(wěn)定地到達(dá)原點，同時兼?zhèn)淞己玫膭討B(tài)品質(zhì)。
圖1 滑?？刂平Y(jié)構(gòu)原理
2 控制器設(shè)計
以上介紹滑?？刂破饔蓛刹糠纸M成：等效控制ueq和切換控制us，現(xiàn)在增加一個待設(shè)計的輔助控制量ua，則總控制律表達(dá)式為:
u=ueq+us+ua
(3)
各個控制量的表達(dá)式先列于下方，后面小節(jié)說明這種設(shè)計方式的原因以及證明。
其中:L∈R1×n為滑模面待設(shè)計參數(shù)矩陣，
(7)
Gi=Di-LNix
(8)
K>LFid
(9)
α=(LAi+dL)x，ρ>0，δ>0，Q為正定對稱矩陣。φ為奇異平面，ψ為其鄰域(示例圖如圖2所示)，其中λ即為事件觸發(fā)參數(shù)：
圖2 奇異平面φ及其鄰域ψ
φ={x(t)∈Rn|L1(Bi+Nix(t))=0}
(10)
(11)
控制器的設(shè)計主要考慮兩大類情況：1)狀態(tài)軌跡不在奇點域內(nèi)，即x?ψ，此時不用考慮奇點域?qū)刂破鞯挠绊憽Ｒ虼?，此時主要由式(4b)、(5b)、(6b)負(fù)責(zé)將系統(tǒng)狀態(tài)引導(dǎo)至滑模面S=0并保證在滑模面上運行至穩(wěn)定狀態(tài)。2)狀態(tài)軌跡處于奇點域，即x∈ψ，此時，又分兩種情況：(1)還未到達(dá)滑模面，此時(4a)、(5a)均為0，由輔助控制器(6a)將系統(tǒng)狀態(tài)引導(dǎo)至滑模面；(2)已經(jīng)處于滑模面S=0，此時切換控制量(5a)與(5b)均為0，(4b)與(6b)將系統(tǒng)狀態(tài)維系在滑模面上并保持漸近穩(wěn)定。
在這兩大類情況下，由于Di通過等式(7)定義，避免了分母為0的情況，從而可以規(guī)避滑?？刂破娈愋?。
2.1 等效控制量
首先，定義如下積分滑模面:
(12)
其中:L需滿足如下條件:
當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面時，即S=0時，為保持系統(tǒng)狀態(tài)處于滑模面，有:
(13)
將式(2)和(3)帶入得:
LAix+LNixua+L(Bi+Nix)uieq=0
(14)
(15)
結(jié)合PDC算法，整體的等效控制量為:
(16)
顯然，當(dāng)L(Bi+Nix)=0時，控制器存在奇異問題。為克服此問題，將奇異區(qū)域進(jìn)行劃分(如式(10)和圖2所示)，并將式(16)替換為(4a)和(4b)。根據(jù)式(7)，此時L(Bi+Nix)由微小正數(shù)δ代替，避免奇異性。
2.2 切換控制量
當(dāng)滿足如下條件，則滑模面的可達(dá)性可以保證：
(17)
為此，設(shè)計切換控制器形式為:
(18)
此時在等效控制量和切換控制量的共同作用下，系統(tǒng)可達(dá)性可以保證，下一節(jié)給出證明。結(jié)合PDC算法，整體的等效控制量為:
(19)
顯然，當(dāng)L(Bi+Nix)=0時，控制器存在奇異問題。因此，將式(19)替換為(5a)和(5b)。此時L(Bi+Nix)由微小正數(shù)δ代替，避免奇異性。
3 可達(dá)性和穩(wěn)定性分析
本節(jié)證明系統(tǒng)在控制器(3)到(7)的作用下，可以讓系統(tǒng)狀態(tài)軌跡到達(dá)設(shè)計好的滑模面(12)，并在滑模面上穩(wěn)定運行。
3.1 可達(dá)性分析
定理1:模糊雙線性系統(tǒng)在控制律(3)到(7)的作用下，將在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面(12)。
(20)
此時，根據(jù)兩種情況進(jìn)行討論。第一種情況：x?ψ。將式(20)中uieq和uis分別用表達(dá)式(4b)和(5b)以及式(7)代入得:
(21)
根據(jù)式(9)，K的取值大于擾動上界，化簡式(21)得:
(22)
因此系統(tǒng)狀態(tài)在x?ψ的情況下可以到達(dá)滑模面。
第二種情況：x∈ψ。由式(4a)和(5a)可知此時uieq=uis=0，將式(6a)代入可直接得式(22)。
證畢。
3.2 穩(wěn)定性分析
當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，有S=0，us=0，ueq采用式(4b)，此時的閉環(huán)動力學(xué)系統(tǒng)將大大簡化。在控制律(3)的作用下，不考慮擾動影響，系統(tǒng)方程為:
通過設(shè)計輔助控制律ua的表達(dá)式(6b)可大大簡化上式的復(fù)雜性，將式(6b)代入，可將上式寫成如下形式:
(23)
簡化后的閉環(huán)系統(tǒng)更加有利于穩(wěn)定性分析，下面給出穩(wěn)定性定理以及證明過程。
定理2:若存在矩陣L滿足如下不等式(24)，存在對稱正定矩陣Q滿足如下線性矩陣不等式(25)，則模糊雙線性系統(tǒng)(2)在控制器(3)到(7)的作用下是漸近穩(wěn)定的。
(24)
(25)
(26)
取李雅普諾夫函數(shù)V2=xTQx，對V2的時間t進(jìn)行求導(dǎo)并將系統(tǒng)方程(26)代入得:
2xTQ(Nix+Bi)T(Nix+Bi)Qx]
(27)
若有不等式(25)成立，且易知式(27)第二項為負(fù)定項，則模糊雙線性系統(tǒng)(2)在控制器(3)到(7)的作用下是漸近穩(wěn)定的。
證畢。
4 數(shù)值仿真
圖3為系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)圖，由圖可知，系統(tǒng)在初始狀態(tài)伴隨擾動的情況下，最終漸近穩(wěn)定，經(jīng)過大約7 s趨于0。在約0.2 s時有短暫的超調(diào)，隨機(jī)趨于穩(wěn)定狀態(tài)；在約1 s時，狀態(tài)有明顯的偏離穩(wěn)定狀態(tài)的現(xiàn)象，這是因為此時系統(tǒng)狀態(tài)經(jīng)過奇點域，事件觸發(fā)條件得以滿足，控制器結(jié)構(gòu)切換?？梢灶A(yù)測，若使用傳統(tǒng)的滑模控制器，則控制量瞬間趨于無窮，系統(tǒng)狀態(tài)必然發(fā)散，但在本章所提出的控制器作用下，狀態(tài)雖有波動，但并未大范圍發(fā)散，最終較為平穩(wěn)度過奇點域。
圖3 狀態(tài)軌跡圖
圖4為系統(tǒng)狀態(tài)相位圖，從圖中可以看出兩個狀態(tài)從初始狀態(tài)趨于0的過程。結(jié)合圖3，在0.1 s處的超調(diào)對應(yīng)圖4狀態(tài)曲線的轉(zhuǎn)折。約1 s處的發(fā)散對應(yīng)圖4中狀態(tài)穿過藍(lán)色實直線所劃出的奇點域，在穿越過程中，狀態(tài)走向有了明顯的變化，但在穿過之后，仍正常趨向穩(wěn)定狀態(tài)。
圖4 系統(tǒng)狀態(tài)相位圖
圖5為滑模面隨時間變化曲線，圖6為控制量變化曲線。由圖5可知，系統(tǒng)在極短時間內(nèi)就到達(dá)滑模面，但結(jié)合圖3系統(tǒng)仍在較長時間才真正到達(dá)平穩(wěn)狀態(tài)，這是因為滑模面的結(jié)構(gòu)中對于狀態(tài)沒有積分項，導(dǎo)致x1和x2與平穩(wěn)狀態(tài)之間的誤差成比例存在，從而出現(xiàn)這種情況，這也是有待改進(jìn)的地方。結(jié)合圖4，從圖6可知，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近奇點域的時候，由于控制量分母趨于0，導(dǎo)致控制量逐漸增大，若沒有事件觸發(fā)所劃出的奇點域以及構(gòu)造相應(yīng)的控制器，控制量將會趨于無窮，從而導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散不穩(wěn)定。當(dāng)系統(tǒng)穿越奇點域，控制量又逐漸減小，最終與系統(tǒng)狀態(tài)都趨于0。
圖5 滑模面隨時間變化曲線
圖6 控制量隨時間變化曲線
5 結(jié)束語
本文主要設(shè)計了一種事件觸發(fā)滑?？刂破鱽矸€(wěn)定一類模糊雙線性系統(tǒng)。該設(shè)計的關(guān)鍵步驟是在幾個滑?？刂屏康那袚Q之間構(gòu)造事件觸發(fā)機(jī)制，同時增加一個變結(jié)構(gòu)輔助控制量，該控制量有兩個作用。首先，當(dāng)系統(tǒng)軌跡需穿過奇點域時，它有助于確保到達(dá)滑模面；其次，該控制量可以保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上漸近穩(wěn)定。
雙線性結(jié)構(gòu)本身具有更好的描述非線性現(xiàn)象的能力，被廣泛應(yīng)用于各類領(lǐng)域，使用滑?？刂瓶梢杂行П苊鉅顟B(tài)反饋控制增益選擇的隨意性問題。而通過引入事件觸發(fā)機(jī)制，又可以解決滑模控制器固有的奇異性問題。結(jié)合這一思想，未來可以嘗試使用更加高級的滑模面以及趨近律，大大提高滑?？刂茖τ谀：p線性系統(tǒng)的控制性能，擴(kuò)大滑?？刂瓶梢詰?yīng)用的對象。
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