王述紅, 尹 宏, 張 澤, 魏 崴

(東北大學(xué) 資源與土木工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110819)

巖體中非連續(xù)結(jié)構(gòu)面的物理力學(xué)性能是一個包含空間幾何性狀的復(fù)雜系統(tǒng).事實(shí)證明,巖體的工程性失穩(wěn)和地質(zhì)類災(zāi)害大部分與結(jié)構(gòu)面對巖體力學(xué)性能的削弱效應(yīng)[1]密切相關(guān),尤以剪切性能的表現(xiàn)最為突出.合理構(gòu)建剪切強(qiáng)度預(yù)測模型符合一般物理學(xué)意義,對于實(shí)際工程應(yīng)用和揭示巖石力學(xué)響應(yīng)機(jī)制具有重大意義.從宏觀而言,巖石節(jié)理適用于普通物理學(xué)中的庫倫-阿蒙頓定律,即理想狀態(tài)下的巖體節(jié)理面法向應(yīng)力和節(jié)理面粗糙程度是決定剪切強(qiáng)度的主要指標(biāo),1776年庫倫建立了其在巖石力學(xué)范圍內(nèi)的基本形式τb=σntanφb+c,在此基礎(chǔ)上用剪脹角模型表征粗糙度以在形式上符合莫爾庫倫定律成為該領(lǐng)域研究的主要方向,其關(guān)鍵在于：①定義粗糙度指標(biāo)定量表征結(jié)構(gòu)面形貌;②確定合適的初始剪脹角和峰值剪脹角的關(guān)系函數(shù).

結(jié)構(gòu)面形貌的表征限于測量手段經(jīng)歷了一個從二維到三維的過程,大體上可視為JRC-JCS經(jīng)典模型的進(jìn)一步展拓.一方面許多統(tǒng)計(jì)參數(shù)沿用了將結(jié)構(gòu)面離散為剖切輪廓線的思路,側(cè)重起伏高、起伏角或接觸度參數(shù)的不同權(quán)重的表征,部分學(xué)者基于此加密剖切輪廓線將二維參量推廣至三維,并發(fā)展一系列強(qiáng)度模型;另一方面JRC作為國際巖石力學(xué)學(xué)會(ISRM)認(rèn)定的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)[2]，成為諸多學(xué)者驗(yàn)證新參數(shù)精確度和可靠性的重要指標(biāo).但是基于二維輪廓線的形貌表征是以犧牲精度為前提的,無法有效描述形貌的空間展布.自Mandelbrot[3]提出分形理論以來,分形維數(shù)被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)面形貌表征,但其本質(zhì)依舊是對剖切輪廓線的起伏程度的表征,無法體現(xiàn)形貌的三維特性[4].伴隨著三維激光掃描、三維結(jié)構(gòu)光測量、攝影測量技術(shù)的發(fā)展,部分學(xué)者提出了基于表征起伏程度空間分布的思路.葛云峰等[5]通過虛擬光源照射結(jié)構(gòu)面表面,在灰度閾值140的設(shè)定下基于圖像處理技術(shù)提出了光亮面積百分比BAP的表征參數(shù);蔡毅等[6]將潛在接觸部分沿垂直于剪切方向的投影與水平向的投影的比值PAP作為表征參數(shù);葛云峰等[7]報(bào)道了結(jié)構(gòu)面的形貌特征與抵抗剪切時產(chǎn)生的熱量具有相關(guān)性,提出了基于能量思想的結(jié)構(gòu)面形貌表征的新思路,上述方法對測量設(shè)備和外部環(huán)境的包容性較差,難以在工程實(shí)際條件下實(shí)現(xiàn),僅停留在理論階段.

Grasselli等[8-10]基于剪切向視傾角分布的概念提出一套三維形貌表征系統(tǒng),得到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛認(rèn)可.經(jīng)過眾多學(xué)者的不斷完善和發(fā)展形成了Grasselli系模型,由此衍生出一系列峰值剪切強(qiáng)度預(yù)測模型.隨著剪切行為過程的進(jìn)一步揭示,背剪向的形貌特征也逐漸受到重視.Xia等[11-12]的研究表明,剪切破壞以結(jié)構(gòu)面表面凸體微元的受拉破壞為主,因此模型中,應(yīng)當(dāng)使用巖石抗拉強(qiáng)度σt表征材料特性,通常采用劈裂抗拉強(qiáng)度.

本文基于Grasselli三維形貌參數(shù)系統(tǒng),推導(dǎo)并討論分布參數(shù)的數(shù)學(xué)和物理意義,將初始剪脹角與視傾角分布規(guī)律相聯(lián)系,解釋部分學(xué)者報(bào)道的有關(guān)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,修正Grasselli強(qiáng)度模型,提出新的預(yù)測模型并論證合理性,以期為相關(guān)研究提供參考.

1 Grasselli三維形貌表征

1.1 Grasselli三維形貌參數(shù)測算方法

Grasselli等[8-10]利用數(shù)字光柵-雙目成像設(shè)備(圖1)在實(shí)驗(yàn)室范圍內(nèi)對不同類型巖石標(biāo)準(zhǔn)試件的結(jié)構(gòu)面表面三維形貌進(jìn)行測量,生成點(diǎn)云模型并進(jìn)行三角網(wǎng)格化,在此基礎(chǔ)上提出了視傾角θ*的概念,并建立凸體表面外法向量和剪切方向的數(shù)學(xué)關(guān)系(圖2).

圖1 測量原理示意圖

圖2 Grasselli’s結(jié)構(gòu)面三維形貌表征及其計(jì)算模型

tanθ*=-tanθcosα.

(1)

其中：

(2)

式中:θ*定義為視傾角，反映了結(jié)構(gòu)面表面凸體在剪切方向上的起伏程度;t為剪切方向向量;n為凸體表面外法向向量;n為參考平面Ω法向向量;nshadow為凸體表面外法向向量在參考平面Ω的投影;θ為凸體表面外法向向量n和參考平面Ω法向向量夾角;α為剪切方向向量t和凸體表面外法向向量在參考平面的投影向量nshadow的夾角.

Grasselli模型被認(rèn)為是一套真正意義上的對結(jié)構(gòu)面表面形貌的三維表征理論[13].與其他統(tǒng)計(jì)參數(shù)(表1)以表面剖切曲線特征(圖3)為控制參量在二維層面表征并向三維擴(kuò)展的思路不同,Grasselli模型將視傾角θ*的空間分布作為表征結(jié)構(gòu)面粗糙度的控制參量,并通過大量實(shí)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)規(guī)律建立了視傾角空間分布的數(shù)學(xué)表達(dá):

圖3 二維形貌表征示意圖

表1 部分結(jié)構(gòu)面形貌二維表征統(tǒng)計(jì)參數(shù)

(3)

1.2 Grasselli系節(jié)理峰值剪切強(qiáng)度預(yù)測模型

(4)

式中:β表示結(jié)構(gòu)面的傾角,大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明通常情況為0;σt為材料抗拉強(qiáng)度,一般按劈裂實(shí)驗(yàn)標(biāo)定.

Grasselli三維形貌參數(shù)的實(shí)質(zhì)是對起伏角參數(shù)的空間面積分布做定量表征,用C值控制(圖4).類似于顆粒集配曲線的概念,分布函數(shù)是一個累進(jìn)函數(shù),將式(3)左右兩側(cè)對θ*求二階導(dǎo)可得

圖4 視傾角分布函數(shù)

(5)

(6)

在此基礎(chǔ)上,國內(nèi)外學(xué)者通過建立初始剪脹角與峰值剪脹角的函數(shù)關(guān)系獲得形式上符合莫爾-庫倫的峰值剪切強(qiáng)度預(yù)測模型:

(7)

式中:ip為峰值剪脹角;i0為法向應(yīng)力為零時的剪脹角,定義為初始剪脹角;f(σn)為初始剪脹角和峰值剪脹角的關(guān)系函數(shù).基本思路聚焦在初始剪脹角和關(guān)系函數(shù)的確定,其中初始剪脹角與粗糙度參數(shù)密切相關(guān),由此形成了Grasselli系峰值剪切強(qiáng)度預(yù)測模型(表2).

進(jìn)一步分析Grasselli系峰值剪切強(qiáng)度預(yù)測模型,以Grasselli三維形貌參數(shù)為支撐的粗糙度表達(dá)真正意義上反映了形貌特征對剪切強(qiáng)度的貢獻(xiàn),模型通過描述初始剪脹角和峰值剪脹角的函數(shù)關(guān)系解釋了剪切過程的強(qiáng)度演變.但模型在邊界上缺乏數(shù)學(xué)定義,同時多項(xiàng)參數(shù)的物理釋義不明確,量綱導(dǎo)出不統(tǒng)一,Yang模型[26-27]以材料抗壓強(qiáng)度作為材料本征性質(zhì)與節(jié)理在剪切時以凸體受拉破壞為主的結(jié)論相矛盾,Tian模型[25]的初始剪脹角是一個經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?對于結(jié)構(gòu)形貌與剪切行為的考察上,凸體迎剪向的不同視傾角對抵抗剪切的貢獻(xiàn)不明確.

2 初始剪脹角

2.1 視傾角分布規(guī)律

Grasselli三維形貌參數(shù)通過方位角α將凸體傾角轉(zhuǎn)化至剪切方向,定義為視傾角,其實(shí)質(zhì)是從空間角度反映單個凸體沿剪切方向的起伏度,對于吻合新鮮結(jié)構(gòu)面而言,峰值剪切強(qiáng)度主要取決于小部分較陡的凸體微元,陳曦等[29]將分布函數(shù)與土顆粒集配分析曲線做類比,指明其“累積”的特性,將分布函數(shù)做變式:

(8)

(9)

由式(8)得

(10)

將式(10)作差簡化可得

(11)

代入式(9)得

(12)

對式(12)取極限,dθ*→0,得

(13)

與分布函數(shù)相區(qū)分,將式(13)定義為單值分布函數(shù).由此可總結(jié)出結(jié)構(gòu)面微元凸體視傾角的分布規(guī)律.

1) 結(jié)構(gòu)面形貌受凸體微元的迎剪向視傾角控制,在空間的位置分布上受結(jié)構(gòu)面生成方式的影響具有隨機(jī)性.

2) 凸體微元迎剪向視傾角的分布通過分布函數(shù)和單值分布函數(shù)共同描述,前者反映其累積特性,與剪切強(qiáng)度密切相關(guān),后者反映其在數(shù)值上的分布.

3) 凸體微元迎剪向視傾角的數(shù)值分布呈現(xiàn)平緩視傾角含量占比遠(yuǎn)高于較陡視傾角含量占比的規(guī)律.

2.2 初始剪脹角

將單值分布函數(shù)(式(13))作為權(quán)重函數(shù)代入計(jì)算平均視傾角.

(14)

式(14)反映了臨界視傾角與最大視傾角之間關(guān)系,其中ξ為某一確定的初始接觸比(圖4),其對應(yīng)的視傾角即為臨界視傾角.利用單值分布函數(shù)作為權(quán)重函數(shù)在物理意義上更具合理性.

進(jìn)一步分析式(14),導(dǎo)出的平均視傾角即初始剪脹角實(shí)質(zhì)上由兩部分組成,即

(15)

比較i01和i02有

(16)

對于非規(guī)則形貌的結(jié)構(gòu)面,根據(jù)視傾角分布規(guī)律可知(3.1節(jié))ξ值是一個較小的數(shù),數(shù)量級為10-1～10-2,由于C值不存在小于1的情況(見3.1節(jié)),式(16)是一個關(guān)于C的單調(diào)遞增函數(shù),則i01至少為i02的10倍,已發(fā)表的相關(guān)實(shí)測數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果也支持上述結(jié)論[26-27].

從機(jī)理上而言,i01反映的是剪脹角中需要克服較大視傾角的部分,i02反映的是剪脹角中受分布參數(shù)調(diào)配的需要克服的次大視傾角的部分.對于天然非規(guī)則的結(jié)構(gòu)面而言,需要克服的主要是接近最大視傾角的剪脹角部分.結(jié)合前述數(shù)學(xué)推導(dǎo),可將初始剪脹角進(jìn)一步簡化為i01.

3 視傾角空間分布參數(shù)C的討論

3.1 分布參數(shù)C的邊界和取值范圍

分布參數(shù)C反映結(jié)構(gòu)面表面凸體迎剪向視傾角的空間分布,實(shí)質(zhì)是一個擬合參數(shù)用以描述結(jié)構(gòu)面形貌的粗糙特征.Tian等[25]指出C值是一個對結(jié)構(gòu)面抵抗剪切強(qiáng)度的控制性指標(biāo),但C值在Grasselli系模型中的量綱因兼顧粗糙度系數(shù)和關(guān)系函數(shù)導(dǎo)致量綱導(dǎo)出無法統(tǒng)一,同時角度值的計(jì)算單位出現(xiàn)混亂.在邊界處Tatone等[21]作了如下定義:C=0時,結(jié)構(gòu)面形貌呈現(xiàn)規(guī)則鋸齒形,迎剪向抗剪能力最大；C→∞時為光滑結(jié)構(gòu)面,迎剪向抗剪能力最小.這一觀點(diǎn)被國內(nèi)外學(xué)者廣泛接受,但該推論缺乏理論支撐,同時對于C值左邊界的取值存在實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的奇異.為此,利用分布函數(shù)的變式作如下推導(dǎo):

將式(8)左右取對數(shù):

(17)

當(dāng)C=0時,Aθ*=A0,結(jié)構(gòu)面形貌為均勻齒狀,在其他參數(shù)保持不變時,對應(yīng)的抗剪強(qiáng)度最大.

當(dāng)C≤1時,即

(18)

整理并作等效代換可得

(19)

即

(20)

等效為

(21)

解得C>1,與C≤1矛盾,因此分布參數(shù)C的取值范圍因從理論上修正至[1,∞).國內(nèi)外學(xué)者報(bào)道的大量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果也證明C值不存在小于1的情況(圖5).

圖5 C分布規(guī)律

需要說明的是,修正后的C值取值范圍左邊界存在數(shù)學(xué)邊界和物理邊界兩個概念,前者是依據(jù)理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定的實(shí)際取值邊界,后者從結(jié)構(gòu)面形貌的角度定義了一個理想邊界,用以反映絕對光滑平坦的結(jié)構(gòu)面形貌,而在右邊界的數(shù)學(xué)邊界和物理邊界在理論推導(dǎo)和形式上都得到了統(tǒng)一.

3.2 相對分布參數(shù)C*的提出

圖6 A0分布規(guī)律

為了進(jìn)一步凸顯C值的作用,本文提出相對分布參數(shù)C*的概念,其定義可由分布函數(shù)變式而來:

(22)

(23)

4 新峰值剪切強(qiáng)度預(yù)測模型

4.1 新模型建立

2.2節(jié)中,利用臨界視傾角和單值分布函數(shù)計(jì)算出了平均視傾角,將根據(jù)剪切行為過程和數(shù)學(xué)計(jì)算簡化的剪脹角與Grasselli系模型[11-12]中的初始剪脹角作等效,有

(24)

與之類似地,與唐志成模型[23]等效有

(25)

利用國內(nèi)外學(xué)者發(fā)表的相關(guān)成組數(shù)據(jù)(表3,表4),采用最小二乘法擬合出ξ=0.006 4,R2=0.932(式(24));ξ=0.007 1,R2=0.924(式(25)).同時利用式(23)將分布參數(shù)C值替換為等效分布參數(shù)C*,可得到新模型的初始剪脹角:

i0=i01=90°×(1-0.006 41/C*) ,

(26)

i0=i01=90°×(1-0.007 11/C*) .

(27)

同樣可以與Yang模型[26-27]等效:

(28)

利用國內(nèi)外學(xué)者發(fā)表的相關(guān)成組數(shù)據(jù)(表3,表4),采用最小二乘法擬合出ξ=0.025 7,R2=0.897.同樣利用式(23)將分布參數(shù)C值替換為等效分布參數(shù)C*,可得到新模型的初始剪脹角:

表3 巖石結(jié)構(gòu)面三維形貌參數(shù)及實(shí)測峰值剪切強(qiáng)度(Yang[26-27])

表4 巖石結(jié)構(gòu)面三維形貌參數(shù)及實(shí)測峰值剪切強(qiáng)度(Grasselli[7-9])

i0=i01=90°×(1-0.025 71/C*) .

(29)

這表明,Grasselli系模型中的初始剪脹角可以通過擬合的方式化歸至基于本文提出的粗糙度表征方法建立的初始剪脹角模型.其實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為對臨界視傾角的數(shù)值確定.如上所述,通過Xia模型[11-12]確定的臨界視傾角近似等于對應(yīng)A0值為0.64%時的視傾角,同樣的唐志成模型[23]為0.71%;Yang模型[26-27]為2.57%.

根據(jù)3.2節(jié)中提出的簡化假設(shè),考慮到ξ為一個偏小值,確定臨界視傾角為近似等于對應(yīng)A0值為0.15%時的視傾角,即ξ=0.001 5.

由此導(dǎo)出峰值抗剪強(qiáng)度模型:

(30)

4.2 新模型的驗(yàn)證

Liu等[22]提出了衡量峰值剪切強(qiáng)度預(yù)測誤差的計(jì)算公式,這一標(biāo)準(zhǔn)被國內(nèi)外學(xué)者廣泛接受:

(31)

利用國內(nèi)外學(xué)者發(fā)表的數(shù)據(jù)計(jì)算得到,Xia 模型[11-12]預(yù)測誤差為15.1%,Yang模型[26-27]預(yù)測誤差為12.5%,Grasselli模型[7-9]預(yù)測誤差達(dá)到15.7%,由于Tatone模型[28]和Tian模型[25]可視為新模型的具體形式,因此在預(yù)測精度上相近,Tatone模型、Tian模型和本文新模型的預(yù)測誤差分別為10%，9.8%和8.9%,因?yàn)樾履Ｐ椭袑0的誤差通過相對分布參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn),預(yù)測精度相較于Grasselli系模型而言有一定的提升,預(yù)測效果較好.

5 結(jié) 論

1) 新模型與Grasselli系模型相比,預(yù)測精度較高,同時參數(shù)指標(biāo)劃歸為相對分布參數(shù)C*的單一參數(shù),將Grasselli系模型統(tǒng)一為對臨界視傾角數(shù)值的確定上,解釋了初始剪脹角的構(gòu)成與剪切過程行為的關(guān)系.

2) 提出結(jié)構(gòu)面形貌的單值分布函數(shù),在此基礎(chǔ)上總結(jié)了結(jié)構(gòu)面形貌凸體微元迎剪向視傾角的分布規(guī)律主要為較陡視傾角占比遠(yuǎn)大于較緩視傾角占比,分布函數(shù)反映累進(jìn)特性,單值分布函數(shù)反映數(shù)值分布.

3) 通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)確定了分布參數(shù)的邊界,定義了物理左邊界和數(shù)學(xué)左邊界,推導(dǎo)出分布參數(shù)C的取值范圍為[1,∞).

4) 定義了相對分布參數(shù)C*,將最大視傾角和初始接觸比對抗剪能力的間接貢獻(xiàn)通過分布參數(shù)C反映出來,進(jìn)一步揭示了形貌特征和剪切行為的過程機(jī)理.