成 晟

(泰州市公路事業(yè)發(fā)展中心，泰州 225300)

隨著智慧公路發(fā)展，道路上的電子設(shè)備日益增多，設(shè)備橫梁多為定型鋼管，采用門架式或懸臂式，安裝在路側(cè)或道路上方。設(shè)備自重較輕，橫梁承載能力一般都滿足要求。但運(yùn)營(yíng)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，部分道路上空的設(shè)備橫梁會(huì)發(fā)生上下振動(dòng)的現(xiàn)象，影響設(shè)備使用，還可能帶來(lái)安全隱患。

目前對(duì)振動(dòng)問(wèn)題的分析多采用有限元法，有限元法方便建模，隨著計(jì)算機(jī)算力提高，近些年得到了廣泛應(yīng)用[1-2]，但有限元計(jì)算只能得到數(shù)值解，不能得到解析解，不便對(duì)結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋和原因分析。

本文基于等截面直梁的橫向振動(dòng)模型，對(duì)門架式設(shè)備橫梁和懸臂式設(shè)備橫梁的振動(dòng)進(jìn)行了分析，得到的振動(dòng)影響因子可以為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供參考。

1 振動(dòng)特性分析

發(fā)生振動(dòng)的門架式橫梁為等截面八角鋼管，跨徑22.5 m，跨中處采用法蘭對(duì)接，門架橫梁結(jié)構(gòu)如圖1所示。安裝設(shè)備后，測(cè)得振動(dòng)周期大約為0.55 s，對(duì)應(yīng)的角頻率為11.42 rad/s。

(a)立面結(jié)構(gòu)(mm)

懸臂橫梁結(jié)構(gòu)實(shí)景如圖2所示。懸臂式橫梁為跨徑7.25 m的圓管，外徑15.9 cm，壁厚6 mm，尚未安裝設(shè)備，測(cè)得振動(dòng)周期大約為0.32 s，對(duì)應(yīng)的角頻率為19.63 rad/s。

圖2 懸臂橫梁結(jié)構(gòu)實(shí)景

觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，橫梁振動(dòng)有如下特征：

(1)振動(dòng)時(shí)風(fēng)速不大。

(2)不同時(shí)段的振幅不同，但頻率基本相同。

(3)橫梁上各點(diǎn)雖振幅不同，但相位始終相同，沿縱向不發(fā)生能量傳播，具備典型的駐波特征。

2 兩端固結(jié)等截面直梁的橫向振動(dòng)

2.1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)

直梁橫向自由振動(dòng)作為振動(dòng)力學(xué)的經(jīng)典問(wèn)題，已有較多研究成果[3]。假設(shè)橫梁為歐拉-伯努利梁，不考慮截面的剪切變形和截面繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性效應(yīng)。微元體受力如圖3所示。

圖3 微元體受力

彎矩和剪力的計(jì)算公式分別見式(1)和式(2)。

(1)

(2)

式中，M為彎矩，N·m；Q為剪力，N；w為橫向位移，m；E為楊氏模量，N/m2；I為截面慣性矩，m4；x為縱向距離，m。根據(jù)式(1)和式(2)可推導(dǎo)出等截面直梁的橫向自由振動(dòng)方程，見式(3)。

(3)

式中，ρ為材料密度，kg/m3；S為截面積，m2；t為時(shí)間，s。

采用分離變量法，令橫向位移為

w(x,t)=φ(x)q(t)

(4)

代入式(3)，得到

等式兩邊同時(shí)除以ρSφ(x)q(t)，并令

得到

(5)

EIφ(4)(x)-ρSω2φ(x)=0

(6)

式中，wi為固有頻率，rad/s。

式(5)為單自由度線性振動(dòng)方程，其通解為

q(t)=αsin(ωt+θ)

(7)

φ(4)(x)-β4φ(x)=0

(8)

利用指數(shù)形式特解φ(x)=eλx，代入式(8)可導(dǎo)出特征方程λ4-β4=0，繼而求得式(8)的通解為

φ(x)=C1cosβx+C2sinβx+C3chβx+C4shβx

(9)

式(7)和式(9)中的C和ω由梁的邊界條件確定，理論上存在無(wú)窮多個(gè)固有頻率ωi和對(duì)應(yīng)的振型函數(shù)φi(x)。

一維簡(jiǎn)諧波的駐波方程為

y=2Acoskxcosωt

(10)

式(10)中時(shí)間變量和位置變量相互獨(dú)立，表明各點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)不發(fā)生縱向傳播。對(duì)照式(4)和式(10)可知，分離變量解和駐波方程在形式上基本相同，因此振動(dòng)橫梁上的駐波可看作式(3)的一個(gè)特解或幾個(gè)特解的疊加。當(dāng)外部激勵(lì)力頻率ω0和系統(tǒng)的第k階固有頻率ωk接近時(shí)，第k階主坐標(biāo)振動(dòng)幅度急劇增大，產(chǎn)生第k階頻率的共振，并可近似忽略其他非共振的主坐標(biāo)[3]。

邊界條件：固定端的位移和轉(zhuǎn)角都為0，即

φ(x)|x=0=0，φ(x)|x=L=0

φ′(x)|x=0=0

φ′(x)|x=L=0

(11)

式中，L為桿長(zhǎng)，m。

代入式(9)，得到兩端固結(jié)等截面直梁橫向振動(dòng)的控制方程為

cosβLcoshβL-1=0

(12)

將橫梁參數(shù)代入控制方程，通過(guò)數(shù)值求解，得到i為1、2、3時(shí)的角頻率ω分別為16.05 rad/s、44.25 rad/s、86.75 rad/s，以縱向位置x為橫坐標(biāo)、相對(duì)振幅為縱坐標(biāo)，可求得對(duì)應(yīng)的振型，橫梁振型如圖4所示。實(shí)際橫梁的固有頻率受材料、結(jié)構(gòu)、設(shè)備質(zhì)量和施工誤差影響，和理論值存在偏差。

(a)i=1

因?qū)嶋H振動(dòng)的橫梁上各點(diǎn)相位始終相同，故橫梁駐波主要對(duì)應(yīng)于i=1時(shí)第一振型的共振。

2.2 阻尼自由振動(dòng)

無(wú)阻尼自由振動(dòng)是一種理想情況，實(shí)際系統(tǒng)不可避免存在阻尼因素。等截面直梁的橫向阻尼振動(dòng)方程為

(13)

式中，c為黏性阻尼系數(shù)，N·s/m。

采用分離變量法，將式(4)代入式(13)，得到

(14)

等式兩邊同時(shí)除以ρSφ(x)q(t)，并令

得到

(15)

(16)

將特解q(t)=eλt代入式(16)，求得當(dāng)ζ<1，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)時(shí)的通解

q(t)=Ae-ζωtsin(ωdt+θ)

(17)

式中，A為初始幅值，m；θ為初相角，rad；ωd為阻尼自由振動(dòng)的固有角頻率，rad/s。

(1)阻尼自由振動(dòng)的振型函數(shù)φi(x)與無(wú)阻尼自由振動(dòng)相同。

(2)因ωd<ω，故阻尼自由振動(dòng)頻率小于無(wú)阻尼自由振動(dòng)頻率。

(3)振幅與-ζωt呈指數(shù)關(guān)系，阻尼和固有頻率增大，都將導(dǎo)致阻尼自由振動(dòng)的振幅迅速衰減。

2.3 受迫振動(dòng)

實(shí)際橫梁振動(dòng)是在外部荷載的持續(xù)激勵(lì)下產(chǎn)生的，因此需要對(duì)橫梁的受迫振動(dòng)進(jìn)行計(jì)算。因系統(tǒng)固有振型與阻尼、外部激勵(lì)無(wú)關(guān)，故可假設(shè)外荷載的空間分布與振型函數(shù)相同，以方便計(jì)算。

令外部激勵(lì)力為

F(t)=F0φ(x)eiω0t

(18)

F和F0單位為N，則受迫振動(dòng)方程為

=F0φ(x)eiω0t

(19)

采用分離變量法，將式(4)代入式(18)，得到

=F0φ(x)eiω0t

(20)

(21)

根據(jù)常微分方程理論，非齊次線性常微分方程式(21)的全解由齊次線性方程(15)的通解和非齊次線性方程(21)的特解兩部分組成。通解為阻尼自由振動(dòng)，由于自由振動(dòng)只在擾動(dòng)初期短暫存在，隨即趨于衰減，故只需討論非齊次線性方程(21)的特解。簡(jiǎn)諧激勵(lì)引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故可令解的形式為q(t)=Qeiω0t，代入式(21)求得特解為

(22)

式中，f=ω0/ω為激勵(lì)頻率與固有頻率之比(無(wú)量綱)。

(a)ζ=0.1

由式(22)可知：

(1)受迫振動(dòng)頻率和外部激勵(lì)頻率相同。

(2)受迫振動(dòng)振幅受固有頻率、激勵(lì)頻率和阻尼影響，與固有頻率平方呈反比關(guān)系。當(dāng)激勵(lì)頻率與固有頻率比值接近1時(shí)，振幅急劇增大；阻尼增大時(shí)，振幅放大因子減小。

2.4 計(jì)算分析

懸臂梁的邊界條件為：固定端的位移和轉(zhuǎn)角為0，自由端的彎矩和剪力為0。除邊界條件外，懸臂梁的振動(dòng)方程和解析步驟與兩端固結(jié)等截面橫梁完全相同，故不再贅述。

代入橫梁實(shí)際尺寸，可求得自由振動(dòng)情況下，門架式橫梁的固有振動(dòng)周期為0.39 s，懸臂式橫梁的固有振動(dòng)周期為0.34 s。

懸臂式橫梁的計(jì)算周期與實(shí)測(cè)周期接近，而門架式橫梁的計(jì)算周期與實(shí)測(cè)周期偏差較大，分析可能是因?yàn)閼冶凼綑M梁尚未安裝設(shè)備，而門架式橫梁上已安裝設(shè)備，設(shè)備會(huì)影響橫梁的固有振動(dòng)頻率。

3 風(fēng)荷載分析

在一定條件下的定常來(lái)流繞過(guò)鈍體時(shí)，物體兩側(cè)會(huì)周期性地交替脫落旋轉(zhuǎn)方向相反、排列規(guī)則的雙列線渦，稱為卡門渦街。由于旋渦交替脫落，產(chǎn)生的脈動(dòng)荷載會(huì)使結(jié)構(gòu)發(fā)生受迫振動(dòng)[2, 4]。

空氣的雷諾數(shù)Re(無(wú)量綱)[5]計(jì)算公式為

Re=69 000vd

(23)

式中，v為計(jì)算流速，m/s；d為截面直徑，m。若圓柱體直徑取0.2 m，當(dāng)風(fēng)速為0.02～21.7 m/s時(shí)，代入式(23)可求得對(duì)應(yīng)的雷諾數(shù)為300～300 000。

圓柱體的旋渦脫落頻率[6-7]為

(24)

式中，T為脫落周期，s；D為圓柱外徑，m；St為斯特勞哈爾數(shù)(無(wú)量綱)，主要與流體的雷諾數(shù)有關(guān)，當(dāng)雷諾數(shù)為300～300 000時(shí)，St近似于常數(shù)值0.2[4]。

將外徑0.2 m、脫落周期0.55 s代入式(24)，不考慮橫梁上設(shè)備影響，求得門架式橫梁振動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的風(fēng)速為1.82 m/s。將外徑0.159 m、脫落周期0.32 s代入式(24)，求得懸臂式橫梁振動(dòng)對(duì)應(yīng)的風(fēng)速為2.48 m/s。江蘇泰州地區(qū)重現(xiàn)期10年的風(fēng)速為24.5 m/s[5]。因此，設(shè)備橫梁會(huì)在風(fēng)速較小時(shí)振動(dòng)，與實(shí)際觀測(cè)一致。

4 固有頻率影響因子分析

4.1 尺寸影響分析

因八角鋼管與圓管外形相似，故本節(jié)用圓管代替八角鋼管進(jìn)行模擬計(jì)算，取不同外徑、壁厚和跨徑組合，分別計(jì)算門架式橫梁無(wú)阻尼自由振動(dòng)的固有頻率。固有頻率ω與外徑D呈正比關(guān)系，與跨徑L的平方呈反比關(guān)系，與壁厚無(wú)關(guān)，門架式橫梁固有角頻率影響因子如圖6所示。

圖6 門架式橫梁固有角頻率影響因子

固有頻率ω與外徑D和跨徑L的關(guān)系為

(25)

式中，ω為固有頻率，rad/s；D為外徑，m；L為跨徑，m。

同樣可求得懸臂式橫梁固有頻率與外徑、跨徑的關(guān)系。懸臂式橫梁固有角頻率影響因子如圖7所示，計(jì)算公式見式(26)。

圖7 懸臂式橫梁固有角頻率影響因子

(26)

由式(25)和式(26)可知，加粗鋼管或減小跨徑都能提高固有頻率。

風(fēng)速增大時(shí)，旋渦脫落頻率隨之增大，并接近部分小跨徑橫梁的固有頻率，但實(shí)際并未發(fā)現(xiàn)這類橫梁有明顯振動(dòng)，這是因?yàn)槭?22)中振幅與ω2呈反比關(guān)系，跨徑減小后固有頻率增大，抑制了受迫振動(dòng)的振幅。

4.2 質(zhì)量影響分析

為模擬設(shè)備質(zhì)量對(duì)橫梁振動(dòng)的影響，保持橫梁尺寸不變，改變橫梁密度，考察自由振動(dòng)的固有頻率變化，質(zhì)量對(duì)門架式橫梁固有角頻率的影響如圖8 所示。

圖8 質(zhì)量對(duì)門架式橫梁固有角頻率的影響

由圖8可知，固有頻率隨密度增加而減小。因此，設(shè)備安裝后，橫梁的固有振動(dòng)周期增大，對(duì)應(yīng)的共振風(fēng)速減小。

5 防治措施

通過(guò)以上分析可知，受迫振動(dòng)的振幅主要受固有頻率、激勵(lì)頻率和阻尼3個(gè)因素影響，為減少橫梁振動(dòng)可考慮下列3種措施。

5.1 提高固有頻率

固有頻率與鋼管外徑成正比，與跨徑平方成反比。通?？鐝綗o(wú)法減小，增加鋼管外徑不經(jīng)濟(jì)。因此，可將單鋼管橫梁結(jié)構(gòu)改為雙鋼管桁架結(jié)構(gòu)來(lái)增加結(jié)構(gòu)剛度。

5.2 增加阻尼

參考橋梁設(shè)計(jì)方法，增設(shè)橫向拉索或阻尼設(shè)置[6]；參考汽車行業(yè)，在梁上敷設(shè)約束阻尼層，通過(guò)振動(dòng)時(shí)兩個(gè)表面層的相對(duì)位移增加阻尼[8]。

5.3 改善氣動(dòng)外形

通過(guò)優(yōu)化截面形狀、改變表面粗糙度，或在表面設(shè)置螺旋線，達(dá)到抑制渦振的目的[2, 6, 9]。

6 結(jié)論

本文通過(guò)分析等截面直梁橫向振動(dòng)，證明了智慧公路設(shè)備橫梁振動(dòng)為風(fēng)荷載下的駐波，進(jìn)而建立了橫梁受迫振動(dòng)振幅與固有頻率、外部激勵(lì)頻率和阻尼的數(shù)學(xué)關(guān)系。經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)橫梁固有頻率與鋼管外徑成正比，與跨徑的平方成反比，隨設(shè)備質(zhì)量增加而減小。通過(guò)風(fēng)荷載分析證實(shí)設(shè)備橫梁的振動(dòng)頻率與風(fēng)在橫梁處繞流時(shí)的旋渦脫落頻率一致，當(dāng)脫落頻率與橫梁固有頻率接近時(shí)，橫梁將發(fā)生大幅振動(dòng)。增大結(jié)構(gòu)剛度、增加阻尼或改善結(jié)構(gòu)氣動(dòng)外形能抑制橫梁振動(dòng)。