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（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué) 發(fā)票博物館，河北 石家莊 050061）

一、問(wèn)題的提出

出土算術(shù)文獻(xiàn)，是目前學(xué)界研究的熱點(diǎn)之一。數(shù)字殘缺問(wèn)題，是出土算術(shù)類文獻(xiàn)整理中的常見(jiàn)問(wèn)題，對(duì)出土算術(shù)文獻(xiàn)的研究造成了較大的困擾，亟需解決。目前來(lái)說(shuō)，其解決方法主要有：通過(guò)紅外線掃描，獲得更為清晰的圖像；結(jié)合殘余筆畫，進(jìn)行字形分析；采用簡(jiǎn)單的整數(shù)或分?jǐn)?shù)運(yùn)算，進(jìn)行推測(cè)。本文介紹兩種在特定情況下簡(jiǎn)單有效的新方法，即窮舉法、特性分析法。窮舉法，即將取值范圍內(nèi)所有的可選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，直到驗(yàn)證完畢。這種方法的要求是：可選項(xiàng)必須是有限的。它在分母完整、分子缺失的情況下，簡(jiǎn)單有效，通常可以極大地縮小范圍，甚至是直接得出正確答案。特性分析法，是根據(jù)算題的特性，靈活地采取相應(yīng)的解法。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，本文介紹的是一類特殊的特性分析法——乘數(shù)因子包含大素?cái)?shù)的特性分析法。

本文以《算數(shù)書》“大廣”算題為例，來(lái)介紹這兩種方法。當(dāng)然，筆者關(guān)注的不是“大廣”算題本身，而只是將其作為介紹窮舉法和特性分析法的一個(gè)例子?！按髲V”算題的內(nèi)容如下：

大廣廣七步卌九分步之□□□□□□□□□□□□□□□□□為□六十四步有（又）三百卌三分步之二百七十三。大廣術(shù)曰：直（置）廣從（縱）而各以其分母乘其上全步，令分子從之，令相乘也為實(shí)，有（又）各令分母相乘為法，如法得一步，不盈步以法命之。[1]（156）

該算題殘缺數(shù)字較多，其復(fù)原工作也就成了非常有趣的智力游戲。郭書春[2]（217-218）、郭世榮[3]（284）、王元鈞[4]等先生都對(duì)該算題有過(guò)研究，不過(guò)他們的研究均修改了已知條件。要知道，已知條件是我們進(jìn)行推論的基礎(chǔ)，這個(gè)基礎(chǔ)如果不存在，可以進(jìn)行隨意修改，那么本算題就根本無(wú)法進(jìn)行校正。因此，我們堅(jiān)持不改動(dòng)已知條件，對(duì)這些研究也就置而不論。紀(jì)志剛先生的觀點(diǎn)值得引起重視——他是第一個(gè)嘗試用窮舉法來(lái)解決該問(wèn)題的學(xué)者。紀(jì)先生通過(guò)計(jì)算機(jī)程序，得到11種可能性，經(jīng)過(guò)排除，留下兩種組合，分別是：

廣七步四十九分步之七，從九步十四分步之一。問(wèn)為田幾何。得曰：為田六十四步又三百四十三分步之二百七十三。

廣七步四十九分步之卌二，從八步╪七分步之十九。問(wèn)為田幾何。得曰：為田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。[5]（233）

紀(jì)先生通過(guò)計(jì)算機(jī)尋找各種可能性，嘗試了很多種情況，其結(jié)論具有較強(qiáng)的說(shuō)服力，但是不完全準(zhǔn)確，論證過(guò)程也存在缺憾：

第一，紀(jì)先生的排除方法有錯(cuò)誤。紀(jì)先生計(jì)算出來(lái)的“從”全部都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，沒(méi)有注意到“從”可以不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。以紀(jì)先生的計(jì)算結(jié)果來(lái)說(shuō)，兩種組合的“廣”都不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，他卻要求“從”必須是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，并據(jù)此進(jìn)行排除。這是難以說(shuō)服人的。比如，被排除了，理由是分母3不是7的倍數(shù)。其實(shí)，我們完全可以把該分?jǐn)?shù)變成非最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)8—，這樣就可以滿足條件了。

第二，紀(jì)先生假定B2的值為“1-343之間”。這個(gè)假定是不合理的，B2為什么就不能大于343？B2完全可以大于343，經(jīng)過(guò)約分后，讓結(jié)果的分母變成343。當(dāng)然，紀(jì)先生這么做是有苦衷的：倘若不限制B2的大小，那么這道算題就需要嘗試無(wú)數(shù)種可能性，也就無(wú)從計(jì)算了。因此，紀(jì)先生只能人為設(shè)定一個(gè)最大值，從而將無(wú)數(shù)種可能性變?yōu)橛邢薹N可能性。這恰恰說(shuō)明紀(jì)先生的算法有問(wèn)題，存在較大的局限性，無(wú)法做根本上的解決。

第三，紀(jì)先生的計(jì)算過(guò)程太繁瑣。嘗試的排列組合達(dá)到（1+2+3+……+342）×48×2＝5,630,688種之多?。ㄓ?jì)算方法為：組合需要嘗試的次數(shù)×A需要嘗試的次數(shù)×B需要嘗試的次數(shù)）。而且，這種方法雖然給出了答案，但是沒(méi)有嚴(yán)密的計(jì)算方法，也看不到計(jì)算過(guò)程，這不能不說(shuō)是一個(gè)遺憾。

總之，紀(jì)先生的計(jì)算方法不是很完美，存在這樣或那樣的問(wèn)題，卻是很有價(jià)值的，原因在于，這種計(jì)算方法實(shí)際上已經(jīng)具備了窮舉法的雛形，值得重視。

在正式介紹窮舉法和特性分析法之前，我們首先討論這道題目的兩個(gè)限制條件。限制條件1：我們可以根據(jù)缺失的字?jǐn)?shù)，大體推斷出A、B1、B2所占的字?jǐn)?shù)。按照《算數(shù)書》和秦漢數(shù)學(xué)材料的表述規(guī)范，我們可以給“大廣”算題補(bǔ)充一些文字（用加黑字體標(biāo)識(shí)）：“大廣廣七步卌九分步之□□從八（或“九”）步□□分步之□問(wèn)為田幾何。曰：為田六十四步有（又）三百卌三分步之二百七十三?！逼渲?，“問(wèn)”字可以省略，《算數(shù)書》公布答案的句式有“曰”和“得曰”兩種，也就是說(shuō)，A、B1、B2的字?jǐn)?shù)加起來(lái)是4（“得曰”）到6（省略“問(wèn)”字）個(gè)字之間。限制條件2：我們注意到，計(jì)算結(jié)果343可以化為49×7，而被乘數(shù)的分母是49，這表明7這個(gè)因子應(yīng)該來(lái)自B2。如果上述8組數(shù)據(jù)的B2不能整除7，需要將B1、B2都乘以7。

二、窮舉法

下面，我們來(lái)介紹前文所提到的窮舉法。窮舉法是最簡(jiǎn)單、最直觀的方法，我們不需要像紀(jì)先生那樣同時(shí)考慮A、B、B1、B2的值，把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化。實(shí)際上，我們只需要根據(jù)1≦A≦48這一限制條件，嘗試A的48種可能性（從1到48），就可以根據(jù)，算出相應(yīng)的B、B1、B2的值——我們將所得結(jié)果化為帶整數(shù)的分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分即為B，分?jǐn)?shù)部分的最簡(jiǎn)形式，其分母即為B2，分子即為B1（當(dāng)然，我們可以根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)整，使之成為非最簡(jiǎn)形式）。例如，我們可以嘗試A為3的情況，，因此，B＝9，B2＝346，B1＝61。以此類推，只需要嘗試48次，就可以得到所有的結(jié)果。由于這個(gè)結(jié)果較為繁瑣，而且容易獲得，這里就不詳細(xì)論述了。

（1）廣七步卌九分步之七，從九步十四分步之一。問(wèn)為田幾何。得曰：為田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。

（2）廣七步卌九分步之卅二，從八步百五分步之卌九。為田幾何。曰：為田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。

（3）廣七步卌九分步之卅八，從八步廿一分步之七。問(wèn)為田幾何。曰：為田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。

（4）廣七步卌九分步之卌二，從八步╪七分步之十九。為田幾何。曰：為田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。

通過(guò)這道算題，我們可以看出：窮舉法有可能會(huì)成為解決這一類問(wèn)題的通用方法——如果一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是完整的，分子有殘缺，就可能將分子的取值限定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)，配合以其他限制條件，或許會(huì)很容易得到幾組最優(yōu)解。退一步講，就算分母也殘缺，只要沒(méi)有完全殘缺，還是可以用枚舉法。比如，如果本算題被乘數(shù)的分母“49”殘缺了一個(gè)數(shù)字，我們就完全可以假定該數(shù)字為從0～9的數(shù)字，進(jìn)行帶入計(jì)算。其計(jì)算步驟依然是有限的，并且涵蓋了所有的可能性。因此，在分母齊全或者部分殘缺并知道殘缺的位數(shù)的情況下，窮舉法是具有較大價(jià)值的推導(dǎo)方法。

三、特性分析法

特性分析法是指先尋找該算題的特性，再根據(jù)這些特性，盡量縮減可能性和計(jì)算范圍。如前所述，本算題采取的實(shí)際上是乘數(shù)因子包含大素?cái)?shù)的特性分析法（主要體現(xiàn)在下文的“性質(zhì)3”中）。我們將等式化為假分?jǐn)?shù)的形式，可以得到方程。采用特性分析法的計(jì)算過(guò)程如下：

性質(zhì)2：限制條件2可表述為B2=7m（m是正整數(shù)）。在計(jì)算的過(guò)程中，m被當(dāng)成公因子消去了，所以沒(méi)有顯示在結(jié)果的分母值343中。

性質(zhì)3：我們發(fā)現(xiàn)結(jié)果的分子里有一個(gè)大素?cái)?shù)127，這可以為我們的計(jì)算提供很大的方便。通過(guò)分析方程1可知，343+A和B×B2+B1這兩者之中，至少有一個(gè)能整除127，因此本題可以化解為兩個(gè)部分：343+A能整除127；B×B2+B1能整除127。所有的可能解均在這其中。

（一）343＋A能整除127

由于1≦A≦48，343+A的取值范圍是[343，391]，其中能被127整除的只有381，此時(shí)A=38。由可知，？的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)形式是，參考性質(zhì)2可知，該分?jǐn)?shù)應(yīng)變成。

（二）B×B2＋B1能整除127

即：B×7m+B1=127d，其中m、d均為正整數(shù)，0＜B1＜7m，B=8或9。我們可以分成如下兩種情況進(jìn)行討論：

1.B=9，即9×7m+B1=127d，變形得：B1=127d-9×7m。由于0＜B1＜7m，可得：0＜127d-9×7m＜7m，變形可得：，即1.81d＜m＜2.02d，m=2d。將其代入方程，可得：B1=127d-9×7m=127d-9×7×2d=d。因此，乘數(shù)是，被乘數(shù)是。

2.B=8，即：8×7m+B1=127d（方程2）變形得：B1=127d-8×7m。由于0＜B1＜7m，可得，即2.02d＜m＜2.27d，只有當(dāng)?shù)恼麛?shù)部分不一樣時(shí)，整數(shù)m才可能存在。由此可知，d≧4。當(dāng)d≧7時(shí)，B2將是三位數(shù)，字?jǐn)?shù)超出限制，不符合要求。因此，d的值只能取4、5、6、7之一。其中存在兩個(gè)可能解，即：。

至此，我們就會(huì)得到該算題的全部四種可能解，即：如果343+A能整除127，那么對(duì)應(yīng)的解為：，如果B×B2+B1能整除127，且B=9，那么對(duì)應(yīng)的解為：，如果B×B2+B1能整除127，且B=8，那么對(duì)應(yīng)的解是：。相關(guān)的文字已經(jīng)在上文表述過(guò)了，這里不再贅述。

四、結(jié)語(yǔ)

可以看到，上述兩種計(jì)算方法適用的情況不一樣：在分母完整（或者是部分殘缺，且明確知道殘缺了多少位）、分子殘缺的情況下，窮舉法較為簡(jiǎn)單有效，只需要將分子按照從1到分母減1的順序，逐個(gè)帶入即可；而在數(shù)字存在某些特性，尤其是存在大素?cái)?shù)乘數(shù)因子的情況下，特性分析法較為簡(jiǎn)單有效。在明確等式兩邊都有該大素?cái)?shù)因子的前提下，通過(guò)查找該大素?cái)?shù)因子所在的位置，可以將計(jì)算簡(jiǎn)化為幾種情況，也就是說(shuō)，這兩種方法都是針對(duì)特定情況的有效方法。數(shù)學(xué)是出土算術(shù)類文獻(xiàn)的核心要素，應(yīng)提高數(shù)學(xué)運(yùn)算在出土算術(shù)類文獻(xiàn)整理和研究中的比例。