譚積鉆

摘 要：本文主要分析電動(dòng)汽車在不同運(yùn)行規(guī)律下的耗能大小，從而求出耗能最小的運(yùn)行規(guī)律。其方法是：先運(yùn)用拉格朗日乘子法對(duì)狀態(tài)空間方程進(jìn)行變分，推出目標(biāo)泛函取得極值的必要條件，再通過Matlab進(jìn)行求解，最后給出最優(yōu)解。通過對(duì)比最優(yōu)運(yùn)行規(guī)律與其他幾種運(yùn)行規(guī)律的耗能情況，驗(yàn)證了最優(yōu)運(yùn)行規(guī)律下電動(dòng)汽車的耗能最小。

關(guān)鍵詞：最小耗能原理;節(jié)能控制;電動(dòng)汽車

中圖分類號(hào)：U469 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? 文章編號(hào)：1003-5168（2021）27-0079-04

Abstract： This paper mainly analyzes the energy consumption of electric vehicles under different operation laws，and obtain a operation law with the minimum energy consumption. The method is as follows： firstly， the Lagrange multiplier method is used to variational the state space equation， and the necessary conditions for obtaining the extreme value of the objective functional are derived. Then it is solved by matlab， and finally the optimal solution is given. By comparing the energy consumption between the optimal operation law and other operation laws， it is verified that the energy consumption of electric vehicle under the optimal operation law is the lowest.

Keywords：principle of minimum energy consumption; energy saving control; electric vehicles

隨著能源危機(jī)愈來愈嚴(yán)重，節(jié)能問題備受關(guān)注，以汽車節(jié)能作為重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容逐漸成為相關(guān)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，并成為未來發(fā)展趨勢(shì)。目前對(duì)車輛的節(jié)能研究主要分為兩大類。一是系統(tǒng)的靜態(tài)節(jié)能研究和平衡狀態(tài)的節(jié)能問題，主要是改進(jìn)技術(shù)結(jié)構(gòu)和改善不合理的設(shè)備以提高能源利用率等。二是對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的研究，即在不改進(jìn)原有結(jié)構(gòu)的情況下采用優(yōu)化控制的方法對(duì)能量的使用進(jìn)行優(yōu)化處理。其中，在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)研究方面，主要是尋求汽車在行駛過程中的最小能耗控制規(guī)律。汽車在行駛過程中內(nèi)燃機(jī)或電機(jī)的工作狀態(tài)是可控的，通過給出的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，建立其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，選擇合理的算法進(jìn)行控制，可以得到汽車運(yùn)行的最佳工作狀態(tài)，從而達(dá)到節(jié)能的目的[1]。

目前在最小能耗控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)上，由于受到控制理論和數(shù)學(xué)算法的限制，主要采取簡(jiǎn)化模型的方法進(jìn)行求解。將復(fù)雜非線性系統(tǒng)經(jīng)過適當(dāng)簡(jiǎn)化，給出一個(gè)線性簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行等效替代。該模型需要根據(jù)行駛過程中的信息（如車速、荷載狀態(tài)等）給出相應(yīng)的輸出轉(zhuǎn)矩，控制發(fā)動(dòng)機(jī)使其工作在最優(yōu)工作曲線上[2，3]。

1 電動(dòng)汽車的最小耗能設(shè)計(jì)思路

最速降線問題是較早的一類最優(yōu)問題。該問題的提出是為了尋求在給定約束條件下使物體從起點(diǎn)到終點(diǎn)所用時(shí)間最短的最優(yōu)路徑。該方法是以時(shí)間最小作為指標(biāo)的最優(yōu)問題方法。而在現(xiàn)實(shí)中，除了時(shí)間指標(biāo)之外，還有常被關(guān)注的指標(biāo)，如能量指標(biāo)。研究汽車的最小耗能控制主要內(nèi)容為汽車的運(yùn)行狀態(tài)，本文旨在研究和探討一種最優(yōu)的運(yùn)行規(guī)律，即在給定的工況下，汽車的總耗能最小[4，5]。

2 汽車的動(dòng)力學(xué)方程

汽車主要由發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)、傳動(dòng)系統(tǒng)以及整車系統(tǒng)等三部分組成。以電動(dòng)機(jī)作為汽車發(fā)動(dòng)機(jī)，在不考慮電機(jī)達(dá)到額定電流的情況下，可以將其輸出轉(zhuǎn)矩視為與電流成正比，耗能大小將以電流作為性能指標(biāo)的變量因素進(jìn)行研究。汽車的傳動(dòng)系統(tǒng)由一系列齒輪組成，通過齒輪傳動(dòng)將電機(jī)的轉(zhuǎn)矩輸出到驅(qū)動(dòng)輪，本文以單極傳動(dòng)為例。整車系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程主要考慮路面牽引力、路面阻力和空氣阻力。其中，牽引力依賴于驅(qū)動(dòng)輪與路面的摩擦力，路面阻力取決于路面狀況，空氣阻力與汽車速度成正比關(guān)系[6]。

電機(jī)工作原理：電流作用于電機(jī)并使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子帶動(dòng)傳動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)將轉(zhuǎn)矩輸出給驅(qū)動(dòng)裝置，以下為電動(dòng)汽車的動(dòng)力學(xué)方程。

如果不考慮扭矩傳遞損耗，整理式（1）（2）和（3）可以得到：

以上公式中參數(shù)及其數(shù)值如表1所示。

3 狀態(tài)空間方程的建立

取狀態(tài)空間變量為：[x1=x]，[x2=x1]，其中，[x1]為汽車行駛的路程，[x2]為汽車行駛的速度。

根據(jù)式（4）建立狀態(tài)空間方程：

4 推導(dǎo)最優(yōu)解的必要條件

拉格朗日乘子法是一種求最優(yōu)解的方法，它可以將有約束極值問題轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題進(jìn)行求解，大大降低了解決最優(yōu)問題的難度。它的原理是引入朗格朗日乘子將狀態(tài)方程與性能指標(biāo)結(jié)合起來構(gòu)建哈密頓函數(shù)，之后對(duì)哈密頓函數(shù)進(jìn)行變分以及微分處理，最后得出三個(gè)微分方程分別是協(xié)態(tài)方程、伴隨方程和狀態(tài)方程，這三個(gè)方程就統(tǒng)稱為正則方程，而這三個(gè)方程的解將成為求解最優(yōu)解的判據(jù)[7]。

取電機(jī)的耗能作為性能指標(biāo)泛函：

則哈密頓函數(shù)為：

式中，[λ]為拉格朗日乘子，對(duì)式（7）進(jìn)行變分和微分處理得到最小耗能的動(dòng)力學(xué)控制微分方程如式（8）所示。

將約束條件以及表1中所給的參數(shù)代入式（8）求解微分方程，得到汽車最小耗能的速度表達(dá)式（9）和位移表達(dá)式（10）。

5 結(jié)果分析

利用Matlab軟件將最小耗能的速度規(guī)律曲線和位移曲線繪制出來如圖1和圖2所示，可以看到該策略的運(yùn)行規(guī)律要求汽車在25 s時(shí)間內(nèi)將速度提至最大速度，隨后開始緩慢減速直至停止運(yùn)行。該過程嚴(yán)格遵守初始速度和末速度為零的約束條件，以及保證在100 s時(shí)間內(nèi)運(yùn)行1 000 m的位移條件[8]。

為了驗(yàn)證該策略的節(jié)能效用，以速度指標(biāo)設(shè)計(jì)不同的運(yùn)行規(guī)律進(jìn)行比較，要求這些運(yùn)行規(guī)律嚴(yán)格遵守初始速度和末速度為零的條件，以及100 s內(nèi)運(yùn)行1 000 m位移的約束條件。

各運(yùn)行規(guī)律的速度曲線如圖3所示，位移曲線如圖4所示?？梢钥吹綆追N運(yùn)行規(guī)律均嚴(yán)格遵守初始速度和末速度為零的條件，以及100 s內(nèi)運(yùn)行1 000 m的位移條件。

根據(jù)式（7），得到不同運(yùn)行規(guī)律的能耗情況如表2所示。可以看到在相同的運(yùn)行時(shí)間及運(yùn)行位移的情況下，最優(yōu)運(yùn)行規(guī)律的能耗最小，其他運(yùn)行規(guī)律與其進(jìn)行比較，結(jié)果顯示正弦運(yùn)行規(guī)律和拋物線運(yùn)行規(guī)律的耗能比最優(yōu)運(yùn)行規(guī)律高出14.6%，橢圓運(yùn)行規(guī)律的能耗比最優(yōu)運(yùn)行規(guī)律高出24.7%。說明在同等條件下，運(yùn)用本策略給出的運(yùn)行規(guī)律具有明顯的節(jié)能效果。

6 結(jié)論

本文利用最優(yōu)控制理論給出了一種針對(duì)電動(dòng)汽車的最小耗能控制策略，并將該策略與其他運(yùn)行方案對(duì)比，結(jié)果表明運(yùn)用該策略在同等工況下具有明顯的節(jié)能效果。

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